ExPhy3 WS0809 Mueller HA+Lsg.pdf

Aufgabe H3.4 (2 Punkte)
Geben Sie die kinetische Energie eines Teilchens in Kugelkoordinaten an, das sich mit nichtrelativistischer
Geschwindigkeit �v in einer Ebene bewegt.
Lösung
Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten x, y, z und Polarkoordinaten r, ϑ (= π/2
wegen Bewegung in einer Ebene), φ:
Die Zeitableitungen lauten
Für die kinetische Energie folgt damit
x = r cos φ (H3.15)
y = r sin φ (H3.16)
z = 0 (H3.17)
˙x = ˙r cos φ − r ˙ φ sin φ (H3.18)
˙y = ˙r sin φ + r ˙ φ cos φ (H3.19)
˙z = 0 (H3.20)
E = 1
2 m�v2 = 1
2 m|�˙r| 2 = 1
2 m � ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2�
= m
�
˙r
2
2 cos 2 φ − 2r ˙r ˙ φ cos φ sin φ + r 2 �
φ˙ 2 2 2 2
sin φ + ˙r sin φ + 2r ˙r φ˙ 2
cos φ sin φ + r φ˙ 2 2
cos φ
= ˙r 2 + r 2 φ˙ 2
(H3.21)