Analyse von Kraftsensor-Messwerten mit MATLAB zur Orts ... - Brichzin

5.1 Die Ortberechnung - Berechnung durch zwei Sensorgleichungen 50
5. Die Ortberechnung
5.1. Berechnung durch zwei Sensorgleichungen
Bei der Auswertung der ersten statischen Messung entstanden die in 3.2
beschriebenen Sensorgleichungen. Da zu Beginn der Berechnungen noch wenig
Erfahrung in MATLAB vorlag, wurde vorerst versucht, das Problem der
Ortberechnung mit konventionellen Mitteln zu lösen. Da jede dieser
Sensorgleichungen nur zwei Unbekannte, x und y, besitzt, ist es möglich, dieses
Gleichungssystem auch mit nur zwei Gleichungen zu lösen. Dies kann man
erreichen, indem man eine Gleichung nach x und die andere nach y auflöst und
eine Gleichung jeweils in die andere einsetzt. Man erhält ein Polynom zweiter
Ordnung, das sich mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen
(„Mitternachtsformel“) nach x bzw. y auflösen lässt.
Gleichung für ersten Sensor: Q = ( a * y + b)
* x + c * y + d
Gleichung für zweiten Sensor: W = ( e * y + f ) * x + g * y + h
Nach x aufgelöste Gleichung:
− aQ + ah − bg + eW − de + cf +
x =
Nach y aufgelöste Gleichung:
− eW + de − bg + aQ − ah + cf +
y =
( aQ − ah + bg − eW + de − cf )² − 4(
be − af )( −gW
+ cQ − ch + dg)
2(
be − af )
( eW − de + bg − aQ + ah − cf )² − 4(
ag − ce)(
bh − bQ + fW − df )
2(
ag − ce)
Der Nachteil dieser Methode ist, neben der Unübersichtlichkeit, dass der Ort
immer nur aus zwei Sensoren berechnet wird. Allerdings ließen sich dadurch
schon erste Analysen zur Genauigkeit der Berechnung durchführen.
In den folgenden beiden Diagrammen sind die Abweichungen der aus den
Gleichungen von Sensor „ul“ und „ur“ berechneten Koordinaten zu den
tatsächlichen Koordinaten dargestellt. Dort sind jeweils als blaue Quadrate alle
Messpunkte zu sehen, die roten Kreise stellen die berechneten x-Koordinaten, wie
in Diagramm 5-1, bzw. y-Koordinaten, wie in Diagramm 5-2, dar. Zur
Orientierung sind zusätzlich die Positionen der Sensoren markiert.
In Diagramm 5-1 zeigt sich, dass die x-Koordinaten in der Nähe der Sensoren,
also im oberen Viertel der gesamten Platte, mit sehr guter Genauigkeit berechnet
werden. Entfernt man sich immer weiter von den Sensoren, werden die