Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

38KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT
T∞ , α
-L L
x
T∞ , α
t
-L L
Bi > 1
T = T(x,t)
Abbildung 4.4: Qualitative Darstellung der zeitlichen Entwicklung der Temperaturverteilung
in einer ebenen Platte bei Sprungabkühlung für verschiedene Werte der Biot-Zahl.
von Zylinder bzw. Kugel – ist. Mit Hilfe der im letzten Kapitel bereits eingeführten Biot-Zahl,
dem Verhältnis des konduktiven zum konvektiven thermischen Widerstand,
Bi ≡ αL
λ
Wärmeleitwiderstand
∼ . (4.4)
Wärmeübergangswiderstand
lässt sich diese Bedingung wie folgt formulieren:Die Methode der Blockkapazität ist anwendbar,
wenn die Biot-Zahl deutlich kleiner als 1 ist, etwa Bi < ∼ 0,1. Eine exakte, quantitative
Formulierung dieses Kriteriums für Platte, Zylinder und Kugel findet sich in den Arbeitsunterlagen.
Mit Hilfe der Biot-Zahl kann man auch die Verhältnisse zwischen den Temperaturen TK
und TW im Inneren bzw. an der Oberfläche des Körpers und der Umgebungstemperatur T∞
ungefähr abschätzen. Es gilt größenordnungsmäßig
und damit
−λ TW − TK
L
TW ∼ λTK + αLT∞
λ + αL
∼ α(TW − T∞),
= TK + Bi T∞
.
1 + Bi
Wie man sieht, gilt TW → TK für Bi → 0 – die Methode der Blockkapazität ist dann
anwendbar – und umgekehrt TW → T∞ für Bi → ∞. In Bild 4.4 sind diese Zusammhänge
für die Sprungabkühlung einer ebenen Platte dargestellt. Beachten Sie auch die Analogie zu
den Ergebnissen des Abschnittes 3.3 für die Temperaturverteilung θ(ξ) bei Wärmeleitung mit
konstanter Wärmequellendichte ˙w.