Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

24 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
zwei getrennten Abschnitten die Temperaturen T1 und T2 aufgeprägt erhält, ansonsten aber
adiabat ist, so gilt für den Wärmestrom:
˙Q = Leitfähigkeit · Temperaturdifferenz = λ S (T1 − T2) . (3.11)
Hierbei wurde die Leitfähigkeit in die stoffspezifische Wärmeleitfähigkeit λ und den nur von
der Geometrie abhängigen Formkoeffizienten oder Formfaktor S (shape factor) aufgeteilt.
In diesem Sinne lassen sich die drei Péclet-Gleichungen für Platte, Zylinder und Kugel aus
Abschnitt 3.1 unter das Konzept ” Formkoeffizienten“ einordnen.
S Platte = A
s ,
S Zylinder =
S Kugel =
2π l
ln(r2/r1) ,
4π
1
−
r1
1
.
r2
Diese Beispiele sind mathematisch eindimensional, physikalisch ein-, zwei- und dreidimensional.
Für den Zylinder kann man wie für alle prismatischen Körper ( ” Profilstangen“) einen
bezogenen Formkoeffizienten
SL ≡ S
l
definieren, so dass gilt:
˙Q = λ l SL ∆T.
Abbildungen 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 zeigen (längenbezogene) Formkoeffizienten Sl für komplizierte
prismatische Körper (zweidimensional) mit zwei isothermen Berandungen, Abbildung 3.8
entsprechend S für dreidimensionale Körper mit Temperaturen T1 auf Kreisfläche und T2 im
Unendlichen. Weitere Formfaktoren finden sich in den Arbeitsunterlagen zur Vorlesung und
der einschlägigen Fachliteratur.
Interessant ist der Vergleich der S-Werte für eine isotherme halbkugelförmige (napfförmige)
Vertiefung im halbunendlich ausgedehnten Raum (Erdboden) mit dem entsprechenden Wert
für die Kreisscheibe auf dem Halbraum:
Aus obiger Beziehung folgt:
Abbildung 3.8 entnimmt man:
S Halbkugel = 2π r,
S Kreisscheibe = 4 r1.
Demnach erhöht eine isotherme halbkugelförmige Vertiefung den in den Halbraum eingetragenen
Wärmestrom um 57% gegenüber einer isothermen Kreisscheibe.