ExPhy3 WS0809 Mueller HA+Lsg.pdf

L 1 2(ρ) erhält man nach Gl. H8.4 aus den Laguerre-Polynomen mit q = 2 und p = 1. Für das
Laguerre-Polynom mit q = 2 ergibt sich
ρ d2
L2(ρ) = e
dρ2 � 2 −ρ
ρ e � ρ d � −ρ 2 −ρ
= e 2ρe − ρ e
dρ
� ) (H8.8)
= e ρ � 2e −ρ − 2ρe −ρ − 2ρe −ρ + ρ 2 e −ρ� ) = 2 − 4ρ + ρ 2
(H8.9)
Das dazu assoziierte Laguerre-Polynom ist
Insgesamt ist also
ψ200 = N20
L 1 2(ρ) = d
dρ L2(ρ) = d
dρ (2 − 4ρ + ρ2 ) = −4 + 2ρ (H8.10)
1
√ (2ρ − 4)e
4π −ρ/2 �
1 Zr
= N20 √
π
a0
�
− 2 e −Zr/(2a0)
(H8.11)
Die Normierungskonstante N20 kann man wieder direkt bestimmen aus der Normierungsbedingung
�
ψ
V
∗ 200ψ200dV = 4π N 2 � ∞ � �2 20 Z
r − 2 e
π 0 a0
−Zr/a0 2
r dr
�� �2 � ∞
Z
r 4 e −Zr/a0
� ∞
Z
dr − 4 r 3 e −Zr/a0
� ∞
dr + 4 r 2 e −Zr/a0
�
dr
= 4N 2 20
= 4N 2 20
= 4N 2 20
= 32N 2 20
a0
� � Z
�
24
0
� 2
24
a0
� �
a0
3
� a0
Z
Z
� 3
= 1
� �
a0
5
− 4
Z
Z
6
a0
− 24
� �
a0
3
+ 8
Z
a0
� �
a0
4
Z
� a0
Z
0
� 3 �
+ 4 × 2
Hierbei wurde mehrfach von Gl. P3.6 Gebrauch gemacht. Somit ist
N20 = − 1
4 √ � �3/2 Z
2 a0
�
� �
a0
3
Z
0
(H8.12)
Die negative Wurzel wurde gewählt, um die übliche Darstellung der Wellenfunktion ψ200 zu
erhalten (Demtröder). Einsetzen in Gl. H8.11 liefert schließlich die normierte 2s-Wellenfunktion
Berechnung von ψ210:
Die Kugelflächenfunktion für l = 1 und m = 0 ist
ψ200 = 1
4 √ � �3/2 �
Z
2 −
2π a0
Z
�
r e
a0
−Zr/2a0 (H8.13)
Y10(θ, φ) =
3
√ 4π cos θ (H8.14)
Mit n = 2 und l = 1 ergibt Gl. H8.2 Für den Radialanteil der 2s-Wellenfunktion
R21(r) = N21e −ρ/2 ρL 3 3(ρ) (H8.15)