Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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18 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG<br />
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λ<br />
Abbildung 3.2: Zylinder- bzw. Kugelschale mit beidseitigem Wärmeübergang<br />
• Während z.B. bei schlecht wärmeleitenden Baustoffen kein Kontaktwiderstand zwischen<br />
den einzelnen Schichten infolge von (dünnen) Luftspalten zu berücksichtigen ist, müssen<br />
z.B. bei Kernbrennelementen die Spalte zwischen Zirkalloy-Hülle und Uranzylinder mit<br />
dem sehr gut leitenden Gas Helium verpresst werden, um den nicht mehr zu vernachlässigenden<br />
Kontaktwiderstand möglichst klein zu halten. Im Labor wird oftmals Wärmeleitpaste<br />
verwendet um den Kontaktwiderstand zwischen unterschiedlichen Bauelementen<br />
zu verringern.<br />
3.1.2 Péclet-Gleichung <strong>für</strong> den Zylinder<br />
Die Laplace-Gleichung (3.1) läßt sich <strong>für</strong> eine zylindrische Geometrie (n = 1) wie folgt schreiben:<br />
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1 d<br />
r<br />
r dr<br />
dT<br />
�<br />
= 0.<br />
dr<br />
So sieht man, dass <strong>für</strong> eine Lösung T (r) gelten muss: dT/dr ∼ 1/r und damit:<br />
T (r) = C1 ln(r) + C2.<br />
Der Wärmefluss ˙qr nimmt mit 1/r ab bzw. zu, die Temperatur verläuft logarithmisch! Die<br />
Integrationskonstanten C1, C2 werden wieder über die inneren Randbedingungen bestimmt,<br />
T (r = r1) = TW 1,<br />
T (r = r2) = TW 2.<br />
Das Ergebnis <strong>für</strong> den Verlauf von Temperatur und Wärmefluss bzw. -strom lautet:<br />
T (r) = TW 1 + (TW 2 − TW 1)<br />
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ln (r/r1)<br />
ln (r2/r1) ,<br />
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