Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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36KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT<br />
Zylinder: A<br />
V<br />
Θ(τ)<br />
�����<br />
�����<br />
Θ� (τ)<br />
∆Θ ∞<br />
Θ(τ)<br />
�����<br />
� � �<br />
Abbildung 4.3: Thermometer im aufgeheizten Bad<br />
2πl<br />
=<br />
R2 2<br />
=<br />
πl R<br />
Kugel: A<br />
V = 4R2 π<br />
4/3R 3 π<br />
(A entspricht nur Mantelfäche wegen l ≫ R),<br />
= 3<br />
R .<br />
Anwendungsbeispiel <strong>für</strong> das Blockmodell: Ein Thermometer wird plötzlich in kaltes Wasser<br />
getaucht ( ” Sprungabkühlung“).<br />
4.2 Thermometerfehler der 1. Art<br />
Das gleiche Grundmodell kann auch zur Berechnung der Temperaturänderung eines Thermometers<br />
verwendet werden, das sich in einem stetig aufgeheizten Bad befindet. Auch in diesem<br />
Fall wird der Sensorbereich des Thermometers als Blockkapazität der Größe mc = ρcV betrachtet.<br />
Die Bad-Temperatur TB soll linear mit der Zeit T zunehmen:<br />
TB(t) = T0 + B t.<br />
Die Differenzialgleichung <strong>für</strong> die Temperatur T des Thermometers folgt wieder aus der Energieerhaltung:<br />
−αA(T − TB) dt = m c dT,<br />
mit der Anfangsbedingung T (t = 0) = TB(t = 0) = T0.<br />
Normierung:<br />
θ(t) =<br />
T − T0<br />
,<br />
∆TBez<br />
θB(t) = TB − T0<br />
∆TBez<br />
τ = αAt<br />
m c .<br />
= B · t<br />
∆TBez<br />
,<br />
τ