ExPhy3 WS0809 Mueller HA+Lsg.pdf

Teil b)
Aus Gl. H7.1 und H7.2 folgt
L+L− = (Lx + iLy)(Lx − iLy) = L 2 x + iLyLx − iLxLy + L 2 y (H7.15)
L−L+ = (Lx − iLy)(Lx + iLy) = L 2 x − iLyLx + iLxLy + L 2 y (H7.16)
L+L− + L−L+ = 2(L 2 x + L 2 y) (H7.17)
Die letzte Gleichung ist identisch mit Gl. H7.8.
Aus Gl. H7.7 folgt
bzw.
L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z = 1
2 (L+L− + L−L+) + L 2 z
L+L− = L−L+ + 2�Lz
L−L+ = L+L− − 2�Lz
Einsetzen von L−L+ aus Gl. H7.20 in Gl. H7.18 ergibt
(H7.18)
(H7.19)
(H7.20)
L 2 = 1
2 (L+L− + L−L+) + L 2 z = 1
2 (2L+L− − 2�Lz) + L 2 z = L+L− + Lz(Lz − �) (H7.21)
Einsetzen von L+L− aus Gl. H7.19 in Gl. H7.18 ergibt
L 2 = 1
2 (L+L− + L−L+) + L 2 z = 1
2 (2L−L+ + 2�Lz) + L 2 z = L−L+ + Lz(Lz + �) (H7.22)
Auflösen von Gl. H7.21 nach L+L− und von Gl. H7.22 nach L−L+ liefert schließlich
Teil c)
Mit Gl. H7.9 und Gl. H7.10 ist
L+L− = L 2 − Lz(Lz − �) (dies ist Gl. H7.9)
L−L+ = L 2 − Lz(Lz + �) (dies ist Gl. H7.10)
L+L−Y m
ℓ = [L 2 − Lz(Lz − �)]Y m
ℓ = [ℓ(ℓ + 1) − m(m − 1)]� 2 Y m
ℓ
L−L+Y m
ℓ = [L 2 − Lz(Lz + �)]Y m
ℓ = [ℓ(ℓ + 1) − m(m + 1)]� 2 Y m
ℓ
(H7.23)
(H7.24)
da Y m
ℓ Eigenfunktion ist zum Operator L2 [Eigenwert: ℓ(ℓ+1)� 2 ] und gleichzeitig zum Operator
Lz [Eigenwert: m�].