Mathematische Grundlagen der Kryptographie

30 3. Mathematische HilfsmittelDie Menge der durch a und b teilbaren Elemente ist daher aR + bR,und muss ebenfalls ein Ideal sein. Falls in R alle Ideale in der FormgR geschrieben werden können, können wir bereits schliessen, dass g =as + bt für geeignete Elemente s, t ∈ R. Das Element g muss ein Teilervon a und b sein, ausserdem ist jeder andere Teiler von a und b auch einTeiler von g, in diesem Sinne ist g der grösste aller gemeinsamen Teilervon a und b:Definition 3.13. t ∈ R heisst ein gemeinsamer Teiler von a ∈ R undb ∈ R, falls t|a und t|b. t heisst grösster gemeinsamer Teiler von a undb, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:(1) t ist eine Teiler von a und b, und(2) jeder andere Teiler von a und b teilt auch t.So sind sowohl 2 als auch 3 gemeinsame Teiler von 12 und 18, abererst 6 ist der grösste gemeinsame Teiler.Satz 3.14 (Euklidischer Algorithmus). Falls die ganze Zahl d ∈ Zder grösste gemeinsame Teiler von a, b ∈ Z ist, gibt es Zahlen s, t ∈ Zmit d = as + bt.Die oben angegebene Beweisskizze mit Hilfe von Idealen setzt einigeKenntnisse der Ringtheorie voraus, die uns nicht zur Verfügung stehen.Ausserdem beschränkt sie sich darauf, die Existenz nachzuweisen,während uns mit Blick auf die Anwendung auch die praktische Berechnungvon s und t interessiert. Der folgende Beweis des Satzes 3.14benötigt die Division mit Rest, die wir wie folgt formulieren können:Satz 3.15. Zu zwei Zahlen a, b ∈ Z, b ≠ 0 gibt es q, r ∈ Z mit a = qb+rmit r < b. Zu zwei Polynomen a, b ∈ K[X] gibt es Polynome q, r ∈ K[X]mit a = qb + r mit deg(r) < deg(b).Mit dem üblichen Divisionsalgorithmus haben wir den Beweis, dasssolche Zahlen s und t immer konstruiert werden können.Beweis: Zunächst stellen wir fest, dass der grösste gemeinsame Teilerd von a und b auch ein Teiler von a − bq 1 = r 1 ist. Da r 1 < b ist, könnenwir erneut den Divisionsalgorithmus auf b und r 1 anwenden, um Zahlenq 2 und r 2 zu finden mit b = q 2 r 1 +r 2 . Wieder ist r 2 < r 1 . Somit lässt sich