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I A M P Übungen zur Experimentalphysik III Wintersemester 2008/2009 Institut für Atom- und Molekülphysik Leihgesterner Weg 217, 35392 Gießen Lösungen zum Hausaufgabenblatt 11 vom 14.01.2009 Aufgabe H11.1 (5 Punkte) JUSTUS-LIEBIG- UNIVERSITÄT GIESSEN Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält sich das Elektron im Grundzustand des Wasserstoffatoms im Proton (Radius rp = 0.895 fm) auf? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron im Grundzustand eines wasserstoffähnlichen Uranions im 238 U-Kern (Radius rU = 5.86 fm) aufhält? Hinweis: Verwenden Sie in beiden Fällen die nichtrelativistische Wellenfunktion. Lösung Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron innerhalb eines Abstandes R vom Kernmittelpunkt aufhält, beträgt P (R) = wobei die 1s-Wellenfunktion � R 0 4πr 2 |ψ100(r)| 2 dr = 4Z3 a 3 0 ψ100 = 1 � �3/2 Z Z − r √ a e 0 π a0 � R 0 r 2 2Z − r a e 0 dr (H11.1) (H11.2) eingesetzt wurde. Im Integral in Gl. H11.1 wird x = 2Zr/a0 bzw. r = xa0/(2Z) substituiert: mit P (R) = 4Z3 a 3 0 a3 0 8Z3 � ξ x 0 2 e −x dx = 1 � ξ x 2 0 2 e −x dx (H11.3) ξ = 2ZR a0 (H11.4) Da der Kernradius R sehr viel kleiner ist als der Bohrsche Radius a0, ist x < ξ ≪ 1, und somit ist eine Entwicklung der Exponentialfunktion im Integranden sinnvoll: P (R) = 1 � ξ x 2 0 2 e −x dx = 1 � ξ x 2 0 2 (1 − x + . . .)dx (H11.5) Da x ≪ 1, wird in der weiteren Rechnung nur der erste Term der Entwicklung berücksichtigt, und man erhält P (R) = 1 ξ 2 3 3 = ξ3 6 (H11.6)
Für Wasserstoff ist Z = 1, R = rp, ξ = 2 × 0.895 × 10 −15 /(0.529 × 10 −10 ) = 3.384 × 10 −5 und P (rp) = 6.5 × 10 −15 . Für Uran ist Z = 92, R = rU, ξ = 2 × 92 × 5.86 × 10 −15 /(0.529 × 10 −10 ) = 2.038 × 10 −2 und P (rU) = 1.4 × 10 −6 . Alternativer Lösungsweg: P (R) = � R Das in Gl. H11.7 abgekürzte Integral 0 4πr 2 |ψ100(r)| 2 dr = 4Z3 a 3 0 I2(η, r) = � R 0 r 2 2Z − e kann analog zum Integral aus Gl. P3.2 behandelt werden: I0(η, r) = I1(η, r) = I2(η, r) = Damit und mit ξ aus Gl. H11.4 ist � P (R) = 4Z3 a 3 0 a 0 r dr = 4Z 3 a 3 0 I2(2Z/a0, R) (H11.7) � r x 0 2 e −ηx dx (H11.8) � r e 0 −ηx dx = −η −1 e −ηx�� r 0 = η−1 � 1 − e −ηr� � r xe 0 −ηx dx = − dI0(η, r) = η dη −2 � 1 − e −ηr� − rη −1 e −ηr = −η −2 − e −ηr � η −2 + rη −1� � r x 0 2 e −ηx dx = − dI1(η, r) = 2η dη −3 − re −ηr � η −2 + rη −1� −e −ηr � 2η −3 + rη −2� = 2η −3 − e −ηr � 2η −3 + 2rη −2 + r 2 η −1� 2 a3 2Z 0 R a − e− 0 8Z3 = 1 − e −2ZR/a0 � 1 + 2 R � 2 a3 0 a0 8Z3 + 2R a2 0 a0 + R2 4Z2 Z + 2 R2 a2 Z 0 2 � 2Z 2 �� = 1 − e −ξ � 1 + ξ + 1 2 ξ2� (H11.9) (H11.10) (H11.11) (H11.12) (H11.13) Wegen ξ ≪ 1 (s. o.) ist die Berechnung von P (R) nach Gl. H11.13 numerisch heikel. Wiederum ist es vorteilhaft, die Exponentialfunktion in Gl. H11.13 für die weitere Berechnung zu entwickeln: P (R) = 1 − � 1 − ξ + 1 2 ξ2 − 1 6 ξ3 . . . � � 1 + ξ + 1 2 ξ2� = 1 − � 1 + ξ + 1 2 ξ2 − ξ − ξ 2 − 1 2 ξ3 + 1 2 ξ2 + 1 2 ξ3 − 1 6 ξ3 + O(ξ 4 ) � = 1 − � 1 − 1 6 ξ3 + O(ξ 4 ) � = 1 6 ξ3 + O(ξ 4 ) (H11.14) Dies ist identisch mit dem obigen Resultat (Gl. H11.6).
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