Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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16 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG<br />
� ∞�<br />
����<br />
� �<br />
λ<br />
���� ��� � �����<br />
� ���<br />
Abbildung 3.1: Ebene Platte mit beidseitigem Wärmeübergang<br />
3.1.1 Péclet-Gleichung <strong>für</strong> die Platte<br />
Für die Platte vereinfacht sich (3.1) zu<br />
was sich sofort integrieren läßt:<br />
d 2T = 0,<br />
dx2 � ∞�<br />
dT<br />
dx = C1, ( ˙qx = const.)<br />
T (x) = C1x + C2, (linearer Temperaturverlauf)<br />
Die Integrationskonstanten C1, C2 werden über die inneren Randbedingungen (Abb.3.1) bestimmt:<br />
T (x = 0) = TW 1 ⇒ C2 = TW 1,<br />
T (x = s) = TW 2 ⇒ C1 = TW 2 − TW 1<br />
,<br />
s<br />
und somit:<br />
T (x) = TW 1 + (TW 2 − TW 1) x<br />
.<br />
s<br />
(3.2)<br />
Für Wärmestrom und -fluss ergibt sich<br />
˙qx = −λ dT<br />
dx<br />
=<br />
λ<br />
s (TW 1 − TW 2),<br />
˙Q = A ˙qx = A λ<br />
s (TW 1 − TW 2).<br />
Die Wandtemperaturen TW 1, TW 2 sind nicht unmittelbar bekannt, die obige Lösung muss<br />
deshalb auf die äußeren (bekannten) Randbedingungen T∞1, T∞2 ” abgestützt“ werden. Dabei<br />
macht man sich zunutze, dass aufgrund der Energieerhaltung im stationären Zustand<br />
der Wärmestrom ˙ Q in der Wand gleich den über die Phasengrenzen zu- und abströmenden<br />
Wärmeströmen sein muss. Damit gilt nach Newton:<br />
˙Q = α1A (T∞1 − TW 1) = α2A (TW 2 − T∞2) .
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