Mathematische Grundlagen der Kryptographie

3.2. Ideale und Restklassen 19ist eine Ring. Die Ring-Operationen sind+ : (a + I, b + I) ↦→ a + b + I· : (a + I, b + I) ↦→ ab + IWir haben bereits gesehen, dass nZ ein Ideal in Z ist. Die Menge a+nZenthält genau diejenigen Zahlen, die den gleichen Rest bei Teilung durchn haben wie a, das ist also genau die Restklasse von a. Der zu Beginndes Abschnitts beschriebene Ring Z/nZ ist also identisch mit dem hierkonstruierten Ring.Beweis: Zunächst ist zu zeigen, dass die Operationen wohldefiniertsind, also nicht von der Wahl der Elemente a und b abhängen. Seien a ′und b ′ andere Repräsentaten, also Elemente von R so, dass a+I = a ′ +Iund b+I = b ′ +I. Deren Differenz muss offensichtlich in I liegen. Folglichgilt(a ′ + I) + (b ′ + I) = (a ′ − a + a + I) + (b ′ − b + b + I)= (a + I) + (b + I)(a ′ + I)(b ′ + I) = (a ′ − a + a + I)(b ′ − b + b + I)= (a ′ − a)(b ′ − b) +(a ′ − a)(b + I) + (b ′ − b)(a + I)} {{ }∈I+ (a + I)(b + I)= (a ′ − a) b + (a ′ − a)I + (b ′ − b) a + (b ′ − b)I} {{ }} {{ }∈I∈I+ (a + I)(b + I)= (a + I)(b + I)Dabei haben wir für die Produkte (a ′ − a)b und (b ′ − b)a die Eigenschaftdes Ideals verwendet, a ′ −a ∈ I und b ∈ I haben zur Folge, dass (a ′ −a)b ∈I, und analog für (b ′ − b)a.Die Addition ist selbstverständlich umkehrbar, und die neutralen Elementevon Addition und Multiplikation übertragen sich von R auf dieRestklassen. Damit ist der Satz bewiesen.Definition 3.4 (Restklassenring). Der im Satz 3.3 konstruierteRing aus Restklassen bezüglich des Ideals I wird mit R/I bezeichnet.