Realisierbarkeit und Beurteilung ästhetischer Klangkonzepte bei ...

4.2 Statistische Grundlagen
Um das Verständnis der statistischen Auswertung zu erleichtern, werden an dieser Stelle
einige Grundbegriffe der Statistik kurz erläutert. Dabei wird nur auf jene Begriffe
eingegangen, die für die vorliegende Auswertung wichtig sein könnten. 21
Zur Charakterisierung einer Messung wird beschrieben, um welchen Mittelwert sich
die Werte verteilen und wie weit die einzelnen Messwerte voneinander abweichen. Am
häufigsten wird in der Statistik das arithmetische Mittel als Maß der zentralen Tendenz
gewählt. Dabei werden die Werte einer Variablen addiert und anschließend durch die
Anzahl der Werte geteilt. Als Maß für die Streuung der Werte wird im Allgemeinen auf
die Standardabweichung zurückgegriffen. Hierfür wird die Abweichung eines jeden Wertes
vom Mittelwert festgestellt, von den Differenzen ein Mittelwert der Abweichungen
errechnet und von diesem die Wurzel gezogen. Große Standardabweichungen besagen,
das die Ausprägungen weit streuen, während kleine Werte belegen, dass die Einzelwerte
nur wenig vom Mittelwert abweichen. Sowohl für die arithmetische Mittelwertbildung
als auch für die Berechnung der Standardabweichung muss die Normalverteilungsannahme
überprüft werden. Wenn sich die Ausprägungen nicht in Form einer Normalverteilungskurve
verteilen, nehmen weder Mittelwert noch Standardabweichung repräsentative
Werte für die Messung an.
Um jede einzelne Ausprägung im Gesamtergebnis einordnen zu können, werden die Rohdaten
außerdem standardisiert. Dabei wird jeweils errechnet, wie weit eine einzelne Ausprägung
vom Mittelwert der Variablen abweicht, und diese Differenz durch die Standardabweichung
geteilt. Das Ergebnis ist die Abweichung der jeweiligen Ausprägung in
Standardabweichungseinheiten, genannt z-Wert. Ein z-Wert von 1 besagt demnach, dass
die Ausprägung genau eine Standardabweichung größer als der Mittelwert ist. Der Wert
0 spiegelt eine Ausprägung wider, die genau dem arithmetischen Mittelwert der Messung
entspricht.
Zur Überprüfung eines Zusammenhangs zwischen zwei Variablen, wurden mehrere Korrelationsverfahren
entwickelt. Bei den verschiedenen Verfahren wird (verkürzt formuliert)
das Kreuzprodukt der korrelierenden z-Werte gebildet und die einzelnen Produkte
addiert. Je nachdem, ob ein linearer, kurvenlinearer oder sonstiger Zusammenhang vorliegt,
werden die Standardwerte, die standardisierten Abweichungen oder die standardisierten
Ränge zur Berechnung herangezogen. Bei den folgenden Auswertungen von Korrelationen
wird nur auf den Korrelations-Koeffizienten Kendalls Tau b zurückgegriffen,
da bei seiner Berechnung Verzerrungen durch Ausreißer abgeschwächt werden. Dadurch
bietet er sich besonders bei kleinen Stichproben an, in denen Ausreißer einen stärkeren
Einfluss haben. 22 Ein Korrelationskoeffizient mit dem Wert 1 bedeutet, das die Variablen
vollständig miteinander korrelieren; bei einem Wert von −1 liegt eine inverse Korrelation
vor. Ein Wert von 0 besagt, dass die Variablen unabhängig voneinander sind. In der
21 Alle statistischen Grundlagen wurden Maiello (2006) [16] entnommen.
22 Siehe Maiello (2006), S. 172 [16]
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