Mathematische Grundlagen der Kryptographie

54 5. Asymmetrische VerfahrenSatz 5.2 (Bertrand). Zwischen n ≥ 2 und 2n gibt es immer mindestenseine Primzahl p mit n ≤ p < 2n.Damit liesse sich nun ein praktikabler Algorithmus für die Bestimmungeiner Primzahl einer bestimmten Grösse angeben: man beginnt bei einerzufällig gewählten Zahl n, und testet alle Zahlen n, n + 1, n + 2, . . . ,bis man eine Primzahl gefunden hat. Sofern die Ausgangsgrössen zufälligwaren, ist unwahrscheinlich, dass zwei Personen auf die gleiche Primzahlstossen. Bei tausendstelligen Primzahlen muss man im Schnitt etwa 350Zahlen durchtesten, bis man auf eine Primzahl trifft. Doch wie testetman, ob eine Zahl prim ist?Primzahltests. Die Faktorisierung ist für grosse Primfaktoren keinpraktikables Verfahren, um Faktoren zu ermitteln.Wir sind aber gar nicht an der Bestimmung der Faktoren interessiert,es genügt zu wissen, ob eine Zahl prim ist oder nicht. Ja es ist nichteinmal notwendig, eine Aussage mit absoluter Gewissheit zu haben. Esgenügt, wenn die Wahrscheinlichtkeit sehr gering ist, dass eine als primvermutete Zahl trotzdem Faktoren hat.Satz 5.3 (Lehmann). Der folgende Algorithmus erlaubt, die Wahrscheinlichkeitabzuschätzen, dass die Zahl p nicht prim ist:1. Wähle zufällig eine Zahl a < p.2. Berechne x = a (p−1)/2 ∈ F p .3. Falls x ≠ −1 und x ≠ 1 in F p , dann ist p definitiv keine Primzahl.4. Falls x = 1 oder x = 1 in F p , dann ist die Wahrscheinlichkeit,dass p keine Primzahl ist, kleiner als 50%.Wird der Algorithmus mit t verschiedenen Werten für a wiederholt,wobei jedes mal der Fall 4 eintrifft, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dassp prim ist, kleiner als 2 −t .Beweis: Der Beweis setzt die Theorie der Legendre-Symbole voraus,die zu entwickeln uns die Zeit fehlt.Ein noch effizienterer Test istSatz 5.4 (Rabin-Miller). Die Zahl p ist daraufhin zu testen, ob Sieprim ist. Sei b der grösste Exponent so, dass 2 b |(p − 1), und m = (p −1)2 −b . Dann führe folgenden Algorithmus aus: