Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

12 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER WÄRMELEITUNG
Randbedingung 3.Art
����
� ∞
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ε �
λ/α
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λ� �������������
∞ ������� �
Abbildung 2.6: Randbedingung der 3. Art, speziell für x = 0 mit Tangentenkonstruktion über
Richtpunktabstand sR = λ/α.
Diese Randbedingung verknüpft den wandnächsten Wärmefluss im Fluid (Index F) mit jenem
an der Innenseite des Körperrandes (Index K). Falls ein Koordinatensystem und eine
Vorzeichenkonvention wie in Abb. 2.6 gewählt wird, gilt nach Newton auf der linken Seite der
Grenzfläche
˙qW,F = α (TW − T∞) = − ˙qx(x = −0).
Im Körper gilt nach Fourier
� �
∂T
˙qW,K = −λ
∂x W
= ˙qx(x = +0).
An der Grenzfläche wird i.a. keine Wärme entzogen oder freigesetzt 2 , somit folgt aus einer
Kontrollraumbilanz über die Grenzfläche bei Beachtung der Vorzeichenkonventionen
˙qx(x = +0) − ˙qx(x = −0) = 0,
und somit
� �
∂T
α(TW − T∞) = λ .
∂x W
(2.14)
In Abb. 2.6 wird gezeigt, wie diese Randbedingung graphisch zu interpretieren ist.
allgemein: α(t),T∞(t), T(x,t) zeitveränderlich.
speziell: α, T∞, T(x) konstant.
1. Grenzfall: λ endlich, ˙qW,K endlich, α → ∞:
=⇒ TW → T∞: entsprechend der Randbedingung 1. Art
2 wichtige Ausnahme wären Schmelzen bzw. Erstarren, Kondensation, chemische Oberflächenreaktionen, . . .