ExPhy3 WS0809 Mueller HA+Lsg.pdf

Für das Betragsquadrat ergibt sich unmittelbar
�
�
� � X m �
�
ℓ � 2
=
1
�
[ℓ(ℓ + 1) − m(m + 1)]
2ℓ(ℓ + 1)
� �
� m+1
Y �
ℓ
2
+[ℓ(ℓ + 1) − m(m − 1)] � �
� m−1
Y �2 + 2m 2 |Y m
ℓ | 2�
Dies war zu zeigen.
Teil b)
Die Kugelflächenfunktionen für ℓ = 1 lauten
Ihre Betragsquadrate sind
Sie hängen nur vom Polarwinkel θ ab.
Y 0
1 (θ, φ) =
Y ±1
1 (θ, φ) =
ℓ
= F m ℓ (θ)
(H7.33)
�
3
cos θ (H7.34)
4π
�
3
sin θ e±imφ
(H7.35)
8π
� �
� 0
Y �
1
2 = 3
4π cos2 θ (H7.36)
� �
� ±1
Y �
1
2 = 3
8π sin2 θ (H7.37)
Einsetzen von ℓ = 1 und m = 0 in Gl. H7.26 ergibt
F 0 1 (θ) = 1
�
2
4
� �
� 1
Y �
1
2 + 2 � �
� −1
Y �
1
2�
= � �
� 1
Y �
1
2 = 3
8π sin2 θ (H7.38)
Einsetzen von ℓ = 1 und m = 1 in Gl. H7.26 ergibt
F 1 1 (θ) = 1
�
2
4
� �Y 0
�
�
1
2 + 2 � �Y 1
�
�
1
2�
= 3 � � 2 2 3 � � 2
2 cos θ + sin θ = 1 + cos θ (H7.39)
16π
16π
Dasselbe Ergebnis erhält man für F −1
1 (θ).
2 7 0
3 0 0
2 4 0
3 3 0
2 1 0
0
1 8 0
�
��
� �q �
�
3 0
1 5 0
6 0
9 0
�
� �q � �
1 2 0
Polardiagramme der Funktionen F 0 1 (θ) (Gl.
H7.38) und F ±1
1 (θ) (Gl. H7.39). Die Funktionen
hängen nicht vom Azimutwinkel φ ab und sind
daher rotationssymmetrisch um die z-Achse.