Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

Skriptum zur Vorlesung
Wärmetransportphänomene
Sommersemester 2003
Copyright c○Lehrstuhl für Thermodynamik, TU München, 2003

ii
Vorlesung:
Prof. Wolfgang Polifke – 289 16216 – MW 1726 – wolfgang.polifke@td.mw.tum.de
Termin:
Do, 8:30 - 10:00, MW 2001
Termin der ersten Vorlesung:
Mi, 9. April, 8:30 - 9:15, MW 0001
Vorlesungsbetreuung:
Jochen Kalb – 289 16230 – MW 0732 – jochen.kalb@td.mw.tum.de
Übung:
Mi, 8:30 - 9:15, MW 0001
Zusatzübung:
nach Vereinbarung
Sprechstunde:
Do, 14:00 - 15:30, MW 0732
Copyright c○Lehrstuhl für Thermodynamik, TU München, 2003
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Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Lehrstuhls
für Thermodynamik reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet,
vervielfältigt oder verbreitet werden.
Dieser Umdruck dient als vorlesungsbeleitendes Skript, das eine Mitschrift beim Besuch der
Lehrveranstaltungen und das selbständige Erarbeiten von Übungsaufgaben nicht ersetzt.

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
2 Grundbegriffe der Wärmeleitung 5
2.1 Das Fouriersche Gesetz der Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Fouriersche Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Zeitliche und örtliche Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Stationäre Wärmeleitung 15
3.1 Wärmedurchgang und Péclet-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Péclet-Gleichung für die Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Péclet-Gleichung für den Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.3 Péclet-Gleichung für die Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.4 Dimensionslose Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.5 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Zweidimensionale Wärmeleitung (Formfaktoren) . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Wärmeleitung mit Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Instationäre Wärmeleitung - Methode der Blockkapazität 33
4.1 Sprungantwort einer Blockkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Thermometerfehler der 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Biot- und Fourier Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Gültigkeitsbereich der Näherung ” Blockkapazität“ . . . . . . . . . . . 37
4.3.2 Ähnlichkeitsform der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii

iv INHALTSVERZEICHNIS
5 Wärmestrahlung 41
5.1 Begriffe und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Schwarze Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Emission und Absorption nicht-schwarzer Strahler . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.1 Der “graue“ Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.2 Der “reale“ Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 Schwarze Körper sind nicht schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Kirchhoffsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.5 Einfache Strahlungsaustauschbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.6 Wellenlängenabhängigkeit optischer Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6.1 Spektraler Emissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6.2 Spektrale Absorptions-, Reflektions- & Transmissionsgrade . . . . . . 50
5.6.3 Schwarzkörperfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6.4 Der Treibhauseffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.7 Gasstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.8 Strahlung & Wärmeübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Massen- und Energiebilanzen für durchströmte Systeme 61
6.1 Ideal gerührter Behälter mit Zu- und Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Wärmeverluste bei Strömung im Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Wärmetauscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3.1 Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3.2 Betriebscharakteristik des Gegenstromwärmetauschers . . . . . . . . . 70
6.3.3 Wirkungsgrad eines Wärmetauschers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3.4 Mittlere Temperaturdifferenz des Gegenstrom-Wärmetauschers . . . . 73
6.3.5 Wärmetauscher mit Phasenumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.6 Weitere Bauformen von Wärmetauschern . . . . . . . . . . . . . . . . 75

INHALTSVERZEICHNIS v
7 Grundbegriffe von Wärmeübergang und Konvektion 79
7.1 Wesentliche Ergebnisse der Strömungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.1 Zähigkeit und Schubspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.2 Reibungs- und Widerstandsbeiwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.1.3 Der Begriff der Grenzschicht nach Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.1.4 Der Begriff der Turbulenz nach Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.5 Die hydrodynamischen Grundgesetze viskoser Fluide . . . . . . . . . . 84
7.1.6 Die Energieerhaltungsgleichung viskoser Fluide . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Dimensionslose Form der Erhaltungsgleichungen und
Kennzahlen der Thermo-Fluiddynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.1 Reynolds-, Péclet- und Prandtl-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.2 Nußelt-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8 Impuls- und Wärmeübertragung in der Plattengrenzschicht 95
8.1 Grenzschichtgleichungen für Zwangskonvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Analytische Grenzschichtlösungen für die ebene Platte . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.1 Ähnlichkeitslösung für das Geschwindigkeitsfeld . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.2 Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2.3 Anwendungsbeziehungen – Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.3 Grenzschichtablösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9 Ähnlichkeitstheorie und Kennzahlen 107
9.1 Bestimmung von Kennzahlen – π-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1.1 Sprungabkühlung eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1.2 Sprungabkühlung eines gut wärmeleitenden Körpers . . . . . . . . . . 110
9.2 Bestimmung von Kennzahlen aus den Differenzialgleichungen . . . . . . . . . 111
9.3 Die funktionale Form der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.4 Auslegung von Modellversuchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.5 Darstellung experimenteller Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.5.1 Experimentelle Untersuchung des Wärmeübergangs an der ebenen Platte117
9.5.2 Reibungswiderstand glatter Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

vi INHALTSVERZEICHNIS
9.6 Dimensionslose Form der Lösungen und
Ähnlichkeitslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.7 Analogien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.7.1 Reynolds-Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10 Freie Konvektion 123
10.1 Freie, laminare Konvektion an der isothermen Wand . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2 Boussinesq-Approximation der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . 124
10.3 Kennzahlen und Ähnlichkeitslösungen für die isotherme Wand . . . . . . . . . 126
A Nomenklatur 131
B Kennzahlen 133

Kapitel 1
Einführung
In der Vorlesung Thermodynamik I wurden Systeme betrachtet, deren Zustandsgrößen Temperatur,
Druck, innere Energie etc. sich durch Austausch von Arbeit und Wärme über die
Systemgrenze oder Kontrollfläche mit der Umgebung von einem Anfangsgleichgewichtszustand
” 1 “ - theoretisch nach unendlich langer Zeit - in einen Endgleichgewichtszustand ” 2 “
überführen lassen. Für geschlossene Systeme liefert der 1. Hauptsatz der Thermodynamik
den quantitativen Zusammenhang zwischen Änderung der inneren Energie einerseits, sowie
Arbeits- und Wärmezufuhr andererseits:
U2 − U1 = W12 + Q12. (1.1)
Die verschiedenen Arbeitsmoden und damit W12 sind zum Teil schon aus der Mechanikvorlesung
bekannt sind. Um die Wärmezufuhr Q12 zu bestimmen, müssen wir im Folgenden die
Mechanismen der Wärmeübertragung durch eine genauere Inspektion der Transportvorgänge
an der Systemgrenze physikalisch und mathematisch erschließen. Hierbei sind zwei wesentliche
Gesichtspunkte zu beachten:
• Wärme ist definitionsgemäß die unter der Wirkung eines Temperaturgefälles - ohne
Arbeitsleistung - vom höheren zum niederen Temperaturniveau fließende Energieform
(2. Hauptsatz der Thermodynamik!).
• Dieser Übertragungsprozess verläuft grundsätzlich zeitabhängig und durch Ungleichgewichtszustände;
er lässt sich jedoch fast immer als quasistationär behandeln.
• Um Wärmetransportvorgänge an der Systemgrenze zu beschreiben ist das ” Grenzgebiet“
selbst als ausgedehntes System zu betrachten.
Abb. 1.1 verdeutlicht den Sachverhalt. Sie zeigt einen (im Winter) beheizten ” Wohnraum“
als Hauptsystem (1), der über das ausgedehnte Zwischensystem ” Kontrollgrenze“ (2) an das
Nebensystem ” Umgebung“ (3) Wärme abgibt. Die Heizung H im System (1) soll z.B. so
nachgeregelt werden, dass trotz variabler Umgebungstemperatur T∞(t) die Raumtemperatur
1

2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
¡ ¢
£
∞
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¥§¦¨ £ ¤
Abbildung 1.1: Wärmedurchgang: Wohnraum (1) Gebäudehülle (2) Umgebung (3)
T konstant bleibt; es fließt dann ein zeitveränderlicher Wärmestrom ˙ Q(t) durch das im thermischen
Ungleichgewicht befindliche System (2), bestehend aus Mauerwerk und den beiden
angrenzenden Luftgrenzschichten, in welchen Konvektionsbewegungen auftreten.
Häufig sind Wärmetransportvorgänge eng mit Massen-, bzw. Stoff- und Impulstransportprozessen
gekoppelt (Strömung, Verdunstung). Die physikalisch/mathematische Basis der Lehre
von der Wärme- und Stoffübertragung bilden zum einen die Erhaltungssätze für Masse, Impuls
und Energie sowie empirisch gefundenen Transportgesetze. Transportgesetze verknüpfen den
” Fluss“ (Transport pro Zeit- und Flächeneinheit) einer Erhaltungsgröße über einen ” Transportkoeffizienten“
mit einem angelegten ” Potentialgefälle“ verknüpfen.
Beispiele 1: Ohm’sches Gesetz,
j = σ E,
die Stromdichte j (elektrische Ladung pro Fläche und Zeit) ist proportional zum elektrischen
Feld E; die Proportionalitätskonstante ist die Leitfähigkeit σ.
Beispiel 2: der aus der Strömungsmechanik bekannte Schubspannungsansatz von Newton:
τ = η du
dy ,
die Schubspannung τ ist gleich dem Produkt aus Viskosität η und Geschwindigkeitsgradient
du/dy.
Die drei Hauptmechanismen der Wärmeübertragung sind:
1. Wärmeleitung (Konduktion), d.h. diffuser Energietransport, bewirkt durch Bewegung
der Atome bzw. Moleküle in Flüssigkeiten und Gasen, Gitterschwingungen (Phononen)
in Festkörpern und freie Elektronen in elektrisch leitenden Medien.
2. Konvektion, d.h. makroskopischer (advektiver) Energietransport in Flüssigkeiten und
Gasen durch Strömung. Konvektion dominiert in strömenden Fluiden zumeist die Konduktion,
mit Ausnahme von wandnahen Bereichen. Fluide kommen an Wänden völlig
zur Ruhe (sie haften dort), in Wandnähe regieren sogenannte Geschwindigkeits- und

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�����
�������
Abbildung 1.2: ” Feuerlöschen“ – Wassertransport in Analogie zu den drei Wärmetransportmechanismen
Konduktion (1), Konvektion (2) und Strahlung (3).
Temperaturgrenzschichten den Impuls-, Wärme- und Stofftransport. Die Gesetzmäßigkeite
des Wärmeüberganges werden in dieser Vorlesung noch ausführlich diskutiert.
3. Wärmestrahlung (Radiation), d.h. elektromagnetische Strahlung im Wellenlängenbereich
von 0,1 bis 1000 µm, vornehmlich zwischen festen oder flüssigen Oberflächen
unterschiedlicher Temperatur mit strahlungsdurchlässigen Zwischenräumen (Luft, Vakuum).
Diese ” Temperaturstrahlung“ erfordert im Gegensatz zu den beiden anderen
Mechanismen keinen stofflichen Träger (Beispiel: Solarenergie).
Beachte, dass diese unterschiedlichen Mechanismen der Wärmeübertragung häufig in Kombination
und sogar in Wechselwirkung miteinander auftreten.
Anwendungsbereiche der Lehre vom Wärme- und Stoffaustausch:
• Hemmende Wirkung: Wärmedämmung von Gebäuden, Rohrleitungen, Menschen (Kleidung).
• Befördernde Wirkung: Chemieanlagen, Klimaanlagen, Wärmekraftanlagen, Wärmetauscher.
• Ausbreitungsvorgänge: Rauchgasfahnen, Kühlwassereinleitung in Flüsse, Schadstoffausbreitung
im Boden.
• Extremanforderungen bezüglich Wärmeabfuhr: Generatoren, Kernreaktoren, Gasturbinen,
elektronische Bauteile (!).
�����
3

4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ in Gasen ist die mittlere freie Weglänge viel größer als in Flüssigkeiten, weshalb bei
Ersteren die Wärmeleitung (Konduktion) die Konvektion immer dominiert.
✷ im Mikrowellenherd wird das Kochgut durch Mikrowellen – langwellige elektromagnetische
Strahlung – erwärmt. Trotzdem zählen die Mikrowellen nicht zur Wärmestrahlung,
da sie nicht ” thermisch angeregt“ sind, d.h. die Physik ihrer Entstehung ist eine Andere
als bei der Wärmestrahlung.
✷ wie der Name schon andeutet, ist der Wärmefluß (Transport von Wärme pro Zeit- und
Flächeneinheit) nur bei der Konvektion von Bedeutung.
✷ die Transportkoeffizienten sind Proportionalitätsfaktoren, welche eine Ursache (Temperatur-,
Geschwindigkeits- oder Potentialgradient) mit der resultierenden Wirkung (Transport
von Wärme, Impuls, elektrische Ladung) ins Verhältnis setzen.

Kapitel 2
Grundbegriffe der Wärmeleitung
2.1 Das Fouriersche Gesetz der Wärmeleitung
Bereits Fourier 1 war mit folgendem Erfahrungsbefund vertraut: Prägt man einer umfangseitig
wärmedichten Platte der Dicke ∆x und der Fläche A die unterschiedlichen Temperaturen T1
und T2 auf (siehe Abb. 2.1), so fließt im Zeitintervall ∆t eine bestimmte Wärmemenge Q
durch die Platte. Diese Wärmemenge Q ist
• proportional zur Temperaturdifferenz T1 − T2,
• proportional zur Fläche A,
• proportional zur Zeitdauer ∆t,
• invers proportional zur Dicke der Platte ∆x,
und hängt ausserdem stark vom Material der Platte ab.
1 Jean Baptiste Joseph Baron de (seit 1808) Fourier, frz. Physiker und Mathematiker, ∗ Auxerre 21.3.
1768, † Paris 16.5. 1830; entwickelte die analyt. Theorie der Wärmeausbreitung und -leitung mit Hilfe von
Fourier-Reihen und Fourier-Integralen, führte den Begriff der physikal. Dimension und der Fourier-Analyse
(harmonische Analyse) ein. ( c○ Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG)
���
λ
∆�
�
��� �
Abbildung 2.1: Stationäre Wärmeleitung durch eine umfangseitig gut wärmeisolierte Platte
5

6 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER WÄRMELEITUNG
Schäume
CO2
Wärmedämmstoffe
H2
|-- Gase --|
Plastik Eis
Oxide
nichtmetallische Feststoffe
Öl Wasser
Fasern
Quecksilber
|--- Flüssigkeiten ---|
|-- Metalle --|
Nickel Aluminium
Legierungen
0.01 0.1 1 10 100 1000
Abbildung 2.2: Wärmeleitfähigkeit verschiedener Materialien (in W/m·K) verschiedener Materialien
bei Standardbedingungen (nach [2].
Dieser Zusammenhang wird analytisch wie folgt formuliert:
Q = λ T1 − T2
∆x
A ∆t.
Der Koeffizient λ, der die Materialabhängigkeit der Wärmeleitung erfasst, wird Wärmeleitfähigkeit
genannt. Diese reine Stoffgröße ist durch obige Gleichungen definiert und erhält
wegen:
Zink
[Q] = J = W s; [T ] = K; [x] = m; [A] = m 2 ;
die Einheit [λ]= W/ (m K) zugewiesen. Die Wärmeleitfähigkeit ist eine Funktion der Temperatur
des Körpers, diese Abhängigkeit kann in allerdings in vielen Fällen in guter Näherung
vernachlässigt werden. Ganz grob gesprochen ist Die Wärmeleitfähigkeit von Metallen ist
deutlich größer (ungefähr eine Größenordnung) als die von nicht-metallischen Festkörpern,
diese deutlich größer als die von Flüssigkeiten, und diese wiederum wesentlich größer als die
von Gasen. Ein Übersicht vermittelt Bild 2.2, einige Zahlenwerte {λ} sind in Tabelle 2.1
angegeben.
Silber
Stoff Ag Cu Al St VA Glas H2O PVC Luft CO2
{λ} W/ (m K) 410 390 230 52 15 1,4 0,60 0,15 0,026 0,015
Tabelle 2.1: Wärmeleitfähigkeit λ verschiedener Materialien bei 20 ◦ C.

2.2. FOURIERSCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG 7
Die pro Zeiteinheit übertragene Wärmemenge ist als Wärmestrom ˙ Q (Einheit W) bekannt
und es gilt:
˙Q ≡ dQ
dt = λ T1 − T2
A. (2.1)
∆x
Die pro Zeit- und Flächeneinheit übertragene Wärmemenge ist die Wärmestromdichte ˙q (Einheit
W/m 2 ). Für die in Bild 2.1 gezeigt Geometrie gilt ˙q = ˙ Q/A, allgemeiner definiert man
für die Wärmestromdichte in x-Richung durch ein Flächenelement dA
˙qx ≡ d ˙ Qx
, (2.2)
dA
und analog für Wärmeleitung in die y- oder z-Richtung. Die Wärmestromdichte ist wird auch
Wärmefluss genannt.
Fourier postulierte nun, dass beim Grenzübergang ∆x → 0 für die Wärmestromdichte die
Differenzialbeziehung
˙qx = −λ ∂T
(2.3)
∂x
gelten sollte, und zwar mit analogen Komponenten in y- und z- Richtung. Diese fundamentale
Beziehung ist als Fouriersches Gesetz bekannt. Was zunächst als phänomenologischer, also
rein empirischer Ansatz formuliert wurde, erwies sich später als nahezu ausnahmslos gültige
Gesetzmäßigkeit.
Die Wärmestromdicht ist eine gerichtete Größe, ein Vektor. Gemäß (2.3) steht dieser Vektor
�˙q senkrecht auf den Isothermflächen des skalaren Temperaturfeldes, �˙q = −λ∇T . Bei dieser
Formulierung wurde vorausgesetzt, dass λ nicht richtungsabhängig (anisotrop) sein soll, wie
dies bei Kristallen, Knochen oder Naturholz der Fall wäre.
Die Einheit des Wärmeflusses folgt zu [ ˙q]= W/m 2 ; typische Zahlenwerte hierzu zeigt folgende
Tabelle:
Solarkonstante : 1300; El. Haushaltsgeräte : 1 - 8 · 10 4 ;
Bensonkessel : 1,5 - 6 · 10 5 ; Kernreaktor, Chips(!) : 1 - 2 · 10 6 ;
2.2 Fouriersche Differenzialgleichung
Nachdem das Transportgesetz der Wärmeleitung (2.3) aufgestellt war, konnte Fourier obwohl
er mit einer inkorrekten Grundkonzeption arbeitete – dem sog. Phlogistonmodell – mit Hilfe
des Energieprinzips die nach ihm benannte partielle Differentialgleichung ableiten. In einem
Cartesischen Koordinatensystem ist die momentane Einspeicherungsrate thermischer Energie
bezüglich eines Massenelementes
durch den Enthalpiestrom
d 3 m = ϱ · dx · dy · dz (2.4)

8 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER WÄRMELEITUNG
d 3 ˙ HSp = cp · ϱ · ∂T
∂t
· dx · dy · dz (2.5)
gegeben und der aus chemischen, elektrischen oder nuklearen Effekten resultierende ” Quellenthalpiestrom“
über die Wärmequellendichte ˙w durch:
d 3 ˙ HQu = ˙w · dx · dy · dz (2.6)
Die Einheit der Wärmequellendichte ˙w ergibt sich zu [ ˙w] = W/m 3 .
�����������
������� �������������
� � �
�
���������
� � �
Abbildung 2.3: Wärmeleitung durch ein Volumenelement im Cartesischen System
Für die vermöge Wärmeleitung durch ein Volumenelement d 3 V = dx · dy · dz transportierte
Enthalpie folgt über eine Taylor-Entwicklung bezüglich der x-Komponente d 2 ˙ Hx (siehe
Abb. 2.3):
d 2 ˙ Hx = ˙qx · dy · dz,
d 2 �
Hx+dx
˙ = ˙qx +
∂ ˙qx
∂x dx
�
dy · dz.
Werden dem Volumenelement zugeführte Enthalpieströme positiv gezählt, so resultiert nach
Ergänzung der y- und z-Komponenten und Division durch dV die Bilanzgleichung:
∂ ˙qx
−
∂x
− ∂ ˙qy
∂y
− ∂ ˙qz
∂z
+ ˙w = ϱ cp
∂T
∂t ,
bzw. nach Einfügung des Wärmetransportgesetzes nach Fourier:
�
∂
λ
∂x
∂T
�
+
∂x
∂
�
λ
∂y
∂T
�
+
∂y
∂
�
λ
∂z
∂T
�
+ ˙w = ϱ cp
∂z
�
�
∂T
. (2.7)
∂t

2.3. ZEITLICHE UND ÖRTLICHE RANDBEDINGUNGEN 9
Dies ist bezüglich isotroper Medien die allgemeinste Form der Fourierschen Differentialgleichung.
Setzt man für λ ferner Unabhängigkeit vom Ort (Homogenität) und von der
Temperatur voraus λ = const. �= λ (x, y, z, T), so folgt die in den nächsten Kapiteln ausschließlich
verwendete vereinfachte Form (in Cartesischen Koordinaten):
∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 + ∂2T ˙w
+
∂z2 λ
1 ∂T
= . (2.8)
a ∂t
Als zusammengesetzte Stoffgröße erscheint hier beim Zeitterm die Temperaturleitfähigkeit
a ≡ λ
, (2.9)
ϱ cp
als eine Diffusionskonstante für Temperaturstörungen in einem Medium ([a] = m 2 /s).
Im zylindrischen Koordinatensystem gilt (spezialisiert auf Rotationssymmetrie: ∂T/∂ϕ = 0)
die analoge Differentialgleichung:
∂ 2T 1 ∂T
+
∂r2 r
∂r + ∂ 2T ˙w
+
∂z2 λ
1 ∂T
= , (2.10)
a ∂t
und im sphärischen Koordinatensystem (spezialisiert auf Kugelsymmetrie: ∂T/∂ϕ = 0;
∂T/∂ψ = 0) entsprechend:
∂ 2T 2 ∂T ˙w 1 ∂T
+ + = (2.11)
∂r2 r ∂r λ a ∂t
Häufig darf man voraussetzen, dass eine untersuchte Platte näherungsweise ” unendlich ausgedehnt“
ist, so dass nur Wärmeleitung in einer Richung berücksichtigt werden muss und
ebenso beim Zylinder, dass dieser unendlich lang ist, also kein Wärmetransport in z-Richtung
erfolgt.
2.3 Zeitliche und örtliche Randbedingungen
Bei den instationären Anfangswertproblemen der Wärmeübertragung ist neben den örtlichen
Randbedingungen eine Anfangsbedingung zur Zeit t = 0 erforderlich, und zwar muss das örtliche
Temperaturfeld T (x, y, z, t = 0) = T0(x, y, z) vorgegeben sein. Im eindimensionalen Fall
demnach T0(x) bzw. T0(r). Die meisten Standardlösungen der instationären Fouriergleichung
setzen überdies T0(x) = Tc = const. voraus.
Bevor wir uns den örtlichen Randbedingungen zuwenden, ist ein Vorgriff auf das Hauptkapitel
” Konvektion“ erforderlich, in dem untersucht wird, welcher Wärmeübergang sich einstellt
zwischen einem Festkörper und einem angrenzenden Fluid (Flüssigkeit oder Gas), welches
den Körper umströmt bzw. (im Fall eines Rohres) durchströmt. Newton hatte 1701 für den
fluidseitigen Wärmetransport von der Wand an das strömende Fluid den Ansatz
˙Q = α A (TW − T∞) (2.12)

10 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER WÄRMELEITUNG
vorgeschlagen, worin neben der Oberfläche A des Körpers, den Wand- bzw. Fluidtemperaturen
TW bzw. T∞ ein Wärmeübergangskoeffizient α eingefügt wurde, der die Einheit
[α] = W/(m 2 K) haben muss. Der Wärmeübergangskoeffizient ist dabei kein Stoffwert, sondern
hängt wesentlich von der Form des umströmten Körpers, sowie den hydrodynamischen
und thermischen Bedingungen in dessen Umgebung ab; die Kapitel zur Konvektion sind
fast ausschließlich der Ermittlung dieses Koeffizienten bei unterschiedlichen Geometrien und
Strömungsbedingungen gewidmet. Bei Betrachtung ähnlicher Transportansätze zeigt sich das
Grundprinzip:
und noch allgemeiner:
” Strom“ = ” Leitfähigkeit“ × ” Potentialdifferenz“
” Wirkung“ = ” Kopplungselement“ × ” Ursache“
Speziell hatten wir eben angeführt: ˙ Q = (α · A) × ∆T (Newton) und erinnern hierzu eine
Analogie aus dem Physikunterricht: I = (1/Rel) × ∆U (Ohm). Man erkennt, dass sich das sehr
anschauliche Widerstandskonzept der Elektrotechnik auf den thermischen Fall übertragen
lässt, wobei für den Wärmeübergangswiderstand zu definieren wäre: Rα = 1/(αA).
Wir fassen zusammen:
• der Newtonsche Ansatz, Glchg. (2.12) bzw. für die Wärmestromdichte
˙q = α (TW − T∞) , (2.13)
beschreibt den Wärmeübergang von einer überströmten Wand mit der Temperatur TW
an das umgebende Fluid mit der Temperatur T∞.
• der Wärmeübergangskoeffizient α ist weder ein Stoffwert des Festkörpers noch des
Fluids, sondern abhängig von der Geometrie sowie den Geschwindigkeits- und Temperaturverteilungen
im Fluid (!).
• wir beschränken uns (vorerst) auf die Wärmeleitung im Festkörper, betrachten dabei
den Wärmeübergangskoeffizient als gegebene Größe und leiten daraus örtliche Randbedingungen
für die Temperaturverteilung im Festkörper ab.
Dabei lassen sich drei Arten der örtlichen Randbedingungen unterscheiden:
Randbedingung 1. Art (Dirichletsche R.B.)
Die Randbedingung der ersten Art macht eine explizite Aussage über den zeitlichen Verlauf
der Wandtemperatur (z.B. bei x = 0).

2.3. ZEITLICHE UND ÖRTLICHE RANDBEDINGUNGEN 11
������������
��� ������������
������������
�
Abbildung 2.4: Randbedingung 1. Art, speziell für TW = const.
allgemein : TW = T (0, t) = f(t);
speziell : TW = const.
Realisieren lässt sich diese Bedingung durch extrem hohen Wärmeübergang, α → ∞ und
somit TW = T∞. Ein – wg. der Cholesterinbelastung hoffentlich nicht alltägliches – Beispiel:
das heiße Frühstücksei wird unter einem Kaltwasserstrahl abgeschreckt.
Randbedingung 2. Art (Neumansche R.B.)
ε
ε
λ � ���
������������
������������
Abbildung 2.5: Randbedingung 2.Art, speziell für ˙qW = const.
Dieser Typ Randbedingung bedingt eine Aussage über den zeitlichen Verlauf des Wandwärmeflusses,
(z.B. bei x=0).
allgemein : ˙qW = ˙q(0, t) =
�
g(t);
speziell : ˙qW = −λ = const.
� ∂T
∂x
W
Diese Randbedingung lässt sich durch äußere Wärmequellen mit vorgegebener Leistung, z.B.
Heizkissen, Elektrogrill, Nuklear-Brennelement realisieren.
Im Spezialfall der adiabaten Wand, ˙qW = 0, verlaufen die Isothermen parallel zur Wandnormalen.
Mathematisch das Gleiche gilt für den physikalisch ganz anders gearteten Fall der
Symmetrie.

12 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER WÄRMELEITUNG
Randbedingung 3.Art
����
� ∞
� ���� � ����
���������
ε �
λ/α
���
����������
λ� �������������
∞ ������� �
Abbildung 2.6: Randbedingung der 3. Art, speziell für x = 0 mit Tangentenkonstruktion über
Richtpunktabstand sR = λ/α.
Diese Randbedingung verknüpft den wandnächsten Wärmefluss im Fluid (Index F) mit jenem
an der Innenseite des Körperrandes (Index K). Falls ein Koordinatensystem und eine
Vorzeichenkonvention wie in Abb. 2.6 gewählt wird, gilt nach Newton auf der linken Seite der
Grenzfläche
˙qW,F = α (TW − T∞) = − ˙qx(x = −0).
Im Körper gilt nach Fourier
� �
∂T
˙qW,K = −λ
∂x W
= ˙qx(x = +0).
An der Grenzfläche wird i.a. keine Wärme entzogen oder freigesetzt 2 , somit folgt aus einer
Kontrollraumbilanz über die Grenzfläche bei Beachtung der Vorzeichenkonventionen
˙qx(x = +0) − ˙qx(x = −0) = 0,
und somit
� �
∂T
α(TW − T∞) = λ .
∂x W
(2.14)
In Abb. 2.6 wird gezeigt, wie diese Randbedingung graphisch zu interpretieren ist.
allgemein: α(t),T∞(t), T(x,t) zeitveränderlich.
speziell: α, T∞, T(x) konstant.
1. Grenzfall: λ endlich, ˙qW,K endlich, α → ∞:
=⇒ TW → T∞: entsprechend der Randbedingung 1. Art
2 wichtige Ausnahme wären Schmelzen bzw. Erstarren, Kondensation, chemische Oberflächenreaktionen, . . .

2.3. ZEITLICHE UND ÖRTLICHE RANDBEDINGUNGEN 13
2. Grenzfall: λ endlich, TW -T∞ endlich, α → 0:
� �
∂T
=⇒
, ε, ˙q → 0, Adiabasie (oder Symmetrie).
∂x
W
Zusammenfassung
• Das Fouriersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Temperaturgradient
und Wärmestromdichte.
• Die Fouriersche Differenzialgleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Temperaturfeldes
T (�x, t) aufgrund von Wärmeleitung in Abhängigkeit von der räumlichen
Verteilung von Temperatur und Wärmequellendichte. Die Fouriersche DGL kann mit
Hilfe des Fourierschen Gesetzes aus einer Energiebilanz am infinitesimalen Kontrollvolumen
hergeleitet werden.
• Für die Fouriersche DGL kennt man unterschiedliche Randbedingungen:
- Temperatur vorgegeben (RB 1. Art).
- Wärmestromdichte vorgegeben (RB 2. Art).
- Wärmefluss im Körper ist (an der Wand) gleich dem Wärmeübergang an die Umgebung
(RB 3. Art).

14 KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER WÄRMELEITUNG
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ aufgrund der hohen Beweglichkeit des Elektronengases sind elektrisch leitende Materialien
im Allgemeinen auch sehr gute Wärmeleiter.
✷ in kristallinen Festkörpern sind die Atome im Kristallgitter fixiert, die mikroskopische
Bewegung der Atome und damit auch die Konduktion ist deshalb vernachlässigbar klein.
✷ wir betrachten einen umströmten Körper, z.B. eine durch einen Ventilator gekühlte
CPU. Der Wärmeübergangskoeffizient α beschreibt den Transport von Wärme von der
CPU an die Kühlluft. Er hängt nur von den Stoffwerten des Fluids und der Temperaturverteilung
ab.
✷ wenn man die Wärmebilanz eines Einfamilienhauses aufstellt, so ist der Kühlschrank in
der Küche insgesamt als eine Wärmesenke (= negative Wärmequelle) zu betrachten.
✷ die Wärmequellendichte, wie sie in der Fourierschen Differenzialgleichung auftritt, ergibt,
wenn multipliziert mit dem Volumen eines betrachteten Volumenelementes, den
Enthalpiestrom, der in diesem Volumenelement durch interne Prozesse freigesetzt wird.
Was ändert sich für die Wärmeleitung, wenn einerseits ein homogen-isotroper Festkörper
(z.B. Glas), andererseits ein homogen-anisotroper Festkörper (z.B. Kristall) betrachtet wird?
Markieren Sie korrekte Aussagen!
✷ Im Gegensatz zum homogen-isotropen Festkörper hängt die Wärmeleitfähigkeit im
homogen-anisotropen Festkörper von der Ortskoordinate ab.
✷ Im homogen-anisotropen Festkörper muss der Wärmeleitfähigkeit ein vektorieller Wert
zugewiesen werden.
✷ Im homogen-anisotropen Festkörper ist die Wärmeleitfähigkeit richtungsabhängig.
✷ Nichts. In beiden Fällen ist das Fouriersche Gesetz in genau gleicher Form anzuwenden.
Zu den Randbedingungen (RB)
✷ die RB 3. Art geht mit anwachsendem Wärmeübergangskoeffizienten α in die RB 1. Art
über.
✷ die RB 3. Art nähert sich mit anwachsendem Wärmeübergangskoeffizienten dem Grenzfall
der Adiabasie, da die Temperaturdifferenz von der Oberfläche des Körpers zum Fluid
gegen Null geht und somit keine Wärme mehr über die Grenzfläche übergeht.
✷ der Wärmeübergangskoeffizient, der ja kein Stoffwert und somit auch keine Konstante
ist, wird sich bei der RB 2. Art so einstellen, dass der übertragene Wärmestrom gleich
der vorgegebenen Leistung ist.

Kapitel 3
Stationäre Wärmeleitung
3.1 Wärmedurchgang und Péclet-Gleichungen
Selbst bei praxisnahen Fragestellungen kann die vorgegebene Geometrie oft näherungsweise
als eine ebene, ” unendlich ausgedehnte“ Platte betrachtet werden oder weist eine zylindrische
oder sphärische Symmetrie auf. In diesem Fall ist eine eindimensionale Formulierung
angebracht. Falls zeitliche Änderungen nicht zu berücksichtigen sind, vereinfacht sich die
Fouriersche Differentialgleichung (2.8) zur Laplaceschen Differentialgleichung:
d 2T n dT
+
dr2 r dr
= 0, (3.1)
mit n=0 für die Platte (ebene Geometrie), n=1 für den Zylinder(mantel) und n=2 für die
Kugel(schale).
Ausgehend von (3.1) wird in diesem Abschnitt der Wärmedurchgang durch eine oder mehrere
Schichten unterschiedlichen Materials und über Phasengrenzen hinweg besprochen. Bezugnehmend
auf die schon angesprochenen Analogien zur Elektrotechnik leiten wir die sog.
Péclet-Gleichungen für ebene, zylindrische und sphärische Geometrien her. Die Anwendungen
der Péclet-Gleichungen sind vielfältig – Gebäudeisolation, Kühlung von elektronischen
Bauteilen oder Kernbrennelementen, etc.
15

16 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
� ∞�
����
� �
λ
���� ��� � �����
� ���
Abbildung 3.1: Ebene Platte mit beidseitigem Wärmeübergang
3.1.1 Péclet-Gleichung für die Platte
Für die Platte vereinfacht sich (3.1) zu
was sich sofort integrieren läßt:
d 2T = 0,
dx2 � ∞�
dT
dx = C1, ( ˙qx = const.)
T (x) = C1x + C2, (linearer Temperaturverlauf)
Die Integrationskonstanten C1, C2 werden über die inneren Randbedingungen (Abb.3.1) bestimmt:
T (x = 0) = TW 1 ⇒ C2 = TW 1,
T (x = s) = TW 2 ⇒ C1 = TW 2 − TW 1
,
s
und somit:
T (x) = TW 1 + (TW 2 − TW 1) x
.
s
(3.2)
Für Wärmestrom und -fluss ergibt sich
˙qx = −λ dT
dx
=
λ
s (TW 1 − TW 2),
˙Q = A ˙qx = A λ
s (TW 1 − TW 2).
Die Wandtemperaturen TW 1, TW 2 sind nicht unmittelbar bekannt, die obige Lösung muss
deshalb auf die äußeren (bekannten) Randbedingungen T∞1, T∞2 ” abgestützt“ werden. Dabei
macht man sich zunutze, dass aufgrund der Energieerhaltung im stationären Zustand
der Wärmestrom ˙ Q in der Wand gleich den über die Phasengrenzen zu- und abströmenden
Wärmeströmen sein muss. Damit gilt nach Newton:
˙Q = α1A (T∞1 − TW 1) = α2A (TW 2 − T∞2) .

3.1. WÄRMEDURCHGANG UND PÉCLET-GLEICHUNGEN 17
Die unbekannten Wandtemperaturen werden eliminiert und Analogien zur Elektrotechnik
deutlich gemacht:
˙Q =
T∞1 − T∞2
1 s 1
+ +
α1A λA α2A
=
T∞1 − T∞2
Rα1 + Rλ + Rα2
= T∞1 − T∞2
. (3.3)
Rges
Diese nach Péclet, einem Zeitgenossen Fouriers, benannte Formel verdeutlicht die offenkundige
Tatsache, dass eine ” Reihenschaltung“ der thermischen Widerstände Rαi = 1/αiA (Übergang)
und Rλ = s/λ A (Leitung) vorliegt.
Häufig, insbesondere bei Gebäudehüllen, sind mehrere Materialschichten zu berücksichtigen,
was in obiger Formel durch Austausch des zentralen Nennerterms mit
erreicht wird.
�
Rλj = � � s �
λ j
A
Praktiker auf dem Gebiet der Wärmedämmung von Gebäuden verwenden üblicherweise den
Begriff ” k-Wert“, der folgendermaßen definiert ist (Indizes i: innen, a: außen):
˙Q = kA (T∞1 − T∞2)
k =
1
1
+ � � �
s
λ
αi
j
+ 1
αa
; [k] = W
m 2 K
Er wird auch als Wärmedurchgangskoeffizient bezeichnet, so wie auch die vorgeführte Reihenschaltung
von Wärmeübergangs- und Wärmeleitmechanismen als Wärmedurchgang definiert
ist. (Beim Plattenmodell ist neben ˙ Q auch der Wärmefluss konstant, d.h. A läßt sich ” vorziehen“).
Normwerte für die Wärmebedarfsberechnung von Gebäuden:
Ti = 20 ◦ C ; Ta = -15 ◦ C; αi= 6 - 8 W/(m 2 K) ; αa = 15 W/(m 2 K)
Vollwärmeschutz verlangt: k = 0,4 W/(m 2 K)
Zur Beachtung:
(3.4)
• Beim hier diskutierten Wärmedurchgang durch eine Platte mit beidseitigem Wärmeübergang
liegt eine Reihenschaltung von thermischen Widerständen vor. Es sind durchaus
Konfigurationen vorstellbar, die als Parallelschaltung von Wärmeleit- oder Wärmeübergangswiderständen
interpretiert und entsprechend behandelt werden können. Beispiele
wie z.B. die Überlagerung von Wärmeleitung und -Strahlung werden im Folgenden sowie
in den Übungsaufgaben diskutiert.

18 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
���
��� � ��� ���
�
α�
� �
��
λ
Abbildung 3.2: Zylinder- bzw. Kugelschale mit beidseitigem Wärmeübergang
• Während z.B. bei schlecht wärmeleitenden Baustoffen kein Kontaktwiderstand zwischen
den einzelnen Schichten infolge von (dünnen) Luftspalten zu berücksichtigen ist, müssen
z.B. bei Kernbrennelementen die Spalte zwischen Zirkalloy-Hülle und Uranzylinder mit
dem sehr gut leitenden Gas Helium verpresst werden, um den nicht mehr zu vernachlässigenden
Kontaktwiderstand möglichst klein zu halten. Im Labor wird oftmals Wärmeleitpaste
verwendet um den Kontaktwiderstand zwischen unterschiedlichen Bauelementen
zu verringern.
3.1.2 Péclet-Gleichung für den Zylinder
Die Laplace-Gleichung (3.1) läßt sich für eine zylindrische Geometrie (n = 1) wie folgt schreiben:
�
1 d
r
r dr
dT
�
= 0.
dr
So sieht man, dass für eine Lösung T (r) gelten muss: dT/dr ∼ 1/r und damit:
T (r) = C1 ln(r) + C2.
Der Wärmefluss ˙qr nimmt mit 1/r ab bzw. zu, die Temperatur verläuft logarithmisch! Die
Integrationskonstanten C1, C2 werden wieder über die inneren Randbedingungen bestimmt,
T (r = r1) = TW 1,
T (r = r2) = TW 2.
Das Ergebnis für den Verlauf von Temperatur und Wärmefluss bzw. -strom lautet:
T (r) = TW 1 + (TW 2 − TW 1)
α�
�
ln (r/r1)
ln (r2/r1) ,
�����

3.1. WÄRMEDURCHGANG UND PÉCLET-GLEICHUNGEN 19
� �
dT
˙q(r) = −λ
dr r
= λ TW 1 − TW 2
r ln(r2/r1) ,
˙Q = ˙q(r)2πrl = 2πlλ
ln(r2/r1) (TW 1 − TW 2) .
Abstützung auf die äußeren Randbedingungen:
Während T∞ wie bei der ebenen Platte als bekannte Freistromtemperatur vorgegeben werden
kann, ist bei Rohrströmungen die zwischen Achsentemperatur T0 und der Wandtemperatur
TW 1 gelegene messbare (1) ” Mischtemperatur“ TM in den Newtonschen Wärmeübergangsansatz
einzusetzen:
Rα1 =
˙Q = α1 2π r1 l (TM − TW 1) = α2 2π r2 l(TW 2 − T∞).
˙Q =
1
α1 r1
2πl (TM − T∞)
+ 1
λ ln
� r2
1
α1r12πl ; Rλ = 1
2πlλ ln
r1
� r2
�
+ 1
α2 r2
r1
�
; Rα2 =
. (3.5)
1
α2r22πl .
Bei mehreren Schichten ist der zentrale Nennerterm wie bei der Platte durch eine Summe zu
ersetzen.
Alternative Herleitung aus einer Wärmestrombilanz:
Die Péclet-Gleichungen für die Platte und die Zylinderschale haben wir aus der Fourierschen
Differentialgleichung bestimmt. Alternativ kann der thermische Widerstand z.B. der Zylinderschale
direkt aus einer Wärmestrombilanz berechnet werden. Im stationären Zustand und
bei Abwesenheit von Wärmequellen in der Zylinderschale folgt aus der Energieerhaltung
Dabei gilt nach Fourier
˙Q(r1) = ˙ Q(r) = ˙ Q(r2), r1 ≤ r ≤ r2.
˙Q(r) = A ˙q = −2πr l λ dT
dr .
Integration dieser Beziehung von r1 nach r2 liefert
� r2
r1
˙Q
r
� TW 2
dr = −2πlλ
TW 1
Der Wärmestrom ˙ Q ist konstant und kann vor das Integral gezogen werden, man erhält
dT
˙Q = 2πlλ
ln(r2/r1) (TW 1 − TW 2).
Das Inverse des Bruches auf der rechten Seite ist gerade der thermische Widerstand Rλ der
Zylinderschale, q.e.d.. Leider ist die direkte Anwendung der Energiebilanzen nicht immer
möglich 1 bzw. nicht immer einfacher als die (analytische oder numerische) Lösung der Fourier’schen
Differentialgleichung.
1 z.B. wenn innere Wärmequellen vorliegen.

20 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
3.1.3 Péclet-Gleichung für die Kugelschale
Analog zur vorherigen Ableitung findet man für die Kugelschale, dass Temperatur und Wärmestromdichte
mit 1/r bzw. 1/r 2 abfallen, während der Wärmestrom wiederum vom Radius
unabhängig ist (Energieerhaltung im stationären Fall):
Mit den äußeren Randbedingungen:
T (r) = C1
+ C2,
r
⎛
1
⎜
T (r) = TW 1 + (TW 2 − TW 1) ⎜ r
⎝ 1
� �
dT
˙q(r) = −λ =
dr r
λ
r2 r2
− 1
r1
− 1
r1
TW 1 − TW 2
1
r1
− 1
r2
˙Q = ˙q(r)4πr 2 = 4πλ (TW 1 − TW 2)
1
−
r1
1
.
r2
˙Q =
1
α1r 2 1
4π (T∞1 − T∞2)
+ 1
λ
wobei T∞1 die Temperatur des Fluids im Kugelbehälter ist.
3.1.4 Dimensionslose Variablen
,
⎞
⎟
⎠ ,
�
1
−
r1
1
�
+
r2
1
α2r2 , (3.6)
2
Die Einführung sog. entdimensionierter oder dimensionsloser Variablen gestattet häufig eine
besonders einfache und kompakte Darstellung. Mit den Definitionen
θ ≡ T (x) − TW
ξ ≡
1
,
TW 2 − TW 1
x
s ,
schreibt sich das oben berechnete Temperaturprofil T (x) in einer Platte der Dicke s wie folgt:
θ(ξ) = ξ.
Ähnlich findet man mit ξ ≡ r/r1 und ξ2 ≡ r2/r1 für den Zylinder
während für die Kugel
θ(ξ) = ln(ξ)
ln(ξ2) ,
θ(ξ) =
1
ξ
1
ξ2
Im Folgenden werden wir die dimensionslose Darstellung von Differentialgleichungen und ihrer
Lösungen sowie dimensionslose Kennzahlen noch ausführlich diskutieren.
− 1
− 1.

3.1. WÄRMEDURCHGANG UND PÉCLET-GLEICHUNGEN 21
3.1.5 Sonderfälle
Extrem dicke Körper
Für die drei eben abgehandelten einfachen Körper Platte, Zylinder und Kugel soll der Grenzfall
extrem großer Dicke untersucht werden, und zwar unter Vernachlässigung der Übergangswiderstände
α1 → ∞, α2 → ∞ und damit TW 2 → T∞2 sowie TW 1 → T∞1 bzw TW 1 → TM.
• Platte:
˙Q = λA
s (T∞1 − T∞2) .
für s → ∞ geht ˙ Q → 0, Rλ → ∞.
• Hohlzylinder:
˙Q = 2πlλ
ln (r2/r1) (TM − T∞2)
für r2 → ∞ geht ˙ Q → 0, Rλ → ∞. Da ln(x) schwächer als jede andere Funktion gegen
Unendlich geht, nimmt ˙ Q allerdings nur sehr langsam auf 0 ab.
• Hohlkugel:
˙Q
4πλ
=
1/r1 − 1/r2
(T∞1 − T∞2) .
für r2 → ∞ folgt: ˙ Q = 4πλr1 (TW 1 − TW 2). Demnach wird in den dreidimensional unendlichen
Raum ein endlicher Wärmestrom ausgespeichert! Dies gilt auch für ellipsoidoder
scheibenförmige Hohlräume.
Konsequenz: Ein Lebewesen wie die ” Made im Speck“ muss auch im dicksten Schinken nicht
an Überhitzung eingehen, sofern es seine biologisch bedingte Wärmeproduktion ˙ Q so begrenzt,
dass mit TW 1 = TMade und TW 2 = TSchinken gilt:
Kritischer Radius
TMade = TSchinken +
˙Q
4πλr1
< 37 ◦ C.
Bei oberflächlicher Betrachtung würde man erwarten, dass sich der Wärmedurchgang mit
zunehmender Dicke des Körpers in jedem Fall verringert – mehr ” Isolationsmaterial“ sollte
doch besser isolieren !? – dies trifft jedoch nur für die Platte zu, nicht aber für Hohlzylinder
und Hohlkugeln, wie sich zeigen läßt.
Konstant bleiben sollen: α1, α2, λ, r1, l und ∆ T; zu variieren ist der Außenradius r2. Vereinfachend,
jedoch nicht einschränkend kann α1 → ∞ angenommen werden, was bei durchströmten,
wärmegedämmten Rohren auch meist der Fall ist.
Für den langen Zylinder folgt dann:
˙Q = 2πl (TM − T∞)
1
λ ln
� r2
r1
�
+ 1
,
α2 r2

22 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
Mit der Einführung dimensionsloser Variablen:
vereinfacht sich diese Beziehung zu
ϱ = ξ2 = r2
, (Radius)
r1
Bi = α2r1
, (Biot-Zahl)
λ
Φ =
˙Q
, (Wärmestrom)
α22πlr1 (TW 1 − T∞2)
Φ =
1
Bi ln(ϱ) + 1
ϱ
. (3.7)
Die Biot-Zahl Bi [-], benannt nach Jean-Baptiste Biot, einem Zeitgenossen Fouriers, ist die erste
einer Reihe von dimensionslosen Kennzahlen, welche in dieser Vorlesung diskutiert werden.
Kennzahlen, gebildet als eine dimensionsfreie Kombination von charakteristischen Einflußgrößen
oder Stoffwerten, sind von großem Nutzen um z.B. Wärmetransport- und Strömungsvorgänge
qualitativ und quantitativ zu charakterisieren.
Viele Kennzahlen lassen sich anschaulich als Verhältnis von zwei physikalischen Effekten interpretieren.
So ist Biot-Zahl als Verhältnis von Wärmeleitwiderstand (Wärmeleitung durch
einen Körper) zum Wärmeübergangswiderstand (Wärmetransport von der Oberfläche des
Körpers zum umgebenden Fluid) zu verstehen. Wie wir noch sehen werden, spielt die Biot-
Zahl nicht nur beim Wärmedurchgang, sondern auch bei Problemen der instationären Wärmeleitung
oder der Wärmeleitung mit Quellen eine wichtige Rolle.
Ein Extremum des dimensionslosen Wärmestromes Φ findet man auf bekannte Weise durch
Nullsetzen der ersten Ableitung:
dΦ
dρ =
dΦ
dρ
1 − Bi ρ
2 ,
(1 + Bi ρ ln ρ)
(3.8)
=
1
0 ⇔ ρ = .
Bi
(3.9)
Ein Extremum findet sich also bei r2
=
r1
1
Bi oder r2 = λ
. Fur die zweite Ableitung am
α2
Extremum findet man
d2Φ dρ2 �
�
�
Bi
� = −�
�
ρ = 1/ Bi 1 + ln 1
�2 < 0,
Bi
es liegt also in der Tat ein Maximum des Wärmestromes vor! Dieses liegt jedoch nur dann im
vorgegebenen Hohlzylinderbereich r2/r1 ≥ 1, wenn Bi = r1/r2 ≤ 1 gilt. Abbildung 3.3 zeigt
diese Abhängigkeit von Bi = α2r1/λ. Folglich kann ein Maximum des Wärmestroms auftreten,
wenn der Innenradius r1 und der äußere Wärmeübergangskoeffizient α2 klein, die Wärmeleitfähigkeit
λ hingegen eher hoch ist. Diese Zusammenhänge lässen sich einfach verstehen:
beim Zylinder (wie auch bei der Kugel, s.u.) erhöht sich mit dem Radius r2 zwar die hemmende
Wirkung des Isolationsmantels, jedoch nimmt auch die für den äusseren Wärmeübergang

3.2. ZWEIDIMENSIONALE WÄRMELEITUNG (FORMFAKTOREN) 23
Φ
�����
�����
�����
�����
�����������������������
Abbildung 3.3: Zum kritischen Radius: Wärmedurchgangscharakteristik des Hohlzylinders,
d.h. entdimensionierte Wärmeverlustrate als Funktion des Radienverhältnisses.
� � � �
zur Verfügung stehende Fläche 2π r2 l zu und damit der Wärmeübergangswiderstand Rα2
ab. Je nach Biot-Zahl ergibt sich damit eine Vergrößerung oder Verringerung des gesamten
thermischen Widerstands.
Beispiel: Elektrokabel, Drahtdurchmesser: r = 2 mm, PVC Isolation mit λ = 0,15 W/m-K,
Wärmeübergangskoeffizient α2 = 15 W/m 2 - K, es folgt: Bi = 0,2. Maximaler Wärmestrom
tritt auf bei r2 = 10 mm ! Konsequenz: selbst ein dicker Isoliermantel begünstigt die Abfuhr
der Jouleschen Wärme.
Für die Hohlkugel liefert die analoge Ableitung für das Extremum
r2
r1
= 2
Bi oder r2 = 2λ
.
3.2 Zweidimensionale Wärmeleitung (Formfaktoren)
Im Abschnitt 2.2 wurde die Fouriersche Differenzialgleichung bereits für isotrope, homogene
Körper mit temperaturunabhängiger Wärmeleitfähigkeit vereinfacht. Schließt man ferner innere
Wärmequellen aus und betrachtet nur stationäre Zustände, so erhält man als Spezialfall
die Potenzialgleichung“ (Laplace-Gleichung), welche in Cartesischen Koordinaten für zwei
”
Dimensionen lautet:
∂2T ∂x2 + ∂2T = 0. (3.10)
∂y2 Die enge Beziehung dieser Gleichung zur Funktionentheorie einer komplexen Variablen ermöglicht
analytische Lösungen für eine Reihe praktischer Probleme aus den Bereichen Wärmeleitung
und Elektrotechnik, welche mit Hilfe sog. Formfaktoren formuliert werden.
Betrachtet man einen Körper der Dicke l, dessen Querschnitt einen beliebig geformten, ebenen,
einfach zusammenhängenden Bereich bildet (siehe Abbildungen 3.4-3.8), dessen Rand auf
α2
�����
����
�
�
ρ

24 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
zwei getrennten Abschnitten die Temperaturen T1 und T2 aufgeprägt erhält, ansonsten aber
adiabat ist, so gilt für den Wärmestrom:
˙Q = Leitfähigkeit · Temperaturdifferenz = λ S (T1 − T2) . (3.11)
Hierbei wurde die Leitfähigkeit in die stoffspezifische Wärmeleitfähigkeit λ und den nur von
der Geometrie abhängigen Formkoeffizienten oder Formfaktor S (shape factor) aufgeteilt.
In diesem Sinne lassen sich die drei Péclet-Gleichungen für Platte, Zylinder und Kugel aus
Abschnitt 3.1 unter das Konzept ” Formkoeffizienten“ einordnen.
S Platte = A
s ,
S Zylinder =
S Kugel =
2π l
ln(r2/r1) ,
4π
1
−
r1
1
.
r2
Diese Beispiele sind mathematisch eindimensional, physikalisch ein-, zwei- und dreidimensional.
Für den Zylinder kann man wie für alle prismatischen Körper ( ” Profilstangen“) einen
bezogenen Formkoeffizienten
SL ≡ S
l
definieren, so dass gilt:
˙Q = λ l SL ∆T.
Abbildungen 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 zeigen (längenbezogene) Formkoeffizienten Sl für komplizierte
prismatische Körper (zweidimensional) mit zwei isothermen Berandungen, Abbildung 3.8
entsprechend S für dreidimensionale Körper mit Temperaturen T1 auf Kreisfläche und T2 im
Unendlichen. Weitere Formfaktoren finden sich in den Arbeitsunterlagen zur Vorlesung und
der einschlägigen Fachliteratur.
Interessant ist der Vergleich der S-Werte für eine isotherme halbkugelförmige (napfförmige)
Vertiefung im halbunendlich ausgedehnten Raum (Erdboden) mit dem entsprechenden Wert
für die Kreisscheibe auf dem Halbraum:
Aus obiger Beziehung folgt:
Abbildung 3.8 entnimmt man:
S Halbkugel = 2π r,
S Kreisscheibe = 4 r1.
Demnach erhöht eine isotherme halbkugelförmige Vertiefung den in den Halbraum eingetragenen
Wärmestrom um 57% gegenüber einer isothermen Kreisscheibe.

3.2. ZWEIDIMENSIONALE WÄRMELEITUNG (FORMFAKTOREN) 25
λ
���
���
� �
Abbildung 3.4: Schacht (innen und
außen quadratisch)
���
λ
���
� �
Abbildung 3.5: Schacht (innen
kreisförmig)
a
b > 1.4 : SL ≈
a
b < 1.4 : SL ≈
SL ≈
2π
0.93 ln(a/b) − 0.0502
2π
0.785 ln(a/b)
2π
ln(1.08 a/d).

26 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
λ
���
��� � �
Abbildung 3.6: Rohr im halbunendlichen
Bereich
λ
� �
��� ���
Abbildung 3.7: zwei Rohre im halbunendlichen
Bereich
���
���
���
�
∞
Abbildung 3.8: Scheibe auf halbunendlichem
Körper.
��
SL =
SL ≈
SL =
ln
⎛
⎝ a
r +
2π
ln(2a/r)
2π
�
a 2
⎞,
− 1⎠
r2 für a
r
> 5.
2π
�
ln u + √ u2 �,
− 1
mit u ≡ a2 − r2 1 − r2 2
.
2r1r2
S = 4r. (dreidimensional!)

3.3. WÄRMELEITUNG MIT WÄRMEQUELLEN 27
3.3 Wärmeleitung mit Wärmequellen
Im Abschnitt 3 wurde die Fouriersche bzw. Laplacesche Differenzialgleichung (3.1) für die drei
einfachen Geometrien Platte, Zylinder, Kugel gelöst, was der physikalischen Gegebenheit entspricht,
dass diese Körper von einem zeitlich und örtlich konstanten Wärmestrom durchflutet
werden, dessen Quellen und Senken außerhalb der betrachteten Bereiche liegen.
Wir lassen jetzt in den drei Grundgebieten innere Wärmequellen zu und bestimmen die resultierenden
stationären Temperaturfelder über die nach Poisson benannte Differenzialgleichung.
d 2T n dT
+
dr2 r dr
+ ˙w
λ
= 0, (3.12)
mit n = 0: Platte, n = 1: Zylinder, n = 2: Kugel. Die Wärmequellendichte ˙w sei weder
temperatur- noch ortsabhängig.
Randbedingungen:
1. Symmetrie (bei der Platte auch Adiabasie) bei r = 0:
2. Randbedingung 3. Art bei r = R:
−λ dT
dr
dT
dr
�
�
�
� = 0.
r=0
�
�
�
� = α(TW − T∞).
r=R
In diesem besonders einfachen Fall werden Differenzialgleichung und Randbedingungen für
alle drei Geometrien durch eine parabolische Temperaturverteilung, d.h. durch ein Polynom
2. Grades erfüllt.
Mit dem Ansatz
� ∞
���
���
T (r) = a + br + cr 2
α
λ ��
���
Abbildung 3.9: Symmetrische Temperaturverteilung in den 3 einfachen Körpern bei konstanter
Wärmequellendichte
α

28 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
lautet somit die Differenzialgleichung:
2c + n
˙w
(b + 2c · r) + = 0.
r λ
Aus der Randbedingungen bei r = 0 folgt b = 0, damit lässt sich der Koeffizient c aus der
Differenzialgleichung bestimmen:
2c (1 + n) + ˙w
λ
˙w
= 0 ⇒ c = −
2λ(1 + n) .
Wegen der Randbedingungen bei r = R folgt für den Koeffizienten a:
−2c λ R = −α (a + c R 2 − T∞) ⇒ a = −2c λ R
α − c R2 + T∞.
Ergebnis für die Temperatur im Körper (0 ≤ r ≤ R):
T (r) = T∞ +
˙wR 2
2λ(n + 1)
Für den Wärmefluss an der Außenwand gilt:
Mit den Definitionen
�
� �
dT
˙q(R) = −λ =
dr R
˙w R
ξ ≡ r
R ,
θ ≡
Bi ≡ αR
λ
1 + 2λ
αR −
T − T0
˙wR 2 /λ ,
n + 1 .
� � �
2 r
. (3.13)
R
lässt sich das Temperaturprofil kompakt in dimensionsfreier Form darstellen:
θ(ξ) =
Im Zentrum bzw. an der Oberfläche des Körpers gilt:
θ(0) =
�
1
1 +
2(n + 1)
2
�
− ξ2 , 0 ≤ ξ ≤ 1. (3.14)
Bi
�
1
1 +
2(n + 1)
2
�
Bi
und θ(1) =
1
2(n + 1)
Qualitativ sind die Temperaturverhältnisse für große bzw. kleine Werte der Biot-Zahl Bi in
in Bild 3.10 dargestellt.
2
Bi ,

3.3. WÄRMELEITUNG MIT WÄRMEQUELLEN 29
1+ 2
Bi
2
Bi
1
1
Bi > 1
Abbildung 3.10: Quasi 1-D Wärmeleitung mit konstanter Wärmequellendichte und Randbedingung
der 3. Art: Qualitative Darstellung der Temperaturverhältnisse für kleine und große
Biot-Zahlen.
Zusammenfassung
• Die Péclet-Gleichungen kombinieren elementare Lösungen für die stationäre Wärmeleitung
in einfachen, quasi-1D Geometrien ( ” Platte“, ” Zylinder“, ” Kugel“). So kann
der Wärmedurchgang (inkl. des zugehörigen Koeffizienten k) durch mehrere Schichten
unterschiedlichen Materials und über Phasengrenzen hinweg berechnet werden. Dies
entspricht einer Reihenschaltung von Wärmeleitwiderständen.
• Die Energieerhaltung - bereits bei der Herleitung der Fourierschen DGL benötigt -
findet häufig explizit Anwendung bei der Lösung von Wärmetransportproblemen (in
diesem Kapitel: Abstützen auf äussere Randbedingungen, alternative Herleitung der
Péclet-Gleichung).
• Dimensionslose (oder ” bezogene“) Größen erlauben oft eine besonders kompakte und
übersichtliche Darstellung von Ergebnissen.
• Die Biot-Zahl Bi ≡ αR/λ wurde als die erste einer Reihe von wichtigen Kennzahlen
(dimensionsfreie Kombinationen von Einflußgrößen) eingeführt.
• Formfaktoren erlauben die Berechnung von Wärmeströmen in einfachen Geometrien,
typischerweise sog. prismatische Körper (quasi-2D).
• Bei konstanter Wärmequellendichte und Randbedingungen der dritten Art ergibt sich
für Platte, Zylinder und Kugel jeweils ein parabolisches Temperaturprofil.

30 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ Die Temperaturleitfähigkeit a ist eine Art Diffusionskonstante für Störungen des Temperaturfeldes
✷ In einem homogen-isotropen Körper, dessen Geometrie im einfachsten Fall durch ein
cartesisches Koordinatensystem beschrieben wird, ist das Temperaturprofil zwischen
ebenen, parallelen Isothermenflächen durch einen exponentiellen Abfall gegeben.
✷ Weil die Mantelfläche einer dünnen Zylinderschale proportional zu ihrem Radius zunimmt,
muss die radiale Wärmestromdichte indirekt proportional zum Radius abnehmen,
so dass sich ein logarithmischer Temperaturverlauf ergibt.
✷ die Diskussion des kritischen Radius beim Zylinder hat gezeigt, dass mehr Isolationsmaterial
z.B. um ein Heizungsrohr nicht immer weniger Wärmeverluste bedeutet. Dies läßt
sich anschaulich wie folgt erklären: Vergrössert man die Dicke des Isolationsmantels, so
vergrößert man den Wärmeleitwiderstand, verringert aber den Wärmeübergangswiderstand,
da die für den Wärmeübergang zur Verfügung stehen Fläche ebenfalls zunimmt.
Da Wärmeleit- und Wärmeübergangswiderstand in Reihe geschaltet sind, ist eine Verringerung
des Gesamtwiderstandes möglich.
✷ der k-Wert ist gleich dem Inversen des soeben angesprochenen Gesamtwärmeleitwiderstandes.
✷ es sind auch Konfigurationen denkbar, die einer Parallelschaltung von Wärmeleitwiderständen
entsprechen.
✷ die Biot-Zahl Bi = α/λ ist das Verhältnis des Wärmeleit- zum Wärmeübergangswiderstand.
✷ Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Formfaktoren ist eine jeweils einheitliche Temperatur
auf den verschiedenen Berandungsflächen.
Wärmeleitung mit konstanter Wärmequellendichte:
Eine dünne ebene Platte (einseitig adiabat, Dicke R), ein langer Zylinder und eine Kugel
(jeweils Durchmesser R) aus dem selben Material sind vom selben Fluid mit konstanter Temperatur
T∞ über- bzw. umströmt. Die jeweiligen Wärmeübergangskoeffizienten α sind als
unendlich groß zu betrachten.
✷ Das Temperaturmaximum (bezüglich T∞) beträgt im Zylinder das Doppelte derjenigen
in der Kugel.
✷ Das Temperaturmaximum beträgt in der Kugel nur ein Drittel derjenigen in der Platte.

3.3. WÄRMELEITUNG MIT WÄRMEQUELLEN 31
✷ Das Temperaturmaximum bezüglich T∞ ist im Zylinder größer als in der Platte, da die
Mantelfläche einer koaxialen Zylinderschale innerhalb des betrachteten Zylinders nach
außen hin linear zunimmt, und somit die Wärme aus den äußeren Bereichen besser
abgeführt werden kann.

32 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG

Kapitel 4
Instationäre Wärmeleitung -
Methode der Blockkapazität
Die bisherige Behandlung von Wärmeleitungsproblemen erfolgte unter der Voraussetzung
dass diese zeitunabhängig ablaufen. Solche Situationen treten - wenigstens näherungsweise
- dann auf, wenn nach Einwirkung einer äußeren oder inneren thermischen Störung eines
Systems soviel Zeit verstrichen ist, so dass sich (zumindest lokal) ein thermodynamischer
Gleichgewichtszustand einstellen konnte (Realfall: wärmegedämmte Fernheizleitung; Trivialfall:
kalter Kaffee“). In diesem Abschnitt soll nun der nichtstationäre thermische Anlauf
”
oder Ausgleich, d.h. das zeitliche und örtliche Temperaturverhalten eines Körpers unmittelbar
nach erfolgter Störung der Rand- bzw. Anfangsbedingungen (Wärmeübergangssprung:
” Abschrecken“ oder Wärmequellenzuschaltung: Mikrowellenherd“) untersucht werden.
”
Grundsätzlich beschreibt die Fouriersche Differenzialgleichung (2.8) für das Temperaturfeld
T (�x, t) Probleme der instationären Wärmeleitung. Da die Bestimmung von Lösungen dieser
partiellen Differenzialgleichungen jedoch anspruchsvollere mathematische Methoden erfordert,
werden wir uns im Rahmen dieser Vorlesung nur mit einer einfachen Näherungslösung
befassen, die als Methode der Blockkapazität bekannt ist. Im Rahmen dieser Modellvorstellung
geht man davon aus, dass örtliche Temperaturunterschiede im Vergleich zur Differenz zwischen
der Anfangstemperatur T0 des Körpers und der Umgebungstemperatur T∞ vernachlässigbar
klein bleiben,
|T (t, �x1) − T (t, �x2)| ≪ |T0 − T∞| für beliebige t und �x1, �x2 im Körper.
Somit ist nur die Zeit-, nicht aber die Ortsabhängigkeit der Temperatur T zu berücksichtigen,
d.h. T (t, �x) → T (t). Dies wird – wie im Folgenden noch gezeigt wird – näherungsweise der
Fall sein, wenn der thermische Widerstand Rλ für die Wärmeleitung im Körper viel kleiner
ist als der Widerstand Rα für den Wärmeübergang von der Oberfläche des Körpers an die
Umgebung (siehe Abschnitt 3.1).
Das Problem des Wärmeaustausches mit der Umgebung aufgrund eines Temperaturunterschiedes
und gegen den Wärmeübergangswiderstand ist im Rahmen dieser Näherung vollständig
33

34KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT
T oo
T(t)
T 0
, c,V
, A
C
Abbildung 4.1: Analogie zwischen dem Abkühlen eines gut wärmeleitenden Festkörpers (links)
oder eines gerührten Behälters (rechts) und dem Entladen eines elektrischen Kondensators.
Einander entsprechende Einflussgrößen sind: 1) gespeicherte Wärme Q = ρcV (T0 − T∞) bzw.
elektrische Ladung Q = CU, 2) der den Ausgleichsvorgang treibende Potenzialunterschied,
d.h. Temperaturunterschied T0 − T∞ bzw. Spannung U, 3) Wärmeübergangs- und Wärmedurchgangswiderstand
1/αA, 1/kA bzw. Ohmscher Widerstand R.
analog zur Auf- oder Entladung eines elektrischen Kondensators gegen den Ohm’schen Widerstand
R, siehe Bild 4.1 Mathematisch genau gleich zu behandeln wäre das Modell eines
Behälters, in dem sich ein gut durchmischtes Fluid befindet, welches mit der Umgebung
über einen Wärmedurchgangskoeffizienten k in thermischen Kontakt steht, weshalb der im
Folgenden diskutierte Ansatz auch als Methode des (ideal) gerührten Behälters bekannt ist.
Thematisch tangiert diese Betrachtungsweise schon eines der nächsten Kapitel, da die Durchmischung
durch freie und erzwungene Konvektion bewirkt wird.
4.1 Sprungantwort einer Blockkapazität
Abbildung 4.1 zeigt einen thermisch gut leitenden Festkörper mit seinen thermischen Eigenschaften
nebst dem entsprechenden Analogie-Modell aus der Elektrotechnik. Die Wärmekapazität
des Körpers ist gleich dem Produkt der Masse m = ρV [kg] und der spezifischen
Wärmekapazität c [J/kg-K]. Wie beim Entladen eines elektrischen Kondensator benötigt die
” Ausspeicherung“ von Wärme eine gewisse Zeit. Je größer das treibende Potential, d.h. der
Temperaturunterschied T − T0 (entsprechend der Spannung) bzw. je kleiner der Wärmeübergangswiderstand
(entsprechend dem Ohmschen Widerstand), desto kleiner ist diese Zeit.
Die Energieerhaltung fordert, dass die Abfuhr von Wärme zu einer Verringerung der Temperatur
des Körpers führt:
α A (T − T∞) dt = −ϱcV dT,
oder mit dT = d(T − T∞):
d (T − T∞)
(T − T∞)
R
U
= − αA
ϱcV dt.
Anfangsbedingung: T (t = 0) = T0. Mit den normierten Größen
θ ≡
T − T∞
,
T0 − T∞
T oo
T 0
k, A

4.1. SPRUNGANTWORT EINER BLOCKKAPAZITÄT 35
θ H = 0.5
1.0
0.8
0.6
0.4
θ z
0.2
0.0
0.0
0.5
τ H
1.0
Abbildung 4.2: Systemcharacteristika einer Blockkapazität: Halbwertszeit τH und Zeitkonstante
(für den Fall τZ = 1).
τ ≡
t
t Bezug
findet man
dθ
= −dτ.
θ
Diese Gleichung kann sofort integriert werden:
≡
1.5
τ
ln(θ) = −τ + C1.
2.0
t
ϱcV/(αA) ,
Mit der normierten Anfangsbedingungen θ(τ = 0) = 1 ergibt sich C1 = 0 und
2.5
θ = exp (−τ), (4.1)
die Anfangsstörung klingt also exponentiell ab. Gebräuchliche Systemcharakteristika einer
Blockkapazität sind die Halbwertzeit (gebräuchlich v.a. in der Physik)
θH = 1
2 → τH = ln(2) = 0.693 → tH = ϱcV
αA ln(2) = t Bezug ln(2),
oder die Zeitkonstante (oft bevorzugt von Ingenieuren):
τZ ≡ 1 → θZ = 0.368 → tZ = ϱcV
αA = t Bezug ,
τ2Z ≡ 2 → θ2Z = 0.135,
τ3Z ≡ 3 → θ3Z = 0.050.
Die Form des Körpers spielt nur insoweit eine Rolle, als sie das Verhältnis A/V ∼ 1/L bestimmt.
Für die einfachen Körper findet man:
Platte: A
V
2A 1
= =
2AL L
(Plattendicke: 2L ≪ X- bzw. Y -Abmessungen),
3.0

36KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT
Zylinder: A
V
Θ(τ)
�����
�����
Θ� (τ)
∆Θ ∞
Θ(τ)
�����
� � �
Abbildung 4.3: Thermometer im aufgeheizten Bad
2πl
=
R2 2
=
πl R
Kugel: A
V = 4R2 π
4/3R 3 π
(A entspricht nur Mantelfäche wegen l ≫ R),
= 3
R .
Anwendungsbeispiel für das Blockmodell: Ein Thermometer wird plötzlich in kaltes Wasser
getaucht ( ” Sprungabkühlung“).
4.2 Thermometerfehler der 1. Art
Das gleiche Grundmodell kann auch zur Berechnung der Temperaturänderung eines Thermometers
verwendet werden, das sich in einem stetig aufgeheizten Bad befindet. Auch in diesem
Fall wird der Sensorbereich des Thermometers als Blockkapazität der Größe mc = ρcV betrachtet.
Die Bad-Temperatur TB soll linear mit der Zeit T zunehmen:
TB(t) = T0 + B t.
Die Differenzialgleichung für die Temperatur T des Thermometers folgt wieder aus der Energieerhaltung:
−αA(T − TB) dt = m c dT,
mit der Anfangsbedingung T (t = 0) = TB(t = 0) = T0.
Normierung:
θ(t) =
T − T0
,
∆TBez
θB(t) = TB − T0
∆TBez
τ = αAt
m c .
= B · t
∆TBez
,
τ

4.3. BIOT- UND FOURIER ZAHL 37
Die Bezugstemperatur TBez ist nicht a priori bekannt, sondern wird so gewählt, dass sich die
normierte Differentialgleichung
dθ
dτ
+ θ = B · t
∆TBez
= B · τ
∆TBez
m c
αA
möglichst einfach darstellt. Damit liegt folgende Definition nahe:
∆TBez ≡ B ·
dθ
dτ
+ θ = τ
mit der normierten Anfangsbedingung θ(τ = 0) = 0 und der normierten Badtemperatur
θB(τ) = τ. Es folgt die Lösung:
m c
αA
θ(τ) = exp(−τ) + τ − 1,
mit dem asymptotischen Verhalten (siehe Abb. 4.3):
θτ→∞ = τ − 1, (4.2)
θτ→0 =
τ 2
τ 2
1 − τ + + .... + τ − 1 ≈ .
2 2
(4.3)
Für ausreichend lange Zeiten τ → ∞ ”hinkt” die vom Thermometer angezeigte Temperatur
der Badtemperatur um den Betrag ∆θ = 1 bzw.
TB − T (t → ∞) = B mc
αA
hinterher. Diese Differenz ist als Thermometerfehler der 1. Art bekannt. Falls die Aufheizgeschwindigkeit
(B) vorgegeben ist kann, der Fehler minimiert werden indem die Wärmekapazität
mc klein, der Wärmeübergangseinfluss αA möglichst hoch gewählt wird.
Die quantiative Kenntnis des Thermometerfehlers erlaubt zudem eine Korrektur von Messwerten
und damit eine genauere Bestimmung der Temperatur unter instationären Bedingungen.
4.3 Biot- und Fourier Zahl
4.3.1 Gültigkeitsbereich der Näherung ” Blockkapazität“
Mit zunehmendem Wärmeübergang αA nimmt, wie gezeigt, die Größe des Thermometerfehlers
TB − T (t → ∞) ab. Bei endlicher Wärmeleitfähigkeit λ ist dies jedoch unter Umständen
nicht mehr mit den zugrunde liegenden Näherungen vereinbar! Voraussetzung für das Modell
der Blockkapazität ist – wie einleitend gesagt – dass der Wärmeübergangswiderstand
1/αA ∼ 1/αL 2 wesentlich größer sei als der Wärmeleitwiderstand 1/λL im Material, wobei L
eine charakteristisches Längenmaß der Geometrie – z.B. die Dicke der Platte oder der Radius

38KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT
T∞ , α
-L L
x
T∞ , α
t
-L L
Bi > 1
T = T(x,t)
Abbildung 4.4: Qualitative Darstellung der zeitlichen Entwicklung der Temperaturverteilung
in einer ebenen Platte bei Sprungabkühlung für verschiedene Werte der Biot-Zahl.
von Zylinder bzw. Kugel – ist. Mit Hilfe der im letzten Kapitel bereits eingeführten Biot-Zahl,
dem Verhältnis des konduktiven zum konvektiven thermischen Widerstand,
Bi ≡ αL
λ
Wärmeleitwiderstand
∼ . (4.4)
Wärmeübergangswiderstand
lässt sich diese Bedingung wie folgt formulieren:Die Methode der Blockkapazität ist anwendbar,
wenn die Biot-Zahl deutlich kleiner als 1 ist, etwa Bi < ∼ 0,1. Eine exakte, quantitative
Formulierung dieses Kriteriums für Platte, Zylinder und Kugel findet sich in den Arbeitsunterlagen.
Mit Hilfe der Biot-Zahl kann man auch die Verhältnisse zwischen den Temperaturen TK
und TW im Inneren bzw. an der Oberfläche des Körpers und der Umgebungstemperatur T∞
ungefähr abschätzen. Es gilt größenordnungsmäßig
und damit
−λ TW − TK
L
TW ∼ λTK + αLT∞
λ + αL
∼ α(TW − T∞),
= TK + Bi T∞
.
1 + Bi
Wie man sieht, gilt TW → TK für Bi → 0 – die Methode der Blockkapazität ist dann
anwendbar – und umgekehrt TW → T∞ für Bi → ∞. In Bild 4.4 sind diese Zusammhänge
für die Sprungabkühlung einer ebenen Platte dargestellt. Beachten Sie auch die Analogie zu
den Ergebnissen des Abschnittes 3.3 für die Temperaturverteilung θ(ξ) bei Wärmeleitung mit
konstanter Wärmequellendichte ˙w.

4.3. BIOT- UND FOURIER ZAHL 39
4.3.2 Ähnlichkeitsform der Lösung
Eine weitere Kennzahl, welche bei Problemen der instationären Wärmeleitung eine wichtige
Rolle spielt ist, die Fourier-Zahl Fo. Sie ist definiert als eine dimensionslose Zeit
Fo ≡ at Wärmeleitung
∼ . (4.5)
L2 Wärmespeicherung
Hier ist a ≡ λ/ρc die Temperaturleitfähigkeit des Festkörpers. Die oben hergeleitete Lösung
(4.1) für die zeitliche Entwicklung der Temperatur θ einer Blockkapazität lässt sich mit diesen
Definitionen kompakt darstellen
mit n = 0, 1, 2 für Platte / Zylinger / Kugel.
Zusammenfasssung
θ = θ( Bi, Fo) = exp(−(n + 1) Bi Fo).
• Die Temperatur eines Körpers, der einer plötzlichen Änderung der Umgebungstemperatur
ausgesetzt ist, bleibt in guter Näherung räumlich konstant wenn der Wärmeübergangswiederstand
(∼ 1/αA) viel größer ist als der Wärmeleitwiderstand (∼ 1/λL).
• Diese Bedingung lässt sich mit Hilfe der Biot-Zahl Bi ≡ αL/λ, einer dimensionslosen
Kennzahl, wie folgt formulieren: Bi ≪ 1.
• Der Temperaturunterschied zwischen dem Körperinneren und der Umgebung klingt mit
der Zeit exponentiell ab. Die Abklingkonstante ist proportional zur Wärmekapazität des
Körpers und zum Wärmeübergangswiederstand. Mit Hilfe der Biot- und der Fourier-
Zahlen schreibt man dimensionslos θ = exp(−Fo Bi).
• Ein gut wärmeleitender Festkörper verhält sich damit in seinem Sprungantwortverhalten
analog zu einem elektrischen Kondensator.
• Der Thermometerfehler der 1. Art ist auf die thermische Trägheit der Thermometerperle
zurückzuführen und lässt sich mittels der Methode der Blockkapazität quantitativ
erfassen (und damit korrigieren).

40KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ Wenn der Wärmeleitwiderstand eines endlich ausgedehnten Körpers groß ist im Vergleich
zum thermischen Widerstand des Wärmeübergangs zwischen dem Körper und
seiner Umgebung, so bleibt der Körper in seinem Inneren hinreichend unbeeinflusst von
äußeren Temperaturänderungen. Er darf deshalb in seiner Gesamtheit als ” wärmekapazitiver
Block“ von einheitlicher Temperatur betrachtet werden, was die Beschreibung
seiner Temperaturentwicklung erleichtert.
✷ Wenn der Wärmeleitwiderstand eines endlich ausgedehnten Körpers klein ist im Vergleich
zum thermischen Widerstand des Wärmeübergangs zwischen dem Körper und
seiner Umgebung, so kann der Körper bezüglich seiner internen Temperaturverteilung
in guter Näherung analog zum Inneren eines ideal gerührten Behälters behandelt werden.
✷ Der ” gut gerührte Behälter“ verhält sich analog zu einem gut wärmeleitenden Körper
( Bi ≪ 1), weil sich aufgrund des Rührens ein besonders hoher Wärmeübergangskoeffizient
α an der Behälterinnenwand einstellt.
✷ Der Thermometerfehler der 1. Art lässt sich minimieren, indem man mit dem Thermometer
das sich aufheizende Wasserbad kräftig rührt.
✷ Je kleiner die Biot-Zahl, desto schneller das exponentielle Abklingen des Temperaturunterschiedes
bei der Sprungantwort eines gut wärmeleitenden Körpers.

Kapitel 5
Wärmestrahlung
5.1 Begriffe und Definitionen
Unter Wärmestrahlung oder Temperaturstrahlung verstehen wir elektromagnetische Strahlungsenergie,
die von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen infolge ihres Temperaturniveaus
ausgesandt wird. Diese Form des Wärmetransportes bedarf keines stofflichen Trägers. Die
Wärmestrahlung der Materie wird ursächlich beim Wechsel der Anregungszustände von Molekülen
(Translation → Rotation → Oszillation) und von Elektronen in deren Schalen um
die Atomkerne ausgelöst. Sie tritt im Wellenlängenbereich zwischen 0,1 µm und 1 mm auf.
Was unser Auge als ” Licht“ registriert, liegt im schmalen Band von 0,38 µm bis 0,78 µm. Bis
0,1 µm reicht das nahe Ultraviolett (UV), oberhalb von 0,78 µm bis 1 mm erstreckt sich das
weite Gebiet des Infrarot (IR), in dem die meisten irdischen Körper strahlen.
Röntgen- und γ-Strahlen (λ < 0.01 µm) sowie Radar- und Radiowellen (λ > 1 mm) sind nicht
thermisch angeregt und bleiben daher außer Betracht. Das Leuchten von fluoreszenten Farbstoffen
(Leuchtstoffröhre, Bildschirm, Glühwürmchen) oder LEDs ist - obwohl im sichtbaren
Bereich des Spektrums - ebenfalls nicht thermischen Ursprungs und lässt sich nicht durch die
im Folgenden diskutierten Gesetze beschreiben.
Alle Körper senden kontinuierlich Wärmestrahlung aus, so dass sie zwangsläufig mit anderen,
entfernt liegenden Körpern in Strahlungsaustausch stehen. Beim Auftreffen des Strahlungsstromes
˙ Q auf einen Körper K wird ˙ Q teils “absorbiert“ ( ˙ QA) , teils “reflektiert“ ( ˙ QR), teils
“transmittiert“ ( ˙ QT ), also hindurchgelassen. Der vom Körper K absorbierte Anteil wandelt
sich um in Wärmeenergie (innere Energie), aus deren Reservoir ein Strom ˙ QE “emittiert“
wird. Letzterer ist nur eine Funktion der Temperatur und der Oberflächeneigenschaften des
jetzt als Sender wirkenden Körpers K; er enthält also keine Information mehr über den Ursprung
der Energie. Für die insgesamt vom Körper K ausgesandte Strahlungsenergie ˙ Q❀
gilt
˙Q❀ = ˙ QE + ˙ QR + ˙ QT .
41

42 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
���
�
�
��� ���
�
Abbildung 5.1: Verteilung der auf einen Körper K treffenden Strahlungsenergie ˙ Q und dessen
Emissionsstrom ˙ QE. ˙ QA – absorbierter, ˙ QR – reflektierter, ˙ QT – transmittierter Anteil.
Mit Blick auf Abb. 5.1 folgt aus dem Energiesatz
mit den Definitionen
die dimensionslose Bilanzgleichung
���
˙Q = ˙QA + ˙QR + ˙QT ,
α ≡ ˙ QA
˙Q
, Absorptionsgrad, (5.1)
ρ ≡ ˙ QR
˙Q,
τ ≡ ˙ QT
˙Q
Reflexionsgrad, (5.2)
, Transmissionsgrad, (5.3)
α + ρ + τ = 1. (5.4)
Man kann folgende Extrem- bzw. Idealfälle unterscheiden (obwohl sie praktisch nur näherungsweise
und in begrenzten Wellenlängenbereichen realisierbar sind):
• Schwarzer Körper: α = 1; ρ = τ = 0,
Die gesamte (auftreffende) Strahlungsenergie wird absorbiert.
• Weißer Körper: ρ = 1; α = τ = 0,
Vorausgesetzt, die gesamte Strahlungsenergie wird über den ganzen Halbraum, also
diffus, reflektiert (und nicht spiegelnd nach den Gesetzen der geometrischen Optik).
• Diathermaner (strahlungsdurchlässiger) Körper: τ = 1; α = ρ = 0,
Die gesamte auftreffende Strahlungsenergie wird durchgelassen. Beispiel: Luft ohne
H2O- und CO2-Anteile; Fensterglas im optischen Bereich (Licht).
• Oberflächenstrahler: τ = 0; α + ρ = 1,
Hierzu zählen (vor allem im technisch interessanten IR-Bereich) fast alle Festkörper
bzw. Flüssigkeiten, da diese die Strahlungsenergie in einer etwa 1 µm bzw. 1 mm dicken
Schicht absorbieren und emittieren.

5.2. SCHWARZE KÖRPER 43
Abbildung 5.2: Der “schwarze Körper“ als Idealabsorber und Idealemitter (Hohlraumstrahler)
5.2 Schwarze Körper
Das Emissionsvermögen e (Einheit W/m 2 ) eines Körpers umfasst die Energiemenge, welche
pro Oberflächeneinheit dA und Zeiteinheit in den darüber liegenden Halbraum im Wellenlängenbereich
von λ = 0 bis λ = ∞ emittiert wird; es korrespondiert daher energetisch mit
dem Wärmefluss ˙q. Um e bestimmen zu können, muss die “spektrale Intensität“ eλ = de/dλ
im Intervall λ bis λ + dλ als Funktion der Temperatur T bekannt sein: eλ = eλ(λ, T) (Einheit
W/m 3 ). Doch selbst bei gleichem λ und T ist eλ noch von der Oberflächenbeschaffenheit
(glatt, rauh) und der Art (Metall, Halbleiter, Nichtleiter) des emittierenden Körpers abhängig.
Kirchhoff 1 hatte 1898 aus dem 2. Hauptsatz die Folgerung gezogen, dass ein die gesamte Strahlung
absorbierender “schwarzer Körper“ (technisch realisierbar durch einen gleichtemperierten
Hohlraum mit gut absorbierenden Wänden und kleiner Öffnung gemäß Abb. 5.2) auch die
maximale Strahlungsintensität emittieren muss. Dann kann ein solcher Hohlraum als stoffunabhängiger
Standardstrahler für Referenzzwecke dienen. Diese so emittierte Grenzintensität
wird mit eλS bezeichnet. Experimentelle Ergebnisse für die Intensität dieser Schwarzkörperstrahlung
lagen bereits in der zweiten Hälfte des 19ten Jahrhunderts vor, ihre theoretische
Ermittlung gelang erst, als Max Planck 2 1901 die Prinzipien der klassischen Physik um die
revolutionären Ideen der Quantentheorie erweiterte.
1 Gustav Kirchhoff, ∗ Königsberg, 1824, † Berlin, 1887. Studium in Königsberg bei der Physiker F. Neumann
und dem Mathematiker C. G. J. Jacobi. Professor für Physik in Breslau 1850, in Heidelberg 1854, in Berlin
1875. Entwickelte zusammmen mit dem Chemiker Robert Bunsen die Spektralanalyse.
2 Max Planck, ∗ Kiel, 1858, † Göttingen,1947. Studium der Physik in München und Berlin, Habilitation im
Alter von 22 Jahren. 1889 Nachfolger Kirchhoffs in Berlin. Planck betonte die Bedeutung der Entropie in der
Thermodynamik und ist als Wegbereiter der Quantenmechanik zu betrachten, er postulierte die Quantelung
der Energie und entdeckte dabei die Existenz einer neuen Naturkonstante (Plancksches Wirkungsquantum h).
1918 Nobelpreis für Physik.
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44 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
Das Plancksche Strahlungsgesetz
Die spektrale Verteilung der von einem schwarzen Körper ausgehenden Wärmestrahlung wird
durch das Plancksche Strahlungsgesetz beschrieben
eλS =
λ5 �
exp
c1
� c2
λ T
� �. (5.5)
− 1
Die Konstanten c1 und c2 lassen sich auf fundamentale Naturkonstanten, d.h. die Lichtgeschwindigkeit
c, die Boltzmannsche Konstante k und das Plancksche Wirkungsquantum h
zurückführen:
Damit erhält man
� λ �
�
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λ �
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c1 = 2πc 2 h,
c2 = ch
k .
c1 = 3,741 × 10 −16 Wm 2 ,
c2 = 1,438 × 10 −2 mK.
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Abbildung 5.3: Verteilung der spektralen Strahlungsintensität eλS des schwarzen Körpers in
den Halbraum nach Planck. Parameter: Absoluttemperatur T
Das Wiensche Verschiebungsgesetz
Von Wien bereits vor 1891 mit Hilfe der klassischen Thermodynamik abgeleitet, folgt dieses
Gesetz aus der Planckschen Formel durch Differentation, da das Maximum der Emission

5.3. EMISSION UND ABSORPTION NICHT-SCHWARZER STRAHLER 45
gesucht ist (Index M):
λM T = 2898 µm K. (5.6)
In Abb. 5.3 ist dieser Zusammenhang durch den gestrichelten Kurvenast wiedergegeben. Anwendungsbeispiel:
Ein Kachelofen strahle bei T ≈ 320 K ab; also liegt das Emissionsmaximum
im IR bei ≈ 9µm. In der Umgebung dieses λ-Wertes sollte das Emissionsvermögen ɛ der Kacheln
möglichst groß sein.
Das Stefan-Boltzmannsche Gesetz
Dieses, die Gesamtemission in den Halbraum beschreibende Gesetz wurde von Stefan 1879
empirisch gefunden und von Boltzmann 3 1884 aus der klassischen Physik abgeleitet; es folgt
aus der Planckschen Formel durch Integration über alle Wellenlängen:
eS(T ) =
mit der Stefan-Boltzmann Konstante
� ∞
0
eλS(λ, T ) dλ = σ T 4 . (5.7)
−8 W
σ = 5, 67 × 10
m2 4 .
K
In Abb. 5.3 entspricht eS (500K) der schraffierten Fläche.
5.3 Emission und Absorption nicht-schwarzer Strahler
Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt bei gegebener Temperatur und Wellenlänge die Intensität
an, mit der ein idealer Strahler (ein “schwarzer Körper“) strahlen kann. Eine Unterschreitung
dieser Intensität ist bei natürlichen Strahlern (manchmal etwas umständlich “nichtschwarze
Körper“ genannt) die Regel. Dabei wird wiederum je nach Wellenzahlabhängigkeit
der emittierten Strahlung zwischen “grauen“ und “realen Strahlern“ unterschieden. Zunächst
wird der idealisierte Grenzfall des “grauen Strahlers“diskutiert.
5.3.1 Der “graue“ Strahler
Verkleinert man die Ordinaten der Abb. 5.3 überall im gleichen Maßstab, so erhält man eine
spektrale Intensitätsverteilung, die der eines schwarzen Körpers ähnlich ist, wie in Abb. 5.4
durch die gestrichelte Kurve angedeutet. Die von einem grauen Strahler ausgesandte Energie
kann nach dem Planckschen oder Stefan-Boltzmannschen Gesetz berechnet werden, wenn
3 Ludwig Boltzmann, österr. Physiker, ∗ Wien 20.2. 1844, † Duino 5.9. 1906; Prof. in Graz, Wien, München,
Leipzig; Vorkämpfer der Atomistik und der statistischen Interpretation der Thermodynamik (kinetische Gastheorie,
Boltzmann-Statistik, Entropie als Maß der mikroskopischen ” Unordnung“, Entropie ist der Logarithmus
der Wahrscheinlichkeit.). Erkrankte an Depression und beging Selbstmord.

46 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
man die Konstanten c1 bzw. σ mit einem empirisch zu bestimmenden Faktor ɛ(T ) < 1, dem
“Emissionsgrad“ multipliziert, für den gelten muss:
ɛ(T ) = eλ
eλS
= e
.
eS
Das zweite Gleichheitszeichen gilt, weil nach Voraussetzung der Emissionsgrad von der Wellenlänge
λ unabhängig ist. Demnach lautet das bezüglich technischer Berechnungen wichtige
Stefan-Boltzmannsche Gesetz für das Emissionsvermögen des grauen Strahlers:
e = ɛσT 4 . (5.8)
Der Emissionsgrad ɛ variiert sehr stark mit Material und Oberflächenbeschaffenheit ab. So
ist z.B. der Emissionsgrad von polierten Edelmetalloberflächen sehr klein (ɛ ≈ 0, 02). Bei
Metallen sind typische Emissionsgrade im Bereich ɛ ≈ 0, 1 − 0, 4. Oxidschichten auf Metallen
können deren Emissionsgrade um ein Mehrfaches erhöhen. Nichtleiter sind meist gute Emitter
mit ɛ > ∼ 0.6.
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Abbildung 5.4: a) schwarzer Strahler b) grauer Strahler c) realer Strahler.
5.3.2 Der “reale“ Strahler
In der natürlichen Umwelt ist das spektrale Emissionsvermögen eλ eines Körpers keinesfalls
bei allen Temperaturen und in allen λ-Bereichen proportional zum spektralen Emissionsvermögen
eλS des schwarzen Körpers (bei der gleichen Temperatur), wie die dünn ausgezogene
Kurve in Abb. 5.4 qualitativ vermitteln soll. Folglich ist dann der Emissionsgrad ebenfalls
Temperatur- und wellenlängenabhängig: eλ = eλ(λ, T ). Aufgrund der Integraleigenschaft des
Stefan-Boltzmannschen Gesetzes bietet sich jedoch die Möglichkeit eλ intervallweise (von
λn bis λn+1) als λ-unabhängig anzunähern und die resultierenden ∆e-Anteile des Emissionsvermögens
anschließend aufzusummieren. Diese Berechnungsprozedur wird gegen Ende dieses
Kapitels kurz vorgestellt.
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�
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5.4. KIRCHHOFFSCHES GESETZ 47
5.3.3 Schwarze Körper sind nicht schwarz
Trotz der Tatsache, dass unser empfindlichstes Sinnesorgan, das Auge, Lichtintensitäten über
12 Zehnerpotenzen zu akkomodieren vermag, sehen wir die emittierte Strahlung von Körpern
erst, wenn deren Oberfläche mehr als 600 o C heiß ist. (Hingegen “fühlt“ man die Wärmestrahlung
eines 40 o C warmen Babyfläschchens sehr wohl am Handrücken.) Dann allerdings
leuchten auch sog. schwarze Körper, ihre Farbe hängt dabei von der Temperatur ab (rot- und
weissglühend, Farbtemperatur von fotografischem Material bzw. Leuchten). Was wir in unserer
bunten Welt sehen, ist fast nur der reflektierte Anteil heißer Strahler, vor allem der Sonne
(5800K). Ein Kleid erscheint “rot“, weil seine Oberfläche das “Blau“ absorbiert hat; “nachts
sind alle Katzen grau“, weil die farbempfindlichen Netzhautzäpfchen nicht mehr ansprechen,
wohl aber die lichtempfindlicheren, nur Grautöne registrierenden Stäbchen.
5.4 Kirchhoffsches Gesetz
Anders als der Emissionsgrad ɛ ist der Absorptionsgrad
α einer Oberfläche nicht einfach
ein (temperaturabhängiger) Stoffwert,
sondern hängt auch von den Eigenschaften
der einfallenden Strahlung, d.h. ihrer spektralen
Verteilung, ab. Dies wird im Abschnitt
5.6 noch ausführlicher diskutiert.
Zumindest für diffus-graue Strahler gilt jedoch
nach Kirchhoff, dass Emissions- und
Absorptionsgrad gleich groß sind. Diese einfache
Beziehung kann aus der Betrachtung
des Strahlungsaustausches zwischen einem
diffus-grauen Strahler ”1”, der mit einem
schwarzen Körper ”2” im thermischen
Gleichgewicht steht, hergeleitet werden (siehe
Abb. 5.5).
e 1
''1''
(1-α1)e ''2''
S
e S
Abbildung 5.5: Strahlungsgleichgewicht zwischen
einem diffus-grauen Strahler ”1” mit
e1 = ɛ1eS(T1) und einem schwarzen Körper
”2”.
Im Gleichgewicht ist a) die vom Körper ”1” emittierte Strahlungsintensität gleich der absorbierten
4 ,
ɛ1eS(T1) = α1eS(T2) (5.9)
4 Man kann alternativ wie folgt argumentieren: Im dynamischen Strahlungsgleichgewicht durchdringen sich
zwei Wärmeströme gleicher Stärke und entgegengesetzter Richung; die auf den Körper ”1” einfallende Strahlungsintensität
eS(T2) ist somit gleich der vom Körper ausgehenden. Letztere setzt sich zusammen aus der
emittierten Strahlung mit der Intensität ɛ1eS(T1) und dem reflektierten Anteil ρ1eS(T2). Da bei verschwindendem
Transmissiongrad ρ1 = 1 − α1 folgt damit
woraus (5.9) folgt.
eS(T2) = ɛ1eS(T1) + (1 − α1)eS(T2),

48 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
und b) aufgrund des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik T1 = T2. Daraus folgt
für den diffus-grauen Strahler ”1”.
ɛ1 = α1
5.5 Einfache Strahlungsaustauschbeziehungen
(5.10)
Wir setzen zwei diffus-graue Strahlungsflächen A1 und A2 und damit die Gültigkeit des Kirchhoffschen
Gesetzes voraus. Wegen ɛi = αi und αi + ρi = 1 (für Oberflächenstrahler) können
Reflexions- und Absorptionsgrad eliminiert werden, so dass in den folgenden Formeln nur der
Emissionsgrad der verschiedenen Flächen i erscheint. Beziehungen für den von der Fläche A1
netto ausgestrahle Wärmestrom ˙ Q1❀2 resultieren aus der Summation von Reihentermen, welche
bei einem, gegenüber Abb. 5.5 verallgemeinerten Wechselspiel von Emission, Absorption
und Reflexion entstehen (siehe Abb. 5.6). Eine Herleitung dieser Beziehungen findet sich z.B.
in der Vorlesung Wärme- und Stoffübertragung.
• Zwei planparallele Platten großer Ausdehnung
˙Q1❀2 = A C12 (T 4 1 − T 4 2 ).
C12 =
σ
1
+
ɛ1
1
.
− 1
ɛ2
• Konvexer Köper im geschlossenen Raum
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�
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5.5. EINFACHE STRAHLUNGSAUSTAUSCHBEZIEHUNGEN 49
˙Q1❀2 = A1 C12 (T 4 1 − T 4 2 ).
C12 =
1
ɛ1
Sonderfall: A1
C12 = ɛ1 σ.
σ
+ 1 A1
ɛ2 − 1 A2
A2
≪ 1 :
.
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• Strahlungsschutzschirme zwischen parallelen Platten, die weder durch Wärmeleitung
noch durch Konvektion beeinflusst sind
n Schirme; ɛ1 = ɛ2 = ɛ!
˙Q1❀2 =
A C12
1 + n (T 4 1 − T 4 2 ).
dabei ist C12 wie bei den planparallelen
Platten. Eine Schutzschirm reduziert die
Strahlungsleistung also bereits um 50 %,
für n → ∞ geht ˙ Q1❀2 → 0.
Abbildung 5.6:
Strahlungsaustausch in verschiedenen Geometrien
Linearisierung der Strahlungsformel:
� �
ε �
ε ε ε ε ε
Besonders bei komplexen wärmetechnischen Berechnungen erweist sich die Näherungsbeziehung
T 4 1 − T 4 2 ≈ 4 T 3 M (T1 − T2) mit TM = T1 + T2
2
als sehr vorteilhaft. Für 2/3 ≤ T1
4 % für 0,8 ≤ T1
T2
verbessert werden muss.
T2
≤ 3/2 beträgt der Relativfehler dieser Linearisierung knapp
< 1,25 nur noch 1,2 %. Unter Umständen muss TM vorgeschätzt und iterativ
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50 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
5.6 Wellenlängenabhängigkeit optischer Eigenschaften
Bei der Betrachtung des Strahlungsaustausches zwischen Oberflächen haben wir idealisierte
diffus - graue oder schwarze Strahler mit spektraler Intensität
eλ = ɛ eλ,S(T, λ)
vorausgesetzt mit einem konstanten (!) Emissionsgrad ɛ ≤ 1, der weder von der Temperatur
noch von der Wellenlängen abhängt. Dies ist eine grobe Vereinfachung, da der Emissionsgrad
realer Strahler mit der Wellenlänge variiert und ein ungefähr konstanter Wert von ɛ meist nur
über einen begrenzten Bereich von Wellenlängen λ beobachtet werden kann. Ähnliches gilt
für die Koeffizienten von Absorption α, Reflektion ρ und Transmission τ.
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die Wellenlängenabhängigkeiten der optischen Eigenschaften
realer Strahler beschrieben werden können. Mit der Wellenlängenabhängigkeit des
Transmissionskoeffizienten wird abschließend der Treibhauseffekt erklärt.
5.6.1 Spektraler Emissionsgrad
Das spektrale Emissionsvermögen eλ(T, λ) wurde schon bei der Diskussion des ” realen Strahler“
eingeführt. Analog zum Gesamt-Emissionsgrad ɛ definiert man
ɛλ(T, λ) ≡ eλ(T, λ)
eλ,S(T, λ) ,
d.h. der spektrale Emissionsgrad ist das Verhältnis der tatsächlichen Strahlungsleistung zu
der eines schwarzen Körpers im Wellenlängenbereich λ → λ + dλ.
Der Gesamt-Emissionsgrad ɛ ergibt sich aus dem spektralen Emissionsgrad durch Integration
über alle Wellenlängen, gewichtet mit der spektralen Intensität der Schwarzkörperstrahlung:
ɛ(T ) =
� ∞
0 ɛλ(T, λ) eλ,S(T, λ) dλ
� ∞
0 eλ,S(T,
.
λ) dλ
Beachte, dass der Gesamt-Emissionsgrad ɛ auch dann von der Temperatur T abhängt wenn
der spektrale Emissionsgrad zwar mit der Wellenlänge, nicht aber der Temperatur variiert,
ɛλ = ɛλ(λ).
5.6.2 Spektrale Absorptions-, Reflektions- & Transmissionsgrade
Für die (Gesamt-) Koeffizienten der Absorption α, Reflektion ρ und Transmission τ – siehe
Gleichungen (5.1) - (5.3) lassen sich ebenfalls leicht wellenlängenabhängige, spektrale Entsprechungen
finden. So definiert man z.B. den spektralen Absorptionsgrad
αλ(T, λ) ≡ ˙ QA,λ(λ) dλ
˙Qλ(λ) dλ

5.6. WELLENLÄNGENABHÄNGIGKEIT OPTISCHER EIGENSCHAFTEN 51
Abbildung 5.7: Bei gleichem spektralem Absorptionsgrad αλ kann je nach spektraler Verteilung
der Bestrahlungsstärke bλ der Gesamt-Absorptionsgrad groß (α ≈ 1, links) oder klein
(α ≈ 0, rechts) sein.
als Verhältnis des absorbierten zum insgesamt eingestrahlten Wärmestrom im Wellenlängenintervall
(λ, λ + dλ).
Der gesamte und der spektrale Absorptionsgrad stehen in folgender Beziehung:
α(T ) ≡
� ∞
0 αλ(T, λ)bλ(T, λ) dλ
� ∞
0 bλ(T,
.
λ) dλ
und ganz analog für die Transmission. In dieser Gleichung ist bλ die spektrale Bestrahlungsstärke,
d.h. die Intensität (in W/m 3 ) der einfallenden Strahlung (vgl. mit der spektralen
Intensität eλ). Der Gesamt-Absorptionsgrad α ist also ein mit der spektralen Bestrahlungsstärke
gewichtetes Integral des spektralen Absorptionsgrads αλ über die Wellenlängen.
Somit wird klar, dass der Gesamt-Absorptionsgrad α nicht nur von den Eigenschaften des
absorbierenden Materials, sondern auch von der spektralen Verteilung der einfallenden Strahlung
abhängt, siehe Bild 5.7.
Bei der Reflektion ist zu beachten, dass diese sowohl von der Richtung des einfallenden Strahls
als auch der des reflektierten Strahls abhängen kann (Spiegel !). Wenn wir uns auf sog. diffuse
Strahler mit richtungsunabhängigen Emissions- und Reflektionseigenschaften beschränken
(siehe dazu das folgende Kapitel), so sind diese Komplikationen irrelevant und man kann mit
einem hemisphärischen Reflektionskoeffizienten arbeiten.
Aus einer Bilanz für die Strahlungsenergie pro Wellenlänge folgt:
αλ(T, λ) + ρλ(T, λ) + τλ(T, λ) = 1.

52 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
ε λ
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
10 -7
2 3 4 5 6 7 8
10 -6
2 3 4 5 6 7 8
10 -5
λ
2 3 4 5 6 7
Abbildung 5.8: Stückweise konstanter spektraler Emissionsgrad ɛλ.
5.6.3 Schwarzkörperfunktionen
Falls wie in Bild 5.8 illustriert die spektrale Emissions- oder Absorptionsgrade zumindest
annähernd stückweise konstant sind, z.B.
ɛλ(T, λ) = ɛn für λn < λ < λn+1, n = 1, . . . , N,
so liefert stückweise Integration die entsprechenden Gesamt-Größen, z.B.
ɛ(T ) =
� ∞
0 ɛλ(T, λ) eλ,S(T, λ) dλ
� ∞
0 eλ,S(T,
=
λ) dλ
� λn+1
N� eλ,S(T, λ) dλ
λn
ɛn � ∞
n 0 eλ,S(T, λ) dλ .
Die Auswertung der hier vorkommenden Integrale � λn+1
. . . dλ ist numerisch leicht möglich.
λn
Alternativ können die sog. Schwarzkörperfunktionen genutzt werden, definiert als
F0→λ ≡
� λ
0 eλ,S(T, λ) dλ
� ∞
0 eλ,S(T, λ) dλ .
Die Schwarzkörperfunktion gibt an, welcher Anteil der gesamten Strahlungsenergie eines
schwarzen Körpers bei Temperatur T im Wellenlängenbereich 0 → λ liegt, siehe Bild 5.9.
Mit den Strahlungsgesetzen von Planck (5.5) und Stefan-Boltzmann (5.7) gilt
F0→λ =
� λ
0
c1
λ5 [exp c2 )−1] λT dλ
σT 4
� λ
=
0
c1
λ5 σT 4 � exp c2
� λ T
dλ =
λT ) − 1� 0
c1
σ(λT ) 5 � exp c2 dλ T.
λT ) − 1�
Folglich ist F0→λ eine Funktion mit Argument λ T und findet sich tabelliert in der Literatur,
z.B. [2].

5.6. WELLENLÄNGENABHÄNGIGKEIT OPTISCHER EIGENSCHAFTEN 53
ε λ
10 14
10 13
10 12
10 11
10 -7
F 0 -> λ
2 3 4 5 6 7 8 9
10 -6
λ
2 3 4 5 6 7 8 9
10 -5
Abbildung 5.9: Schwarzkörperfunktion F0→λ: Anteil der gesamten Strahlungsenergie eines
schwarzen Körpers bei Temperatur T im Wellenlängenbereich 0 → λ (schraffierte Fläche im
Bild).

54 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
e λ,S (5800, λ)
4
2
10
8
6
14
4
2
10
8
6
13
4
2
10
8
6
12
4
10 -7
1 % 99 % 1 %
99 %
2 3 4 5 6 7 8
10 -6
2 3 4 5 6 7 8
10 -5
λ
2 3 4 5 6 7
Abbildung 5.10: Spektrale Intensität eines schwarzen Körpers bei T = 5800 K (Sonne) und T
= 300 K (Erde) nach Planck. Jeweils weniger als 1 % der abgestrahlten Energie liegt unterhalb
bzw. oberhalb der durch |—| angezeigten Wellenlängenbereiche.
5.6.4 Der Treibhauseffekt
Glas besitzt einen hohen Transmissionsgrad im sichtbaren Spektrum
(0.4 - 0.7 µm), d.h. in einem Wellenlängenbereich, in dem auch die Sonneneinstrahlung ihre
maximale spektrale Intensität erreicht. Bei Wellenlängen oberhalb von etwa 2 bis 4 µm (je
nach Sorte) ist Glas hingegen nahezu vollständig lichtundurchlässig. Dies ermöglicht, Solarenergie
zum Beispiel in einem Treibhaus mit Glasfenstern ”einzufangen”, da der größte Teil
der einfallenden Strahlungsenergie die Glaswände ungehindert passiert.
Konkret: Die spektrale Verteilung der Sonnenenergie entspricht in etwa der eines schwarzen
Strahlers bei 5800 K, ca. 99 % der emittierten Strahlungsenergie liegt im Bereich λ < 4µm.),
siehe Bild 5.10. Gegenstände und Pflanzen im Inneren des Treibhauses weisen hingegen Temperaturen
der Größenordnung 300 K auf und emittieren langwellige Strahlung im tiefen Infrarot
(99 % der emittierten Strahlungsenergie bei λ > 5µm.), die von den Wänden das
Glashauses größtenteils absorbiert wird. Die eingestrahlte Wärme kann somit das Treibhaus
nicht durch Strahlung verlassen. Ganz analog kann die Glasabdeckung eines Solarkollektors
helfen, Strahlungs- und konvektive Verluste klein zu halten.
Da auch Gase selektiv, d.h. wellenzahlabhängig, absorbieren und transmittieren, kann die Gegenwart
sogenannter ”Treibhausgase” auch zu einem atmosphärischen bzw. globalen Treibhauseffekt
führen. Treibhausgase sind Gase, die im sichtbaren Wellenlängenbereich gut transmittieren,
hingegen im Infraroten (λ > 0,7µm) absorbieren, wie zum Beispiel Wasserdampf,
CO2, CO, Methan und andere Kohlenwasserstoffe, SO2, NH3 oder Lachgas (N2O).
4
3
2
7
6
5
4
3
2
7
6
5
4
10 8
10 7
e λ,S (300, λ)

5.7. GASSTRAHLUNG 55
5.7 Gasstrahlung
Wir sind bisher bei der Diskussion des Strahlungaustausches davon ausgegangen, dass die
Wärmestrahlung den Raum zwischen den austauschenden Oberflächen ungehindert passiert.
Dies ist streng genommen nur im Vakuum gültig, da Gase Strahlung sehr wohl absorbieren
und damit auch emittieren (Kirchhoffsches Gesetz !) können. Dies geschieht allerdings nur in
engen Wellenlängenbereichen, sog. Banden.
Für technische Anwendungen ist meist nur die Gasstrahlung im Infraroten von Bedeutung.
In diesem Wellenlängenbereich (lambda > 0,7µm) absorbieren bzw. emittieren die bei der
Diskussion des globalen Treibhauseffektes im letzten Abschnitt schon genannten ” Treibhausgase“.
Da Wasserdampf und/oder Kohlendioxid bei der Verbrennung von fossilen und
regenerativen Brennstoffen entstehen und in Brennräumen in hohen Konzentrationen und bei
hoher Temperatur vorliegen, trägt die mit diesen Gasen verbundene Strahlung wesentlich zum
Wärmeübergang in den Feuerungen von Dampferzeugern und Industrieöfen bei.
Umgekehrt wechselwirken Stickstoff und Sauerstoff, die Hauptbestandteile der Luft, kaum
mit der Wärmestrahlung.
5.8 Strahlung & Wärmeübergang
Wie schon erwähnt können die unterschiedlichen Mechanismen des Wärmetransportes auch
nebeneinander auftreten, entsprechend einer Parallelschaltung von Wärmetransportwiderständen.
In diesem Abschnitt betrachten wir das Zusammenspiel von Wärmestrahlung und Wärmeübergang
am Ausdehnungskolben eines Thermometers ”1”, das mit den Wänden ”2” eines Raumes
Strahlung austauscht und gleichzeitig Wärme an die Raumluft mit der Temperatur T oo
überträgt (siehe Abb. 5.11). Anhand dieses Beispieles lässt sich das Zusammenwirken der
beiden Wärmetransportmechanismen gut verdeutlichen, gleichzeitig lernen wir einen weiteren
Thermometerfehler kennen.
Die Gasstrahlung wird vernachlässigt, die (hin und her) transportierten Strahlungsströme
stören weder sich selbst noch den Wärmeübergang, d.h. der Strahlungstransport erfolgt parallel
zum konvektiven Transport und unbeeinflusst durch den Luftraum 5 .
Der Ausdehnungskolben des Thermometers ist als ein kleines Objekt in großer Umgebung
anzusehen, C12 = ɛ1 σ. Damit lautet die Wärmebilanz für den Stationärzustand:
α1A1(T∞ − T1) − ɛ1 σ A1 (T 4 1 − T 4 2 ) = 0,
und man erhält den Thermometerfehler der zweiten Art:
T∞ − T1 = (T 4 1 − T 4 2 ) ɛ1 σ
5 In Außenbereichen ist die atmosphärische Gegenstrahlung zu berücksichtigen, siehe [2]
α1
.

56 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
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� ∞
���
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Abbildung 5.11: Thermometerfehler der 2. Art durch Strahlungseinfluss
Er lässt sich durch Wahl eines kleinen ɛ1- Wertes (Verspiegeln, Strahlungsschutzhülle) und
eines hohen α1-Wertes (“Schleuderthermometer“) senken. Dies ist besonders zu beachten,
wenn die Temperatur T∞ von Heißgasen in der Nähe kälterer Wände (T2) gemessen werden
soll.
Zur Behandlung von Problemen des kombinierten Wärmetransportes benutzt man häufig
einen Strahlungswärmeübergangskoeffizienten
Mit obiger Definition gilt
T
αSt ≡ C12
4 1 − T 4 2
T1 − T2
˙Q1❀2 = αStA1(T1 − T2),
wie beim konvektiven Wärmeübergang. Näherungsweise gilt:
αSt ≈ 4 C12T 3 M mit TM = T1 + T2
.
2
Dieses Ergebnis macht schon den großen Nachteil dieser Formulierung deutlich – αSt ist extrem
temperaturabhängig, weshalb man oft gleich mit dem Gesamtausdruck für ˙ Q1❀2 arbeitet um
iteratives Rechnen zu vermeiden.
Trotzdem ein Beispiel: In einer Fabrikhalle steht ein elektronisches Steuergerät, dessen Teilfläche
A mit der Wandtemperatur TW 1 Wärme durch Konvektion an die Umgebungsluft (T∞) abgibt:
˙QK = A αK [TW 1 − T∞].
Der konvektive Wärmeübergangskoeffizient ist der Eindeutigkeit halber mit dem Index K
gekennzeichnet. Fläche A steht gleichzeitig mit den Hallenwänden (TW 2) im Strahlungsaustausch:
˙Q1❀2 = A C12 (T 4 W 1 − T 4 W 2) = A αSt [TW 1 − TW 2].
Für den Gesamtwärmestrom folgt:
˙Q = ˙ QK + ˙ Q1❀2 = A [αK (TW 1 − T∞) + αSt (TW 1 − TW 2)].
.

5.8. STRAHLUNG & WÄRMEÜBERGANG 57
Ist speziell TW 2 ≈ T∞, so folgt
˙Q = A (αK + αSt) (TW 1 − T∞).
Beide Beziehungen verdeutlichen das Parallelstromprinzip bezüglich Konvektion und Strahlung.
Die wärmetechnische Berechnung eines von der Sonne (TSo = 5800K) beschienenen Hausdaches
ist deshalb nur dann möglich, wenn die eben angegebenen Formeln um einen getrennt zu
ermittelnden solaren Absorptionsterm erweitert werden. Für die wie eine Gegenwand mit der
Temperatur TW 2 wirkende atmosphärische Gegenstrahlung kann überschlägig angenommen
werden:
Winter, Himmel klar: TW 2 ≈ 230K,
Sommer, Himmel bedeckt: TW 2 ≈ 285K.
Weitere Details finden sich z.B. in [2].
Zusammenfassung
• Alle Körper mit einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunktes emittieren Wärmestrahlung,
eine Form der elektromagnetischen Strahlung.
• Der sog. schwarz Körper, technisch realisierbar durch einen Hohlraum mit kleiner Öffnung,
absorbiert sämtliche einfallende Strahlung und emittiert Wärmestrahlung mit
maximaler Intensität.
• Die Strahlungsgesetze von Planck, Wien und Stefan-Boltzmann geben Auskunft über
die spektrale Verteilung bzw. die gesamte Leistung der Wärmestrahlung eines schwarzen
Körpers.
• Nach Kirchhoff sind Emissions- und Absorptionsgrad diffus-grauer Strahler identisch.
• Wenn zwei Körper einander ” sehen“, wird durch Strahlung Wärme ausgetauscht. Strahlungsaustauschbeziehungen
erlauben eine einfache Berechnung von Netto-Wärmeströmen
in Abhängigkeit von den Temperaturen, der Geometrie und den Emissionsgraden.
• Strahlung tritt im Allgemeinen parallel zu Konduktion bzw. Konvektion auf.
• Nicht nur die spektrale Intensität der Emission, auch die spektralen Koeffizienten der
Absorption, Reflektion und Transmission sind wellenlängenabhängig.
• Viele Gase sind im Infraroten optisch ”trübe” (Gasstrahlung, Treibhausgase).

58 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ Der ideale Strahler ist weiß.
✷ Glühwürmchen leuchten nur im Flug, da erst der Flügelschlag einen ausreichend hohen
Wärmeübergangskoeffizienten am Hinterkörper des Insekts ergibt um den Wärmetod
zu vermeiden.
✷ Aus dem Planckschen Strahlungsgesetz lässt sich durch Integration das Stefan-Boltzmannsche
Gesetz, durch Differentiation das Wiensche Verschiebungsgesetz ableiten.
✷ Die spektrale Intensität eλ trägt die Einheit W/m 2 (Wärmestrahlungsleistung pro Fläche
des strahlenden Körpers).
✷ Graue Strahler leuchten mit der gleichen Farbe, jedoch mit geringerer Intensität als ein
” schwarzer Körper“ der gleichen Temperatur.
✷ Die Sonne ist annähernd ” schwarz“.
✷ Identische Werte für die Koeffizienten von Emission und Absorption dürfen im Allgemeinen
nur für einen diffus-grauen Strahler angenommen werden, der sich im thermischen
Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet.
✷ Zwei diffus-graue Strahler ”1” und ”2” mit unterschiedlichen Emissionsgraden ɛ1 �= ɛ2
können ein thermisches Gleichgewicht bei unterschiedlichen Temperaturen T1 �= T2 erreichen.
In diesem dynamischen Strahlungsgleichgewicht ( ˙ Q1❀2 = ˙ Q2❀1) nimmt der
Körper mit dem geringeren Emissionsgrad die höhere Temperatur an und erreicht dadurch
die gleiche Strahlungsleistung wie sein Partner mit höherem Emissionsgrad.
✷ Diffus-graue Strahler leuchten – wie der Name schon andeutet – mit insgesamt höherer
Intensität bei gleicher spektraler Verteilung als ein ” schwarzer Körper“ der gleichen
Temperatur.
✷ Ein Körper ”1” steht durch Strahlung und Wärmeübergang im Wärmeaustausch mit
seiner Umgebung . Mit zunehmender Temperaturdifferenz T1 − T∞ zwischen Körper
und Umgebung nimmt der Gesamtwärmestrom zu, das Verhältnis des konvektiven zum
radiativen Anteils bleibt dabei jedoch konstant.
✷ Der Gesamt-Absorptionsgrad α ist kein Stoffwert, da er auch von der spektralen Zusammensetzung
der einfallenden Strahlung abhängt.
✷ Der Gesamt-Transmissionsgrad τ ist kein Stoffwert, da er auch von der spektralen Zusammensetzung
der einfallenden Strahlung abhängt.
✷ Gewöhnliches Glas ist für sog. sichtbares Licht diatherm, ultraviolettes und infrarotes
Licht werden absorbiert.

5.8. STRAHLUNG & WÄRMEÜBERGANG 59
✷ Aus der Energieerhaltung folgt für die Koeffizienten der Emission, der Absorption, der
Transmission und der Reflektion: ɛ + α + τ + ρ = 1.

60 KAPITEL 5. WÄRMESTRAHLUNG

Kapitel 6
Massen- und Energiebilanzen für
durchströmte Systeme
Mit Konduktion und Strahlung haben wir bislang zwei der anfangs vorgestellten drei Wärmetransportmechanismen
näher kennen gelernt. In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie
Masse- und Energiebilanzen in durchströmten Systemen wie Rührreaktoren, Rohrleitungen
und Wärmetauschern die Berechnung der zeitlichen bzw. räumlichen Temperaturverläufe erlauben.
Dabei spielt der advektive Transport von Masse und Energie, den wir im Folgenden
noch eingehend diskutieren werden, bereits eine entscheidende Rolle. Die Wärmedurchgangsbeziehungen
nach Péclet werden ebenfalls benötigt um die Fluidströme miteinander bzw. mit
ihrer Umgebung thermisch zu koppeln.
6.1 Ideal gerührter Behälter mit Zu- und Ablauf
Abbildung 6.1 zeigt einen ideal gerührten Behälter mit Fluiddurchlauf, Zufuhr von Heizleistung
( ˙ Qel) sowie Wärmeverlust an die Umgebung in Abhängigkeit von einem Wärmedurchgangskoeffizienten
k und der Behälteroberfläche AB. Zur Zeit t = 0 sollen die Zulauftemperatur
TE(t = 0), die Behältertemperatur T (t = 0) = T0 und die Umgebungstemperatur T∞
gleich sein und die elektrische Heizleistung ˙ Qel eingeschaltet werden. Gesucht ist die Temperatur
des Behälterinhalts für Zeiten t > 0.
Massenbilanz
Der Behälter soll nur Energie, keine Fluidmasse speichern:
m(t) = m0 = const.,
Dann folgt für die Massenströme am Zu- und Ablauf:
dm
dt
= 0.
˙mE(t) − ˙mA(t) = dm
dt = 0 ⇒ ˙mE(t) = ˙mA(t)
61

62KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
����� � �
� �������
�
���
� �
���
���
������
���� �
�����
�
�
� ∞
� ∞
����� � �
� �������
Abbildung 6.1: Ideal gerührter Behälter mit Fluiddurchlauf, Wärmeverlust an die Umgebung
und elektrischer Beheizung.
Zu- und Ablaufmassenströme könnten also noch zeitveränderlich sein. Dies wird durch die
Festlegung ˙mE = ˙mA = ˙m = const. bzw. ϱ (AE wE) = ϱ (AA wA) ausgeschlossen.
Energiebilanz
Es sei ein raumbeständiges (ϱ = const.) Fluid mit temperaturbeständiger spezifischer Wärme
(cp = cV = c = const.) als Wärmeträger vorgesehen. Bei mäßigen Druckänderungen gilt
dann die kalorische Zustandsgleichung:
dh = c dT ≈ du.
Das Modellkonzept ” ideal gerührter Behälter“ impliziert, dass im Behälter überall der gleiche
thermodynamische Zustand herrscht, T (�x, t) = T (t), und das dieser Zustand auch am Ablauf
herscht, TA(t) = T (t). Unter Berücksichtigung aller Voraussetzungen lautet die Energie-
Bilanzgleichung für den Behälter (ein offenes, ruhendes System):
Für die einzelnen Beiträge zur Bilanz gilt:
˙Ein − ˙ Eout + ˙ EQuelle = ˙ ESpeicher.
• ˙ Ein = ˙m c TE(t) + ˙ Qel.
Der erste Term auf der rechten Seite dieser Gleichung beschreibt den advektiven Transport
von Enthalpie durch die Strömung in den Behälter. Der Massenstrom ˙m transportiert
gewissermaßen im Huckepack-Verfahren entsprechend seiner spezifischen Wärme

6.1. IDEAL GERÜHRTER BEHÄLTER MIT ZU- UND ABLAUF 63
und seiner Temperatur auch Enthalphie. Der zweite Term ist die Zufuhr von elektrischer
Energie an das Fluid (beachte den Verlauf der Bilanzgrenze in Bild 6.1).
• ˙ Eout = ˙m c TA(t) + k AB (T (t) − T∞).
Hier finden wir Abfuhr von Energie durch Advektion (am Auslass) und Wärmeverlust
(Wärmedurchgang) über die Behälterwand.
• ˙ EQuelle = ˙ Wt,
die Dissipationsleistung ˙ Wt des Rührwerks. Dieser Term soll der Einfachheit halber im
Folgenden vernachlässigt werden.
• ˙ ESpeicher = m0 c dT
dt ,
d.h. eingespeicherte Wärme führt entsprechend der gesamten Wärmekapazität zu einer
Erwärmung des Behälterinhaltes.
Zusammenfassend findet man:
˙m c (TE(t) − T (t)) + ˙ Qel − AB k (T (t) − T∞) = m0 c dT
dt .
Bei zeitlich konstanter Zulauftemperatur TE(t) = T∞ folgt schließlich:
dT
dt +
�
˙m
m0
+ AB
�
k
(T (t) − T∞) =
m0 c
˙ Qel
. (6.1)
m0 c
Anstatt diese Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung der Temperatur sofort zu
integrieren, entdimensionieren wir sie mit den Bezugsgrößen ∆T und ∆t:
1. dimensionslose Temperatur θ [-]:
2. dimensionslose Zeit τ [-]:
Die Gleichung (6.1) lautet somit
dθ
dτ
+ ∆t
˙m
m0
�
θ =
1 + AB k
˙m c
T − T∞
∆T .
τ = t
∆t .
�
θ(τ) = ˙ Qel ∆t
m0 c ∆T .
Die Bezugsgrößen ∆T und ∆t werden nun so gewählt, dass sich diese Gleichung möglichst
einfach schreibt, d.h. sowohl der Faktor vor θ als auch die rechte Seite der Gleichung sollen
gleich 1 sein. Mit der Abkürzung
ω ≡ AB k
˙m c

64KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
für das Verhältnis Wandwärmeverlust zu Frischwasserkühlung ergibt sich:
Mit diesen Definitionen vereinfacht sich Gleichung (6.1) zu
∆t ≡ m0 1
,
˙m 1 + ω
(6.2)
∆T ≡
˙Qel
.
˙m c (1 + ω)
(6.3)
dθ
dτ
+ θ = 1,
mit der Randbedingung θ(τ = 0) = 0. Daraus folgt die Lösung:
θ(τ) = 1 − exp (−τ). (6.4)
Man beachte, dass ursprünglich die folgenden 9 Systemparameter gegeben waren: T0, ˙m, m0, c,
AB, k, ˙ Qel, T (t) und t, welche dann mit Hilfe der Normierungsstrategie auf θ und τ reduziert
werden konnten!
6.2 Wärmeverluste bei Strömung im Rohr
Wieder setzen wir ein Fluid mit temperatur- und druckunabhängiger Dichte ϱ ≈ const. und
Wärmekapazität c ≈ const. voraus. Dann gilt bezüglich der spez. Enthalpie h ≈ c T und
damit
für die Enthalphie dH eines Massenelements dm.
dH ≈ dm c T (6.5)
Ein konstanter Massenstrom ˙m dieses Fluids werde in eine Rohrleitung bei x = 0 mit der
Temperatur T0 eingespeist (Anwendungsbeispiel: Fernwärmeleitung). Die Rohrwand kann aus
mehreren Schichten 1, . . . , N aufgebaut sein (z.B. Stahl und wärmedämmendes Isolationsmaterial,
siehe Abb. 6.2), der Wärmeverlust d ˙ Q auf der Streckenlänge dx wird dann aus der
Péclet-Gleichung bestimmt:
d ˙ Q = �
1
αiri
2π dx (Tm(x) − T∞)
+ 1
λ1
ln r1
ri
+ . . . + 1
αara
� ≡ k 2πra (Tm(x) − T∞) dx.
Die hier vorkommenden Koeffizienten αi, αa, λ1, λ2, . . . , λN und die Abmessungen ri, r1, r2,
. . . , ra sollen gegeben und konstant sein, T∞ ist dabei die Umgebungstemperatur und Tm(x) eine
mittlere örtliche Fluidtemperatur. Letztere ist als über den Querschnitt energetisch gemittelte
adiabate Mischtemperatur definiert, näheres findet sich im Skript zur Vorlesung Wärmeund
Stoffübertragung. Mit k [W/m 2 -K] wird wie in Abschnitt 3.1 der Wärmedurchgangskoeffizient
der Rohrwand bezeichnet.

6.2. WÄRMEVERLUSTE BEI STRÖMUNG IM ROHR 65
�
���
�
� ���
α�
�
���
�
� �
�
��� ���
���
��� ���������
� ∞
�
α�
� ���������
�¥� ���
Abbildung 6.2: Abkühlung eines Fluids beim Durchströmen einer mehrlagigen Rohrleitung
bezüglich der konstanten Umgebungstemperatur
Eine stationäre Energiebilanz am ortsfesten ” Kontrollfenster“ K im Bereich (x; x + dx) liefert
bei Vernachlässigung jeglicher Längswärmeleitung (Fluid, Stahlrohr, Wärmedämmung) die
Differenzialgleichung
˙H(x) − ˙ H(x + dx) − d ˙ Q = 0.
Für den (advektiven) Enthalpiestrom in x-Richtung gilt mit (6.5) ˙ H(x) = ˙m c Tm(x) und
somit
− ˙m c dTm
dx − k 2πra (Tm − T∞) = 0.
Nach Umstellung folgt die dimensionsbehaftete Differenzialgleichung nebst Randbedingung.
dTm
dx
+ k 2πra
˙m c
(Tm − T∞) = 0; T (x = 0) = T0. (6.6)
Da der Wärmeaustauschvorgang im Temperaturintervall T0 − T∞ abläuft und sich der Quotient
˙m c/k 2πra als Bezugslänge xB anbietet, definieren wir:
mit der Lösung
θ ≡ Tm(x) − T∞
, ξ ≡
T0 − T∞
x
xB
= k 2πra x
. (6.7)
˙m c
θ(ξ) = exp (−ξ). (6.8)
Ein exponentiell abklingender Temperaturverlauf war zu erwarten, da die Änderungsgeschwindigkeit
dT/dx bzw. dθ/dξ der Temperatur proportional zu der den Wärmestrom treibenden
Temperaturdifferenz zwischen dem Fluid im Rohr und der Umgebung ist.
���

66KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
Abbildung 6.3: Fluid- und Wärmeströme (unten) sowie Temperaturverläufe (oben) von Doppelrohrwärmetauschern.
Links: Gegenstrom, rechts: Gleichstrom
6.3 Wärmetauscher
So unterschiedlichen technischen Geräten und Anlagen wie Heizkörpern und -kesseln, Kühlschränken,
Kleingasturbinen und Kondensatoren von Dampfturbinen ist gemeinsam, dass sie
Wärmetauscher (auch Wärmeübertrager ) besitzen, welche Wirkungsgrad, Kosten, Größe
und Gewicht usw. wesentlich beeinflussen. In einem Wärmetauscher – verschiedene Bauformen
sind in Abb. 6.3 bis 6.5 gezeigt – wird Wärme zwischen zwei Arbeitsmedien übertragen,
welche den Wärmetauscher durchströmen und dabei nicht in unmittelbarem Kontakt miteinander
stehen oder sich gar durchmischen, sondern durch (Rohr-)Wände voneinander getrennt
sind. Die Arbeitsmedien mögen Gase oder Flüssigkeiten sein, in wichtigen Anwendungen auch
verdampfende oder kondensierende Fluide.
Die in den obigen Abschnitten vorgestellten Beziehungen der Wärmeleitung und v.a. der
Wärmeübertragung reichen in Kombination mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik
aus, um Wärmetauscher zu berechnen. Wegen der großen Anwendungsrelevanz sollen im
Folgenden nichtsdestotrotz Berechnungs- und Auslegungsverfahren sowie die maßgeblichen
dimensionslosen Kennzahlen diskutiert werden.
6.3.1 Dimensionslose Kennzahlen
Die maßgeblichen Größen eines Wärmetauschers beliebiger Bauart sind in Bild 6.6 skizziert.
Die Indices ”h”und ”c” verweisen auf den wärmeren bzw. kälteren Strom, gestrichene Größen
beziehen sich auf den Austritt eines Stroms. A bezeichne die gesamte für die Wärmeübertragung
zur Verfügung stehende Fläche, während k einen (mittleren) k-Wert darstellt, der von
Wärmeübergangskoeffizienten αh und αc und Wärmeleitung in den Rohrwänden bestimmt

6.3. WÄRMETAUSCHER 67
Abbildung 6.4: Rohrbündel-Wärmetauscher
Abbildung 6.5: Beispiel eines Kompakt-Wärmetauschers, wie sie häufig zum Einsatz kommen,
wenn z.B. zwischen Gas und Flüssigkeit Wärme transferiert werden muss. Flächen- zu
Volumenverhältnisse von bis zu 700 m 2 /m 3 werden erreicht.

68KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
Abbildung 6.6: Maßgebliche Einflussgrößen eines Wärmetauschers (Prinzipskizze).
wird. In vielen Anwendungen werden Rippen oder Nadeln eingesetzt, um die Wärmeübergangskoeffizienten
zu erhöhen. Dies soll uns hier jedoch nicht beschäftigen; wir setzen voraus
dass k bekannt und konstant (!) ist.
Einige der in Bild 6.6 gezeigten Einflussgrößen lassen sich sofort eliminieren:
• In einem (intakten) Wärmetauscher wird kein Material zwischen den beiden Strömen
ausgetauscht, deshalb gilt ˙m ′ = ˙m.
• Da zumindest hinsichtlich der wärmetechnischen Berechnung der absolute Wert der
Temperatur irrelevant ist, genügt es mit 3 Temperaturdifferenzen anstatt 4 Temperaturniveaus
zu rechnen.
• Auch die Massenströme ˙m sind nicht von primärem Interesse, wohl aber die sog. Wärmekapazitätsströme
˙Ci ≡ ˙micp,i, i = h, c. (6.9)
Somit verbleiben 6 Einflussgrößen
Th − Tc, T ′ c − Tc, T ′ h − Th, ˙ Ch, ˙ Cc und kA,
mit Einheiten K und W/K, die sich zu 6 - 2 = 4 dimensionslosen Kennzahlen kombinieren
lassen. Folgende Definitionen haben sich als vorteilhaft erwiesen:
θh ≡ Th − T ′ h , (6.10)
Th − Tc
θc ≡ T ′ c − Tc
, (6.11)
Th − Tc

6.3. WÄRMETAUSCHER 69
N ≡ kA
, (6.12)
˙Cmin
˙Cr ≡ ˙ Cmin
, (6.13)
˙Cmax
mit ˙ Cmin = min( ˙ Cc, ˙ Ch) und analog für ˙ Cmax. Die Kennzahl N ist in der englischsprachigen
Literatur als number of transfer units (NTU) bekannt, wörtlich mit Zahl der Übertragungseinheiten
oder – etwas freier – als dimensionslose Übertragungsfähigkeit zu übersetzen. Diese
Übertragungsfähigkeit setzt den pro Grad Kelvin ausgetauschten Wärmestrom zwischen den
Fluiden ins Verhältnis zu der Wärmeleistung – ebenfalls pro Grad Kelvin – des Fluidstromes
mit dem geringeren Wärmekapazitätsstrom. Die dimensionlosen Temperaturerhöhungen θh
und θh sind auf die Differenz der Einstrittstemperatur zwischen heißem und kaltem Fluidstrom
bezogen.
Im Folgenden wird gezeigt, dass dank des ersten Hauptsatzes eine der vier Kennzahlen als
Funktion der restlichen drei ausgedrückt werden kann, z.B.
θh = θh(θc, ˙ Cr, N). (6.14)
Eine detaillierte Wärmestrombilanz erlaubt dann, die verbleibenden drei Kennzahlen in einen
funktionalen Zusammenhang
F (θc, ˙ Cr, N) = 0 (6.15)
zu stellen, der Betriebscharakteristik genannt wird.
Bei der Berechnung eines Wärmetauschers lassen sich folgende Problemstellungen unterscheiden:
• Bestimme bei gegebenen Eintrittstemperaturen Th und Tc, Wärmekapazitätsströmen
˙Ch, ˙ Cc und Übertragungsfähigkeit kA die Austrittstemperaturen T ′ h und T ′ c sowie den
Wärmestrom ˙ Q. Dieser Aufgabentyp ist als Nachrechnen eines Wärmetauschers bekannt,
da mit kA Geometrie und Strömungsverhältnisse im Wärmetauscher als gegeben
betrachtet werden können. Die Lösung dieser Aufgabe erfordert die Aufstellung der
Betriebscharakteristik in der Form
θc = θc( ˙ Cr, N).
Mit (6.14) wird anschließend die Austrittstemperatur des zweiten Fluidstromes bestimmt.
• Falls die vorgegebenen bzw. erforderlichen Temperaturniveaus an den Ein- und Austritten
des Wärmetauschers oder die Wärmekapazitätsströme bekannt sind, so ist bei einer
Auslegungsrechung die Übertragungsfähigkeit kA resp. deren dimensionslose Entsprechung
N zu bestimmen. In diesem Fall wird folgende Form der Betriebscharakteristik
benötigt:
N = N(θc, ˙ Cr).

70KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
θ C
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
Auslegung
2
C r (N,θ h ) = const
N
3
Nachrechnung
Abbildung 6.7: Graphische Lösung der Nachrechungs- resp. Auslegungsaufgabe und Bestimmung
des Betriebspunktes bei nicht explizit aufzulösender Betriebscharakteristik.
Falls die Betriebscharakteristik F (θc, ˙ Cr, N) = 0 nicht explizit nach der gesuchten Kennzahl
aufgelöst werden kann – was häufig der Fall ist – so sind graphische (siehe Bild 6.7) oder
iterative Lösungsverfahren anzuwenden.
Die vorgestellte Strategie soll nun am Beispiel eines Gegenstromwärmetauschers mit Leben
erfüllt werden.
6.3.2 Betriebscharakteristik des Gegenstromwärmetauschers
Die maßgeblichen Größen und Temperaturverhältnisse am Gegenstromwärmetauscher wurden
bereits in Bild 6.3 skizziert. Aus einer globalen Wärmebilanz folgt 1 , dass die Wärme, die das
heißere Fluid abgegeben hat, vollständig vom kühleren Fluid aufgenommen werden muss:
˙Q = ˙ Ch(Th − T ′ h) = ˙ Cc(T ′ c − Tc). (6.16)
Wie oben schon angedeutet, kann nun eine der vier Kennzahlen durch die verbleibenden drei
ausgedrückt werden. Wir nehmen o.B.d.A. an, dass ˙ Cc < ˙ Ch und somit ˙ Cr = ˙ Cc/ ˙ Ch. Dann
folgt aus (6.16)
θh = ˙ Crθc. (6.17)
Nun soll die Betriebscharakteristik des Wärmetauschers aus einer detaillierten Betrachtung
der Wärmeübertragungsvorgänge abgeleitet werden. Die lokalen Bilanzen der Energieströme
1 Wir setzen einen bzgl. der Umgebung adiabaten Wärmetauscher voraus.
4
5

6.3. WÄRMETAUSCHER 71
Abbildung 6.8: Energieströme an infinitesimalen Volumenelementen eines Gegenstromwärmetauschers.
an infinitesimalen Volumenelementen dV der beiden Fluidströme ergeben (siehe Bild 6.8)
˙Ch(x)Th(x) = d ˙ Q(x) + ˙ Ch(x + dx)Th(x + dx),
˙Cc(x + dx)Tc(x + dx) + d ˙ Q(x) = ˙ Cc(x)Tc(x).
Hier stehen jeweils links die zugeführten, rechts die abgeführten Wärmeströme.
Da sich die Wärmekapazitätsströme mit der Lauflänge nicht ändern, ˙ Ci = const und
Ti(x + dx) = Ti(x) + dTi(x) kann man sofort schreiben
d ˙ Q = − ˙ CcdTc = − ˙ ChdTh.
Der besseren Lesbarkeit halber wird hier das Argument x nicht aufgeführt. Nun gilt noch,
dass der zwischen den Volumenelementen ausgetauschte Wärmestrom d ˙ Q proportional zur
lokalen Temperaturdifferenz ∆T ≡ Th − Tc zwischen den Fluidströmen ist,
d ˙ Q = k dA ∆T.
Diese beiden Gleichungen lassen sich nun zu einer Differentialgleichung für die Temperaturdifferenz
∆T kombinieren:
d∆T
∆T
�
1
= −k dA
˙Ch
− 1
�
.
˙Cc
(6.18)
Diese Gleichung kann von ”1” nach ”2” integriert werden
� � �
∆T2
1
ln = −k A
∆T1
˙Ch
− 1
�
.
˙Cc
(6.19)
Die Einführung der oben definierten Kennzahlen θc, ˙ Cr und N liefert nun nach einigen Umformungen
die gesuchte Betriebscharakteristik:
� � �
∆T2 T ′ � �
h − Tc Th − Tc + T
ln = ln
= ln
∆T1
′ h − Th
Th − Tc − T ′ � � �
1 − θh
= ln ,
c + Tc 1 − θc
Th − T ′ c

72KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
und somit
oder
� �
1 − θh
ln =
1 − θc
k A
(1 −
˙Cc
˙ Cr),
N(θc, ˙ 1
Cr) =
1 − ˙ � �
1 − Crθc
˙
ln
. (6.20)
Cr 1 − θc
Hiermit ist für den Gegenstromwärmetauscher das Auslegungsproblem gelöst. Durch Umformen
der Gleichung (6.20) ist in diesem Fall auch die für eine Nachrechnung benötigte explizite
Form der Betriebscharakteristik zu finden:
�
1 − exp −N(1 −
θc = ˙ �
Cr)
1 − ˙ �
Cr exp −N(1 − ˙ �. (6.21)
Cr)
Wie man leicht nachprüfen kann, gelten die Betriebscharakteristiken (6.20) und (6.21) auch
dann, wenn der heißere Fluidstrom den kleineren Wärmekapazitätsstrom aufweist. In diesem
Fall ist einfach in (6.21) und (6.20) θc durch θh zu ersetzen.
6.3.3 Wirkungsgrad eines Wärmetauschers
Um den Wirkungsgrad eines Wärmetauschers zu bestimmen, muss zuerst geklärt werden, was
unter einem idealen Wärmetauscher zu verstehen ist bzw. wie groß dessen Wärmeleistung ist.
Ein thermodynamisch idealer, reversibler Wärmetauscher müsste mit infinitesimal kleinen
Temperaturdifferenzen zwischen heißem und kaltem Fluid arbeiten. Damit wäre zwangsläufig
auch die Austrittstemperatur des kalten Fluids gleich der Eintrittstemperatur des heißen
Stromes und umgekehrt:
T ′ c = Th; T ′ h = Tc. (6.22)
Dieser ideale Wärmetauscher setzt nicht nur eine unendlich große Übertragungsfähigkeit
kA → ∞ zur Erreichung eines endlichen Wärmestromes bei verschwindender Temperaturdifferenz
∆T voraus, sondern auch Gleichheit der beiden Wärmekapazitätströme ˙ Cc = ˙ Ch.
Letzteres folgt aus dem ersten Hauptsatz (6.16) mit (6.22) – oder lässt sich intuitiv mit
Symmetrieargumenten begründen.
Falls nun ˙ Cc �= ˙ Ch, so erreicht nur der Strom mit geringerem ˙ C die Eintrittstemperatur
des anderen Fluidstroms. Dies lässt sich durch ein Widerspruchsargument leicht zeigen. Man
nehme an, dass ˙ Cc < ˙ Ch und trotzdem T ′ h = Tc. Mit dem ersten Hauptsatz (6.16)
˙Cc(T ′ c − Tc) = ˙ Ch(Th − T ′ h )
folgt daraus sofort T ′ c > Th – was unmöglich ist ! (q.e.d.)
Der maximale Wärmestrom eines idealen Wärmetauschers mit ungleichen Wärmekapazitätströmen
beträgt somit
˙Qmax = ˙ Cmin(Th − Tc),

6.3. WÄRMETAUSCHER 73
und entsprechend definiert man einen Wirkungsgrad
ɛ ≡
˙ Q
˙Qmax
Nun findet man durch Einsetzen in (6.16) sofort, dass
�
θc; Cc
˙ <
ɛ =
˙ Ch,
θh; Ch
˙ < ˙ Cc.
. (6.23)
(6.24)
Der Wirkungsgrad ɛ eines Wärmetauschers ist somit gleich der dimensionslosen Temperaturerhöhung
des Fluidstromes mit geringerem Wärmekapazitätsstrom ˙ C.
Betriebscharakteristiken werden vorteilhaft mit Hilfe des Wirkungsgrades ɛ anstatt θc bzw.
θh formuliert, da dann lästige Fallunterscheidungen nicht explizit angegeben werden müssen,
also N = N(ɛ, ˙ Cr) oder ɛ = ɛ( ˙ Cr, N) (siehe Incropera und DeWitt, 1996).
Aus der Definitionsgleichung (6.23) folgt, dass man bei bekanntem Wirkungsgrad ɛ die Wärmeleistung
eines Wärmetauschers einfach nach folgender Formel berechnen kann:
˙Q = ɛ ˙ Cmin(Th − Tc).
6.3.4 Mittlere Temperaturdifferenz des Gegenstrom-Wärmetauschers
Bei der Berechnung von Wärmetauschern erweist sich oft eine mittlere Temperatur
∆Tm ≡ 1
�
(Th − Tc) dA (6.25)
A A
als nützlich, obwohl damit keine grundsätzlich neuen Erkenntnisse generiert werden, die nicht
auch die Betriebscharakteristik liefern könnte. Konstanten k-Wert vorausgesetzt kann nämlich
mit Hilfe von ∆Tm die Wärmeleistung eines Wärmetauschers sofort zu
berechnet werden.
˙Q = k A ∆Tm
(6.26)
Die Bestimmung von ∆Tm erfordert wieder eine detaillierte Analyse der Temperaturverläufe
entlang der Trennwand. Für den Gegenstromwärmetauscher wurde diese Analyse bereits
durchgeführt; wir können an die Berechnung der Betriebscharakteristik im vorletzten Abschnitt
anknüpfen. Mit dem ersten Hauptsatz (6.16) kann der Term in Klammern auf der
rechten Seite von (6.19) wie folgt umgeformt werden:
� 1
˙Ch
− 1
�
˙Cc
= 1 �
Th − T
˙Q
′ h − T ′ � 1 �
c + Tc = (Th − T
˙Q
′ c) − (T ′ h − Tc) � = 1
˙Q (∆T1 − ∆T2) .
Hier bezeichnen ∆T1 und ∆T2 wieder die Temperaturdifferenz zwischen den Fluidströmen an
den Enden des Wärmetauschers. Einsetzen in (6.19) liefert dann
˙Q = k A ∆T2 − ∆T1
� . (6.27)
ln
� ∆T2
∆T1

74KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
Daraus folgt aber, dass die gesuchte mittlere Temperaturdifferenz ∆Tm für einen Gegenstromwärmetauscher
die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz ∆Tlog ist,
∆Tlog = ∆T2 − ∆T1
� . (6.28)
ln
� ∆T2
∆T1
6.3.5 Wärmetauscher mit Phasenumwandlung
Wie anfangs schon erwähnt, ist in wichtigen Anwendungen eines der beiden Arbeitsmedien
eines Wärmetauschers ein verdampfendes oder kondensierendes Fluid. Die bei der Phasenumwandlung
zuzuführende bzw. freiwerdende Verdampfungsenthalphie wird dabei vom zweiten
Fluidstrom geliefert bzw. aufgenommen. Die Verhältnisse sind in Abb. 6.9 dargestellt. Wie
im Bild angedeutet, ändert sich die Temperatur des verdampfenden bzw. kondensierenden
Mediums nicht, was die Berechnung eines Wärmetauschers bzw. seiner Betriebscharakteristik
vereinfacht.
Für einen Wärmetauscher mit Verdampfung gilt zum Beispiel für das verdampfende Fluid
Tc = const. und somit
θc = 0.
Mit c → ∞ folgt außerdem
˙Cc → ∞, ˙ Cr → 0.
Die gesuchte Betriebscharakteristik reduziert sich somit auf eine Beziehung zwischen nur zwei
Kennzahlen
N = N(θh). (6.29)
Ausgehend von der Bilanz der Energieflüsse am Volumenelement kann man sogar explizit
zeigen, dass unter den gegebenen Bedingungen
N = − ln(1 − ɛ), (6.30)
ɛ = 1 − exp(−N), (6.31)
für einen Wärmetauscher gleich welcher Bauart bzw. Stromführung.
Die Betriebscharakteristiken (6.30) und (6.31) sind näherungsweise gültig, wenn ˙ Cr ≈ 0 z.B.
wegen sehr unterschiedlicher Massenströme und/oder bei sehr unterschiedlichen spezifischen
Wärmekapazitäten.
Falls in einem Wärmetauscher vollständige Verdampfung mit anschließender Erwärmung des
Dampfes stattfindet, so ist dieses System als eine Hintereinanderschaltung von zwei Wärmetauschern
zu behandeln, welche über die Eintritts- bzw. Austrittsbedingungen für die Temperaturen
und Massenströme miteinander verkoppelt sind. Der erste Wärmetauscher wird mit
einer reduzierten Betriebscharakteristik der Form (6.29) berechnet, der zweite Wärmetauscher
mit den weiter oben vorgestellten Methoden.
Der Wärmetauscher mit Kondensation ist analog zu behandeln.

6.3. WÄRMETAUSCHER 75
Abbildung 6.9: Temperaturverläufe und Austausch von Verdampfungsenthalphie H beim
Wärmetauscher mit Verdampfen (links) und Kondensieren (rechts). Beachte, dass eine Unterscheidung
zwischen Gegenstrom- und Gleichstromwärmetauscher nicht mehr sinnvoll ist,
wenn die Temperatur eines Fluidstromes konstant ist.
6.3.6 Weitere Bauformen von Wärmetauschern
Die am Beispiel des Gegenstrom-Wärmetauschers entwickelten Methoden zur Berechnung
der Betriebscharakteristik und der mittleren Temperaturdifferenz ∆Tm lassen sich auch auf
einen (Doppelrohr) Gleichstrom-Wärmetauscher anwenden. Die Ergebnisse für die Betriebscharakteristik,
d.h. Wirkungsgrad ɛ und dimensionslose Übertragungsfähigkeit N sind in
Tabelle 6.1 zusammengestellt. Für ∆Tm findet man wieder die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz
∆Tlog, siehe Gleichung (6.28), wobei allerdings zu beachten ist, dass nun mit
∆T2 = T ′ h − T ′ c und ∆T1 = Th − Tc die Temperaturdifferenzen am Ein- und Austritt des
Wärmetauschers anders lauten als bei der Gegenstromführung.
Ein Vergleich der Wirkungsgrade der beiden Varianten zeigt, dass zumindest bei ausreichend
hoher Übertragungsfähigkeit und bei Wärmekapazitätsströmen vergleichbarer Größenordnung
der Gegenstrom- dem Gleichstrom-Wärmetauscher überlegen ist:
lim
N→∞ ɛ↑↑ = 1
1+ ˙ Cr
Gleichstrom,
lim
N→∞ ɛ↑↓ = 1 Gegenstrom.
Hier ist mit ɛ↑↑ die Gleichstrom- und mit ɛ↑↓ die Gegenstrombauweise gekennzeichnet. Wie
man sieht, ist der Wirkungsgrad der Gegenstromanordung größer, solange ˙ Cr > 0, andernfalls
gilt wie oben schon gesagt ɛ↑↑ = ɛ↑↓ = 1 − exp(−N).
Eine Bauform, der man in der Praxis häufig begegnet, ist der Kreuzstrom-Wärmetauscher.
Hier kann zwischen einem einseitig quervermischten und einem unvermischten Kreuzstrom
unterschieden werden, siehe Bild 6.11 und 6.10. Der quervermischte Kreuzstrom ist mathematisch
einfacher zu behandeln, da die Temperaturänderungen in den beiden Raumrichtungen
dank der Quermischung gewissermaßen sequentiell berechnet werden können. Details finden
sich z.B. in Baehr und Stephan [1]. Es ist noch zu unterscheiden, ob das Fluid mit dem geringeren
oder dem höheren Wärmekapazitätsstrom ˙ C quervermischt ist, die Ergebnisse finden
sich in Tabelle 6.1. Für den ungemischten Kreuzstrom ist keine geschlossene Lösung zu finden;

76KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
Abbildung 6.10: Temperaturverteilung T(x,y) bei einer einzelnen Rohrreihe als Beispiel des
einseitig quergemischten Kreuzstroms.
Abbildung 6.11: Temperaturverteilung T(x,y) bei einem Plattenwärmetauscher als Beispiel
des ungemischten Kreuzstroms.

6.3. WÄRMETAUSCHER 77
Strömungsführung Wirkungsgrad ɛ(N, ˙ Cr) dimensionslose
Übertragungsfähigkeit
N(ɛ, ˙ Cr).
Gegenstrom
Gleichstrom
Kreuzstrom
(ungemischt)
Kreuzstrom
(einseitig quergemischt,
˙Cmin ungemischt)
Kreuzstrom
(einseitig quergemischt,
˙Cmax ungemischt)
˙Cr = 0
(beliebige Bauform)
1−exp[−N(1− ˙Cr)]
1− ˙Cr exp[−N(1− ˙Cr)]
1−exp[−N(1+ ˙Cr)]
1+ ˙ Cr
� �
1˙Cr 1 − exp N 0.22 exp[− ˙CrN 0.78 ��
] − 1
� �
1 1 − exp − ˙Cr
˙ ��
Cr[1 − exp(−N)]
�
1 − exp − 1 �
1 − exp[− ˙Cr
˙ ��
CrN]
1
1− ˙ � �
1−ɛCr ˙
ln
Cr 1−ɛ
− ln[1−ɛ(1+ ˙Cr)]
1+ ˙ Cr
�
− ln 1 + 1 Cr ˙ ln(1 − ɛ ˙ �
Cr)
− 1 ˙Cr
ln[ ˙ Cr ln(1 − ɛ) + 1]
1 − exp(−N) − ln(1 − ɛ)
Tabelle 6.1: Betriebscharakteristiken verschiedener Wärmetauscher.
es muss auf eine Reihenentwicklung zurückgegriffen werden. Die in Tabelle 6.1 angegebene
Form des Wirkungsgrades ist nur für ˙ Cr = 1 exakt, ist jedoch in guter Näherung für alle
˙Cr > 0 anwendbar.

78KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
Zusammenfassung
• Massen- und Energiebilanzen erlauben die Berechnung der zeitlichen bzw. räumlichen
Temperaturverläufe in durchströmten Systemen wie Rührreaktoren, Rohrleitungen und
Wärmetauschern.
• Mit einem Massenstrom ˙m eines inkompressiblen Fluides der Temperatur T und der
Wärmekapazität c geht ein advektiver Enthalpiestrom ˙ H = ˙m c T einher.
• Bei der Bestimmung von Wärmeverlusten ist die Ursache (Temperaturdifferenz) oft proportional
zur Wirkung (Änderung der Temperatur), weshalb ein zeitlich bzw. räumlich
exponentieller Verlauf zu beobachten ist.
• Die Betriebscharakteristik erlaubt sowohl das Auslegen als auch das sog. Nachrechnen
eines Wärmetauschers. Es gibt sehr viele verschiedene Bauformen von Wärmetauschern.
Nicht immer ist die Betriebscharakteristik analytisch in der gewünschten Form darstellbar,
dann sind grafische Methoden anzuwenden.
• Entdimensionierung, d.h. die Einführung von dimensionslosen Kennzahlen, erlaubt eine
kompakte Diskussion der wesentlichen Zusammenhänge mit einer deutlich reduzierten
Zahl von Modellparametern.
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ Der durchströmte, ideal gerührte Behälter ist in Analogie zu einer Blockkapazität (elektrischer
Kondensator) zu betrachten. Der Massenstrom ˙m [kg/s] ist dabei analog zum
elektrischen Strom I [Ampere = Coulomb/Sekunde].
✷ Sowohl bei der Bestimmung der Wärmeverluste bei der Rohrströmung als auch beim Gegenstromwärmetauscher
wird die Energie an einem ” hybriden“ Kontrollvolumen bilanziert,
welches in Strömungsrichtung infinitesimal und über den Rohrquerschnitt endlich
ausgedehnt ist.
✷ Beim Wärmetauscher mit Phasenübergang ist die Temperatur eines Teilstromes konstant,
weshalb in dieser Konfiguration der maximale Wirkungsgrad erreicht wird.
✷ Beim Wärmetauscher mit Phasenübergang ist der Wirkungsgrad von Gleichstrom- und
Gegenstromanordung identisch.
✷ Alternativ zur Betriebscharakteristik kann auch mit der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz
gearbeitet werden um einen Wärmetauscher auszulegen bzw. nachzurechnen.

Kapitel 7
Grundbegriffe von Wärmeübergang
und Konvektion
In diesem und den nächsten Kapiteln wird der Wärmeaustausch zwischen einem Fluid (Gas
oder Flüssigkeit) und einer begrenzenden Wand behandelt. Im Inneren des Fluids findet dabei
der Wärmeaustausch im Wesentlichen in der Form statt, dass die von der Wand abgegebene
Wärme durch das vorbeiströmende Medium mitgenommen oder – bei kühlerer Wand –
herantransportiert wird. Die Strömung kann dabei durch Pumpen oder Gebläse – also durch
Zwangskonvektion – erzeugt werden, oder sie entsteht durch Dichteunterschiede aufgrund von
Temperatur- oder Konzentrationsgradienten als freie bzw. natürliche Konvektion. In beiden
Fällen konzentriert sich der Wärmeübergangswiderstand auf eine dünne Grenzschicht unmittelbar
an der Körperoberfläche. In der Grenzschicht wird die Intensität des konvektiven
Transports sowohl durch Wärmeleitung wie durch Advektion (Heran- oder Hinwegführung)
bestimmt. Es stellt sich somit heraus, dass der durch den Newtonschen Ansatz
˙Q = α A(TW − T∞)
definierte Wärmeübergangskoeffizient α, den wir bei Wärmeleitungsproblemen als eine vorgegebene
Randbedingung unterstellt hatten, von den Wärmetransportvorgängen in der Grenzschicht
abhängt. Der Wärmeübergangskoeffizient ist also nicht einfach ein Stoffwert des
Fluids, sondern eine ” Eigenschaft“ der Strömung (!) entlang der Körperoberfläche. Grob
vereinfachend kann man sagen, dass α von der Dicke der Grenzschicht abhängt. Historisch
wurde die Grenzschichtdicke durch Prandtl 1 so definiert, dass an ihrem Außenrand 99% des
Geschwindigkeitswertes u∞ im Freistrom erreicht werden sollen, während an der Körperoberfläche
als wichtigste Randbedingung die sog. ” Haftbedingung“ u(x, 0) = 0 zu erfüllen ist.
Die Bestimmung oder Abschätzung des Wärmeübergangskoeffizienten α bzw. der Nußelt-Zahl
Nu – ein entdimensionierter Wärmeübergangskoeffizient – für verschiedene Strömungstypen
1 Ludwig Prandtl, Physiker, ∗ Freising 4.2. 1875, † Göttingen 15.8. 1953; Direktor des Kaiser-Wilhelm-Inst.
für Strömungsforschung in Göttingen, Begründer der modernen Aero- und Hydrodynamik. Seine Untersuchungen
zur Theorie der Unterschall- und Überschallströmung (u.a. mithilfe von Windkanälen) führten zu wichtigen
Verbesserungen im Schiff- und Flugzeugbau. c○Bib. Inst. & F.A. Brockhaus AG
79

80 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
wird uns in den nächsten Kapiteln hauptsächlich beschäftigen. Ausgangspunkt sind dabei die
Differentialgleichungen, die den Strömungsvorgang und den Wärmetransport beschreiben, das
heisst die Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie.
Für erzwungene Konvektion lässt sich aus diesen Erhaltungsgleichungen ableiten, dass das
Strömungsfeld und damit auch die Ausbildung der Grenzschicht durch den Wärmeübergang
nicht beeinflusst wird, wenn von der Temperaturabhängigkeit der relevanten Stoffwerte abgesehen
werden kann; die Ausbildung der Grenzschicht ist dann ein rein strömungstechnisches
Problem. Der wesentliche Schritt im Ausbau einer Lehre vom Wärmeübergang durch Wilhelm
Nusselt 2 bestand gerade in der Einführung einer solchen idealen Flüssigkeit mit temperaturunabhängigen
Stoffwerten. Beim Großteil der technischen Anwendungen kann auch für Gase die
Dichte als unveränderliche Größe betrachtet werden, so dass keine wesentlichen Unterschiede
zwischen Flüssigkeiten und Gasen bestehen.
Bei der thermisch angeregten freien Konvektion wird die Strömung erst durch die Temperaturunterschiede
induziert, weshalb Strömungs- und Wärmeaustauschvorgang von vorneherein
miteinander gekoppelt sind.
7.1 Wesentliche Ergebnisse der Strömungslehre
Die eben erläuterte starke Bindung des Wärmeübergangs an die hydrodynamischen Vorgänge
legt es nahe, zunächst einige grundlegende Begriffe aus der Strömungslehre zu klären und
zwar vorrangig unter dem Aspekt der Zwangskonvektion. Im Folgenden werden wesentliche
Ergebnisse der Fluiddynamik am Beispiel einer Strömung nach Abb. 7.1, in der die Geschwindigkeiten
u parallel zu einer in x-Richtung erstreckten Wand gerichtet sind (man spricht von
einer längsangeströmte Platte) vorgestellt.
7.1.1 Zähigkeit und Schubspannung
Das Zusammenwirken von Trägheits- und Druckkräften in idealen Fluiden längs eines Stromfadens
(Koordinate s) wird durch die sog. Potentialtheorie bzw. durch die Gleichung von
Bernoulli beschrieben:
p(s) + ϱ w(s)2
= const.,
2
mit dem Flüssigkeitsdruck p , konstanter Dichte ϱ = const. und der Strömungsgeschwindigkeit
w(s) in s-Richtung, der Normalen auf dem Flächenelement dA eines Stromröhrenquerschnittes.
2 Wilhelm Nusselt ∗ Nürnberg 25. Nov. 1882, † München 1. Sept. 1957. Studierte Machinenwesen an der
TU Berlin-Charlottenburg und TH München. Assistent von O. Knoblauch am Labor für Technische Physik.
Veröffentlichte 1915 ” Die Grundgesetze des Wärmeübergangs“, worin erstmals die dimensionslosen Gruppen,
die heute als Kennzahlen bekannt sind, eingeführt wurden. Professor in Karlsruhe (1920-1925) und Ordinarius
des Lehrstuhls für Thermodynamik der TH Münchnen (1925-1952).

7.1. WESENTLICHE ERGEBNISSE DER STRÖMUNGSLEHRE 81
�
� ∞
� �
τ
�
Abbildung 7.1: Geschwindigkeitsverteilung u(x, y), Schubspannung τ in der laminaren Grenzschicht
δ(x) einer längsangeströmten Platte (Ordinate gegenüber Abszisse stark überhöht)
Die Wirkung der Zähigkeit oder Viskosität realer Fluid, welche an überströmten Flächen und
zwischen einzelnen, mit verschiedener Geschwindigkeit fließenden Stromfäden Reibungs- oder
Schubspannungen entstehen lässt, wird bei dieser Formulierung vernachlässigt. Wir betrachten
z.B. die Strömung über eine längsangeströmte Platte nach Abb. 7.1, in der infolge Abbremsung
Geschwindigkeitsunterschiede du in y-Richtung (senkrecht zur Wand) auftreten. Nach Stokes 3
entsteht zähigkeitsbedingt in einer zur Wand parallelen Ebene a-a eine Schubspannung τ
(Einheit Kraft pro Fläche N/m 2 ), deren Größe der Ansatz von Newton erfasst,
τ
�����
�
δ( ���
τ = η du
. (7.1)
dy
Wir begegnen wieder einmal dem Prinzip ” Wirkung“ = ” Kopplungsparameter“ × ” Ursache“.
Der Kopplungskoeffizient ist hier die dynamischen Zähigkeit oder Viskosität η mit der Einheit
[η]= kg/m-s = Pa s. Neben der dynamischen Zähigkeit η wird häufig die kinematische Zähigkeit
ν = η/ϱ mit der Einheit [ν]=m 2 /s verwendet. Fast immer darf man davon ausgehen,
dass η ein Stoffwert ist, also sehr wohl von der Zusammensetzung und dem thermodynamischen
Zustand des Fluids, nicht aber seiner Bewegung abhängt; man spricht dann von
einer Newtonschen Flüssigkeit. In mehrdimensionalen Strömungsfeldern gelten kompliziertere
Beziehungen, da τ Tensorcharakter 4 hat.
3 Sir (seit 1889) George Gabriel Stokes: brit. Mathematiker und Physiker, ∗ Skreen (Irland) 13.8. 1819, †
Cambridge 1.2. 1903; wurde 1849 Prof. in Cambridge und war 1885-90 Präs. der Royal Society; bed. Beiträge
zur Hydrodynamik, Optik (Stokes’sche Regel) und Analysis, in der er den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz
und den Zusammenhang zw. Oberflächen- und Kurvenintegralen (Stokes’scher Integralsatz) erarbeitete.
( c○1999 Bib. Inst. & F.A. Brockhaus AG)
4 Die Komponente τyx gibt dabei die Kraft x-Richtung an, welche auf ein Flächenelement mit Normalenvektor
in y-Richtung wirkt. Bei einfacher Scherung wie in Bild 7.1 gilt somit τyx = η∂u/∂y.

82 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
7.1.2 Reibungs- und Widerstandsbeiwert
Der im letzten Abschnitt vorgestellte Ansatz von Stokes (7.1) beschreibt zwar, wie die Reibungskräfte
von der Geschwindigkeitsverteilung abhängen – damit ist jedoch noch keine
Lösung für das Geschwindigkeitsfeld gefunden. In der Tat wurde es aufgrund großer mathematischer
Schwierigkeiten erst am Anfang des 20. Jahrhunderts mit der sog. Grenzschichttheorie
(s.u.) möglich, für anwendungsrelevante Konfigurationen neben den Trägheits- und
Druckkräften in der Hydrodynamik auch noch die Reibungskräfte zu berücksichtigen.
Nehmen wir trotzdem einmal an, das die Geschwindigkeitsverteilung u(x, y) über einer angeströmten
Platte bekannt ist. Dann kann kann z.B. der Reibungswiderstand W einer Platte der
Breite b (gleich der Tiefe des zweidimensionalen laminaren Strömungsfeldes) und der Länge
L berechnet werden. Dazu berechnet man nach Stokes die Wandschubspannung τW aus dem
Gradienten der Geschwindigkeitsverteilung an der Wand (y = 0):
τW = η ∂u
�
�
� ,
∂y
und daraus durch Integration der Schubspannung über die benetzte Oberfläche der Platte die
gesamte Widerstandskraft
�
W = τW dA =
A
�b
0
�L
0
� y=0
�L
τW (x) dx dy = b τW (x) dx. (7.2)
In der Praxis wird oft ein dimensionsloser örtlicher Reibungsbeiwert cf als Verhältnis der
Wandschubspannung und des dynamischen Druckes außerhalb der Grenzschicht angegeben:
Gebräuchlich ist auch ein Widerstandsbeiwert cW :
0
cf ≡ τW (x)
ϱ
2u2 . (7.3)
∞
cW ≡ W
ϱ
2 u2 ∞ A.
Hier ist mit A die überströmte oder benetzte Fläche bekennzeichnet. Für die längsangeströmte
Platte gilt A = bL. Mit (7.2) lässt sich der Widerstandsbeiwert cW als mittlerer Reibungsbeiwert
cf bestimmen:
cW = 1
L
7.1.3 Der Begriff der Grenzschicht nach Prandtl
�L
0
(7.4)
cf (x) dx ≡ cf . (7.5)
Abb. 7.1 zeigt exemplarisch, wie die Geschwindigkeit u innerhalb einer dünnen Grenzschicht
der Dicke δ vom Wert 0 an der Wand (Haftbedingung) asymptotisch auf den Wert u∞ = const.
der Kernströmung ansteigt.

7.1. WESENTLICHE ERGEBNISSE DER STRÖMUNGSLEHRE 83
Nach Ludwig Prandtl (1904) kann eine solche Unterscheidung zwischen Grenzschicht und
Kernströmung auch für andere umströmte Körper – Tragflügel, Schiffsrümpfe, Turbinenschaufeln,
. . . – getroffen werden. Dabei kann die Kernströmung in guter Näherung als zähigkeitsfreie
Potentialströmung behandelt werden (Bernoulli !), während sich die Wirkung der Zähigkeit
auf das Grenzschichtgebiet beschränkt. Mit Hilfe der sog. Grenzschichtnäherungen, die
im nächsten Kapitel ausführlich diskutiert werden, kann dann der Geschwindigkeitsgradient
an der Wand und somit die Schubspannung bzw der Wärmeübergangskoeffizient quantitativ
bestimmt werden. Diese Strategie des ”divide et impera” nach Prandtl ist für die ganze
Strömungslehre und den Wärmeaustausch von grundlegender Bedeutung.
Sogar in einem durchströmten Rohr (Abb. 7.3) bildet sich in der Nähe des Einlaufes 5 eine
(rotationssymmetrische) Grenzschicht aus. Allerdings wächst nach einer bestimmten Einlauflänge
Le die Grenzschicht bis zur Rohrachse an, so dass dann der Einfluss der Zähigkeit
in der gesamten Strömung spürbar ist.
7.1.4 Der Begriff der Turbulenz nach Reynolds
Von Reynolds 6 wurde 1883 erstmalig gezeigt, dass zwei grundsätzlich verschiedene Strömungsformen
existieren: eine laminare und eine turbulente. Bei der Ersteren laufen die einzelnen
Stromlinien geordnet nebeneinander her, während sie bei der Letzteren in unregelmäßiger
Weise miteinander verflochten sind und die einzelnen Flüssigkeitsteilchen stochastische
Schwankungsbewegungen um ihren mittleren Strömungsweg ausführen. Dieser vor allem quer
zur Strömungsrichtung erfolgende Vermischungsvorgang erhöht den Reibungswiderstand und
den Wärmeaustausch turbulent umströmter Körper bzw. turbulent durchströmter Kanäle
gegenüber der laminaren Strömung ganz wesentlich (siehe Abb. 7.2).
Reynolds hat als erster festgestellt, dass der Umschlag laminar/turbulent bei einem bestimmten
” kritischen“ Wert des dimensionslosen Ausdrucks u∞ xk/ν erfolgt. Später wurde ihm zu
Ehren dieser erste Ähnlichkeitsparameter in seiner allgemeinen Form
Rex = u∞ x
ν
als Reynoldsche Kennzahl bezeichnet. Für die ebene Platte gilt abhängig vom Störgrad der
Anströmung speziell: 10 5 ≤ Rex,k ≤ 4 10 6 ; unter technischen Bedingungen rechnet man mit
Rex,k ≈ 5 10 5 .
Die Reynolds-Zahl kann durch die Erweiterung
Rex = u∞ x
ν = ϱ u2 ∞
η u∞/x
als Verhältnis der Beschleunigungs- bzw. Trägheits- zu den Reibungskräften interpretiert werden.
5 bei Vermeidung von Ablösung durch entsprechend gerundeten Einlauf
6 Osborne Reynolds, brit. Physiker, ∗ Belfast 23.8. 1842, † Watchet (Cty. Somerset) 21.2. 1912; Prof. in Manchester
(1868-1905), stellte 1883 das nach ihm benannte hydrodynam. Ähnlichkeitsgesetz bei Vorhandensein
von Druck-, Reibungs- und Trägheitskräften auf. ( c○1999 Bib. Inst. & F.A. Brockhaus AG)

84 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
���
�����
��� �
���
δ( �£�
�������
�¡� �
�
������������� �������£�������£�
��� �
���
�������£���������¥�
��������� �
���������������
���£�����������������£�
Abbildung 7.2: Entwicklung der Geschwindigkeitsgrenzschicht an einer ebenen Platte
Für ein durchströmtes Rohr definiert man eine auf den Durchmesser D bezogene Reynolds-
Zahl,
ReD = um D
.
ν
Die mittlere Geschwindigkeit um folgt mit dem Volumenstrom bzw. dem Durchfluß ˙ V aus der
Definitionsgleichung
˙V
D
= um
2π 4 .
Für die kritische Reynolds-Zahl gilt (wiederum abhängig vom Störgrad des Zulaufs):
2300 ≤ ReD,k ≤ 5 × 10 4 , (Technik: Rek ≈ 3000),
und für die bezogene hydraulische Einlauflänge:
Le,h
D
= 0,05 ReD.
Stromab des Einlaufs ändert sich das Geschwindigkeitsprofil nicht mehr, mit anderen Worten:
es liegt eine hydraulisch ausgebildete Strömung vor. Verläuft die Strömung im Rohr
laminar, so ist das Geschwindigkeitsprofil im ausgebildeten Zustand parabolisch, wie Hagen
und Poiseuille erstmals gefunden haben (siehe Vorlesung Wärme- und Stoffübertragung).
7.1.5 Die hydrodynamischen Grundgesetze viskoser Fluide
Diese werden in den Vorlesung ” Fluidmechanik“ abgeleitet und sind in jedem einschlägigen
Lehrbuch zu finden, weshalb wir hier nur das Ergebnis mitteilen. Für ein raumbeständiges
Fluid (ϱ = const.) und stationäre, ebene Strömung (2D, kartesische Koordinaten) gilt:

7.1. WESENTLICHE ERGEBNISSE DER STRÖMUNGSLEHRE 85
�
���
� �
���
�����
�����������������
�������������
Abbildung 7.3: Grenzschicht und Geschwindigkeitsverteilung beim Einlauf in ein Rohr vom
Durchmesser D
Der Massenerhaltungsatz (Kontinuitätsgleichung):
∂u ∂v
+
∂x ∂y
Der Impulserhaltungssatz (Navier-Stokes-Gleichungen7 )
�
ϱ u ∂u
�
∂u
+ v
∂x ∂y
= − ∂p
∂x
+
�
∂2u η
∂x2 + ∂2u ∂y2 �
ϱ u
�
∂v
�
∂v
+ v
∂x ∂y
= − ∂p
∂y
+
�
∂2v η
∂x2 + ∂2v ∂y2 �
= 0. (7.6)
+ ϱ gx, (7.7)
+ ϱ gy, (7.8)
Trägheitskraft Druckkraft Zähigkeitskraft Feldkraft
Neben diesen drei Differentialgleichungen müssen zur eindeutigen Beschreibung eines Modellfalles
noch Randbedingungen sowie die Körperkontur vorgegeben werden. Für die längsangeströmte
ebene Platte lauten die Randbedingungen:
y = 0 : u(x, 0) = 0, (Haftbedingung)
v(x, 0) = 0, (Platte massedicht)
y → ∞ : u(x, ∞). = u∞ (Anströmgeschwindigkeit)
7.1.6 Die Energieerhaltungsgleichung viskoser Fluide
Die hydrodynamischen Grundgleichungen – ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen
– konnten bis 1908 (!) nur für wenige einfache Fälle gelöst werden. Diese Feststellung
führt naheliegenderweise auf die Frage, welches die neuen Methoden waren, die der
7 Claude Louis Marie Henri Navier, frz. Physiker und Ingenieur, *Dijon 15.2. 1785, Paris 23.8. 1836; ab 1819
Prof. in Paris, leistete bed. Beiträge zur Mechanik, Baustatik und Hydrodynamik. c○1999 Bib. Inst. & F.A.
Brockhaus AG

86 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
modernen Hydrodynamik den Weg bahnten. Zuvor soll jedoch der Energietransport in zähen
Flüssigkeiten - das Hauptanliegen dieses Kapitels - formuliert werden.
Die Zustandsgleichungen der Fluide: Bei Unterstellung nahezu konstanter Dichte kann
auf die Angabe einer thermischen Zustandsgleichung verzichtet werden; man benötigt nur die
kalorische Zustandsgleichung für den Energietransport
� � � �
T ∂ϱ dp
dh = cp dT +
+ 1
ϱ ∂T ϱ ,
du = cv dT −
�
T
� ∂p
∂T
p
�
ϱ
− p
�
dϱ
.
ϱ2 Raumbeständige Fluide (ϱ=const.) bei mäßiger Druckänderung:
Ideale Gase:
dh ≈ cp dT,
du ≈ cv dT,
cp ≈ cv = c.
dh = cp dT,
du = cv dT,
cp − cv = R.
Vereinbarung: Wir verwenden - wie schon bei den Festkörpern- die Beziehungen dh = cp dT
und du = cv dT für beide Fluidmodelle.
Über eine Energiebilanz an einem raumfesten Volumenelement folgt für raumbeständige Fluide
(ϱ = const.) und ebene Strömung (x, y, u, v):
�
ϱcp u ∂T
� �
∂T
∂2T + v = λ
∂x ∂y
∂x2 + ∂2T ∂y2 �
+ u ∂p ∂p
+ v
∂x ∂y
+ η φ. (7.9)
Advektion Wärmeleitung Kompression Dissipation
Mit φ wird die Dissipationsfunktion nach Rayleigh bezeichnet. Kompressions- und Dissipationsarbeit
sind bei Hochgeschwindigkeitsströmungen von Bedeutung, letztere auch noch bei
sehr zähen Flüssigkeiten. Beide Terme sollen im Weiteren vernachlässigt werden. Dann folgt
die vereinfachte Gleichung
u ∂T ∂T
+ v
∂x ∂y
= a
�
∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 �
, (7.10)
welche nur noch den makroskopischen (molaren) Energietransport mit dem molekularen (diffusiven)
verknüpft. Für die Temperaturleitfähigkeit gilt bekanntermaßen: a = λ/(ϱcp).
Ergänzend zu den hydrodynamischen Randbedingungen folgen die thermischen:
y = 0 : T (x, 0) = TW (konstante Plattentemperatur),
y → ∞ : T (x, ∞) = T∞ (Freistromtemperatur).

7.2. DIMENSIONSLOSE FORM DER ERHALTUNGSGLEICHUNGEN UNDKENNZAHLEN DER THERM
7.2 Dimensionslose Form der Erhaltungsgleichungen und
Kennzahlen der Thermo-Fluiddynamik
In den Kapiteln zur Wärmeleitung wurde bereits mehrmals gezeigt, wie durch die Einführung
von geeignet gewählten Bezugsgrößen eine Differentialgleichung resp. die darin vorkommenden
Größen entdimensioniert werden können. Die dabei auftretenden dimensionslosen Gruppen
von Einflußgrößen spielen als Kennzahlen – z.B. Biot- oder Fourier-Zahl – eine äußerst
wichtige Rolle in der Thermo-Fluidynamik. Vorteile dieser Darstellung ist eine größere Verallgemeinerungsfähigkeit
von experimentell oder analytische gewonnenen Ergebnissen.
7.2.1 Reynolds-, Péclet- und Prandtl-Zahl
Als Beispiel aus der konvektiven Wärmeübertragung diene wiederum die längs angeströmte
ebene Platte bei Zwangskonvektion und vernachlässigbarer Feldkraft (gx = gy = 0), siehe
Bild 7.4. Es sollen die folgenden (konstanten) Systemparameter gegeben sein: Plattenlänge
L, Freistromgeschwindigkeit u∞, Freistromtemperatur T∞ und Wandtemperatur TW .
Im ersten Schritt werden die schon vorgestellten Grundgleichungen (7.6) - (7.8) sowie (7.10)
(nebst Randbedingungen) in dimensionslose Form gebracht, indem jede Variable k mit Hilfe
einer zunächst unbekannten Bezugsvariablen kB eine dimensionslose ( ” nackte“) Variable ˜ k
gemäß der Definition ˜ k = k/kB zugewiesen erhält.
Das Plattenmodell wird durch fünf Variable beschrieben. Für x, y, u und v liefern die obigen
Systemparameter die benötigten Bezugsgrößen unmittelbar; nur pB bleibt unbekannt und
dient als ” Spion“, den man zwecks Erkundung zum ” Gegner“ (ins Differentialgleichungsystem)
schickt.
˜x = x
L
y u
; ˜y = ; ũ = ; ˜v =
L u∞
v
; ˜
T − T∞
T = ; ˜p =
u∞ TW − T∞
p
.
pB
Im nächsten Schritt ersetzt man in den bereits aufgeführten partiellen Differentialgleichungen
x durch ˜x L; u durch ũ u∞; etc. und erhält:
1. Kontinuitätsgleichung (vgl. mit 7.6):
� ∂ũ
∂˜x
�
∂˜v u∞
+
∂˜y L
Diese liefert keine der erhofften Bedingungen, da u∞/L beliebige Werte annehmen, bzw.
wegdividiert werden kann.
= 0.
2. Bewegungsgleichung: Impulssatz (z.B. für x-Richtung, vgl. 7.7):
�
ũ ∂ũ
∂˜x
�
∂ũ
+ ˜v ϱ
∂˜y
u2∞ L
∂ ˜p pB
= −
∂˜x L +
�
∂2ũ ∂˜x 2 + ∂2ũ ∂˜y 2
�
ηu∞
.
L2

88 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
3. Energiegleichung (vgl. mit 7.10):
�
ũ ∂ ˜ T
∂˜x + ˜v ∂ ˜ T
∂˜y
�
ϱ cp
u∞
L =
�
∂2T˜ ∂˜x 2 + ∂2T˜ ∂˜y 2
�
λ
.
L2 Dividiert man Gleichung für den x-Impuls durch ϱu2 ∞ /L, so erhält der vorletzte Term den
dimensionslosen Faktor pB/(ϱ u2 ∞ ), den wir wegen der noch nicht belegten, also freien Bezugsgröße
pB gleich 1 setzen dürfen. Dann folgt:
pB = ϱ u 2 ∞ bzw. ˜p = p
ϱ u2 .
∞
Beim letzten Term resultiert nach Division der Faktor:
η ν 1
= =
ϱ u∞ L u∞ L ReL
Sollen zwei Strömungsvorgänge (in der Nähe hydraulisch glatter Wände) hydrodynamisch
ähnlich sein, so ist neben ähnlicher Geometrie nur noch Wertegleichheit bezüglich des Ähnlichkeitsparameters
ReL erforderlich.
Nach Division von Gleichung (3) durch ϱcp u∞/L erhält man mit der Temperaturleitfähigkeit
a = λ/(ϱcp) beim letzten Term den Faktor
λ
ϱcp
1
u∞ L
a 1
= =
u∞ L ReL
Die neue, nach Péclet benannte Kennzahl
a
ν
= 1
ReL
PeL ≡ u∞ L
a = ϱcp u∞
λ/L ,
!
1 1
= .
Pr PeL
kann physikalisch als das Verhältnis des rein advektiven (makroskopischen) Energietransportes
zum diffusiven (mikroskopischen) interpretiert werden.
Zu Ehren Ludwig Prandtls wird das Verhältnis von kinematischer Zähigkeit und Temperaturleitfähigkeit
Pr = ν
a
als Prandtl-Zahl bezeichnet. Dieses Stoffwertverhältnises charakterisiert das Verhältnis von
diffusivem Impuls- zu diffusivem Wärmetransport in den wandnahen Grenzschichten des
Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes. Einige Zahlenwerte sind in Tafel 7.1 angegeben.
Wie im nächsten Kapitel gezeigt wird, sind ganz allgemein Produkte von Kennzahlen wiederum
Kennzahlen. Hier gilt offensichtlich:
PeL = ReL Pr.

7.2. DIMENSIONSLOSE FORM DER ERHALTUNGSGLEICHUNGEN UNDKENNZAHLEN DER THERM
In der Tat ist die Prandtl-Zahl (in Kombination mit der Reynolds-Zahl) gebräuchlicher als die
Péclet-Zahl. Damit lauten die Erhaltungsgleichungen der Thermo-Fluiddynamik in dimensionsloser
Form (2-dimensional, ohne Körperkräfte):
∂ũ ∂˜v
+
∂˜x ∂˜y
ũ ∂ũ ∂ũ
+ ˜v
∂˜x ∂˜y
ũ ∂˜v ∂˜v
+ ˜v
∂˜x ∂˜y
ũ ∂ ˜ T
∂˜x + ˜v ∂ ˜ T
∂˜y =
= 0. (Masse), (7.11)
=
�
∂ ˜p 1 ∂2ũ − +
∂˜x ReL ∂˜x 2 + ∂2ũ ∂˜y 2
=
�
(x-Impuls),
�
˜p 1 ∂2˜v −∂ +
∂˜y ReL ∂˜x
(7.12)
2 + ∂2˜v ∂˜y 2
�
(y-Impuls),
�
1 ∂2T˜ ReL Pr ∂˜x
(7.13)
2 + ∂2T˜ ∂˜y 2
�
(Energie), (7.14)
Als Ergebnis dieser Untersuchung kann festgehalten werden:
Die Kennzahlen ReL und Pr (alternativ PeL bestimmen neben der
Geometrie die Ähnlichkeit thermofluiddynamischer Vorgänge bei Zwangskonvektion
(an hydraulisch glatten Flächen).
7.2.2 Nußelt-Zahl
Im vorhergehenden Abschnitt haben wir den örtlichen Übertragungskoeffizienten für den Impuls
in Gestalt des Reibungsbeiwertes cf(x) eingeführt. In diesem Abschnitt wird der entsprechende
dimensionslose Übertragungskoeffizient für Wärme, die Nußeltsche Kennzahl oder
kurz Nußelt-Zahl vorgestellt.
Aufgrund der Prandtlschen Haftbedingung verschwindet die Geschwindigkeit an der Wand,
u(x, y = 0) = 0. Folglich ist dort ausschließlich die Wärmeleitung im Fluid (!) für die
Wärmeübertragung vom Festkörper an das Fluid verantwortlich. Falls nun das Temperaturfeld
T (x, y) im Fluid bekannt ist, so läßt sich der lokale wandnormale Wärmefluss über
das Fouriersche Transportgesetz
˙qW (x) ≡ ˙qy(x, 0) = −λ
∂T (x, y)
∂y
�
�
�
�
y=0+
ermitteln. Damit haben wir unser Ziel – die Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten
– bereits erreicht, da sich nun α(x) aus dem Gradienten des Temperaturprofils im Fluid und
Flüssige Metalle Hg: 0,025
Gase Luft: 0,71 CO2: 0,80 NH3: 0,94
Flüssigkeiten Wasser: 7,03 Alkohol: 16,2 Trafo-Öl: 480
Tabelle 7.1: Prandtl-Zahlen verschiedener Fluide bei 20 ◦ C.

90 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
� ∞
� ∞
���
�
�����
� ∞
���������
�
�
� ∞
���
��� �������
δ( �£�
� �£� δ�
Abbildung 7.4: Entwicklung der laminaren hydrodynamischen und thermischen Grenzschichten
an einer ebenen beheizten Platte bei erzwungener Konvektion für ein Fluid mit
P r = ν/a < 1 (Gase).
an der Wand berechnen lässt:
α(x) = ˙qW (x)
TW − T∞
= −
λ
TW − T∞
∂T (x, y)
∂y
�
�
�
�
y=0+
(7.15)
Aus dem gerade Gesagten sollte klar sein, dass λ die Wärmeleitfähigkeit des Fluids ist und
nicht die des Wandmaterials.
Man könnte aus diesem Ergebnis schließen, dass die Strömung des Fluids doch keinen Einfluss
auf den Wärmeübergang hat, schließlich taucht die Geschwindigkeit in obiger Gleichung
überhaupt nicht auf. Das ist jedoch ein unzulässiger Schluss, da der Temperaturgradient an
der Wand wesentlich von der Advektion in der Grenzschicht beeinflusst wird.
Wir definieren mit Hilfe von Gleichung (7.15) nun die örtliche Nußelt-Zahl wie folgt
NuL ≡
α L
λ
= −
L
TW − T∞
∂T
∂y
�
�
�
�
y=0+
= ∂ ˜ T
∂˜y
Die zuletzt aufgeführte Schreibweise mit den dimensionslosen Variablen
˜y ≡ y
L ;
T˜ T − TW
≡ ,
T∞ − TW
�
�
�
� . (7.16)
�
˜y=0+
macht deutlich, dass die Nußelt-Zahl auch als ein dimensionsloser Temperaturgradient (im
Fluid, an der Wand) angesehen werden kann, ähnlich wie der Reibungsbeiwert cf sich aus
dem entdimensionierten Gradienten der Geschwindigkeit an der Wand bestimmen lässt. Der
Index L weist darauf hin, dass die Nußelt-Zahl auf die Länge L bezogen ist. Beachte, dass
dieser Index nicht immer explizit angeführt ist.

7.2. DIMENSIONSLOSE FORM DER ERHALTUNGSGLEICHUNGEN UNDKENNZAHLEN DER THERM
Meist interessiert der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α zwischen x = 0 und x = L,
definiert als:
bzw. die mittlere Nußelt-Zahl
α ≡ 1
L
�L
0
NuL =
α(x)dx,
α L
λ .
Für den gesamten, von der Platte (einseitig) übertragenen Wärmestrom ˙ Q folgt:
˙Q = α b L (TW − T∞) .
Auch für das Temperaturfeld lässt sich analog zum Geschwindigkeitfeld eine thermische
Grenzschichtdicke δt(x) angeben, wenn man fordert, dass ihr Außenrand bei 99% der Temperaturdifferenz
(TW − T∞) liegen soll. δt(x) kann dünner oder dicker als δ(x) sein (siehe Abb.
7.4)

92 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
Zusammenfassung
• Für den Impulsübertrag in viskosen Fluiden gilt nach Newton, dass die Schubspannung
proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit ist. Proportionalitätskonstante ist
die Viskosität. Die Schubspannung τij ist ein Tensor, im einfachsten Fall (konstante
wandparallele Strömung) schreibt man τ = η ∂u/∂y.
• Laminare Strömung schlägt bei ausreichend hoher Reynolds-Zahl in turbulente Strömung
um. Die unregelmäßige Bewegung der Fluidteilchen bei turbulenter Strömung verstärkt
den Austausch von Impuls, Energie und Stoff.
• Laminare wie turbulente Strömungen lassen sich unterteilen in eine Kernströmung,
die näherungsweise reibungsfrei behandelt werden kann, und eine Grenzschicht, in der
Zähigkeitseffekte den Austausch von Impuls, Energie und Stoff wesentlich bestimmen.
• Die folgenden Kennzahlen lassen sich durch Entdimensionieren der thermo-fluiddynamischen
Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie identifizieren:
Reynolds-Zahl Re ∼ Trägheit
Reibung ,
Péclet-Zahl Pe ∼
Prandtl-Zahl Pr ∼
Nußelt-Zahl Nu ∼
Trägheit
Wärmeleitung ,
Reibung
Wärmeleitung ,
�
dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient,
dim.loser Temperaturgradient im Fluid / an der Wand.

7.2. DIMENSIONSLOSE FORM DER ERHALTUNGSGLEICHUNGEN UNDKENNZAHLEN DER THERM
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
Betrachten Sie den Wärmeübergang von einem umströmten Körper an das Fluid.
✷ Der Wärmeübergangskoeffizient α gibt zwar die Randbedingung für die Wärmeleitung
im Körper an, ist jedoch ein Stoffwert des strömenden Mediums.
✷ Der Gradient der Fluidtemperatur an der Wand läßt sich wie bei der Wärmeleitung mit
Hilfe einer Randbedingung der 3. Art aus dem Wärmeübergangskoeffizienten bestimmen.
✷ Der Wärmeübergangskoeffizient bzw. die Nußelt-Zahl kann als eine ” Eigenschaft“ der
Strömung angesehen werden, der er vereinfacht gesprochen von der Grenzschichtdicke
abhängt.
✷ Die Nußelt-Zahl hat die Dimension eines Temperaturgradienten.
✷ Es macht keinen wesentlichen Unterschied ob man bei der Diskussion thermo-fluiddynamischer
Zusammenhänge mit der Reynolds- oder der Péclet-Zahl arbeitet, da sich
diese beiden Kennzahlen mit Hilfe der Prandtl-Zahl ineinander überführen lassen.
✷ Der Wert des dimensionslosen Temperaturgradienten an der Wand ist zum Wärmeübergangskoeffizienten
direkt proportional.
Betrachten Sie den Wärmeübergang von einer beheizten Wand an ein ruhendes Fluid.
✷ Beim ruhenden Fluid strebt die Grenzschichtdicke gegen unendlich, da es keine Kernströmung
gibt. Damit gilt: Nu → 0 (verschwindender Temperaturgradient im Fluid).
✷ Die Grenzschicht wird infinitesimal dünn, da aufgrund des verschwindenden Geschwindigkeitsgradienten
die Schubspannung und damit die ” Zähigkeitswirkung“ im gesamten
Fluid gleich Null ist. Damit gilt Nu → ∞ und somit auch α → ∞. Wegen
λW
∂TW
∂y = α(TW − T∞)
muss deshalb bei endlichem Wärmefluß im Wandmaterial auch TW → T∞.
✷ An der Wand gilt die folgende Koppelbedingung (mit Fl für Fluid):
�
∂TW �
λW
�
∂y
�
∂TF l �
= λF
�
l
∂y
.
� y=0−
� y=0+
✷ Ein ruhendes Fluid ist bezüglich des Wärmetransportes wie ein wärmeleitender Festkörper
zu betrachten. Die Anwendung von Grenzschichtkonzepten u. ä. ist nicht sinnvoll.

94 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION

Kapitel 8
Impuls- und Wärmeübertragung in
der Plattengrenzschicht
In diesem Kapitel wird die sog. Grenzschicht-Theorie nach Prandtl am Beispiel der Strömung
über eine ebene Platte vorgestellt. Erst im Rahmen dieser Näherung gelang es, Lösungen für
die Verteilungen von Geschwindigkeit und Temperatur bei laminarer Strömung zu finden,
woraus sich wiederum die für die Arbeit des Ingenieurs unentbehrlichen Korrelationen für
Reibungsbeiwert cf und Nußelt-Zahl Nu in Abhängigkeit von Reynolds- und Prandtl-Zahl
bestimmen lassen.
8.1 Grenzschichtgleichungen für Zwangskonvektion
Bis Anfang des 20. Jahrhunderts waren – trotz erheblicher Anstrengungen der besten Mathematiker
– nur sehr wenige Lösungen der Navier-Stokes Gleichungen (siehe z.B. Gleichungen
(7.7) und (7.8) mit (7.6) ) bekannt. Wegen unüberwindlicher mathematischer Schwierigkeiten
konnten für viele strömungsmechanische Probleme, bei denen die Reibungskräfte bzw. die aus
der Viskosität resultierenden Randbedingungen ( ” Haftbedingung“) eine Rolle spielen, keine
Lösungen gefunden werden.
Ludwig Prandtl gelang 1904 ein entscheidender Durchbruch: gestützt auf ein tiefgreifendes
Verständnis der physikalischen Zusammenhänge führte er den Begriff der ” Grenzschicht“ ein.
Dieser Ansatz setzt voraus, dass bei grossen Reynolds - Zahlen – also deutlicher Dominanz
der Trägheits- über die Zähigkeitskräfte – schon in geringer Entfernung von festen Wänden
der Einfluss der Reibung zu vernachlässigen ist, die Strömung dort also potentialtheoretisch
beschrieben werden kann. Nur innerhalb einer dünnen, wandnahen Grenzschicht sind die
Zähigkeitskräfte von gleicher Größenordnung wie die Reibungskräfte.
Diese Modellvorstellung hat zur Folge, dass in den hydrodynamischen Differentialgleichungen
Glieder geringerer Größenordungen vernachlässigt werden können. So resultiert aus den
95

96KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
Navier-Stokes- und Energiegleichungen (7.6) - (7.8) sowie (7.9) ein einfacherer1 Satz von
” Grenzschichtgleichungen“ .
Im Fall der Strömung bei großer Reynolds-Zahl ReL ≫ 1 über eine ebene Platte (siehe Bild
7.1) oder generell gesprochen einen stromlinienförmigen Körper führt Prandtls Ansatz auf die
folgenden Ungleichungen für die Geschwindigkeitsgrenzschicht δ:
δ(x) ≪ x,
∂u
∂y
u ≫ v,
∂u ∂v
≫ ,
∂x ∂y .
Ganz ähnlich gilt für die Temperaturgrenzschicht δt:
δt(x) ≪ x,
∂T
∂y
≫ ∂T
∂x .
Damit vereinfachen sich die im letzten Kapitel vorgestellten Erhaltungsgleichungen für Masse,
Impuls und Energie – Gleichungen (7.6) - (7.8) und (7.10) – zu den sog. Grenzschichtgleichungen
für zweidimensionale laminare Zwangskonvektion:
Die Randbedingungen lauten:
∂ũ ∂˜v
+
∂˜x ∂˜y
= 0, (8.1)
ũ ∂ũ ∂ũ
+ ˜v
∂˜x ∂˜y
=
∂ ˜p 1 ∂
− +
∂˜x ReL
2ũ ,
∂˜y 2 (8.2)
0 =
∂ ˜p
− ,
∂˜y
(8.3)
ũ ∂ ˜ T
∂˜x + ˜v ∂ ˜ T
∂˜y =
1
ReL Pr
ũ(˜x, 0) = 0 (Haftbedingung)
˜v(˜x, 0) = 0 (Wand massedicht)
ũ(˜x, ∞) = 1 (Freistromzustand)
˜T (˜x, ∞) = 1 (Freistromzustand)
˜T (˜x, 0) = 0 (Konstanz der Wandtemperatur)
∂2T˜ . (8.4)
∂˜y 2
Wegen der geringen Dicke der Grenzschicht (δ/L ≪ 1) lassen sich die Gleichungen, welche die Strömung innerhalb
der Grenzschicht über einen stromlinienförmigen Körper beschreiben, in einfacher Weise in einem Koordinatensystem
darstellen, in dem die x-Achse in Strömungsrichtung entlang der Oberfläche und die y-Achse normal dazu verläuft,
siehe Abb. 8.1. Es folgt, dass die für die ebene Platte hergeleiteten Grenzschichtgleichungen (8.1) - (8.4) auch auf
solche Geometrien übertragen werden können.
1 Mathematisch führt dies dazu, dass das ursprünglich zu lösende partielle Differentialgleichungssystem vom
elliptischen Typ in den wesentlich traktableren parabolischen übergeht.

8.2. ANALYTISCHE GRENZSCHICHTLÖSUNGEN FÜR DIE EBENE PLATTE 97
y
v
x
u
Abbildung 8.1: Koordinatensystem für die Grenzschichtströmung um ein Tragflächenprofil
Aus Gl. (8.3) folgt unmittelbar, dass der Außendruck ˜p(˜x, ∞) der (Potential-)Strömung sich der Grenzschicht
aufprägt,
˜p(˜x, ˜y) = ˜p(˜x, ∞),
oder
∂ ˜p
∂˜x ≡ ˜ dp
˜dx .
Anders formuliert: der Druck ˜p innerhalb der Geschwindigkeitsgrenzschicht δ bleibt längs y konstant. Die Umrisslinie
des umströmten Körpers nach Abb. 8.1 soll durch eine ” Konturfunktion“ K(˜x, ˜y) festgelegt sein; dann lässt sich das
Druckfeld p(x) bzw. ˜p(˜x) am Grenzschichtrand in sehr guter Näherung (keine Berücksichtigung der Verdrängungs-
wirkung von δ(x)) potentialtheoretisch lösen, ohne die Gleichungen (8.1), (8.2) und (8.4) einbeziehen zu müssen.
�(x)
N.B.: für die ebene Platte oder in guter Näherung z.B. für dünne Tragflügelprofile gilt ∂ ˜p/∂˜x = 0.
8.2 Analytische Grenzschichtlösungen für die ebene Platte
Als einfachster Modellfall wird die längsangeströmte ebene und isotherme (T (x, 0) = TW )
Platte untersucht (siehe Abb. 7.4). Hierbei ist der Druck p zusätzlich in x-Richtung konstant,
weshalb neben dem Gradienten ∂p/∂y auch noch ∂p/∂x entfällt (schon bei dünnen
Tragflügelprofilen gilt dies nicht mehr).
8.2.1 Ähnlichkeitslösung für das Geschwindigkeitsfeld
Betrachten wir die laminare Strömung über eine ebenen Platte, so stellen wir fest, dass
aufgrund der besonders einfachen Geometrie die Geschwindigkeitsprofile in verschiedenen
Abständen x von der Vorderkante zueinander ” affin“ oder ” (selbst-)ähnlich“ sein sollten.
Genauer: Geschwindigkeistprofile u(x, y) sollten sich für verschiedene Positionen x1, x2 zur
Deckung bringen lassen, wenn man jeweils einen geeigneten Maßstabsfaktor wählt um das
Profil zu strecken bzw. zu stauchen 2 .
2 Für die Existenz einer Ähnlichkeitslösung spricht auch folgende Beobachtung: Der parabolische Typ des
Differentialgleichungssystems impliziert, dass ein sog. ” Anfangswertproblem“ vorliegt, d.h. dass sich eine etwa
bei x = xk aufgetretene Störung - z.B. der Umschlag laminar/turbulent - nur stromabwärts ( im Bereich
x ≥ xk) auswirken kann. Setzt man xk = L, so kann die Strömung im Bereich x ≤ L auch nicht ” merken“,
dass die Platte bei L zu Ende ist !

98KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
Für die tangentiale Geschwindigkeitskomponente u bedeutet das
�
u(x, y) = u
y
yBez(x)
wobei yBez eine noch zu bestimmende Bezugslänge ist. Diese Bezugslänge ist allerdings a
priori nicht bekannt, sondern muss als Teil der Lösung des Problems bestimmt werden!
Skalierung der Grenzschichtdicke
Aus der geforderten Selbstähnlichkeit der Lösung darf ohne Kenntnis weiterer Details der
Schluss gezogen werden, dass yBez proportional zur Grenzschichtdicke δ sein muss. Eine
Größenordnungsvergleich der in der Grenzschicht relevanten Kräfte liefert dann das benötigte
Längenmaß. Dazu rufen wir in Erinnerung, dass in der Grenzschicht Reibungs- und Trägheitskräfte
von der gleichen Größenordnung sind. Ein Vergleich der Trägheits- und Reibungsterme
in der Impulserhaltungsgleichung (7.7) liefert die folgenden Abschätzungen:
�
,
Reibungskraft ∼ ν u∞
,
δ2 Trägheitskraft ∼ u2 ∞
x .
Das Zeichen ” ∼“ steht dabei für ” ist von der Größenordnung“ oder ” skaliert mit “. Es folgt
bzw.
δ 2 ∼
ν x
u∞
= x2
,
Rex
δ(x) ∼ x Re −1/2
x .
Dieses Ergebnis – die Dicke der laminaren Geschwindigkeitsgrenzschicht nimmt proportional
zur Wurzel das Abstandes von der Vorderkante zu – ist an sich schon bemerkenswert. Darüber
hinaus legt es folgende Definitionen für die Bezugslänge yBez und eine Ähnlichkeitsvariable γ
nahe:
Stromfunktion f
yBez ≡ x Re −1/2
x ,
γ ≡ y
yBez
= y
x Re1/2
x .
Das hydrodynamische Modell ” ebene Platte“ ergibt sich aus (8.1) und (8.2) mit ∂p/∂x = 0:
∂ũ ∂˜v
+
∂˜x ∂˜y
ũ ∂ũ ∂ũ
+ ˜v
∂˜x ∂˜y =
= 0 (Massenerhaltung), (8.5)
1
ReL
∂2ũ (x-Impuls). (8.6)
∂˜y 2

8.2. ANALYTISCHE GRENZSCHICHTLÖSUNGEN FÜR DIE EBENE PLATTE 99
8
6
γ = 5 γ = 5
γ γ = = 5 5 γ = 5
4
γ = 5
2
γ = y/(x Re-1/2 )
x
0.2 0.4 0.6 0.8 1 u / u ∞
u = 0.998 u ∞
Abbildung 8.2: Profil der tangentialen Geschwindigkeitskomponente ũ bei laminarer Strömung
über einer ebenen, glatten Platte in dimensionsloser Darstellung.
mit den Randbedingungen
ũ (˜x, 0) = 0; ˜v (˜x, 0) = 0; ũ (˜x, ∞) = 1;
Man führt nun eine Stromfunktion f(˜x, ˜y) ein, die die folgenden Beziehungen erfülle:
Einsetzen in Glchg. (8.5) liefert nun
∂ũ ∂˜v
+
∂˜x ∂˜y
ũ = ∂f
, ˜v = −∂f
∂˜y ∂˜x .
∂2
∂2
= f(˜x, ˜y) − f(˜x, ˜y) = 0,
∂˜x∂˜y ∂˜y∂˜x
d.h. durch die Einführung der Stromfunktion wird die Massenerhaltungsgleichung ” automatisch“
erfüllt (siehe hierzu Lehrbücher aus der Strömungslehre).
Mit Hilfe der Ähnlichkeitsvariablen γ läßt sich dann die Impulsgleichung (8.6) (eine partielle
Differentialgleichung) in eine gewöhnliche (!) Differentialgleichung für die Stromfunktion f(γ)
überführen, indem nach folgendem Muster die Kettenregel ausgiebig angewendet wird:
ũ = ∂f
∂˜y
∂γ ∂f
=
∂˜y ∂γ
�
∂ y
=
∂˜y x Re1/2
�
x f ′ = Re1/2 x
˜x f ′ .
f ′ (γ) benennt die Ableitung der Stromfunktion nach γ. Ähnliche Beziehungen ergeben sich
für ˜v und die diversen partiellen Ableitungen in (8.6). Letztendlich erhält man die folgende
nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung für die Stromfunktion:
f f ′′ + 2f ′′′ = 0.
Die Funktion ũ = f ′ (γ) ist in Abb. 8.2 dargestellt.
Bemerkungen:

100KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
• H. Blasius entwickelte währen der Arbeit an seiner Dissertation (Göttingen, 1908) die
” Ähnlichkeitslösung“ (similarity solution) für die Plattengrenzschicht.
• Die Proportionalität δ(x) ∼ x/ √ Rex ∼ √ x (Parabelform der Grenzschicht) war bereits
Prandtl aus der Lösung für einen sehr einfachen Fall bekannt.
• f(γ) konnte erst nach mühsamer analytisch-numerischer Rechnung von Hand (!) gefunden
werden.
8.2.2 Temperaturfeld
1921 gelang es Polhausen unter Verwendung der von Blasius eingeführten Ähnlichkeitsvariable
γ = y/(x Re −1/2
x ) und der von diesem bereitgestellten Lösung f(γ) für die Stromfunktion die
folgende Differentialgleichung für das Temperaturfeld der laminar umströmten Platte mit
konstanter Wandtemperatur herzuleiten und zu integrieren:
˜T ′′ + Pr
2 f(γ) ˜ T ′ = 0.
Hierzu gehören die Randbedingungen ˜ T (˜x, 0) = 0, ˜ T (˜x, ∞) = 1. Das numerisch bestimmte
Ergebnis ˜ T (γ) ist in Abb. 8.3 für verschiedene Prandtl-Zahlen graphisch dargestellt. Für
Pr = 1 ist das Profil der Temperatur identisch mit dem der tangentialen Geschwindigkeitskomponente
(s.o.), für Pr < 1 ist die thermische Grenzschicht dicker als die hydrodynamische
(und umgekehrt).
γ = y/(x Re -1/2 )
γ = 5
8
6
4
2
x
Pr = 0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
10
100
T/(T W -T oo )
Abbildung 8.3: Temperaturverteilung in der laminaren Grenzschicht der längs angeströmten
beheizten Platte bei unterschiedlichen Prandtl-Zahlen.

8.2. ANALYTISCHE GRENZSCHICHTLÖSUNGEN FÜR DIE EBENE PLATTE 101
�������£� �
�
���£�
�
�
� � ���������¥� �
Abbildung 8.4: Qualitative Darstellung der Grenzschichtdicke δ(x) sowie des örtlichen und
mittleren Reibungssbeiwertes als Funktion der Lauflänge x
Die Stromfunktion f(γ) erscheint in dieser Differenzialgleichung für die Temperatur, da – wie
schon erwähnt – das Strömungsfeld bei temperaturunabhängigen Stoffwerten zwar nicht vom
Temperaturfeld abhängt; sich letzteres jedoch als Funktion des ersteren (und der speziellen
thermischen Randbedingungen) entwickelt.
Wie in der Einleitung von Kapitel 7 (Konvektion) festgestellt, gelten alle mitgeteilten analytischen Beziehungen
streng nur für eine ideale Flüssigkeit mit konstanten Stoffwerten. Man berücksichtigt die in der Realität zu ak-
zeptierende Temperaturabhängigkeit näherungsweise, indem die Stoffwerte bei der mittleren Grenzschicht - bzw.
Bezugstemperatur TB = (TW + T∞)/2 ermittelt werden!
8.2.3 Anwendungsbeziehungen – Korrelationen
Aus den Lösungen für die Stromfunktion f und die Temperatur ˜ T nach Blasius bzw. Pohlhausen
lassen sich die folgenden, für die praktische Anwendung unentbehrlichen Korrelationen
gewinnen:
δ(x) = 5,0 x Re −1/2
x , (8.7)
cf (x) =
cW = cf = 1
L
τW
ϱ u2 = 0,664 Re−1/2 x . (8.8)
∞/2
�L
0
cf (x) dx = 1,328 Re −1/2
L . (8.9)
Abbildung 8.4 zeigt qualitativ die Abhängigkeit technisch wichtiger Parameter der laminaren
Plattenströmung über der Lauflänge.
Für 0, 6 ≤ Pr ≤ 50 gilt bezüglich der Steigung des Temperaturprofils an der Wand als
Approximation numerischer Resultate die einfache Potenzbeziehung
d ˜ �
T �
�
� = 0,332 Pr
dγ
1/3 ,
� γ=0

102KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
womit sich die folgenden wichtigen Anwendungsformeln ergeben:
Zur Erinnerung:
δt ∼ δ Pr −1/3 ,
α(x) = λ�
Rex
x
d ˜ T
dγ
Nux = 0,332 Re 1/2
x
α = 1
L
�L
0
�
�
�
� ,
�
γ=0
Pr 1/3 g( Pr),
α(x)dx = 2 α(L) ,
NuL = 0,664 Re 1/2
L Pr1/3 g( Pr).
Pr ≡ ν
a , Rex ≡ u∞ x
ν , ReL ≡ u∞ L
, Nux ≡
ν
α(x) x α L
, NuL ≡
λ
ν .
Man erkennt im Vergleich mit cf (x) und cf , dass auch α(x) und α proportional zu 1/ √ x
bzw. 1/ √ L verlaufen und sich folglich ähnliche Kurven wie in Abbildung 8.4 ergeben müssen.
Es bestätigt sich ferner, dass lokale Größen wie δ(x), α(x) und Nux nicht von der stromab
fixierten Stelle L (der realen Plattenlänge L) beeinflußt werden (deshalb die Unterscheidung:
NuL = α(x) L/λ; Nux = α(x) x/λ!)
Diese Formeln, insbesondere die Korrekturfunktion g( Pr), sind auch in den Arbeitsunterlagen
zur Vorlesung zu finden. Dort finden sich auch Korrelationen für den technisch besonders
wichtigen Fall der turbulenten Strömung!
Die Verdrängungsdicke δV ist jene Schichtdicke, um welche die Potentialströmung infolge der Geschwindigkeitsabminderung
in der Grenzschicht nach außen abgedrängt wird. Es gilt
δV (x) = 1
�∞
u∞
0
(u∞ − u) dy = 1,721 Re −1/2
x
(8.10)

8.3. GRENZSCHICHTABLÖSUNG 103
a)
Abbildung 8.5: Ablösung der Grenzschicht: Umströmung eines Körpers mit Ablösung
(A = Ablösungpunkt).
8.3 Grenzschichtablösung
Ist längs der Kontur eines umströmten Körpers ein Gebiet mit Druckanstieg vorhanden,
wie etwa hinter der größten Profildicke des ellipsenförmigen Körpers in Abbildung 8.5, so
kann im allgemeinen die in der Grenzschicht abgebremste Flüssigkeit wegen ihrer geringeren
kinetischen Energie nicht allzu weit in das Gebiet höheren Druckes eindringen. Sie weicht
diesem dann seitlich aus (Abb. 8.6), löst sich dabei vom Körper ab und wird in das Innere
der Strömung abgedrängt.
Dabei wird es im allgemeinen vorkommen, dass in Wandnähe die Flüssigkeitsteilchen, dem
Druckgradienten folgend, in umgekehrter Richtung strömen wie die Außenströmung. Als
Ablösungspunkt definiert man die Grenze zwischen Vor- und Rückströmung der wandnächsten
Schicht, also die Stelle ∂u/∂y| y=0 = 0:
Die Entscheidung der Frage, ob und gegebenfalls wo Ablösung auftritt, erfordert die Integration
der Grenzschichtgleichungen. Der Ablösungspunkt markiert die Stelle, bis zur welcher
die Grenzschichtrechnung Gültigkeit hat, denn kurz hinter der Ablösungstelle wird die Reibungsschicht
so dick, dass die Voraussetzung δ(x)/x ≤ 1 nicht mehr erfüllt ist.
Bei stationärer Strömung kann Grenzschichtablösung nur in verzögerter Strömung (dp/dx > 0)
eintreten und es lässt sich leicht zeigen, dass im Bereich verzögerter Außenströmung das
Grenzschichtprofil einen Wendepunkt aufweisen muss.
A
A

104KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
b)
y
Abbildung 8.6: Ablösung der Grenzschicht: Verlauf der Stromlinien in der Nähe des
Ablösungspunktes.
c)
y
� � u �
�� �
y
��
� � � 0
0;
A
�
A
� �u
�
�� �
y
��
� � �0
WP
0;
WP
� �u
�
�� �
y
��
� � �0
Abbildung 8.7: Ablösung der Grenzschicht: Geschwindigkeitsverteilung in der Nähe des
Ablösungspunktes (WP = Wendepunkt).
0
x
x

8.3. GRENZSCHICHTABLÖSUNG 105
Zusammenfassung
• Wandgrenzschichten stromlinienförmiger Körper weisen die folgenden Eigenschaften
auf: die Grenzschichtdicke ist gering, die Strömungsgeschwindigkeiten entlang der Wand
dominieren die Geschwindigkeiten senkrecht zur Wand, Gradienten der Geschwindigkeit
oder der Temperatur in Wandnormalenrichtung sind viel größer als in tangentialer
Richtung. Dank dieser Eigenschaften lassen sich aus den Grundgleichungen der Thermo-
Fluiddynamik die (wesentlich einfacheren) Grenzschichtgleichungen herleiten.
• Für die laminar umströmte ebene Platten lassen sich (selbstähnliche) Lösungen für Geschwindigkeit
und Temperatur bei parabelförmiger Grenzschicht finden. Der Reibungsbeiwert
cf ist dabei eine Funktion der Reynolds-Zahl, die Nußelt-Zahl Nu eine Funktion
von Reynolds- und Prandtl-Zahl.
• Für turbulente Strömungen lassen sich Korrelationen erstellen, die die gleichen funktionalen
Zusammenhänge aufweisen, d.h. cf = cf( Re), Nu = Nu( Re, Pr).
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ Die Haftbedingung an der Wand besagt, dass der Geschwindigkeitswert an der Wand
gleich null ist.
✷ Die Massedichtigkeit der Wand besagt, dass der Geschwindigkeitswert an der Wand
gleich null ist.
✷ Innerhalb der Grenzschicht kann die Strömung potenzialtheoretisch beschrieben werden,
da durch den Reibungseinfluss der Wand ein Geschwindigkeitsgradient senkrecht zur
Wand in der Strömung existiert, der dann als proportional der entsprechenden partiellen
Ableitung eines zu definierenden Potentialfeldes angenommen werden darf.
✷ Außerhalb der Grenzschicht kann die Strömung potenzialtheoretisch beschrieben werden,
da hier die Reibung vernachlässigbar ist, wenn die Reynoldszahl genügend groß
ist.
✷ In der Grenzschicht-Näherung gilt, dass alle Ableitungen der auftretenden Größen senkrecht
zur Wand einen wesentlich größeren Wert besitzen als parallel zur Wand.
✷ Da die Stromfunktion f(γ) nach Blasius nur durch numerische Lösung einer nichtlinearen
Differenzialgleichung bestimmt werden kann und bei Änderung eines Parameters
sowieso wieder neu berechnet werden muss, ist es heutzutage vorteilhafter, die
Grundgleichungen der Thermo-Fluiddynamik direkt auf einem Großrechner numerisch
zu lösen.

106KAPITEL 8. IMPULS- UND WÄRMEÜBERTRAGUNG IN DER PLATTENGRENZSCHICHT
✷ Die selbstähnliche Lösung nach Blasius zeichnet sich dadurch aus, dass die Geschwindigkeitsprofile
an verschiedenen Positionen x1, x2 entlang der Platte durch Skalierung der
y-Koordinate mit der lokalen Grenzschichtdicke δ(xi) zur Übereinstimmung gebracht
werden können. Das Gleiche gilt für die Temperaturprofile.
✷ Bei höherer Reynolds-Zahl ist die Turbulenz und damit auch der turbulente Austausch
weg von der Wand intensiver. Dementsprechend nimmt die Grenzschichtdicke auch zu.
✷ Die Idealisierung ” Newtonsche Flüssigkeit“ ist dadurch definiert, dass sich ihre Stoffwerte
exakt linear mit der Temperatur ändern.
✷ Die Kennzahlen sind für turbulente Strömung nicht von großem Interesse, weil sich
sowieso keine analytischen Lösungen finden lassen.

Kapitel 9
Ähnlichkeitstheorie und
Kennzahlen
Der Begriff der Ähnlichkeit ist aus der Geometrie bekannt; man nennt zwei Körper einander
ähnlich, wenn entsprechende Strecken beider Körper in einem konstanten Zahlenverhältnis
zueinander stehen. Zum Beispiel sind eine reale Landschaft und die zugehörige Landkarte
einander ähnlich. Zwischen ähnlichen Objekten lassen sich Übertragungsregeln aufstellen, die
oftmals mit Hilfe von Kennzahlen formuliert werden – die Ausrichtung einer Magnetnadel
nach Norden entspricht z.B. der ”Windrose” auf der Landkarte, der Maßstab einer Landkarte
muss bekannt sein, um Abstände auf der Karte in reale Entfernungen umzurechnen.
Der für die Wärme- und Stoffübertragung und allgemein für die Naturwissenschaften ungeheuer
wichtige Begriff der ” physikalischen Ähnlichkeit“ verlangt neben der konstanten Proportionen
der Längen auch eine solche der Kräfte, Zeiten, Geschwindigkeiten, Temperaturen,
usw. Die konstanten Proportionen der relevanten physikalischen Größen manifestieren sich
dabei als Gleichheit der entsprechenden Kennzahlen.
Die Frage, wie man Ähnlichkeitsgesetze zu formulieren hat, was sie genau bedeuten und wie
man sie nutzbringend einsetzen kann, lässt sich nicht einfach beantworten, da ”sich unter dem
Oberbegriff der Ähnlichkeit sehr viele unterschiedliche Gesetzmäßigkeiten finden” [6]. Grob
zusammenfassend kann man sagen, dass Ähnlichkeitstheorie und dimensionslosen Kennzahlen
in Experiment und Theorie Folgendes leisten:
• Verringerung der Anzahl der ”Freiheitsgrade” eines Problems. Anstatt von vielen einzelnen
Parametern hängt die Lösung eines Problems von wenigen Parametergruppen – den
Kennzahlen – ab. Dies konnte z.B. schon bei der Diskussion des ”Kritischen Radius” bei
der Wärmedämmung von Zylinder oder Kugel (siehe Glchg. (3.7)), der Blockkapazität
bzw. des Thermometerfehlers der ersten Art (Abschnitte 4 und speziell 4.2) oder des
”Ideal gerührten Behälters mit Zu- und Ablauf” (Abschnitt 6.1) beobachtet werden.
• Die verringerte Anzahl der Freiheitsgrade führt zu einer entsprechenden Verringerung
der Anzahl von Messungen die nötig sind um ein Problem experimentell umfassend
107

108 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
zu untersuchen. Grundsätzlich liefern erst die Ähnlichkeitsgesetze Übertragungsregeln,
welche es erlauben, Messungen an einem Modell auf die reale Geometrie zu übertragen.
• Umgekehrt folgt, dass Ähnlichkeitsgesetze bei der Auslegung eines Experiments und bei
der Darstellung experimenteller Ergebnisse einzubeziehen sind.
• Bei der Suche nach analytischen Lösungen spielen oft sog. ” Ähnlichkeitsvariablen“ eine
wichtige Rolle, mit Hilfe der Ähnlichkeitsgesetze lassen sich spezielle Lösungen (meist
dimensionslos formuliert) auf konkrete Probemstellungen übertragen
• Ähnlichkeitsgesetze und Kennzahlen vermitteln oft einen Einblick in die typischen Eigenschaften
eines Problems und erlauben die Identifikation der wesentlichen Effekte
noch bevor explizite analytische oder numerische Lösungen oder umfassende Experimente
vorliegen.
In den folgenden Abschnitten werden diese unterschiedlichen Facetten der Ähnlichkeitsgesetze
anhand einiger Beispiele erläutert. Zuerst aber muss geklärt werden, wie die relevanten
Kennzahlen eines Problems bestimmt werden können.
9.1 Bestimmung von Kennzahlen – π-Theorem
Das Verständnis der wesentlichen physikalischen Zusammenhänge eines Problems in Kombination
mit ” Einheitenarithmetik“ ermöglicht oftmals die Identifikation der wichtigen dimensionslosen
Kennzahlen ohne weiteren Einsatz von mathematischen Hilfsmitteln. Das theoretische
Fundament dieser Methode ist das sog. π-Theorem von Buckingham (siehe z.B. [6]), die
praktische Anwendung wird im Folgenden anhand zweier uns bekannter Beispiele diskutiert.
9.1.1 Sprungabkühlung eines Körpers
Wir betrachten wie schon in Kapitel 4 die zeitliche Änderung der Temperatur eines wärmeleitenden
Festkörpers, welcher einer sprunghaften Änderung der Umgebungstemperatur ausgesetzt
ist. Der Einfachheit halber beschränken wir uns wieder auf effektiv 1-dimensionale
Geometrien (z.B. die ”ebene Platte”). Die Temperaturverteilung T (x, t) ist somit im Allgemeinen
eine Funktion der Ortes x und die Zeit t.
Eine phänomenologische Analyse dieses Problems führt – ganz ohne Differentialgleichungen
– zu dem Schluss, dass die folgenden Einflussgrößen für die Temperaturverteilung bei Sprungabkühlung
wesentlich sein sollten:
• Das Volumen V , welches die Wärmekapazität des Körpers mitbestimmt, die Oberfläche
A, die für den Wärmeübergang zur Verfügung steht, und eine Länge L, über die ein
Temperaturausgleich stattfinden muss. Da bei geometrisch ähnlichen Körpern – davon
gehen wir aus !! – V , A und L jeweils in bekannten Beziehungen zueinander stehen, sind
diese drei geometrischen Größen effektiv durch ein einziges Längemaß L erfasst.

9.1. BESTIMMUNG VON KENNZAHLEN – π-THEOREM 109
• die Wärmekapazität ρcV des Körpers. Da V schon durch L erfasst ist, können wir ρc
als Einflussgröße festhalten.
• der insgesamt in den Körper fließend Wärmestrom ˙ Q = αA∆T bringt neben dem
Wärmeübergangskoeffizienten α auch eine charakteristische Temperaturdifferenz ∆T
ins Spiel.
• schließlich ist noch die Wärmeleitfähigkeit λ wichtig.
Damit haben wir 5 Einflussgrößen L, ρc, α, λ, ∆T und 3 Variablen T , x und t identifiziert,
welche die Sprungabkühlung eines Körpers beschreiben. Die Einheiten dieser 8 Parameter
sind [m], [J/kg-K], [W/m 2 -K], [W/m-K], [K] und [s], welche aus den 4 Grundeinheiten [m],
[s], [kg] und [K] zusammengesetzt sind. Das sogenannte π-Theorem von Buckingham (siehe
z.B. [6]) besagt nun, dass die Lösung dieses Problems als ein funktionaler Zusammenhang
f(π1, π2, π3, π4) = 0 (9.1)
zwischen 8 - 4 = 4 dimensionslosen, linear unabhängigen (!) Kennzahlen π1, π2, π3, π4 dargestellt
werden kann.
Die erste Kennzahl ist die entdimensionierte abhängige Variable des Problems, d.h. die Temperatur
T . Als Bezugstemperatur kann sofort der treibende anfängliche Temperaturunterschied
∆T identifiziert werden, und (9.1) kann nach der entdimensionierten Temperatur θ ≡ T/∆T
aufgelöst werden:
θ = θ(π2, π3, π4)
Die entdimensionierte Ortskoordinate ξ ≡ x/L ist leicht als weitere Kennzahl zu identifizieren.
Da wir es mit einem instationären Problem zu tun haben, spielt die Zeit t offensichtlich
eine wichtige Rolle und sollte in entdimensionierter Form ebenfalls als Kennzahl auftauchen.
Schliesslich können Temperaturverteilungen in ähnlichen Körpern nur dann zueinander ähnlich
sein, wenn sie zum ” richtigen“ Zeitpunkt miteinander verglichen werden. Es zeigt sich,
dass z.b. die folgende Kombination von Einflussgrößen dimensionlos ist:
π3 ≡ tλ
.
ρc L2 Mit a = λ/ρc (Temperaturleitfähigkeit) finden wir
π3 = at
= Fo,
L2 die Fourier-Zahl ist also die gesuchte dimensionslose Zeit.
Weiterhin leuchtet ein, dass das Verhältnis des Wärmeübergangskoeffizienten zur Wärmeleitfähigkeit
λ eine wichtige Größe sein sollte. Allerdings ist α/λ nicht dimensionslos, sondern
mit der Einheit 1/m behaftet und muss noch mit L multipliziert werden um eine Kennzahl
zu bilden:
π4 ≡ αL
λ .

110 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
Diese Kennzahl ist die uns bereits bekannte Biot-Zahl Bi. Ohne weitere Details zu kennen und
ohne weitere mathematische Exerzitien dürfen wir den Schluss ziehen, dass für die gesuchte
Temperaturverteilung im Inneren eines wärmeleitenden Körpers nach plötzlicher Änderung
der Umgebungstemperatur gilt:
θ = θ(ξ, Fo, Bi).
In der Vorlesung ” Wärme- und Stoffübertragung“ (und in vielen Lehrbüchern) wird gezeigt,
dass in der Tat z.B. für die instationäre Wärmeleitung in der ebenen Platte folgende Reihenlösung
die Temperaturentwicklung darstellt:
Θ(ξ, Fo, Bi) =
∞�
Ai cos (δiξ) exp(−δ 2 Fo).
i=0
Dabei gilt dass die Koeffizienten Ai = Ai( Bi) als auch δn = δn( Bi) Funktionen der Biot-Zahl
sind. Somit ist diese Lösung in der Tat durch die drei Kennzahlen ξ, Fo und Bi bestimmt.
Beachte, dass man alternativ auch eine Kennzahl
π ′ 3 = αt
ρ c L
bilden könnte. Man sieht aber sofort, dass π ′ 3 = Fo Bi – jede weitere dimensionslose Kombination
von Einflussparametern ist linear abhängig von den bereits identifizierten Kennzahlen.
Solche Produktbildungen von Kennzahlen enthalten grundsätzlich keine zusätzliche Information,
trotzdem bringt ihr Gebrauch oft Vorteile. Soll etwa der Einfluß der Körperdicke L auf
die Sprungabkühlung einer Blockkapazität dargestellt werden, so bietet eine Kennzahl
π ′′
3 ≡ α2t = Fo Bi2
ρ c λ
den Vorteil, dass L darin nicht explizit vorkommt. Zweckmäßigerweise wird dann die zeitliche
Entwicklung der Temperatur θ über der Kennzahl π ′′
3 mit der Biot-Zahl als Kurvenparameter
aufgetragen.
9.1.2 Sprungabkühlung eines gut wärmeleitenden Körpers
Im Kapitel Instationäre Wärmeleitung wurde die Methode der Blockkapazität vorgestellt,
welche die Sprungantwort eines gut wärmeleitenden 1 Körpers näherungsweise beschreibt. Falls
der innere Wärmeleitwiderstand vernachlässigbar klein ist, sind räumliche Temperaturunterschiede
unwesentlich, T (�x, t) ≈ T (t), weshalb die Ortskoordinaten x in der oben beschriebenen
Analyse nicht mehr auftaucht. Die Anzahl der Einflussparameter reduziert sich damit wie die
der Kennzahlen um jeweils 1. Wir dürfen schließen, dass in einem wärmeleitenden Körper, der
einer plötzlichen Änderung der Umgebungstemperatur ausgesetzt ist, die auf ∆T bezogene
Temperatur θ eine Funktion von Biot- und Fourier-Zahl ist:
θ = θ( Bi, Fo).
1 Beachte: Bi ≪ 1 quantifiziert, was unter gut leitend zu verstehen ist.

9.2. BESTIMMUNG VON KENNZAHLEN AUS DEN DIFFERENZIALGLEICHUNGEN111
In der Tat fanden wir in Abschnitt 4, dass für den Spezialfall Bi ≪ 1 gilt:
θ = exp(−(n + 1) Bi Fo).
Die ” Einheitenarithmetik“ bestätigt, dass die Biot-Zahl in der Beschreibung der Sprungantwort
eines Festkörpers in jedem Fall eine wichtige Rolle spielen sollte – egal ob dieser gut
oder schlecht wärmeleitend ist.
Wie soeben beispielhaft gezeigt, lässt sich ein vollständiger Satz von Kennzahlen folgendermaßen
bestimmen: Man identifiziere zuerst die n wesentlichen physikalischen Parameter des
Problems (unabhängige und abhängige Variablen sowie Einflussgrößen wie Anfangs- oder
Randbedingungen, relevante Stoffwerte, etc.) und bestimme die Zahl m der vorkommenden
Grundeinheiten 2 Die Lösung des Problems läßt sich dann als ein funktionaler Zusammenhang
zwischen n − m Kennzahlen (linear unabhängige, dimensionslose Parametergruppen)
darstellen.
Die ” Einheitenarithmetik“, wie sie hier vorgestellt wurde, ist in mancher Hinsicht mehr eine
Kunst als eine Wissenschaft, die bei schwierigen Problemen nur mit Hilfe von Erfahrung und
Inspiration zum Ziel führt. Deshalb wurde auch eine streng logische, systematische Vorgehensweise
entwickelt, siehe z.B. Stichlmair [5], die im Rahmen dieser Vorlesung jedoch nicht
behandelt werden soll. Es ist auch möglich, die Kennzahlen in systematischer Art und Weise
aus den Differentialgleichungen zu bestimmen. Dies ist im nächsten Abschnitt am Beispiel
der ebenen Platte gezeigt, siehe aber auch das Kapitel über Freie Konvektion.
Wie schon am Beispiel der Sprungantwort gezeigt, lassen die Zahlenwerte der Kennzahlen,
die sich mit den vorliegenden charakteristischen Längen und Geschwindigkeiten, Stoffwerten,
etc. ergeben, Schlüsse über die wichtigen physikalischen Effekte zu oder erlauben bestimmte
Vereinfachungen. So ist z.B. die Mach-Zahl der Umströmung des Laminarflügels eines Segelflugzeuges
sehr klein, weshalb Kompressibilitätseffekte keine Rolle spielen. Umgekehrt ist
beim Space Shuttle oder bei einem Kampfflugzeug die Mach-Zahl oft groß, was eine ganze andere
Strömungsphysik mit sich bringt. Andere Beispiele wurden bereits bei der Wärmeleitung
angeführt: Abbruch von Reihenentwicklungen bei ausreichend großer Fourier-Zahl, Anwendbarkeit
des einfachen Modells ” gerührter Behälter“ bei ausreichen kleiner Biot-Zahl. Es ist
allerdings gerade bei komplizierten Phänomenen oft so, dass aus den Differentialgleichungen
kein eindeutiger Satz von Kennzahlen bestimmt werden kann. In diesem Fall braucht es
dann doch die Kombination von Intuition und physikalischem Verständnis um die relevanten
Kennzahlen zu bestimmen.
9.2 Bestimmung von Kennzahlen aus den Differenzialgleichungen
In den Kapiteln zur Wärmeleitung wurde mehrmals gezeigt, wie Kennzahlen, z.B. eine dimensionslose
Länge ξ oder Temperatur θ, die Biot-Zahl oder die Fourier-Zahl Fo, aus den Dif-
2 mathematisch exakt: den Rang m der Dimensionsmatrix, siehe Zierep [6] oder Stichlmair [5].

112 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
ferenzialgleichungen hergeleitet werden können. Die Kennzahlen der Thermo-Fluiddynamik –
die Reynolds-, Péclet-, Prandtl- und Nußelt-Zahlen – wurden im Kapitel 7.2 aus den Erhaltungsgleichungen
für Masse, Impuls und Energie bestimmt.
Eine nochmalige Diskussion dieser Strategie erübrigt sich somit. Es bleibt festzuhalten, dass
dieser Weg am ehesten formale Strenge mit physikalischer Anschaulichkeit verbindet und
neben Kenntnis der relevanten Differenzialgleichungen nur einfache Algebra – und Logik –
erfordert.
9.3 Die funktionale Form der Lösungen
Die Darlegungen im vorausgegangenen Kapitel haben gezeigt, welch große Bedeutung der
Ähnlichkeitstheorie durch die Verdichtung der zahlreichen Einflussparameter eines Modellfalles
auf nur wenige dimensionslose Kennzahlen zukommt. Ein zweiter wichtiger Aspekt ist
die auf obigem Fundament gründende Verallgemeinerungsfähigkeit experimentell oder analytisch
gewonnener Ergebnisse. Dies soll in diesem Abschnitt durch eine etwas abstrakte,
von Nebensächlichkeiten befreite Darstellung der funktionalen Zusammenhänge der Grenzschichtlösung
um einen stromlinienförmigen Körper aufgezeigt werden. Hauptziel ist hierbei
wiederum, den Widerstand und den Wärmeübergang an einem Körper abhängig vom Ort und
den Kennzahlen zu bestimmen. Es wird sich zeigen, dass einige Eigenschaften der Lösung der
Plattengrenzschicht, wie sie im letzten Kapitel diskutiert wurden, allgemeine Gültigkeit besitzen.
Aus der Kontinuitätsgleichung (8.1) folgt die Beziehung:
˜v = ˜v(˜x, ˜y, ũ),
d.h. die Geschwindigkeit ˜v normal zur Platte ist eine Funktion des Ortes und der wandparallelen
Geschwindigkeit ũ. Wo immer ˜v bisher im Formalismus aufgetaucht ist, soll es im
Weiteren durch die entsprechende Funktion der Parameter ˜x, ˜y, ũ ersetzt (eliminiert) werden.
Aus der x-Komponente der Bewegungsgleichung (8.2) folgt dann ähnlich:
�
ũ = ũ ˜x, ˜y, ReL, d˜p
�
. (9.2)
d˜x
Bei festgelegter Konturfunktion K(˜x, ˜y) entfällt der Druckterm als 4. Variable; er kann (wegen
Gl. (8.3) ) potentialtheoretisch, also unabhängig von den übrigen Grenzschichtgleichungen als
Funktion von ˜x bestimmt werden. Damit gilt:
ũ = ũ (˜x, ˜y, ReL) .
Das hydrodynamische Modell ist damit komplett beschrieben und wir können bezüglich der
Wandschubspannung in Erinnerung bringen:
τW = η ∂u
�
�
�
� =
∂y
η u∞
�
∂ũ �
�
� .
L ∂˜y
� y=0
� ˜y=0

9.3. DIE FUNKTIONALE FORM DER LÖSUNGEN 113
Für den örtlichen Reibungsbeiwert folgt dann:
cf (˜x) = τW
ϱu2 2
=
∞ /2 ReL
∂ũ
∂˜y
�
�
�
� ,
�
˜y=0
Wegen Gleichung (9.2) gilt im Allgemeinen, d.h. bei beliebiger Kontur, für den entdimensionierten
wandnormalen Gradienten von ũ :
�
∂ũ �
�
� =
∂˜y
∂ũ
�
� �
�
� ˜x, ReL,
∂˜y
d˜p
�
.
d˜x
� ˜y=0
� ˜y=0
Bei bekannter Kontur entfällt wiederum der Druckgradient als Variable, und somit hängt der
örtliche Reibungsbeiwert nur von der Lauflänge ˜x sowie der Reynolds-Zahl ReL ab:
cf (˜x) = cf (˜x, ReL).
Durch Integration von cf(˜x) zwischen 0 und L wird die ˜x-Abhängigkeit eliminiert und es folgt
für den Mittelwert des Reibungsbeiwert (dem Widerstandsbeiwerts cW )
cf = cf ( ReL).
Diese Funktionalbeziehung zwischen cf und ReL kann universelle Gültigkeit beanspruchen,
d.h. sie trifft für alle Newtonschen Flüssigkeiten in weiten Bereichen der Systemparameter L
und u∞ bei hydraulisch glatten Oberflächen zu!
Aus der Energiegleichung lässt sich allgemein erschließen:
˜T = ˜ T (˜x, ˜y, ũ, ˜v, ReL Pr) .
Mit dem oben Gesagten darf man vereinfachen
˜T = ˜ �
T ˜x, ˜y, ReL, Pr, d˜p
�
.
d˜x
Der Druckterm vermittelt den (einseitigen!) Einfluss des Geschwindigkeitsfeldes (ũ und ˜v) auf
das Temperaturfeld: bei vorgegebener Kontur ist dieser wie schon gesagt festgelegt und nicht
mehr variabel:
˜T = ˜ T (˜x, ˜y, ReL, Pr) . (9.3)
Dem Übertragungskoeffizienten cf (˜x) für Impuls entspricht die örtliche Nusselt-Zahl Nu für
den Wärmetransport. Wir haben bereits formuliert:
�
α L L ∂T �
NuL = = −
� =
λ ∂y
∂ ˜ �
T �
�
� ,
∂˜y
TW − T∞
– siehe Gleichung (7.16) – und folgern aus der Funktionalbeziehung (9.3) speziell für vorgegebene
Kontur und mit der Festlegung ˜y = 0:
� W
� ˜y=0
NuL = NuL(˜x, ReL, Pr). (9.4)

114 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
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Abbildung 9.1: Skizze des Kühlkanals
� ����������������� ��� �¨���
Da der mittlere WÜK α durch Integration über die Körperoberfläche bestimmt wird, entfällt
die Ortskoordinate ˜x und wir erhalten als universell gültige Beziehung für die mittlere Nusselt-
Zahl:
NuL ≡
α L
λ = NuL ( ReL, Pr) . (9.5)
Historische Anmerkung: Im Jahre 1916 hat Nusselt diese überraschend einfache, universelle
Beziehung abgeleitet und Einstein seine ” Allgemeine Relativitätstheorie“ veröffentlicht!
9.4 Auslegung von Modellversuchen
Bei korrekter Anwendung der aus der Ähnlichkeitstheorie gewonnenen Übertragungsregeln
ist es möglich, das Verhalten eines Apparates in einem Modellversuch zu studieren. Im einfachsten
Fall ist das Modell geometrisch kleiner, was von Vorteil sein kann da für den Versuch
z.B. weniger Material und Energie verbraucht wird. Umgekehrt können kleinskalige Phänomene
an einem vergrößerten Modell bequem und ” ohne Mikroskop“ untersucht werden. In der
Wärmeübertragung oft besonders wichtig ist die Möglichkeit Phänomene, die im Original bei
sehr hohen Temperaturen ablaufen, bei gemäßigten Temperaturen zu untersuchen, was dann
den Einsatz von temperaturempfindlichen Materialien und Messtechniken ermöglicht. Häufig
wird auch mit anderen Fluiden (Wasser statt Luft, Kältemittel anstatt Dampf, ...) gearbeitet
um den Einsatz bestimmter Messtechniken zu ermöglichen. Bedingung für die korrekte Anwendung
der Übertragungsregeln ist strenggenommen, dass alle relevanten Kennzahlen von
Modell und Original den gleichen Zahlenwert haben, oder – falls das nicht zu realisieren ist –
dass die weniger wichtigen Kennzahlen zumindest vergleichbare Größenordnungen aufweisen.
�
�
�

9.4. AUSLEGUNG VON MODELLVERSUCHEN 115
Auslegung eines Kühlkanalmodells
Die Brennkammern moderner Gasturbinen sind häufig doppelwandig, um eine konvektive
Kühlung der Brennkammerwände zu ermöglichen. Der Spalt zwischen den Wänden ist dabei
in Umfangsrichtung in Segmente unterteilt, so dass sich eine Vielzahl von Kühlkanälen ergibt
(siehe Abb. 9.1 ). Die der Brennkammer zugewandte Seitenwand der Kühlkanäle wird von
heissen Abgasen (T ≈ 1600 K) überströmt, während im Kanal Kühlluft (TGT ≈ 600 K)
strömt, die die von den Heissgasen an die Brennkammerwand abgegebene Wärme abführt
und so die Wandtemperatur auf einen materialvertäglichen Wert reduziert. Ein einzelnes
Kühlkanalsegment stellt annähernd einen geraden Kanal rechteckigen Querschnitts dar mit
einer Länge von lGT , einer Breite von bGT und einer Höhe von hGT . Im Kanal strömt Kühlluft
mit einer Geschwindigkeit von uGT = 40 m/s bei einem Druck von pGT =20 bar.
Nun ist geplant, den Wärmeübergang im Kanal durch den Einbau von Rippen zu erhöhen,
weshalb experimentell bei Atmosphärendruck der Wärmeübergang im Kanal untersucht werden
soll. Ein maßstäbliches Modell des Kühlkanals wird zu diesem Zweck aus Plexiglas gefertigt,
um Strömungsvisualisierung und Temperaturmessung mittels temperaturempfindlicher
Flüssigkristalle (TLC Thermo-Liquid Crystals) zu ermöglichen.
Welche Konsequenzen ergeben sich aus den Ähnlichkeitsgesetzten für die Auslegung des Modells?
Voraussetzung für die Anwendung der Ähnlichkeitsregeln ist in jedem Fall die geometrische
Ähnlichkeit zwischen Maschine und Modell. Für die Geometrie des Kühlkanals bedeutet
dies:
�
b �
� =
h
b
�
�
� sowie
h
l
�
�
� =
h
l
�
�
� .
h
� M
� GT
Darüber hinaus müssen die Werte der relevanten Kennzahlen von Modell und Maschine gleich
sein. Aus dieser Forderung ergibt sich sofort die Frage, welche der bisher eingeführten Kennzahlen
für die vorliegende Aufgabe relevant sind? Die Fourier-Zahl Fo – eine entdimensionierte
Zeit – ist nicht von Bedeutung, da instationäre Effekte ausser Acht gelassen werden. Die Biot-
Zahl Bi – das Verhältnis von Wärmeleitwiderstand in der Wand zum Wärmeübergangswiderstand
– spielt ebenfalls keine wichtige Rolle, da die Wandtemperatur der Brennkammer vom
Verhältnis der Wärmeübergangswiderstand auf der heissen und kalten Seite, nicht aber vom
(kleinen) Wärmeleitwiderstand des Wandmaterials bestimmt wird. Die Reynolds-Zahl Re –
ein Maß für die relative Größe von Trägheits- und Reibungskräften im Fluid – ist sicherlich
wichtig, ebenso die Prandtl-Zahl Pr, welche molekularen Impuls- und Wärmetransport in’s
Verhältnis setzt. Die Mach-Zahl – das Verhältnis von Strömungs- zur Schallgeschwindigkeit –
kann vernachlässigt werden, solange die Strömungsgeschwindigkeit u nur deutlich kleiner als
die Schallgeschwindigkeit c ist (Als Faustregel gilt: Mach-Zahl Effekte können vernachlässigt
werden, solange Ma = u/c < 0.3).
Damit bleiben zwei relevante Kennzahlen: die Reynolds-Zahl Re = u L/ν und die Prandtl-Zahl
Pr = ν/a. Letztere ist das Verhältnis zweier Stoffwerte, die je nach Fluid und Temperatur
unterschiedlich sein können. Da allerdings sowohl in der Maschine als auch im Modell Luft
verwendet wird, und der Einfluss des Temperaturunterschieds im betrachteten Temperaturbereich
nicht wesentlich ist, darf davon ausgegangen werden, das PrGT ≈ PrM (Die Indices
� M
� GT

116 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
”GT” und ”M” stehen für Gasturbine bzw. Modell). Aus der Forderung nach Gleichheit der
Prandtl-Zahl lassen sich in diesem Fall also keine Bedingungen für die Auslegung des Versuchsstandes
ableiten.
Reynolds-Ähnlichkeit ReM = ReGT erfordert anderseits, dass
uh| M = uh| GT
wenn die Reynolds-Zahl Re = uh/ν mit einer Geschwindigkeit u = ˙m/h b ρ und der Höhe h
des Kühlkanals gebildet wird. Aus dieser Bedingung allein lassen sich die mittlere Geschwindigkeit
u im Kanal und dessen Höhe hm noch nicht bestimmen, da offensichtlich eine Erhöhung
der Geschwindigkeit im Modell durch eine Verringerung der Kanalhöhe so kompensiert werden
kann, dass die Reynolds-Zahl gleich bleibt.
Um eine möglichst hohe räumliche Auflösung der optischen Messungen zu erzielen, wird deshalb
entschieden das Model so groß wie möglich zu machen ohne einen bestimmten (maximalen)
Massenstrom ˙m0 der Laborluftversorgung zu überschreiten. Aus dieser ”Nebenbedingung”
folgt
und damit
hM = ˙m0
�
�
�
ρ u b
� M
= ˙m0
ρ
�
�
�
�
M
˙m0 = ρ u h b| M
�
1 �
�
u h
� M
�
h �
�
b
� M
νM
νGT
= ˙m0
ρ
,
�
�
�
�
M
�
1 �
�
u h
Mit bekanntem hM ergeben sich sofort die übrigen Abmessungen des Modells sowie die Geschwindigkeit
hM νM
uM = uGT
hGT νGT
Wie schon gesagt, legt in diesem Beispiel die Forderung nach Reynoldsähnlichkeit allein die
Größe des Modells nicht fest – ein größeres Modell bei entsprechend reduzierter Geschwindigkeit
hätte die gleiche Reynolds-Zahl! Erst mit der durch die Leistungsfähigkeit der Luftversorgung
vorgegebene Massenstrombedingung ergibt sich eine eindeutige Größe. Falls Ähnlichkeit
bezüglich mehrerer Kennzahlen eingehalten werden muss, engt sich der ” Spielraum“ des Experimentators
sehr schnell ein, unter Umständen können dann nur durch die Wahl bestimmter
Materialen mit ungewöhnlichen Stoffwerten die wesentlichen Ähnlichkeitsbedingungen eingehalten
werden.
9.5 Darstellung experimenteller Ergebnisse
Selbst wenn sich keine analytische oder numerische Lösung finden lässt, so liefert die Ähnlichkeitstheorie
doch die Methode um mit einer geringen Anzahl von Versuchen experimentelle
Erkenntnisse in weitgehend allgemeingültiger Form zu gewinnen, da die an einem Versuchsmodell
(s.o.) gefundenen Gesetze für alle untereinander und mit dem Modell physikalisch
ähnlichen Objekte gelten (!). Die Ähnlichkeitslehre gestattet also eine Verallgemeinerung von
.
� GT
νGT
νM
�
h �
�
b
� GT
.

9.5. DARSTELLUNG EXPERIMENTELLER ERGEBNISSE 117
Versuchergebnissen – genauer formuliert: die allgemein gültige Darstellung von Versuchsergebnissen
– mit Hilfe der Übertragungsregeln, der sog. Modellgesetze.
Die Erstellung und Anwendung der in der Strömungslehre und der Wärme- und Stoffübertragung
so häufig vorkommenden Korrelationen – analytisch, numerisch oder empirisch ermittelte
Beziehungen zwischen Kennzahlen – beruht also auch auf den Ähnlichkeitsgesetzen.
9.5.1 Experimentelle Untersuchung des Wärmeübergangs an der ebenen
Platte
Zwei Arbeitsgruppen untersuchen experimentell den Wärmeübergang an der turbulent überströmten
ebenen Platte.
Gruppe A benutzt dazu eine elektrisch beheizte, gut wärmeleitende Platte der Länge L = 1 m
und der Breite b = 0.4 m, die bei Geschwindigkeiten U im Bereich von 8 bis 25 m/s von Luft
der Temperatur T = 300 K überströmt wird (siehe Abb. 9.2). Die Leistung des elektrischen
Heizers wird so eingestellt dass die Temperaturdifferenz zwischen Wand und Freistrom ∆T =
2 K. Dazu wird – je nach Geschwindigkeit – eine elektrische Heizleistung ˙ Q von ca. 15 bis 80
kW benötigt. Die Heizleistung bzw. der von der Platte an das Fluid übertragene Wärmestrom
˙Q ist als Funktion der Geschwindigkeit U in Bild 9.3 dargestellt.
Gruppe B entwickelt eine andere Methode: heisse Verbrennungsabgase aus einem Gasturbinenprüfstand
werden bei einem Druck von 6 bar und bei einer Temperatur von 800 K mit
Geschwindigkeiten U von 35 bis 80 m/s über eine Brennkammerwand geführt.Die Brennkammerwand
(L = 0.4 m, b = 0,16 m ist rückseitig ” prallgeküh lt“ mit Luft von TK = 640 K.
Der Wärmeübergangskoeffizient der Prallkühlung ist so hoch, dass man in guter Näherung
TW ≈ TK setzen darf und damit ∆T ≈ 160K. Die Temperaturerhöhung der Kühlluft wird
gemessen, mittels einer Energiebilanz wird der übertragene Wärmestrom ˙ Q = ˙m cp (T ′ K −TK)
bzw. der Wärmeübergangskoeffizient α bestimmt (siehe wiederum Bild 9.3. Relevante Stoffwerte
sind: η = 1.8 × 10 −5 N s/m 2 , λ = 2.6 × 10 −2 W/m-K bei 300 K, η = 8.5 × 10 −5 N
s/m 2 , λ = 5.7 × 10 −2 W/m-K bei 800 K.)
U, T oo
L
T W
V
Q .
A
b
T' k
U = 35 - 80 m/s,
T oo = 800 K,
p = 6 bar
. .
Q = cp m (T'k - Tk )
c -> oo
.
Q = (TW -Too )
Abbildung 9.2: Zwei Experimente zur Untersuchung des Wärmeüberganges an einer überströmten
ebenen Platte. Links: elektrisch beheizte Platte, rechts: Brennkammerwand mit sog.
Prallkühlung.
h
.
mk , Tk

118 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
Q [W/s]
50
-100x10 3
0
-50
10
20
30
40 50
U
60
70 80m/s
100x10 3
α [W/m 2 -K]
80
60
40
20
10
20
30
40 50
U
60
70 80m/s
Abbildung 9.3: Wärmestrom (links) und Wärmeübergangskoeffizienten (rechts) an der ebenen
Platte. ” +“ — elektrisch beheizte Platte, ” ⋄“ — konvektiv gekühlte Brennkammerwand.
Offensichtlich lässt die für Bild 9.3 gewählte Auftragung der experimentellen Ergebnisse
keine systematischen Zusammenhänge zwischen den Ergebnissen erkennen. Die Auftragung
des Wärmeübergangskoeffizienten (rechts) mag insofer überraschen, als sie zeigt, dass der
Wärmeübergangskoeffizient des Hochdruckexperiments von Gruppe B trotz der wesentlich
höheren Wärmeströme geringer ist als bei den Versuchen von Gruppe A. Erst die dimensionsbefreite
Darstellung Nußelt- gegen Reynolds-Zahl, wie sie in Bild 9.4 zu sehen ist, zeigt
deutlich, dass die Daten sehr wohl denselben physikalischen Sachverhalt darstellen und dass
sie sich gut miteinander korrelieren lassen. Wie im Bild angedeutet, beschreibt der funktionale
Zusammenhang – die Korrelation – Nu = (0.037 Re 4/5 − 871) Pr 1/3 alle vorliegenden
experimentellen Daten in guter Näherung.
9.5.2 Reibungswiderstand glatter Rohre
Die Strömung durch ein Rohr ist im laminaren Fall durch die Lösung von Hagen/Poiseuille
vollständig beschrieben (parabolisches Geschwindigkeitsprofil). Insbesonders der zur verlässlichen
Auslegung von Rohrleitungssystemen wichtige Druckverlust pro Rohrlänge kann in analytischer
Form als Funktion des Volumenstroms, des Rohrdurchmesser und der Viskosität des
Fluids dargestellte werden. Beim technisch vorherrschenden turbulenten Strömungszustand
muss hingegen die Widerstandscharakteristik empirisch ermittelt werden. Bevor Reynolds
1883 entdeckt hatte, dass der Reibungswiderstand eines (hydraulisch glatten) Rohres nur
durch die Kennzahl ReD = umD/ν bestimmt wird, hätten Ingenieure zur Auslegung von
Wasser-, Abwasser-, oder z.B. Leuchtgasleitungen etwa fünf Druckverlustwerte je Einflussgröße
(um, D und ν) benötigt, also insgesamt 5 3 = 125 Messpunkte (25 Kurven mit je 5
Stützpunkten). Nach Entdeckung der Ähnlichkeitskennzahl ReD genügten 5 Messwerte zur
Abstützung der Druckverlustfunktion für alle glatten, von Newtonschen Flüssigkeiten durchstömten
Rohre.

9.6. DIMENSIONSLOSE FORM DER LÖSUNGEN UNDÄHNLICHKEITSLÖSUNGEN119
Nu [-]
2500
2000
1500
1000
500
0.6
Nu = (0.037 Re 4/5 -871) Pr 1/3
Electrically Heated Plate
Water- Cooled Combustor Liner
0.8
1.0
1.2
Re [-]
1.4
1.6
1.8x10 6
Abbildung 9.4: Nußelt-Zahl der elektrisch beheizten Platte (+) und der konvektiv gekühlten
Brennkammerwand (⋄) aufgetragen über der Reynolds-Zahl. Gezeigt ist auch eine entsprechende
Korrelation (für Pr = 0.7).
9.6 Dimensionslose Form der Lösungen und
Ähnlichkeitslösungen
Wie schon mehrmals gezeigt, lassen sich nicht nur die Kennzahlen und die beschreibenden Differentialgleichungen,
sondern auch die (analytische) Lösung eines Problems in dimensionsloser
Form darstellen, was meistens – aber nicht immer – die Bestimmung und die Interpretation
der Lösung erleichtert.
Für spezielle, sog. selbstähnliche Geometrien lassen sich Ähnlichkeitslösungen herleiten – hierzu
gehört die Wärmeleitung an der ebenen Platte oder die freie, laminare Konvektion an einer
senkrechten Wand. Unter Ausnutzung der Selbstähnlichkeit lässt sich bei solchen Konfigurationen
die Dimensionalität des Problems reduzieren. Aus einer partiellen Differentialgleichung
wird dann im günstigsten Fall – siehe die Plattengrenzschicht oder die freie Konvektion – eine
gewöhnliche Differentialgleichung, was die Bestimmung und Darstellung der Lösung ungemein
erleichtert. Details zu selbstähnlichen Geometrien und Geschwindigkeits- bzw. Temperaturverteilungen
finden sich in diesem Skript in den entsprechenden Unterkapiteln.

120 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
9.7 Analogien
Eine häufig anzutreffende Variante der Ähnlichkeit stellen die schon mehrmals angesprochenen
Analogien zwischen Phänomenen in unterschiedlichen natur- bzw. ingenieurswissenschaftlichen
Disziplinen dar. Wir erinnern z.B. an die Analogie zwischen Wärmedurchgang
und dem elektrischen Widerstand von Reihen- und Parallelschaltungen (siehe die Diskussion
der Péclet-Gleichung in Abschnitt 3.1).
Generell gilt, dass physikalische Phänomene, die durch ähnliche – d.h. identisch bis auf Zahlenwerte
von Koeffizienten oder Kennzahlen – (Differential-)Gleichungen beschrieben werden,
sich auch ähnlich verhalten müssen.
Für die Thermo-Fluiddynamik besonders wichtig ist die von Reynolds bereits 1875 erkannte
Analogie zwischen dem Impuls- und Energietransport 3 in Strömungen.
9.7.1 Reynolds-Analogie
Wir betrachten bei Vernachlässigung von Feldkräften die Strömung um einen stromlinienförmigen
Körper wie z.B. eine längs angeströmte ebene Platte, siehe Bild 7.4. Falls der
Druckgradient ∂ ˜p/∂˜x entlang der Wand vernachlässigt werden darf und die Prandtl-Zahl
Pr = 1, sind die Gleichungen (7.11) und (7.12) für den konvektiven Transport von wandtangetialem
Impuls und Wärme einander ähnlich:
ũ ∂ũ ∂ũ
+ ˜v
∂˜x ∂˜y =
ũ ∂ ˜ T
∂˜x + ˜v ∂ ˜ T
∂˜y =
�
1 ∂2ũ ReL ∂˜x 2 + ∂2ũ ∂˜y 2
�
,
�
1 ∂2T˜ ReL ∂˜x 2 + ∂2T˜ ∂˜y 2
�
.
Mit den Randbedingungen für Geschwindigkeit und Temperatur
ũ(˜x, 0) = 0, ũ(˜x, ∞) = 1,
˜T (˜x, 0) = 0, ˜ T (˜x, ∞) = 1,
herrscht offensichtlich vollständige Analogie zwischen Impuls- und Wärmeübertragung. In
dimensionsloser Darstellung stimmen die Verteilungen von Geschwindigkeit und Temperatur
überein, ũ(˜x, ˜y) = ˜T (˜x, ˜y).
Schon bei der Definition der Nußelt-Zahl haben wir bemerkt, das Nu als wandnormaler Gradient
der Temperatur des Fluids an der Wand interpretiert werden kann,
NuL = ∂ ˜ �
T �
�
� .
∂˜y
� ˜y=0+
3 Die Reynolds-Analogie umfasst auch den Stofftransport, was im Rahmen dieser Vorlesung allerdings nicht
weiter diskutiert wird.

9.7. ANALOGIEN 121
Für den Reibungsbeiwert findet man ganz analog:
cf = τW (x)
ϱ
2 u2 ∞
= 2η
ρ u 2 ∞
�
∂u �
�
∂y
� y=0+
= 2ν
u∞ L
�
∂u �
�
∂y
� y=0+
= 2
ReL
�
∂ũ �
�
∂˜y
� ˜y=0+
Bei Ähnlichkeit der Geschwindigkeits- und Temperaturverteilungen muß offensichtlich gelten:
�
∂ũ �
�
∂˜y
= ∂ ˜ �
T �
�
�
∂˜y
,
� ˜y=0+
� ˜y=0+
und damit wie bereits von Reynolds postuliert für Reibungsbeiwert, Reynolds und Nußelt-
Zahl:
ReL
cf
2 = NuL. (9.6)
Diese Beziehung gilt wie gesagt zunächst nur für Pr = 1 und verschwindenden Druckgradienten.
Im vorrangig interessierenden Fall der Turbulenz erweist sich auch bei dp/dx �= 0 und
Pr �= 1 die nach Chilton-Colburn modifizierte Analogie als sehr brauchbar:
cf ReL
Pr 1/3
2 = NuL. (9.7)
Mit Hilfe der Beziehungen (9.6) bzw. (9.7) kann man den Wärmeübergangskoeffizienten berechnen,
wenn der Reibungsbeiwert bekannt ist, und umgekehrt.
.

122 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
Zusammenfassung
Die Theorie der physikalischen Ähnlichkeit und – damit eng verknüpft – die dimensionslosen
Kennzahlen sind für die Ingenieur- wie die Naturwissenschaften von großer Bedeutung
• Das π-Theorem liefert in Kombination mit physikalischer Einsicht und ” Einheitenarithmetik“
die Kennzahlen eines Problems dessen wesentliche Einflußgrößen bekannt sind.
• Alternativ können Kennzahlen in systematischer Art und Weise aus den Differenzialgleichungen
bestimmt werden.
• Die Ähnlichkeitstheorie erlaubt grundsätzliche Aussagen über die funktionale Form der
Lösung eines Problems.
• Die korrekte Auslegung von Modellversuchen und die allgemeingültige Darstellung experimenteller
Ergebnisse ist ohne Ähnlichkeitstheorie nicht zu machen.
• Analogien zwischen physikalisch unterschiedlichen Phänomenen sind eine weitere, oftmals
nützliche Form der Ähnlichkeit.
e✷Xerzitien
Richtig ✷X oder falsch ?
✷ Dimensionslose Kennzahlen sind das Bindeglied zwischen Modellexperiment und technischer
Anwendung, so wie der Maßstab die Relation zwischen Landkarte und Landschaft
herstellt.
✷ Die physikalische Ähnlichkeit zweier Versuchskonfigurationen ist gleichbedeutend ihrer
geometrischen Ähnlichkeit.
✷ Bedingung für die korrekte Übertragung vom Modell zum Original ist, dass die relevanten
Kennzahlen in beiden Fällen den selben Zahlenwert haben.
✷ Hinreichende Bedingung für die korrekte Übertragung vom Modell zum Original ist,
dass alle Kennzahlen des Systems in der selben Größenordnung liegen.
✷ Die Reynolds-Ähnlichkeit legt die Größe eines Windkanal-Modells eindeutig fest.
✷ Die Anzahl der Einflussgrößen eines Systems abzüglich der Anzahl der in den ersteren
vorkommenden Grundeinheiten ergibt die Anzahl der unabhängigen Kennzahlen.

Kapitel 10
Freie Konvektion
Wenn eine Massenkraft auf ein Fluid mit räumlich unterschiedlicher Dichte wirkt, so resultieren
Auftriebskräfte, welche eine freie oder natürliche Konvektionsströmung hervorrufen
können. Die Dichteinhomogenitäten können dabei aus Temperatur- oder Konzentrationsunterschieden
des Fluids resultieren. Anders als bei der bisher untersuchten Zwangskonvektion
wird die Fluidbewegung in diesem Falle also nicht durch äußere Antriebe (Pumpen, Gebläse,
Wind) verursacht, sondern durch systemimmanente treibende Kräfte.
Die wohl häufigste Situation, auf die wir uns in diesem Kapitel konzentrieren werden, ist die
durch Temperaturunterschiede induzierte Strömung eines Gases im Schwerefeld der Erde 1 .
Betrachte z.B. die Temperatur- und Geschwindigkeitsverteilung in einem beheizten Raum:
die am Heizkörper erwärmte Luft steigt aufgrund der verringerten Dichte nach oben und
verursacht im Zimmer eine Zirkulationsströmung. Diese freie Konvektionsströmung sorgt nicht
nur für eine gleichmäßigere Verteilung der Temperatur im Raum, sondern erhöht auch den
Wärmeübergang am Heizkörper – die Wirkung (= Strömung) beeinflusst gewissermaßen ihre
Ursache (= Temperatur- und Dichteunterschiede).
In der Tat sind – wie wir sehen werden – die Erhaltungsgleichungen für Impuls und Energie
bei freier Konvektion stark miteinander gekoppelt. Anders als bei Problemen der Zwangskonvektion
ist es deshalb nicht möglich, das Geschwindigkeitsfeld vorab und unabhängig von
der Temperatur zu bestimmen, um dann in einem zweiten Schritt die Temperaturverteilung
bei gegebenem Geschwindigkeitsfeld zu berechnen. Dies macht die Berechnung von freien
Konvektionsströmungen ungleich schwieriger als bei erzwungener Strömung.
Mm Modellfall der laminaren, freien Konvektion an einer vertikalen, isotherm beheizten Platte
(einer isothermen Wand) wesentliche Konzepte – Grenzschichtgleichungen, Boussinesq-Näherung,
Kennzahlen – vorgestellt und einige Aspekte der (Ähnlichkeits)lösung nach Pohlhausen
und Ostrach [4, 3] diskutiert. Außerdem werden einige wichtige Korrelationen vorgestellt.
1 Neben der Schwerkraft können z.B. in der Meteorologie auch Coriolis- oder Zentrifugalkräfte eine wichtige
Rolle spielen.
123

124 KAPITEL 10. FREIE KONVEKTION
10.1 Freie, laminare Konvektion an der isothermen Wand
T -T
T w
w �
T �
x
� t
�
T(y)
u(y)
Abbildung 10.1: Geschwindigkeits- und
Temperaturgrenzschichten bei freier, laminarer
Konvektion an einer isothermen
Wand.
y
Als beispielhafter Modellfall soll eine vertikale
ebene Platte der Länge L mit der konstanten
Wandtemperatur TW in einem umgebenden Fluid
(η, ρ, cp, λ) der Temperatur T∞ < TW gegeben
sein. Wie bei der Zwangskonvektion wird sich eine
hydraulische und eine thermische Grenzschicht
ausbilden. Während das Temperaturprofil den
gleichen monotonen Verlauf erwarten lässt, muss
das Geschwindigkeitsprofil nicht nur an der Wand
” haften“, sondern auch beim Übergang zum ruhenden
Fluid gegen Null streben und demnach
ein Maximum und einen Wendepunkt aufweisen
(siehe Abb. 10.1).
Eine ungewöhnliche Eigenschaft dieser Grenzschichtströmung
lässt sich aus elementaren Überlegungen
und ” ganz ohne Mathematik“ herleiten:
Fluidelemente, deren Dichte geringer ist als die
Umgebungsdichte ρ∞, verspüren eine Auftriebskraft
und werden mit einer Geschwindigkeit,
die sich aus dem Gleichgewicht von Zähigkeitsund
Auftriebskräften ergibt, nach oben steigen.
Darüber hinaus werden aufgrund der Zähigkeit
auch benachbarte Fluidelemente, die selbst keine
Auftriebskraft verspüren, ”mitgeschleppt”. Es
folgt, dass unabhängig vom Wert der Prandtl-
Zahl die Geschwindigkeitsgrenzschicht in jedem
Falle dicker ist als die thermische Grenzschicht.
Dies ist ein wesentlicher Unterschied zur Zwangskonvektion,
wo im allgemeinen gilt
δt ∼ δ
n ,
Pr
(mit positivem n) und somit bei kleinen Prandtl-Zahlen die thermische Grenzschicht dicker
als die hydraulische Grenzschicht ist.
10.2 Boussinesq-Approximation der Grenzschichtgleichungen
Die nach dem Prandtlschen Grenzschichtkonzept vereinfachten Erhaltungsgleichungen für
Masse, Impuls und Energie sind bis auf die Berücksichtigung der Dichte in der Kontinuitätsgleichung
und des Schwerkraft- bzw. Auftriebsterms in der x-Impulsgleichung mit jenen des

10.2. BOUSSINESQ-APPROXIMATION DER GRENZSCHICHTGLEICHUNGEN 125
vorausgegangenen Abschnitts identisch. Da kein Stoffaustausch stattfinden soll, werden Dichteänderungen
und Auftrieb nur thermisch ausgelöst.
Kontinuitätsgleichung:
x-Impuls (Grenzschicht):
x-Impuls (ruhendes Fluid):
y-Impuls (Grenzschicht):
Energiegleichung:
∂ρu
∂x
+ ∂ρv
∂y
u ∂u ∂u
+ v = −1
∂x ∂y ρ
0 = − 1
0 = − 1
ρ
u ∂T
∂x
∂p
∂y
ρ∞
= 0; (10.1)
∂p
∂x − g + ν ∂2u ; (10.2)
∂y2 ∂p
− g + 0; (10.3)
∂x
⇒ ∂p
∂x
+ v ∂T
∂y = a∂2 T
∂x 2
dp
≡ ; (10.4)
dx
(10.5)
Nach Gleichung (10.3) folgt für das ruhende Fluid außerhalb der Grenzschicht die Beziehung
dp/dx = −ρ∞ · g, welche wegen (10.4) in (10.2) substituiert werden kann:
u ∂u
∂x
+ v ∂u
∂y
g
=
ρ (ρ∞ − ρ) + ν ∂2u ∂y2 Trägheit Auftrieb Zähigkeit
Boussinesq bzw. Oberbeck führten zur Vereinfachung obiger Gleichungen folgende Näherungen
ein:
1. Das Fluid wird bis auf den Auftriebsterm (in obiger Gleichung) als inkompressibel behandelt,
die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich zu ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 (Divergenzfreie
Geschwindigkeit).
2. Der Volumenausdehnungskoeffizient β wird linearisiert:
β = − 1
ρ
� �
∂ρ
∂T
≈ − 1
ρ
� �
ρ∞ − ρ
=
T∞ − T
1
ρ
die x-Impuls-Gleichung (10.2) lautet dann:
p
u ∂u ∂u
+ v
∂x ∂y = gβ (T − T∞) + ν ∂2u ∂y2 � ρ∞ − ρ
T − T∞
�
;
(10.6)
3. Sämtliche Stoffwerte (β, λ, ρ, cp, ν) werden als näherungsweise konstant betrachtet, man
wählt die mittlere Grenzschichttemperatur TB = (TW + T∞)/2 als Bezugstemperatur.
Bewegungs- und Energiegleichung sind demnach über den Temperaturterm wechselseitig gekoppelt.

126 KAPITEL 10. FREIE KONVEKTION
10.3 Kennzahlen und Ähnlichkeitslösungen für die isotherme
Wand
Als Bezugsgrößen sind L und ∆T ≡ TW − T∞ durch die Modellbeschreibung gegeben, jedoch
existiert keine aufgeprägte charakteristische Geschwindigkeit. Wir definieren deshalb:
dann folgt das Gleichungssystem
� ∂ũ
�
ũ ∂θ
∂˜x
˜x = x y u
; ˜y = ; ũ =
L L uB
� uB
; θ =
T − T∞
TW − T∞
∂˜v
+ = 0,
∂˜x ∂˜y L
�
ũ ∂ũ
�
∂ũ u2 B + ˜v
∂˜x ∂˜y L = gβ (TW − T∞) θ + ∂2ũ ∂˜y
�
∂θ uB
+ ˜v
∂˜y L · (TW − T∞) = a
L2 (TW − T∞) ∂2θ ,
∂˜y 2
mit den erforderlichen Randbedingungen
ũ(˜x, 0) = ˜v(˜x, 0) = 0; θ(˜x, 0) = 1,
ũ(˜x, ∞) = 0; θ(˜x, ∞) = 0.
ν,
L2 2 · uB
Die ” Kundschafter“-Geschwindigkeit uB liefert aus der zweiten Gleichung (nach bekanntem
Schema) die ” System“-Geschwindigkeit uB = ν/L sowie die nach Grashof benannte Auftriebskennzahl:
bzw. ” örtlich“
GrL = gβ (TW − T∞) L3 ν2 ,
Grx = gβ (TW − T∞) x3 ν2 .
Diese repräsentiert das Verhältnis der auf das Fluid wirkenden Auftriebskraft zur hemmenden
Zähigkeitskraft.
Aus der Energiegleichung lässt sich auf einfache Weise die schon bekannte Prandtl-Zahl
P r = ν a als Einflussparameter eruieren. 1930 gelang es Schmidt und Beckmann mit Unterstützung
des Mathematikers Polhausen den oben definierten Modellfall speziell für Luft
experimentell und theoretisch zu lösen. Squire hat 1938 mit Hilfe des sog. Integralverfahrens
die (angenäherte) allgemeine Lösung für 0 ≤ P r → ∞ gewonnen. Schließlich gelang es 1953
Ostrach die lange gesuchte Ähnlichkeitslösung“ zu finden, indem er dimensionslose y- und
”
u-Koordinaten der Form
y = y
� �1/4 Grx
u · x
und u =
x 4
2v Gr−1/2 x .
einführte. Die Lösungen für das Geschwindigkeitsfeld und das Temperaturfeld sind in Abb.
10.2 in dimensionsloser Form dargestellt

10.3. KENNZAHLEN UND ÄHNLICHKEITSLÖSUNGEN FÜR DIE ISOTHERME WAND127
� � � � � ��� � � �
�
� �
�
�����
��� �
��� �
�����
��� �
�����
�����
�
�
�������������
�������
�������
��� �
�
�
���
�����
�������
� � � � � �
� �
�����
�����
��� �
�����
�
�
�
�
���
�����
�������
�������������
� � � � � �
� ��� ���
���
� � �
���
� � ��� � ��
�
�
��
� �
�
��
�
�
�
�������
� �������
�� ���
Abbildung 10.2: Ähnlichkeitslösungen für Geschwindigkeit (links) und Temperatur (rechts)
bei freier, laminarer Konvektion an einer isothermen Wand.
Auch bei freier Konvektion existiert eine kritische Lauflänge xk, bei der die Strömung den
schon bekannten Umschlag laminar/turbulent erfährt. Maßgebend ist hierfür - wie nach den
vorausgegangenen Erörterungen zu erwarten- wieder ein dimensionsloser Ähnlichkeitsparameter,
und zwar die nach Lord Rayleigh benannte Kennzahl
Es gilt
Rax = Grx · Pr = g · β · (TW − T∞) x3 , bzw. RaL = GrL · Pr
ν · a
Rax,k = Grx,k · Pr ≈ 10 9 .
Fragt man sich, warum nicht analog zur Zwangskonvektion die wie die Rex-Zahl aus der Bewegungsgleichung
erschlossene Grx-Zahl für den Umschlag alleine maßgeblich ist, so lautet
die Erklärung: Die enge wechselseitige Verkettung von Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld
bei freier Konvektion bedingt folgerichtig die Einbeziehung der das Zusammenwirken von
diffusivem Impuls- und Wärmetransport regierenden Prandtl-Zahl .
Wegen der viel geringeren Geschwindigkeiten bei Naturkonvektion erhält man wesentlich
dickere Grenzschichten als bei Zwangskonvektion mit der Konsequenz, dass unterhalb von
Rax,0 ≈ 10 4 die Voraussetzungen der Grenzschichttherorie δ(x)/x ≪ 1 nicht mehr erfüllt sind
und folglich die im Anschluss mitgeteilten Gebrauchsformeln unbrauchbar werden:

128 KAPITEL 10. FREIE KONVEKTION
δ
x
=
Ra1/4 x
3, 93
h( Pr)
mit
�
Pr
h( Pr) =
0, 952 + Pr
α(x) = 0, 508 · h( Pr) λ
Nu(x)x =
1/4
(Rax)
x
α(x) · x
= 0, 508 · h( Pr) (Rax)
λ
1/4
α = 1
�L
α(x) dx =
L
4
3 α(L)
NuL =
0
α · L
0, 679 · h( Pr) · Ra1/4
L
λ
mit RaL = GrL · Pr = gβ (TW − T∞) L 3
und 10 4 ≤ Ra ≤ 10 9
νa
� 1/4

Literaturverzeichnis
[1] H. D. Baehr and K. Stephan. Wärme- und Stoffübertragung. Springer Verlag, 1998. 3rd
Edition.
[2] F. P. Incropera and D. P. DeWitt. Fundamentals of Heat and Mass Transfer. John Wiley
& Sons, 1996. 4th Edition.
[3] S. Ostrach. An Analysis of Laminar Free Convection Flow and Heat Transfer about a
Flat Plate Parallel to the Direction of the Generating Body Force. NACA Techn. Report,
(1111), 1953.
[4] E. Pohlhausen. Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit
kleiner Reibung. Z. Angew. Math. Mech., 1:115–121, 1921.
[5] J. Stichlmair. Anwendung der Ähnlichkeitsgesetze bei vollständiger und partieller Ähnlichkeit.
Chem.-Ing.-Tech., 63(1):38–51, 1991.
[6] J. Zierep. Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. G. Braun, Karlsruhe,
2nd edition, 1982.
129

130 LITERATURVERZEICHNIS

Anhang A
Nomenklatur
Deutsche und englische Formelzeichen
dt. Bezeichnung engl. Bezeichnung Einheit
Temperaturleitfähigkeit a α thermal diffusivity m 2
s
Wärmestrom ˙ Q q heat transfer rate W
Wärmestromdichte ˙q q ′′ heat flux W
m 2
Wärmequellendichte ˙w ˙q rate of energy generation per unit
volume
Wärmedurchgangszahl k U overall heat transfer coefficient W
m 2 K
Wärmeübergangskoeffizient α h convection heat transfer coefficient W
m 2 K
Wärmeleitfähigkeit λ k thermal conductivity W
mK
dynamische Viskosität η µ viscosity Ns
m 2
Rohrreibungsbeiwert ψ f friction factor –
131
W
m 3

132 ANHANG A. NOMENKLATUR

Anhang B
Kennzahlen
Biot-Zahl
Bi = L/λ
1/α
= α · L
λ
(B.1)
Die Biot-Zahl stellt das Verhältnis des Wärmeleitwiderstandes im Körper zu dem
Wärmeübergangswiderstand der Grenzschicht dar.
Bond-Zahl
Bo = g (ϱl − ϱv) L 2
σ
(B.2)
Die Bond-Zahl trägt zur dimensionslosen Beschreibung von Wärmeübertragungsvorgängen
mit Phasenumwandlung bei. Sie charakterisiert das Verhältnis von Gravitationskraft zu
Oberflächenspannungskräften.
Fourier-Zahl
Fo =
a · t
L 2
(B.3)
Die Fourier-Zahl ist eine dimensionslose Zeit. Sie beschreibt das Verhältnis von Wärmeleitung
zu Wärmespeicherung im Festkörper
133

134 ANHANG B. KENNZAHLEN
Grashof-Zahl
Gr =
g β ∆T L3
ν 2
(B.4)
Die Grashof-Zahl, eine Kennzahl der freien Konvektion. beschreibt das Varhältnis der
Auftriebskräfte zu den Reibungskräften.
Jakob-Zahl
Ja = cP ∆T
∆hV
(B.5)
Die Jakob-Zahl stellt das Verhältnis der fühlbaren Wärme zur zu- oder abgeführten Umwandlungsenthalpie
dar. Somit ist die Jakob-zahl eine weitere dimensionslose Kennzahl,
die der Beschreibung des Wärmeübergangs bei Phasenumwandlung dient.
Lewis-Zahl
Le = a
DAB
Die Lewis-Zahl beschriebt das Verhältnis von thermischer zu stofflicher Diffusion.
Nußelt-Zahl
Nu =
α · L
λ
(B.6)
(B.7)
Die Nußelt-Zahl bezieht den Wärmestrom infolge Konvektion auf den Wärmestrom infolge
Leitung durch die Grenzschicht. Sie wird oft auch als dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient
oder dimensionsloser Temperaturgradient bezeichnet.
Péclet-Zahl
Pe =
w · L
a
= w · L
ν
· ν
a
= Re · Pr (B.8)
Die Péclet-Zahl gibt das Verhältnis des konvektiven Wärmetransportes zum Wärmestrom
infolge Wärmeleitung an.

Prandtl-Zahl
Pr = ν
(B.9)
a
Die Prandtl-Zahl ist ein Maß für das Verhältnis von Impuls- zu Wärmetransport und
enthält nur Stoffgrößen.
Rayleigh-Zahl
g β ∆T L3
Ra = =
ν a
g β ∆T L3
ν2 · ν
= Gr · Pr (B.10)
a
Die Rayleigh-Zahl charakterisiert den Umschlag laminar/turbulent der freien Konvektion.
Reynolds-Zahl
w · L
Re = (B.11)
ν
Die Reynolds-Zahl stellt das Verhältnis von Trägheitskraft zur Reibungskraft dar.
Schmidt-Zahl
Sc = ν
DAB
135
(B.12)
Die Schmidt-Zahl beschreibt den Impuls-Transport durch Diffusion bezogen auf den
Spezies-Transport durch Diffusion
Sherwood-Zahl
Sh =
β · L
DAB
Die Sherwood-Zahl ist der dimensionslose Konzentrationsgradient an der Wand.
(B.13)