Mathematische Grundlagen der Kryptographie

5.1. Zahlentheoretische Basis 551. Wähle eine beliebige Zahl 0 ≤ a < p.2. Setze j = 0 und z = a m mod p.3. Falls z = 1 oder z = p − 1, dann besteht p den Test, und könnteprim sein.4. Falls j > 0 und z = 1, dann ist p keine Primzahl.5. Setze j = j + 1. Falls j < b und z ≠ p − 1, setze z = z 2 mod pund wiederhole Schritt (4). Falls z = p − 1, besteht p den Testund könnte prim sein.6. Falls j = b und z ≠ p − 1, dann ist p keine Primzahl.Falls p den Test besteht ist die Wahrscheinlichkeit, dass p keine Primzahlist, kleiner als 1 4. Nach t Iterationen des Tests ist die Wahrscheinlichtalso noch 2 −2t .5.1.2. Der klein Satz von Fermat. Die Menge der Potenzen 〈x〉 ={x n |n ∈ N} ⊂ F ∗ p ist eine Teilmenge, die bezüglich der Multiplikationabgeschlossen ist. Man kann normalerweise nicht erwarten, dass 〈x〉 dieganze Gruppe F ∗ p ist. Jedoch gilt immer:Satz 5.5 (Fermat). Falls p ein Primzahl ist, gilt a p = a in F p .Beweis: Die Aussage des Satzes ist für a = 0 klar. Betrachten wir jetztalso a ≠ 0. Dann sind die Zahlen0, a, 2a, 3a, . . . , (p − 1)a ∈ F palle verschieden, denn wären zwei gleich, zum Beispiel x 1 a und x 2 a,dann wäre (x 1 − x 2 )a = (x 2 − x 1 )p = 0. Da aber p teilerfremd zu a ist,müsste p|(x 1 − x 2 ) sein, was nur geht, wenn x 1 = x 2 . Da aber F p genaup Element hat, muss die Liste 0, a, 2a, . . . , (p − 1)a alle Elemente von F pumfassen. Die Elemente a, 2a, . . . , (p − 1)a sind also genau die Zahlen1, 2, . . . , (p − 1), nur in anderer Reihenfolge. Das Produkt dieser Zahlenist alsoa p−1 (p − 1)! = (p − 1)!Da aber p und (p − 1)! teilerfremd sind, folgt auchodera p−1 = 1 ∈ F p ,a p = a.Damit ist der kleine Satz von Fermat bewiesen.