Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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28 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG<br />
lautet somit die Differenzialgleichung:<br />
2c + n<br />
˙w<br />
(b + 2c · r) + = 0.<br />
r λ<br />
Aus der Randbedingungen bei r = 0 folgt b = 0, damit lässt sich der Koeffizient c aus der<br />
Differenzialgleichung bestimmen:<br />
2c (1 + n) + ˙w<br />
λ<br />
˙w<br />
= 0 ⇒ c = −<br />
2λ(1 + n) .<br />
Wegen der Randbedingungen bei r = R folgt <strong>für</strong> den Koeffizienten a:<br />
−2c λ R = −α (a + c R 2 − T∞) ⇒ a = −2c λ R<br />
α − c R2 + T∞.<br />
Ergebnis <strong>für</strong> die Temperatur im Körper (0 ≤ r ≤ R):<br />
T (r) = T∞ +<br />
˙wR 2<br />
2λ(n + 1)<br />
Für den Wärmefluss an der Außenwand gilt:<br />
Mit den Definitionen<br />
�<br />
� �<br />
dT<br />
˙q(R) = −λ =<br />
dr R<br />
˙w R<br />
ξ ≡ r<br />
R ,<br />
θ ≡<br />
Bi ≡ αR<br />
λ<br />
1 + 2λ<br />
αR −<br />
T − T0<br />
˙wR 2 /λ ,<br />
n + 1 .<br />
� � �<br />
2 r<br />
. (3.13)<br />
R<br />
lässt sich das Temperaturprofil kompakt in dimensionsfreier Form darstellen:<br />
θ(ξ) =<br />
Im Zentrum bzw. an der Oberfläche des Körpers gilt:<br />
θ(0) =<br />
�<br />
1<br />
1 +<br />
2(n + 1)<br />
2<br />
�<br />
− ξ2 , 0 ≤ ξ ≤ 1. (3.14)<br />
Bi<br />
�<br />
1<br />
1 +<br />
2(n + 1)<br />
2<br />
�<br />
Bi<br />
und θ(1) =<br />
1<br />
2(n + 1)<br />
Qualitativ sind die Temperaturverhältnisse <strong>für</strong> große bzw. kleine Werte der Biot-Zahl Bi in<br />
in Bild 3.10 dargestellt.<br />
2<br />
Bi ,