a review - Acta Technica Corviniensis

ACTA TECHNICA CORVINIENSIS – Bulletin of Engineering
2013. Fascicule 2 [April–June] 81
( ) ( )
2
2
0
3
0
3
0
,
,
v
k
u
K
u
C
C
v
g
G
u
T
T
v
g
G
w
m
w
r
′
=
′
−
′
=
′
−
′
=
∞
•
∞
β
β
,
D
v
S c = ,
2
0
2
0
u
v
B
M
ρ
σ
=
2
0
2
2
0
3
2
,
16
u
Q v
H
ku
T
v
a
R
κ
σ ′
=
′
= ∞
•
(8)
We get the following governing equations which are
dimensionless
K
u
Mu
y
u
C
G
G
t
u
m
r
−
−
∂
∂
+
+
=
∂
∂
2
2
θ (9)
( )θ
θ
θ
H
R
y
t
+
−
∂
∂
=
∂
∂
Pr
1
Pr
1
2
2
(10)
2
2
2
2
1
y
S
y
C
Sc
t
C
o ∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ θ (11)
The initial and boundary conditions in dimensionless
form as follows:
≤ 0 :
′
t ,
= 0
u ,
= 0
θ ,
0 y
all
for
C =
0,
,
1,
:
0 =
=
=
=
> y
at
t
C
t
u
t θ
→ 0,
u ,
→ 0
θ .
0 ∞
→
→
y
as
c
(12)
SOLUTION OF THE PROBLEM
The appeared physical parameters are defined in the
nomenclature. The dimensionless governing equations
from (9) to (11), subject to the boundary conditions
(12) are solved by usual Laplace transform technique
and the solutions are expressed in terms of
exponential and complementary error functions.
( )
( )
( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
Pr
2
Pr
exp
4
Pr
2
Pr
2
Pr
exp
4
Pr
2
,
St
t
y
erfc
S
y
S
y
t
St
t
y
erfc
S
y
S
y
t
t
y
θ
(13)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
t
Sc
y
erfc
c
b
d
t
Sc
y
tSc
y
t
Sc
y
erfc
Sc
y
t
b
t
y
C
2
4
exp
2
2
1
)
,
(
2
2
π
( )
( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
ct
t
Sc
y
erfc
cSc
y
ct
t
Sc
y
erfc
cSc
y
ct
c
b
d
2
exp
2
exp
)
exp(
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
Pr
2
Pr
)
exp(
Pr
2
Pr
)
exp(
2
1
St
t
y
erfc
S
y
St
t
y
erfc
S
y
c
b
d
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
Pr
2
Pr
)
exp(
4
Pr
2
Pr
2
Pr
)
exp(
4
Pr
2
St
t
y
erfc
S
y
S
y
t
St
t
y
erfc
S
y
S
y
t
b
( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
t
c
S
t
y
erfc
c
S
y
t
c
S
t
y
erfc
c
S
y
ct
c
b
d
Pr
2
Pr
Pr
exp
Pr
2
Pr
Pr
exp
)
exp(
2
1
( )
( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
−
′
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
′
=
t
M
t
y
erfc
M
y
t
M
t
y
erfc
M
y
t
y
u
2
exp
2
exp
2
1
,
( )
( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
Pr
2
Pr
exp
4
Pr
2
Pr
2
Pr
exp
4
Pr
2
1
St
t
y
erfc
S
y
S
y
t
St
t
y
erfc
S
y
S
y
t
A
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+ t
Sc
y
tSc
y
t
Sc
y
erfc
Sc
y
t
A
4
exp
2
2
2
2
2
π
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
−
′
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
+
−
M t
t
y
erfc
M
y
M
y
t
M t
t
y
erfc
M
y
M
y
t
A
A
2
)
exp(
4
2
2
)
exp(
4
2
2
( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
+
t
c
S
t
y
erfc
c
S
y
t
c
S
t
y
erfc
c
S
y
ct
A
Pr
2
Pr
Pr
exp
Pr
2
Pr
Pr
exp
)
exp(
2
3
( )
( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
+
ct
t
Sc
y
erfc
cSc
y
ct
t
Sc
y
erfc
cSc
y
ct
A
2
exp
2
exp
)
exp(
2
4
( ) ( )
( ) ( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
−
−
′
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
+
−
′
−
+
t
l
M
t
y
erfc
l
M
y
t
l
M
t
y
erfc
l
M
y
lt
A
2
exp
2
exp
)
exp(
2
5
( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
−
t
l
S
t
y
erfc
l
S
y
t
l
S
t
y
erfc
l
S
y
lt
A
Pr
2
Pr
Pr
exp
Pr
2
Pr
Pr
exp
)
exp(
2
5
( ) ( )
( ) ( ) ⎥ ⎥⎥⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
′
−
+
′
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
′
+
+
′
+
t
n
M
t
y
erfc
n
M
y
t
n
M
t
y
erfc
n
M
y
nt
A
2
exp
2
exp
)
exp(
2
6
( )
( ) ⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
nt
t
Sc
y
erfc
nSc
y
nt
t
Sc
y
erfc
nSc
y
nt
A
2
exp
2
exp
)
exp(
2
6
( )
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
t
Sc
y
erfc
A
St
t
y
erfc
S
y
St
t
y
erfc
S
y
A
2
Pr
2
Pr
exp
Pr
2
Pr
exp
2
8
7
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
′
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
′
+
−
t
M
t
y
erfc
M
y
t
M
t
y
erfc
M
y
A
A
2
)
exp(
2
)
exp(
2
1
8
7
(15)
where
Sc
S
c
Sc
S
b
H
R
S
K
M
M
−
=
=
+
=
+
=
′
Pr
,
,
,
1
0
,
1
,
1
,
Pr
−
′
=
−
′
−
=
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Sc
M
n
Sc
M
S
l
S
b
d
( )
( )
,
Pr)
(
Pr)
(
,
Pr
Pr
,
)
(1
,
4
3
2
1
c
c
M
S
cS
c
S
bGm
A
c
c
M
S
cS
c
bGm S
A
M
Gm
b
A
M
S
Gr
bGm
A
−
+
′
−
−
=
−
+
′
−
−
=
′
+
=
′
−
−
=
[ ]
Pr)
(
)
(
)
Pr
(
Pr)
(
1)
(Pr
2
5
c
c
M
S
M
S
S
S
M
Gmbc
c
c
M
S
SGr
A
−
+
′
−
′
−
−
′
+
−
+
′
−
−
=
[ ]
)
(
1)
)(
(1
Pr)
(
1)
(
2
6
cSc
c
M
S
M
Sc
b
cS
bc
S
M
Sc
Gm
A
+
−
′
′
−
+
+
+
′
−
=