Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática
Matemática básica
1

SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência Pedagódica: Luiz Fernando Duarte
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência Operacional: Danilo Maurin
Gerência de Relacionamento: Danilo Lippi
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B.
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Clayton Furukawa, Frederico R. F.
do Amaral Braga e Jeferson Petronilho
Editoria: José F. Rufato, Marina A.
Barreto e Paulo S. Adami
Coordenação editorial: Luzia H. Fávero F. López
Assistente Editorial: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de
arte: Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto:
Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro
e Paula de Oliveira Quirino.
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos,
José S. Lara, Leda G. de Almeida e
Maria Cecília R. D. B. Ribeiro.
Capa: LABCOM comunicação total
Fechamento: Matheus C. Sisdeli
Rua General Celso de Mello Rezende, 301 – Tel.: (16) 3238·6300
CEP 14095-270 – Lagoinha – Ribeirão Preto-SP
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Sumário
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 7
1. Potenciação 7
2. Radiciação 10
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS 17
1. Quadrado da soma de dois termos 17
2. Quadrado da diferença de dois termos 17
3. Produto da soma pela diferença de dois termos 17
4. Cubo da soma de dois termos 17
5. Cubo da diferença de dois termos 17
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO 19
1. Definição 19
2. Casos de fatoração 20
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM 22
1. Introdução 22
2. Definição 22
3. Forma decimal 22
4. Porcentagem de quantias 22
5. Lucro 24
6. Aumento percentual 25
7. Desconto percentual 26
8. Aumentos e descontos sucessivos 28
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES 30
1. Conceitos básicos 30
2. Propriedades 33
3. Máximo divisor comum 35
4. Mínimo múltiplo comum 36
5. MDC e MMC pelo método da decomposição isolada 36
6. MMC e MDC pelo método da fatoração simultânea 36
7. MDC pelo método das divisões sucessivas 37
8. Propriedades do MDC e do MMC 37
CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES 39
1. Introdução 39
2. Equação matemática 39
3. Raiz (ou solução) de uma equação 39
4. Resolução de equações 39
5. Equações equivalentes 40
6. Equação do 1º grau 40
7. Problemas matemáticos 40
8. Passos para resolver um problema matemático 40

9. Equação do 2º grau 43
10. Resolução de equações com mudança de variável 47
11. Equações irracionais 48
CAPÍTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS 50
1. Introdução 50
2. Notação e representação 50
3. Relação de pertinência 50
4. Relação de inclusão 51
5. Conjuntos especiais 51
6. Conjunto universo 52
7. Conjunto de partes 52
8. Igualdade de conjuntos 52
9. Operações com conjuntos 52
10. Número de elementos da união e da intersecção de conjuntos 55
11. Conjuntos numéricos 56
12. Operações com intervalos 57
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 59
Capítulo 01 61
Capítulo 02 66
Capítulo 03 68
Capítulo 04 70
Capítulo 05 78
Capítulo 06 83
Capítulo 07 93
GABARITO 102

Teoria

Matemática básica
Matemática
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
PV-13-11
1. Potenciação
A. Definições
Em todas as definições apresentadas abaixo, a
representa um número real e n, um número
natural diferente de zero.
1. Para n maior que 1, a n é igual ao produto
de n fatores idênticos a a, isto é:
a
n
= a · a · a...
a
n fatores idênticos
Notação: O elemento a é chamado base, n é
denominado expoente e a n , potência.
2. Para n= 1, define-se: a 1 = a.
3. Para n = 0 e a ≠ 0, define-se: a 0 = 1.
4. Expoente inteiro e negativo: a– n
= 1 ,
an
com a ≠ 0.
Exemplos
1. 10 5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000
2. 5 1 = 5
3. (–2) 0 = 1
4.
1 1 1
3– 4
= = =
34
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 81
B. Propriedades
Consideremos os números reais a e b e os
números naturais m e n. Então, são válidas as
seguintes propriedades:
• P 1 : Produto de potências de mesma
base
Para multiplicarmos potências de mesma base,
conservamos a base e somamos os expoentes.
a m · a n = a m + n
Justificativa
am
= a⋅a⋅a⋅ ... ⋅a
⎫
m vezes ⎪
a a a a a a m
n
⎬ ⋅ an
=
= ⋅ ⋅ ⋅...
⋅
⎪
n vezes ⎭⎪
= a ⋅ a ⋅ a⋅ ... ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ... ⋅a
m vezes
am
⋅ an
= a
n vezes
⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅a
( m + n)
vezes
Assim: a m · a n = a m + n
Exemplos
1. 10 5 · 10 2 = 10 5 + 2 = 10.000.000
2. (–10) 5 · (–10) 2 = (–10) 5 + 2 = – 10.000.000
• P 2 : Quociente de potências de mesma
base
Para dividirmos potências de mesma base,
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
a
a
m
= a
m –
n
a
≠
n
, 0
Justificativa
am
= a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a e an
= a ⋅ a ⋅ ... ⋅a
m vezes
1º) Sendo m > n, temos:
a
a
m
n
m vezes
n vezes
a a a a
= ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ = a ⋅ a ⋅ ... ⋅a
a ⋅ a ⋅ a ... ⋅a
=
( m – n)
vezes
n vezes
2º) Se m = n: a a
m
n
a m – n
= 1 = a( m–
n)
= a0
= 1
3º) Se m < n: a m
1
= = ⎛ a
an
a ⋅ a ⋅ ⋅ a ⎝ ⎜ 1 ⎞ a⎠ ⎟ =
...
Exemplos
1.
5
5
7
4
2.
2
2
3. 2
2
3
4
( n–
m)
vezes
= 57–
4
= 53
= 125
1
= 23– 4
= 2–
1
=
2
2
= 2
2 – x
x
( n–
m)
( m–
n)
• P 3 : Produto de potências de mesmo
expoente
Para multiplicarmos potências de mesmo expoente,
conservamos o expoente e multiplicamos
as bases.
a n · b n = (a · b) n
7

Matemática
Matemática básica
Justificativa
an
= a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a e bn
= b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b
a
n
( n)
vezes
n vezes
⋅ bn
= a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅a ⋅ b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b =
n vezes
= ab ⋅ ab ⋅ab
⋅ ... ⋅ab
n vezes
Assim: a n · b n = (ab) n
Exemplos
1. 2 3 · 3 3 = (2 · 3) 3 = 6 3
2. (a · b · c) 2 = a 2 · b 2 · c 2
n vezes
• P 4 : Quociente de potências de mesmo
expoente
Para dividirmos potências de mesmo expoente,
conservamos o expoente e dividimos as
bases.
a
b
n
n
n
a
= ⎛
⎜
⎝ b
⎟
⎞ , b ≠
0
⎠
Justificativa
an
= a ⋅ a ⋅a ⋅... ⋅ a e bn
= b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b
a
b
n
n
a
b
n
n
n vezes
n vezes
a ⋅ a ⋅a
⋅...
⋅a
=
b ⋅ b ⋅ b⋅ ... ⋅ b
n vezes
a
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ b⎠
⎟ ⎛ ⎝ ⎜ a ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ a ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ a
...
⎞ b b b⎠ ⎟
n vezes
Assim a n
⎛ a
: =
bn
⎝
⎜
⎞ b⎠ ⎟
Exemplos
1.
2.
22
11
2
a3
b ⋅ c
3 3
n
2
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
11⎠
⎟
2
⎛ a3
=
⎝
⎜ ( b ⋅ c)
3
n vezes
⎞ a
⎠
⎟ = ⎛ ⎞
⎝
⎜ b ⋅ c⎠
⎟
3
• P 5 : Potência de uma potência
Para elevarmos uma potência a um novo expoente,
conservamos a base e multiplicamos
os expoentes.
(a m ) n = a m · n
Justificativa
( ) = ⋅ ⋅ ⋅
am n am am ... am
n vezes
n vezes
am n am+ m+ ... + m
am n am
⋅ n
( ) ⋅ = ⇒( ) =
Exemplos
1. (2 5 ) 2 = 2 5 · 2 = 2 10
(( ) ) = =
2. 5 5
⋅ ⋅
5
5 2 3 5 2 3 30
Observação
As propriedades apresentadas podem ser estendidas
para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a. 2 3 · 2 –2 = 2 3 + (–2) = 2 1 (P 1 )
52
b. = 5 2 – (–3) = 5 2 + 3 = 5 5 (P 2 )
5–3
c. 5 –3 · 2 –3 = (5 · 2) –3 = 10 –3 (P 3 )
7–
2 – 2
7
d. = ⎛ 5–
2
4
⎝ ⎜ ⎞ 5⎠ ⎟ ( P )
e. (2 –2 ) –3 = 2 (–2) · (–3) = 2 6
C. Situações especiais
A. (–a) n e –a n
As potências (–a) n e –a n , em geral, apresentam
resultados diferentes, pois:
(– a) n
= (– a) ⋅ (– a) ⋅ (– a) ⋅... ⋅( – a)
n vezes
– an
= – a ⋅ a ⋅ a⋅
... ⋅a
n vezes
Exemplos
1. (–2) 2 = (–2) · (–2) = 4
2. –2 2 = –(2) · (2) = –4
PV-13-11
8

Matemática básica
Matemática
( )
B. a e a
m n
As potências a
( )
m n
m
n
e a
resultados diferentes, pois:
( a m ) n = ( a m ) ⋅ ( a m ) ⋅ ( a m )⋅...
⋅( a
m )
n vezes
m
n , em geral, apresentam
e
a
n vezes
a
...
m n =
m ⋅ m⋅ ⋅m
Exemplos
1. (2 5 ) 2 = 2 5 · 2 = 2 10
2
2. 2 = 2
⋅
= 2
5 5 5 25
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01. UFMG
O valor da expressão (a –1 + b –1 ) –2 é:
a. ab
( a + b)
2
b.
ab
( a
2 + b
2 )
2
c. a 2 + b 2
d. a2b2
( a + b) 2
Resolução
⎡ ⎤
−2 −2
b a
a−
b−
− ⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ ⎢
1
( +
1
2 1 1 1 ⎥
) = +
⎝
⎜ a b ⎠
⎟ =
⎝
⎜
ab ⎠
⎟ = ⎢ ⎥ =
⎢⎛
b + a⎞
⎥
⎝
⎜
ab ⎠
⎟
⎣⎢
⎦⎥
2
⎛ ab ⎞
⎝
⎜ + ⎠
⎟ =
a b
Resposta
D
02. UECE
a2b2
( a + b)
2
Se a = 3 2 e b = a 2 , então o valor do produto ab
é igual a:
a. 3 6
b. 3 8
c. 9 6
d. 9 8
Resolução
a · b = a · a 2 = a 3 = ( 3 ) = 3
Resposta
A
2 3 6
2
03. UFRGS
Sabendo-se que 6 x + 2 = 72, tem-se que 6 –x vale:
a. – 4
b. – 2
c. 0
d. 1 2
e. 2
Resolução
6 x + 2 = 72 → 6 x · 6 2 = 72 → 6 x = 72
36 → 6x = 2
6 –x 1 1
=
6
= x
2
Resposta
D
04. ENEM
A resolução das câmeras digitais modernas é
dada em megapixels, unidade de medida que
representa um milhão de pontos. As informações
sobre cada um desses pontos são armazenadas,
em geral, em 3 bytes. Porém, para
evitar que as imagens ocupem muito espaço,
elas são submetidas a algoritmos de compressão,
que reduzem em até 95% a quantidade de bytes
necessários para armazená-las. Considere 1 KB =
1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo
algoritmo de compressão é 95%, João fotografou
150 imagens para seu trabalho escolar. Se
ele deseja armazená-las de modo que o espaço
restante no dispositivo seja o menor espaço
possível, ele deve utilizar:
a. um CD de 700 MB.
b. um pendrive de 1 GB.
9

Matemática
Matemática básica
c. um HD externo de 16 GB.
d. um memory stick de 16 MB.
e. um cartão de memória de 64 MB.
Resolução
• 1 megapixel = 10 6 pontos
• 1 ponto = 3 bytes
Após compressão, 1 ponto ocupará:
5 · 3 bytes = 0,15 byte
100
Trabalho de João:
150 · 2 · 10 6 · 0,15 = 45 · 10 6 bytes =
45 ⋅ 106
= MB = 45 MB
106 Resposta
E
05. Ibmec-SP
Os astrônomos estimam que, no universo visível,
existem, aproximadamente, 100 bilhões
de galáxias, cada uma com 100 bilhões de estrelas.
De acordo com esses números, se cada
2. Radiciação
A. Definições
estrela tiver, em média, 10 planetas a sua volta,
então existem no universo visível, aproximadamente:
a. 10 12 planetas.
b. 10 17 planetas.
c. 10 23 planetas.
d. 10 121 planetas.
e. 10 220 planetas.
Resolução
100 bilhões de galáxias: 10 2 · 10 9 = 10 11 galáxias
100 bilhões de estrelas: 10 2 · 10 9 = 10 11 estrelas
em cada galáxia
Logo, temos:
(nº de galáxias) · (nº estrelas/galáxias)
10 11 galáxias · 10 11 estrelas = 10 22 estrelas
Cada estrela tem, em média, 10 planetas.
Assim, (nº de estrelas) · (nº de planetas/estrelas)
10 22 · 10 = 10 23 planetas
Resposta
C
1. Considere a um número real não negativo e n um número natural diferente de zero.
n
O símbolo a representa um número real b, não negativo, que satisfaz a igualdade b n = a.
n
Notação: O número a é chamado radicando, n é denominado índice e a é a raiz n-ésima de a.
2
Observação: O símbolo a representa o mesmo que a.
Exemplos
1. 25 = 5, pois 5 2 = 25 (raiz quadrada de 25)
1
2. 2
3
3. 0
= 2, pois 2 1 = 2 (raiz primeira de 2)
= 0, pois 0 3 = 0 (raiz cúbica de zero)
PV-13-11
2. Considere a um número real e n um número natural ímpar.
O símbolo
Exemplos
n
a
3
1. 8 = 2, pois 2 3 = 8
representa um número real b que satisfaz a igualdade b n = a.
3
2. – 8 = – 2 , pois (–2) 3 = –8
10

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
B. Raiz quadrada do quadrado
de um número real
a 2
= a, se a for um número real não negativo.
a 2
= – a, se a for um número real negativo.
Costuma-se indicar: a 2
= a (valor absoluto de a),
Exemplos
1. 5 2
= 5
2
( ) = =
2. – 5 –(– 5)
5
2
( ) = >
3. 2– 3 2– 3, pois 2 – 3 0
2
( ) = ( ) = <
4. 2– 5 – 2– 5 5 – 2 pois 2 – 5 0
Observação
Não devemos confundir 4 = 2 com 4 = ± 2,
pois é falso, de acordo com a definição.
Então, 2 = 4 e –2 = – 4.
Se considerarmos a equação x 2 = 4, teremos
como solução as raízes 2 e –2, pois:
x 2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ± 2
C. Potências com expoente racional
Definição
n
ak
k
= an, com a > 0, n inteiro e k inteiro positivo.
Exemplo
1
52 2
= 51
= 5
Observação
Todas as propriedades apresentadas para potências
de expoentes inteiros são válidas para
expoentes racionais.
D. Propriedades
Consideraremos os números reais a e b não
negativos e os números naturais não nulos m,
n e p. Então:
• P 1 : Produto de radicais de mesmo índice
Para multiplicarmos radicais com o mesmo
índice, conservamos o índice e multiplicamos
os radicandos.
n
n n
a
⋅ b
= ab
Justificativa
1 1 1
n n n n n n
( ) = ⋅
a ⋅ b = a ⋅ b = a ⋅ b a b
Exemplos
1. 3 102
3 10
3
10 2 10 1 3
⋅ = ⋅ = 103
= 10
2. 2 ⋅ 64 = 2 ⋅ 64 = 2⋅ 8 = 8 2
P 2 : Divisão de radicais de mesmo índice
Para dividirmos radicais com o mesmo índice,
conservamos o índice e dividimos os radicandos.
Justificativa
Exemplos
1.
2.
5
n
n
n
n
a a
= n b b
( b
≠ 0
)
1
a an
a n
= = ⎛
b ⎝ ⎜ ⎞ b⎠ ⎟ =
1
bn
128 128
5 5
= = 32 = 2
5
4 4
4
25
4 2
= = = 0,
4
25 5
• P 3 : Potência de uma raiz
Para elevarmos uma raiz a um expoente,
basta elevarmos o radicando a esse expoente.
m
n
m
( n a
) =
a
Justificativa
m
m
( ) = ⎛ 1
⎞
⎝ ⎜
m
n
a an
a n
n
am
⎠
⎟ = =
Observação
A propriedade P 3 também é válida quando o
expoente m é inteiro negativo.
1
n
a
b
11

Matemática
Matemática básica
Exemplos
1. ( 5)
2
= 52
= 5
3 3
2. ( 3 2)
2 = 2 2 = 4
Exemplos
a. 6 104
:
10 4 2 3
=
:
= 10
6 2 2
8 8:
4 20 4 5
b. 220
= 2
:
= 2
• P 4 : Raiz de outra raiz
Para obtermos a raiz de uma outra raiz, basta
conservarmos o radicando e multiplicarmos
os índices.
Justificativa
n
n n ⋅
m
m a =
a
⎛ 1 ⎞
n 1 ⎝
⎜
m⎠
⎟ 1
n n m n ⋅m
m a = am
= a = a
⋅
= a
Exemplos
4 2 ⋅ 4 ⋅ 5 40
5
1) 7 = 7 = 7
2⋅2 4
2) 3 = 3 = 3
• P 5 : Simplificação de radicais
Quando multiplicamos ou dividimos o índice
de uma raiz e o expoente de seu radicando
por um mesmo número natural não nulo, o
valor da raiz não se altera.
Justificativa
n
m
n
n⋅
p
am
= a n = a
n⋅p
= a
Exemplos
a
m
= a m ⋅
p
( p
≠ 0
)
m⋅p
2⋅4
n⋅p
m ⋅p
1. 53 53 4 8
=
⋅
= 5
3⋅2
12
2. 6 22
= 2 1 ⋅ 2 = 3 21
=
3 2
Observação
Como podemos observar nos exemplos, o valor
de uma raiz não se altera quando dividimos o
índice do radical e o expoente do radicando
por um fator comum natural não nulo.
n
a
m
n:
p
= a
:
m p
c. 8 54
2
= 5 1 = 5
E. Simplificação de radicais
Simplificar um radical significa transformá-lo
em uma expressão equivalente ao radical
dado, porém escrita de forma mais simples.
Obtemos essa transformação através da aplicação
das propriedades anteriormente vistas.
Exemplos
3
a. 81⋅x5 ⋅ y7 ⋅ z3
=
3
34 ⋅x5 ⋅ y7 ⋅ z3
=
=
3
33 ⋅3⋅x3 ⋅x2 ⋅ y6 ⋅ y ⋅ z3
=
3 33
3
= ⋅ x
3 ⋅
3
y6
3
⋅ z3
⋅
3
3⋅ x2y
=
= 3⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3
x y2 z
3
x2y
b. 5 a2 b6
c
5
a 2 b 5 5
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅b⋅ c = b a2bc
c. 3
324 = 3 22 ⋅ 34
= 3 2 2 ⋅3 3 ⋅ 3 =
= 3 3 22
⋅ 3 = 3 3 12
F. Redução de radicais
ao mesmo índice
Para reduzirmos dois ou mais radicais a um
mesmo índice, inicialmente, calculamos o
MMC de todos os índices, obtendo, assim, o
índice comum a todos os radicais. Em seguida,
dividimos o novo índice por todos os índices
anteriores, multiplicando o resultado pelos expoentes
dos fatores do respectivo radicando.
Exemplos
a. 3 xy2
4
; x 3 e y
MMC (3, 4, 2) = 12, então:
3
xy2
=
12
x4y8
; 4 x3
= x 9 ; y = 12 y
3 4
b. 2, 3 e 5
12 6
MMC (2, 3, 4) = 12, então:
2 12 26
3 3 3 4 12
= ; = ; 5 = 5
12 4 3
PV-13-11
12

Matemática básica
Matemática
Observações
1. Conforme vimos nas propriedades P 1 e
P 2 , a multiplicação e a divisão de raízes
só devem ser efetuadas se os radicais
tiverem índices iguais, então esta propriedade,
que permite reduzir os radicais
ao mesmo índice, é bastante importante
nesses casos.
Exemplo
12
5 2 3 5 12 26
3 3 12
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 5 ⋅2 ⋅3
3 4 4
12 4 6 3
2. Para que possamos comparar raízes,
também devemos tê-las com os índices
iguais, e a maior raiz será aquela que
tiver o maior radicando.
Exemplos
3 3⋅2 1 2 6
2 = 2
⋅
= 4
2⋅3
3 31 3 6
=
⋅
= 3
3
⎫
⎪
3
⎬ ⇒ 3 > 2
⎭⎪
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01.
Dê o valor de:
a. 81
4
b. 16
3
c. 125
3
d. –125
6
e. 0
Resolução
a. 81 = 9 , pois 9 2 = 81
4
b. 16 = 2 , pois 2 4 = 16
3
c. 125 = 5 , pois 5 3 = 125
3
d. − 125 = −5
, pois (–5) 3 = –125
6
e. 0 = 0 , pois 0 6 = 0
02. UECE
3 3
A expressão numérica 5 54 – 3 16 é igual a:
3
a. 1.
458
3
b. 729
3
c. 2 70
3
d. 2 38
Resolução
3
5 54 = 5 ⋅ 3 2 ⋅ 33
= 5 ⋅ 3 ⋅ 3 2 = 15 3 2
3 3 3
3 3
3
3 16 = 3 ⋅ 24
= 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 2 = 6 2
3 3 3 3 3
5 54 – 3 16 = 15 2 – 6 2 = 9 2 =
3
93
3
= ⋅ 2 = 1458
Resposta
A
03. UFAL
A expressão 10 + 10 ⋅ 10 – 10 é igual a:
a. 0
b. 10
c. 10 – 10
d. 3 10
e. 90
Resolução
( )( − ) =
10 + 10.
10 − 10 = 10 + 10 10 10
10 2 − 10 2 = 100 − 10 = 90 = 3 10
Resposta
D
04.
Forme uma sucessão decrescente com os
números reais 2 3 , 3 2 e 2.
Resolução
2 3 22 4
⋅ = ⋅ 3 = 12 = 12
3 2 32 4
⋅ = ⋅ 2 = 18 = 18
1 ⋅ 4 4
1
2 = 2 = 21 ⋅ 4
= 16
18 > 16 > 12
4 4 4
Resposta
3 ⋅ 2 > 2 > 2 ⋅ 3
13

Matemática
Matemática básica
05. UFC-CE
Dentre as alternativas a seguir, marque aquela
que contém o maior número.
3
a. 5⋅6
b.
3
6 5
c.
3
5 6
3
d. 5 6
3
e. 6 5
G. Racionalização de denominadores
Resolução
5⋅ 6 = 30 = 30
3 3 6
3
6 ⋅ 5 = 3 63
⋅ 5 = 3 1080 = 6 1 080
3
5 ⋅ 6 = 3 53·
6 = 3 750 =
6 750
3
5 6 =
52
⋅ 6 = 150 = 150
3 3 6
3 3 3 6
6 5 = 62
⋅ 5 = 180 = 180
6
O maior número é 1.080
Resposta
B
3
= 6 5.
Racionalizar um denominador de uma fração significa transformá-lo em outra sem radicais irracionais
no denominador, a fim de facilitar o cálculo da divisão. Em termos práticos, racionalizar
um denominador significa eliminar o radical do denominador.
A racionalização pode ser feita multiplicando-se o numerador e o denominador da fração por um
mesmo fator, obtendo, assim, uma fração equivalente à anterior.
Esse fator é chamado fator de racionalização ou fator racionalizante.
n
1º caso: Denominadores do tipo a m
Observamos que:
n
n
m
n
a
⋅ a n–
m = n
a
m
⋅ a n–
m
=
m
n
a
m +
n
–
= a
n
= a
n
Assim, nas frações que apresentarem denominador do tipo a m , basta multiplicarmos o seu
n
numerador e o seu denominador por a n–
m
(fator racionalizante) para eliminarmos o radical
(número irracional) do denominador.
Exemplos
Racionalizar os denominadores:
PV-13-11
a.
1
=
5
1⋅
5
=
5⋅
5
5
5
b.
2 2
= =
3
4 2
3 2
3 3 3
2 ⋅ 2 2 2 2 2
= = =
22
3
⋅ 2 8 2
3 3
3
2
Notemos que, se no denominador aparecer uma raiz quadrada, o fator racionalizante é outra raiz
quadrada igual à existente no denominador da fração.
14

Matemática básica
Matemática
2º caso: Denominadores do tipo a ± b
Neste caso, vamos relembrar o produto notável (A + B) · (A – B) = A 2 – B 2 . Notamos que este produto
notável, aplicado aos denominadores deste caso, produz resultado racional.
Ou seja:
2 2
( )( ) = ( ) ( ) =
a + b a – b a – b a–
b
Portanto, se tivermos que racionalizar denominadores do tipo a ± b, basta multiplicarmos
o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador, eliminando assim o
radical (número irracional) do denominador.
Assim:
denominador: a + b → conjugado: a – b
denominador: a – b → conjugado: a + b
Exemplos
1)
2)
( )
( ) = +
1 1 ⋅ 3 + 2 3 2
=
3 – 2 ( 3 – 2)⋅ ( 3 + 2) = +
3–
2
2 2 ⋅( 6 2 1
6 2 + 1
= – )
6 2 + 1 6 2 – 1
( )⋅ ( ) = ⋅
( 3 2)
( 6 2 – 2)
12–
2
=
36 ⋅ 2–
1 71
Observação
1
A racionalização permite fazer divisões com erros menores. Por exemplo, na fração
5 há a
divisão de 1 por 5 =2,2360679774.... Como o denominador é um decimal infinito e não periódico,
fica difícil saber qual é a melhor aproximação para a 5 , mas, ao utilizar a fração equivalente
5
5
, não só teremos o trabalho facilitado como também conseguiremos uma melhor aproximação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01.
Racionalize os denominadores e simplifique,
se possível, as frações.
a.
1
5
b. 14 7
6
c.
7
d.
4
4
4
e. 3 + 7
3–
7
Resolução
a.
1 5
· =
5 5
5
5
15

Matemática
Matemática básica
b.
c.
d.
e.
14 7 14 · 7
· =
7 7 7
= 2·
7
6 7 42
· =
7 7 7
4
4 43
4
4 · 43
· = = 4 26
=
4 4
4 43
4
2 = 2·
2
( 3 + 7)
( 3 + 7)
9 6 7
·
3 − 7 3 + 7 9 − 7
7
= 8 + 3 7
( )
02. UCSal-BA
1
Se x = 3 − 3 + −
3 + 3
a. x ≥ 5
b. 3 ≤ x < 5
c. 1 ≤ x < 3
d. 0 ≤ x < 1
e. x < 0
Resolução
( ) = + +
x = 3 –
3 – 3
3 +
9 3 · 3 + 3
( – ) 3 – 9
x = 3 –
3 – 3 3 + 3
3 + +
6 6
x = 3 –
3 – 3 + 3 + 3
3 +
6
x = 3–
6
3 +
6
x = 4 – 3
x ≅ 4 – 1,
7
x ≅ 2,
3
1
3 − 3 , então:
x = 3 –
1
1
3 + –
( 3 + 3) ( 3 – 3)
x = 3 –
1 ( 3 – 3)
1
3 + · – ·
( 3 + 3)
( 3 – 3) ( 3 – 3)
( 3 + 3)
3 + 3
( )
03. Fuvest-SP
2 + 3
=
3
a. 2 + 2 6 + 3
3
b. 5 + 2 6
3
c. 2 + 6
6
d. 3 + 6
3
e.
6 + 3
6
Resolução
( )
2 + 3
3
Resposta
D
·
·
3
=
3
6 + 3
=
2
3
( )
6 + 3
3
PV-13-11
Resposta
C
16

Matemática básica
Matemática
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais
de formação e, por isso, sua utilização diferença de dois termos
3. Produto da soma pela
permite agilizar determinados tipos de cálculos
que, pelas regras normais da multiplicação (a + b) (a – b) = a 2 – ab + ab – b
2
de expressões, ficariam mais longos. Apresentam-se
em grande número e dão origem a um
(a + b) (a – b) = a 2 – b 2
conjunto de identidades de grande aplicação.
Considere a e b, expressões em R.
4. Cubo da soma de dois termos
(a + b) 3 = (a + b) · (a + b) 2 = (a + b) · (a 2 + 2ab + b 2 )
1. Quadrado da soma de dois termos (a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3
(a + b) 2 = (a + b) · (a + b) = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
5. Cubo da diferença de dois termos
2. Quadrado da diferença
(a – b) 3 = (a – b) · (a 2 – 2ab + b 2 )
de dois termos
(a – b) 3 = a 3 – 2a 2 b + ab 2 – a 2 b + 2ab 2 – b 3
(a – b) 2 = (a – b) · (a – b) = a 2 – 2ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01.
Desenvolva os produtos notáveis abaixo:
a. (3x + 2) 2
b. ⎛ 1 ⎞
+ x
⎝
⎜
x ⎠
⎟
2
c. (3x – 2y) 2
2
d.
x2
⎛ x ⎞
–
⎝
⎜
3 4⎠
⎟
Resolução
a. (3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 · (3x) · 2 + 2 2
= 9x 2 + 12x + 4
Resposta
9x 2 + 12x + 4
2 2
⎛ 1 ⎞ 1 1
b. + x 2 x x2
⎝
⎜
x ⎠
⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ x⎠ ⎟ + ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ x⎠ ⎟ ⋅ + =
1 2x
= + + x2
=
x2
x
1
= + 2 + x
2
x2
Resposta
1
+ 2 + x
x2
2
c. (3x – 2y) 2 = (3x) 2 – 2(3x) · (2y) + (2y) 2 =
= 9x 2 – 12xy + 4y 2
Resposta
9x 2 – 12 xy + 4y 2
d. x2
2
x x2
2
x2 2
⎛ ⎞
x x
– –2
⎝
⎜
3 4⎠
⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
3 ⎠
⎟
⎝
⎜ 3 ⎠
⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
4 ⎠
⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
4 ⎠
⎟ =
x4
2x3 x2
= – + =
y 12 4
Resposta
x4 x3 x2
= – +
9 6 4
x x x
4 3 2
9 6 16
– +
Observe que, quando desenvolvemos o quadrado
da soma ou da diferença de um binômio,
produzimos um trinômio chamado trinômio
quadrado perfeito.
17

Matemática
Matemática básica
02.
Desenvolva os produtos notáveis abaixo:
a. (3xy + 5) (3xy – 5)
( )( )
b. 3 5 + 2 3 5 – 2
c. (x + 2) 3
d. (2x – 2) 3
Resolução
a. (3xy + 5) · (3xy – 5) = (3xy) 2 – 5 2 = 9x 2 y 2 – 25
Resposta
9x 2 y 2 – 25
b. 3 5 + 2 3 5 – 2
( )⋅( ) =
Resposta
2
= ( ) = ⋅ =
3 5 – 22
9 5 – 4 41
41
c. (x + 2) 3 = x 3 + 3 · x 2 · 2 + 3 · x · 2 2 + 2 3 = x 3 + 6x 2 +
+ 12x + 8
Resposta
x 3 + 6x 2 + 12x + 8
d. (2x – 2) 3 = (2x) 3 – 3 · (2x) 2 · 2 + 3 · 2x · 2 2 – 2 3 =
= 8x 3 – 3 · 4 · x 2 · 2 + 3 · 2 · x · 4 – 8 =
= 8x 3 – 24x 2 + 24x – 8
Resposta
8x 3 – 24x 2 + 24x – 8
03.
Desenvolva: (x – 1) 2 – (2x + 4) (2x – 4).
Resolução
(x – 1) 2 – (2x + 4) (2x – 4) =
= (x – 1) 2 – ((2x) 2 – 4 2 ) =
= (x – 1) 2 – (4x 2 – 16) =
= x 2 – 2x + 1 – (4x 2 – 16) =
= x 2 – 2x – 4x 2 + 17 =
= –3x 2 – 2x + 17
Resposta
–3x 2 – 2 x + 17
04.
Calcule 31 · 29 usando produto notável.
Resolução
31 · 29 =
= (30 + 1) · (30 – 1) =
= (30) 2 – 1 2 =
= 900 – 1 =
= 899
Resposta
899
05.
1
Sendo x + = 2, determine x
x
Resolução
3
⎛
x+ 1 ⎞
=23
⎝
⎜
x⎠
⎟
x + 3x · 1
x + 3 · x · 1
x + 1 3 2
x
2 3
x + 3x + 3 x + 1 3
= 8
x3
x3
⎛ 1⎞
1
+ 3 +
⎝
⎜ x
⎠
⎟ + = 8
x x3
x + 3 2 + 1 3
⋅
x
x + 1 3
= 2
x3
3
= 8
= 8
3
1
+ .
x3
PV-13-11
18

Matemática básica
Matemática
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO
PV-13-11
1. Definição
Fatorar uma expressão algébrica é modificar
sua forma de soma algébrica para produto,
isto é, obter outra expressão que:
a. seja equivalente à expressão dada;
b. sua forma equivalente se apresente na
forma de produto.
Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração
é um produto notável.
Nas técnicas de fatoração que estudaremos a
seguir, suponha a, b, c, x e y expressões não
fatoráveis.
2. Casos de fatoração
A. Fator comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele
numérico, literal ou misto; em seguida, colocamos
em evidência esse fator comum e simplificamos
a expressão deixando entre parênteses
a soma algébrica.
Observe os exemplos abaixo.
a. ab + ac = a · (b + c)
b. 3x 3 y – 6x 2 y 3 = 3x 2 y(x – 2y 2 )
B. Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de
modo que formem dois ou mais grupos entre
os quais haja um fator comum e, em seguida,
colocar o fator comum em evidência.
Observe:
ax + ay + bx + by =
= a · (x + y) + b · (x + y) =
= (a + b) · (x +y)
C. Diferença de quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença
de quadrados sempre que dispusermos
da diferença entre dois monômios cujas
literais tenham expoentes pares. A fatoração
algébrica de tais expressões é obtida com os
seguintes passos:
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores
numéricos de cada monômio;
2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;
3º) Escrevemos a expressão como produto
da soma pela diferença dos novos monômios
assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a 2 – b 2 seria fatorada
da seguinte forma:
a 2 – b 2 = (a + b) · (a – b)
D. Trinômio quadrado perfeito
Uma expressão algébrica pode ser identificada
como trinômio quadrado perfeito sempre que
resultar do quadrado da soma ou diferença
entre dois monômios.
Por exemplo, o trinômio x 4 + 4x 2 + 4 é quadrado
perfeito, uma vez que corresponde a (x 2 + 2) 2 .
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos
todas as expressões da forma a 2 ± 2ab + b 2 ,
fatoráveis nas formas seguintes:
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
e
a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
Fatore a expressão: 8x 3 – 6x 2
Resolução
8x 3 – 6x 2 = 2x 2 (4x – 3)
Resposta
2x 2 (4x – 3)
02.
Fatore a expressão: x 3 – x 2 + x – 1
Resolução
x 3 – x 2 + x – 1 = x 2 (x – 1) + 1(x – 1) = (x – 1) · (x 2 + 1)
Resposta
(x – 1) · (x 2 + 1)
19

Matemática
Matemática básica
03.
Fatore a expressão: x 2 – 25y 2
Resolução
x 2 – 25y 2 = x 2 – (5y) 2 = (x + 5y) · (x – 5y)
Resposta
(x + 5y) · (x – 5y)
04.
Fatore: (x 2 + 2xy + y 2 ) + 2(x + y) + 1
Resolução
(x 2 + 2xy + y 2 ) + 2(x + y) + 1 =
(x + y) 2 + 2(x + y) + 1 = [(x + y) + 1] 2 = (x + y + 1) 2
Resposta
(x + y + 1) 2
05. Vunesp
Por hipótese, considere a = b.
Multiplique ambos os membros por a.
a 2 = ab.
Subtraia de ambos os membros b 2 .
a 2 – b 2 = ab – b 2
Fatore os termos de ambos os membros.
(a + b) · (a – b) = b (a – b)
Simplifique os fatores comuns (a + b) = b.
Use a hipótese que a = b.
2b = b
Simplifique a equação e obtenha 2 = 1.
A explicação para isso é:
a. A álgebra moderna, quando aplicada à
teoria dos conjuntos, prevê tal resultado.
b. A hipótese não pode ser feita, pois
como 2 = 1, a deveria ser (b + 1).
c. Na simplificação dos fatores comuns,
ocorreu divisão por zero, gerando o
absurdo.
d. Na fatoração, faltou um termo igual a
– 2ab, no membro esquerdo.
e. Na fatoração, faltou um termo igual
a +2ab, no membro esquerdo.
Resolução
(a + b) · (a – b) = b (a – b) ⇔ a + b = b
A equivalência acima só é possível se dividirmos
os dois membros por (a – b), porém da
hipótese a = b, assim a – b = 0, e a divisão por
zero não é definida.
Resposta
C
06.
Simplifique a expressão: a 4
+ a 2
+ 1
.
a2
+ a+
1
Resolução
a4 + a2
+ 1 a a 1 a a
a2
+ a+ 1
= + + + −
a2
+ a+
1
a2
2
( + 1) − a
a2
+ a + 1
= a 2 - a + 1
Resposta
a 2 – a + 1
2
4 2 2 2
=
a
2
+ a + 1
a + 2a + 1−a
=
a2
+ a+
1
a2 a a2
( + 1 + ) ( + 1 − a)
4 2 2
=
E. Trinômio do 2º grau
Considerando o trinômio do 2º grau ax 2 + bx + c, a ≠ 0 e suas raízes reais x 1 e x 2 , a seguinte igualdade
é verdadeira:
ax 2 + bx + c = a · (x – x 1 ) · (x – x 2 )
F. Soma e diferença de cubos
Observe a multiplicação:
(a + b) · (a 2 – ab + b 2 ) =
= a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 + b 3 =
= a 3 + b 3
PV-13-11
20

Matemática básica
Matemática
A partir deste resultado, podemos fatorar a soma de dois cubos:
a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 – ab + b 2 )
Pode-se mostrar, de modo semelhante, que a 3 – b 3 = (a – b) · (a 2 + ab + b 2 ).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01.
Fatore a expressão: x2 − ( 1 + 2) x + 2 .
Resolução
x
2
–( 1 + 2)
x + 2 = 0
S = 1 + 2
P = 2
x
= 1 ; x = 2
1 2
∴( x – 1)( x – 2)
Resposta
( x – 1) · ( x – 2)
02.
Fatore a expressão: x 6 – y 6 .
Resolução
x 6 – y 6 = (x 2 ) 3 – (y 2 ) 3 =
= (x 2 – y 2 ) · (x 2 + x 2 y 2 + y 2 ) =
= (x + y) · (x - y) · (x 2 + (xy) 2 + y 2 )
Resposta
(x + y) · (x – y) · (x 2 + (xy) 2 + y 2 )
03.
Simplifique a expressão:
x3 − y3 x3 + y3
−
x − y x + y
Resolução
x3 − y3 x3 + y3
− =
x − y x + y
( x − y) ( x + xy + y ) ( x + y) x − xy + y
=
−
x − y
x + y
= x2 + xy + y2 x2 xy y2 2xy
04.
( )
2 2 2 2
( ) − ( − + ) =
Sendo (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 e (a – b) 3 =
= a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 , fatore as expressões:
a. 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1
b. 8a 3 – 12a 2 b + 6ab 2 – b 3
Resolução
a. 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 =
= (2x) 3 + 3 · (2x) 2 · 1 + 3 · 2x · 1 2 + 1 3 =
= (2x + 1) 3
Como também já foi dado no enunciado,
pode-se obter esse resultado sem esse procedimento.
b. 8a 3 – 12a 2 b + 6ab 2 – b 3
8a 3 – 12a 2 b + 6ab 2 – b 3 =
= (2a) 3 – 3 · (2a) 2 · b + 3 (2a) · b 2 – b 3 =
= (2a – b) 3
=
21

Matemática
Matemática básica
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM
1. Introdução
3. Forma decimal
Em uma empresa há três categorias de funcionários,
A, B e C, que possuem salários disentações
equivalentes:
A forma percentual 30% pode ter outras repreferentes
reajustados na mesma época. Para
não haver desconforto, é necessário fazer o
30 3
30% = = = 0,
3
aumento de maneira proporcional. O funcionário
responsável pelos cálculos consegue
100 10
aplicar uma proporção idêntica a cada categoria,
recorrendo apenas à regra de três simples. 30 3
• 30% é a representação percentual.
Tal procedimento pode ser até viável nessa situação,
porém, se aumentarmos a quantidade
• = são representações fracionárias.
100 10
de salários distintos, este procedimento será • 0,3 é sua representação decimal.
inadequado, por isso foi preciso desenvolver
uma técnica matemática para calcular proporções
equivalentes; tal técnica, utilizada desde
4. Porcentagem de quantias
o século XVII, é conhecida por porcentagem. O cálculo x% de P é efetuado da seguinte maneira:
2. Definição
x
P
100 ⋅
A porcentagem (ou percentagem) é uma forma
de apresentar frações em que o denomina-
x% de P = ⎛ P
x
dor é igual a 100, podendo também ser consideradas
as formas equivalentes. Para facilitar a Exemplo
⎝ ⎜ ⎞
⎠
⎟ ⋅
100
sua representação foi criado o símbolo % que
se lê: “por cento” e que significa: “dividir por 35% de 200 =
⎛ 35 ⎞
200 70
cem”.
⎝
⎜
100⎠
⎟ ⋅ =
A representação 30% é o mesmo que
30
100 .
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
Calcule o valor de:
a. 30% de 84
b. 2,5% de 44
Resolução
a. 30% de 84 = 0,30 · 84 = 25,20
b. 2,5% de 44 = 0,025 · 44 = 1,10
Resposta
a. 25,20
b. 1,10
02. Fuvest-SP
(10%) 2 é igual a:
a. 100%
b. 20%
c. 5%
d. 1%
e. 0,1%
Resolução
( 10%)
2
10 10 1 00 1
= ⋅ = = = 1%
100 100 10.
00 0 100
Resposta
D
PV-13-11
22

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
03.
Quatro é quantos por cento de cinco?
Resolução
Sendo x% a taxa percentual, temos, pela definição,
que:
x
100 ⋅ 5 = 4
x 4
=
100 5
Ou, de outra forma:
4 80
= 0, 8 = = 80%
5 100
Resposta
80%
04. Unicap-PE
Determine, em reais, 10% do valor de um
bem, sabendo que 15% do preço do citado
bem é R$ 18,00.
Resolução
Valor do bem = x
15% · x = 18
0,15x = 18
x = 18
0,
15
x = R$ 120,00
∴10% de R$ 120,00 = R$ 12,00
Resposta
R$ 12,00
05. UFRGS-RS
O gráfico abaixo representa o valor de um dólar
em reais em diferentes datas do ano de
2003.
R$
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Evolução das cotações da moeda norte-americana
3,533
3,526
3,563
3,353
2,890
2,966
2,872
2,966
2,967
01/1 31/1 28/2 31/3 30/4 31/5 30/6 31/7 31/8 Dia
A partir desses dados, pode-se afirmar que, no
primeiro semestre de 2003, o real, em relação
ao dólar:
a. desvalorizou 0,661.
b. desvalorizou mais de 10%.
c. manteve seu valor.
d. valorizou menos de 10%.
e. valorizou mais de 20%.
Resolução
No início do semestre:
1 dólar = R$ 3,533
1
Logo: 1 real =
3,
533
No final do semestre:
1 dólar = 2,872 reais
1
Logo: 1 real =
2,
872
Montando a equação da variação do real, temos:
1 1 3,
533
· x = → x = → x ≅ 1,
23
3,
533 2,
872 2,
872
Portanto, uma valorização de 23%.
Resposta
E
06. ENEM
Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro,
matéria-prima para a produção de combustível
nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se
1,0 tonelada de minério. Assim, o rendimento
(dado em % em massa) do tratamento do minério
até chegar ao dióxido de urânio puro é de:
a. 0,10%
b. 0,15%
c. 0,20%
d. 1,5%
e. 2,0%
Resolução
Massa do minério = 1,0 t = 1.000 kg
Massa do dióxido de urânio puro = 1,5 kg
1.000 kg –––––– 100%
1,5 kg –––––– x
x = 0,15%
Resposta
B
23

Matemática
Matemática básica
07. Unicamp-SP modificado
Quando uma determinada marca de café custa
R$12,00 o quilo, seu preço representa 40% do
preço do quilo de outra marca de café. Qual o
preço do quilo desse café?
Resolução
Seja x o preço do quilo do café, assim 12 = 0,4 x
12
∴ x = = 30.
0,
4
Resposta
O preço do quilo é R$ 30,00.
08. ENEM
A escolaridade dos jogadores de futebol nos
grandes centros é maior do que se imagina,
como mostra a pesquisa abaixo, realizada com
os jogadores profissionais dos quatro principais
clubes de futebol do Rio de Janeiro.
60
40
20
0
14
Fundamental
incompleto
16
Fundamental
Total: 112 jogadores
14
Médio
incompleto
54
Médio
14
Superior
incompleto
O Globo, 24/7/2005.
De acordo com esses dados, o percentual dos
jogadores dos quatro clubes que concluíram o
Ensino Médio é de, aproximadamente:
a. 14%
b. 48%
c. 54%
d. 60%
e. 68%
Resolução
Observando o gráfico, o número de jogadores
que concluiu o Ensino Médio é 68, sendo 54
apenas do Ensino Médio e 14 do Superior incompleto
(que concluíram obrigatoriamente o
Ensino Médio).
Assim, num total de 112 jogadores, o percentual
dos jogadores dos quatro clubes que concluiu
o Ensino Médio é 68 = 0, 607.
112
Logo, a melhor alternativa é a que traz 60%.
Resposta
D
5. Lucro
Chamamos de lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo.
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda
Preço de custo – prejuízo = preço de venda
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
PV-13-11
Lucro sobre o custo =
Lucro sobre a venda =
lucro
preço de custo · 100
%
lucro
preço de venda · 100
%
Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
24

Matemática básica
Matemática
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01. PUC-SP
A semirreta representada no gráfico seguinte
expressa o custo de produção C, em reais, de n
quilos de certo produto.
180
80
C (reais)
0 20 n (quilogramas)
Se o fabricante vender um quilo desse produto
a R$ 102,00, a porcentagem de lucro sobre o
preço de custo será de:
a. 25%
b. 20%
c. 18%
d. 15%
e. 14%
Resolução
Se para 20 quilos o preço aumenta R$ 100,00,
para cada 1 quilo, aumenta R$ 5,00.
Custo de 1 quilo = R$ 102,00
L = R$ 17,00
L
C = 17
= 0, 2
85
= 20%
Resposta
B
6. Aumento percentual
02. Fuvest-SP
Um vendedor ambulante vende os seus produtos
com lucro de 50% sobre o preço de venda.
Então, o seu lucro sobre o preço de custo é
de:
a. 10%
b. 25%
c. 33,333...%
d. 100%
e. 120%
Resolução
Sejam:
L : lucro, P c : preço de custo e P v : preço de venda
L = 0, 50 · Pv
() I
PC + L = PV ⇒ PC + 0, 50 · PV = PV
PC = 0, 50 · PV ⇒ PV = 2 · PC
( II)
Substituindo () I em ( II), temos :
L = 0, 5 · 2 · P ⇒ L = P
C
Portanto, o lucro representa 100% do preço de
custo.
Resposta
D
Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de
A o valor do aumento e V A o valor após o aumento. Então:
C
p
A = p %
de V
= ⋅ V 100
p
VA = V + A = V + ⋅ V
100
p
V A
V
⎛
⎞ = ⎜
1
+
⎝
⎟ ⋅ 100 ⎠
25

Matemática
Matemática básica
em que
⎛ p ⎞
p
1 +
⎝
⎜ 100 ⎠
⎟ é o fator de aumento.
VD V D V V
100
⋅
D = p %
de V
=
p
100
⋅ V
70 1,5% 0,985 0,985 · 70
Exemplos
p
Valor Aumento Fator de Valor após
⎛
⎞
D
inicial percentual aumento aumento
V
⎜ 1 –
⎝
⎟ ⋅ 100 ⎠
50 24% 1,24 1,24 · 50
40 5% 1,05 1,05 · 40 em que ⎛
1– ⎞
⎝
⎜ 100 ⎠
⎟
é o fator de desconto.
70 250% 3,50 3,50 · 70
Exemplos
7. Desconto percentual
Valor Desconto Fator de Valor após
Consideremos um valor inicial V que deve sofrer
um desconto de p% de seu valor. Chame-
inicial percentual desconto desconto
mos de D o valor do desconto e V D o valor após 50 24% 0,76 0,76 · 50
o desconto. Então:
40 5% 0,95 0,95 · 40
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
Dado o valor V, exprimir em função de V:
a. o valor de um aumento de 25%;
b. o valor após um aumento de 25%;
c. o valor de um desconto de 45%;
d. o valor após um desconto de 45%.
Resolução
25
a. 25% de V =
100 · V = 0,25 V
b. V + 25% de V = V + 25 · V = V + 0,25 V = 1,25 V
100
c. 45% de V = 45
100 · V = 0,45 V
45
d. V – 45% de V = V – · V = V – 0,45 V = 0,55 V
100
Resposta
a. 0,25 V
b. 1,25 V
c. 0,45 V
d. 0,55 V
02. Fuvest-SP
Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50,
teve um aumento, passando a custar R$ 13,50.
A majoração sobre o preço antigo é de:
a. 1,0%
b. 10,0%
c. 12,5%
d. 8,0%
e. 10,8%
Resolução
Seja f A o fator de aumento.
Assim:
13,
50
12, 50⋅ fA
= 13,
50 ⇒ fA
= = 1,
08
12,
50
O aumento foi de 8%.
Resposta
D
PV-13-11
26

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
03. Uespi
Joana e Marta vendem um perfume a domicílio.
Joana dá desconto de R$ 10,00 sobre o
preço do perfume e recebe de comissão 15%
do preço de venda. Marta vende o mesmo
perfume com desconto de R$ 20,00 e recebe
30% de comissão sobre o preço de venda. Se
as duas recebem o mesmo valor de comissão,
qual o preço do perfume?
a. R$ 26,00
b. R$ 27,00
c. R$ 28,00
d. R$ 29,00
e. R$ 30,00
Resolução
Preço do perfume = x
Joana vende por x – 10 e ganha 0,15 · (x – 10)
Marta vende por x – 20 e ganha 0,3 · (x – 20)
0,15 · (x – 10) = 0,3 · (x – 20)
x = R$ 30,00
Resposta
E
04. Vunesp
O fabricante de determinada marca de papel higiênico
fez uma “maquiagem” no seu produto,
substituindo as embalagens com quatro rolos,
cada um com 40 metros, que custavam R$ 1,80,
por embalagens com quatro rolos, cada um
com 30 metros, com custo de R$ 1,62.
Nessas condições, pode-se concluir que o preço
do papel higiênico foi:
a. aumentado em 10%.
b. aumentado em 20%.
c. aumentado em 25%.
d. aumentado em 10%.
e. mantido o mesmo.
Resolução
Seja x 1 : preço do metro na 1ª embalagem
x 2 : preço do metro na 2ª embalagem
f: fator (aumento ou desconto)
x
x
1
2
1,
80
= = 0,
045 centavos
40
1,
62
= = 0,
054 centavos
30
5,4 = f · 4,5
f = 5 , 4
4,
5
f = 1,2
∴ o aumento foi de 20%.
Resposta
B
05. Uespi
Um artigo é vendido à vista com 15% de desconto
ou em duas parcelas iguais, sem desconto,
uma paga no ato da compra e a outra após
um mês. Quais os juros mensais embutidos na
compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo.
a. 41%
b. 42%
c. 43%
d. 44%
e. 45%
Resolução
Preço do produto = x
À vista = 0,85 x
⎧1ª parcela = 0,
5 x
A prazo⎨
⎩2ª parcela = 0,
5x
Se vendesse sem juros, na segunda parcela deveria
pagar 0,35x.
Logo, os juros são: 0,35x · j = 0,5x; J = fator de
aumento
j @ 1,42 ∴ aumento aproximado de 42%
Resposta
B
27

Matemática
Matemática básica
8. Aumentos e descontos sucessivos
A. Aumentos sucessivos
Consideremos um valor inicial V, que irá sofrer
dois aumentos sucessivos de p 1 % e p 2 %. Sendo
V 1 o valor após o primeiro aumento, temos:
V
1
= p1
V ⋅ ⎛
1 + ⎞
⎝
⎜ 100 ⎠
⎟
Sendo V 2 o valor após o segundo aumento, temos:
V
= p2
V ⋅ ⎛
1 + ⎞
⎝
⎜ 100 ⎠
⎟
2 1
⎛
p
⎞
V 2
= V ⋅ 1 +
⎜
1
⎝ 100
⎟
⎠ ⎛
1
p
2
⎞
⋅ ⎜
+
⎝ 100
⎟
⎠
B. Descontos sucessivos
Sendo V um valor inicial, vamos considerar
que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de
p 1 % e p 2 %.
Sendo V 1 o valor após o primeiro desconto,
temos:
V
1
= p1
V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ 1–
⎞
100 ⎠
⎟
Sendo V 2 o valor após o segundo desconto,
temos:
V
= p2
V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ 1–
⎞
100 ⎠
⎟
2 1
V 2 = V 1
⋅
⎛ 1 ⎝ ⎜⎛ p
1 ⎞
100 ⎛
p
2
⎞
– 1
⎟
⎠ ⋅ ⎜
⎝
– 100
⎟
⎠
C. Aumento e desconto sucessivos
(Desconto e aumento sucessivo)
Seja V um valor inicial, vamos considerar que
irá sofrer um aumento de p 1 % e, sucessivamente,
um desconto de p 2 %.
Sendo V 1 o valor após o aumento, temos:
V
1
= p1
V ⋅ ⎛
1 + ⎞
⎝
⎜ 100 ⎠
⎟ ⋅
Sendo V 2 o valor após o desconto, temos:
V
= p2
V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ 1–
⎞
100 ⎠
⎟
2 1
⎛
p
1 ⎞
V 2
= V ⋅ 1 +
1
⎜
⎝ 100 ⎟
⎠ ⋅⎛
⎛
p
2
⎞
⎜ –
⎝ 100
⎟
⎠
Observação: Se for um desconto seguido de
aumento, teremos:
V
2
= p1 p2
V ⋅ ⎛ ⎝ ⎜1 ⎞ 1 100 ⎠
⎟ ⋅ ⎛
+ ⎞
–
⎝
⎜ 100 ⎠
⎟
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01. FGV-SP
Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e,
em seguida, esse montante decresceu 11%,
resultando em R$ 32,00 a menos do que C.
Sendo assim, o valor de C, em R$, é:
a. 9.600,00
b. 9.800,00
c. 9.900,00
d. 10.000,00
e. 11.900,00
Resolução
Chamaremos C de capital e M de montante.
Logo, teremos o sistema:
⎧M
= C + 1.
200 ⎧M–
C = 1.
200
⎨
⇒ ⎨
⎩M– 0,
11 M = C – 32 ⎩0,
89 M– C = – 32
,
Multiplicando a segunda equação inteira por
(–1), temos:
28

Matemática básica
Matemática
⎧M–
C = 1.
200
⎨
⇒ M–
0, 89 M = 1.
232 ⇒
⎩–
0,89 M + C = 32
1.
232
⇒ 0, 11M
= 1.
232 ⇒ M = = 11.
200
0,
11
Como M = 11.200, temos, da primeira equação:
M – C = 1.200 ⇒ 11.200 – C = 1.200 ⇒ – C
= 1.200 – 11.200 ⇒ C = 10.000
Resposta
D
02. Vunesp
Uma instituição bancária oferece um rendimento
de 15% ao ano para depósitos feitos
numa certa modalidade de aplicação financeira.
Um cliente deste banco deposita 1.000
reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital
que esse cliente terá em reais, relativo a
esse depósito, é:
a. 1.000 + 0,15 n
b. 1.000 – 0,15 n
c. 1.000 · 0,15 n
d. 1.000 + 1, 15 n
e. 1.000 · 1,15 n
Resolução
n
⎛ p ⎞
VA
= + v
⎝
⎜1 ⎠
⎟ ⋅ 100
V
V
A
A
⎛ 15 ⎞
= +
⎝
⎜1
⎠
⎟ ⋅ 1.
000
100
= 1. 000 ⋅ ( 1, 15)
n
n
03. Fuvest-SP
O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcule
a porcentagem que se deve reduzir do seu
preço atual para que volte a custar o que custava
antes do aumento.
Resolução
Se a mercadoria custa x, então, com o aumento
de 25%, ela custará:
1 5
x + x = x
4 4
Vfinal
· desconto = Vinicial
5
x ⋅ D = x
4
x
D =
5
x
4
4
D =
5
D = 0,
8
∴ logo, o desconto terá sido de 20%.
04. PUC-SP
Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes
a um único desconto de:
a. 25%
b. 26%
c. 44%
d. 45%
e. 50%
Resolução
PV-13-11
Resposta
E
VD
= ⎛ V
⎝ ⎜ 20 ⎞
⎠
⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜
30 ⎞
1– 1–
⎠
⎟ ⋅
100 100
V = 0, 8 ⋅ 0, 7 ⋅ V = 0,
56 ⋅ V
V
D
D
= 0, 56 V = ⎛ V
⎝ ⎜ 44 ⎞
1–
⎠
⎟ ⋅
100
Assim, o valor do desconto é de 44%.
29

Matemática
Matemática básica
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES
1. Conceitos básicos
A. Números naturais
Os números 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto
dos números naturais, que é representado
pelo símbolo .
Assim:
= {0, 1, 2, 3,...}
Representamos o conjunto dos números naturais
não nulos por *.
Assim:
* = (1, 2, 3, ...} = N – {0}
B. Números inteiros
Os números..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... formam
o conjunto dos números inteiros, que é repressentado
pelo símbolo ¢. Assim:
¢ = {..., –3, –2, –1, 2, 3,...}
Representamos o conjunto dos números inteiros
não nulos por ¢*.
Assim sendo:
¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
Observemos algumas outras notações:
• ¢ + : conjunto dos inteiros não negativos:
¢ + = (0, 1, 2, 3, ...} =
• ¢ – : conjunto dos inteiros não positivos:
¢ – = {..., –3, –2, –1, 0}
• ¢ * + : conjunto dos inteiros positivos:
¢ * + = {1, 2, 3, ...} = *
• ¢* – : conjunto dos inteiros negativos:
¢* – :{..., –3, –2, –1}.
C. Divisor de um número inteiro
Dados dois números inteiros, d e n, d é um divisor
ou fator de n se existir um número inteiro
k, satisfazendo: n = k · d.
Exemplos
1. 2 é um divisor de 6, pois 2 · 3 = 6. Nesse
caso, 3 seria o valor de k.
2. 5 é um fator de –35, pois 5 · (–7) = – 35,
nesse caso, –7 seria o valor de k.
3. Zero é divisor de zero, pois 0 · (k) = 0,
para qualquer valor inteiro de k.
No entanto, 0(zero) não é divisor de 5, pois
não existe um inteiro k, tal que:
0 · k = 5
Observemos que 1 é divisor de qualquer
número inteiro k, pois sempre vai existir um
número inteiro k tal que:
1 · k = k
Indicaremos por D (n) todos os divisores inteiros
do número inteiro n.
Observemos algumas outras notações:
• D * + (n): divisores inteiros positivos (ou naturais)
do número inteiro n.
• D* – ( n) : divisores inteiros negativos do número
inteiro n.
Observação: Sendo n não nulo
D * + (n) = D+ (n) e D*
–
(n) = D
–
(n)
D. Múltiplos de um número inteiro
Dados dois números inteiros d e n, n é um
múltiplo de d se existir um número inteiro k,
satisfazendo: n = k · d.
1. 35 é múltiplo de 5, pois 35 = 7 · 5. Nesse
caso, 7 seria o valor de k.
2. – 38 é múltiplo de 2, pois – 38 = – 19 · 2.
Nesse caso, – 19 seria o valor de k.
3. Zero é múltiplo de qualquer número inteiro
d, pois 0 = 0 · (d), para qualquer
valor inteiro de d.
Indicaremos por M(d) todos os múltiplos
inteiros do número inteiro.
Observemos algumas outras notações:
• M + (d): múltiplos inteiros não negativos
(ou naturais) do número inteiro d.
• M – (d): múltiplos inteiros não positivos
do número inteiro d.
• M * + (d): múltiplos inteiros positivos do
número inteiro d.
• M * + (d): múltiplos inteiros negativos do
número inteiro d.
PV-13-11
30

Matemática básica
Matemática
E. Paridade de números inteiros
Dizemos que um número inteiro a é par se, e
somente se, a ∈M(2). Sendo, então, a um múltiplo
de 2, temos que a forma geral de apresentarmos
um número par é:
a = 2k, em que k ∈ ¢
Dizemos que um número inteiro b é ímpar se,
e somente se, b ∉ M(2). A forma geral de apresentarmos
um número ímpar é:
Na última divisão, o quociente já é menor que
o divisor e ainda não obtivemos divisão exata,
portanto o 673 é um número primo.
Observações importantes
1) Os números –1, 0 e 1 não são classificados
nem como primo nem como
número composto.
2) Todo número composto pode ser fatorado
ou decomposto num produto
de fatores primos.
PV-13-11
b = 2k + 1, em que k ∈ ¢
F. Números primos e compostos
Um número inteiro é dito número primo quando
na sua relação de divisores inteiros tivermos
apenas quatro divisores.
p é primo ⇔ n [D(p)] = 4
Um número inteiro é dito número composto
quando na sua relação de divisores inteiros tivermos
mais de quatro divisores.
a é composto ⇔ n [D(a)] ≥ = 4.
Para reconhecermos se um número é primo,
devemos dividir este número, sucessivamente,
pelos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
até obtermos um quociente x menor ou igual
ao divisor. Se até então não tivermos obtido
divisão exata, dizemos que o número é primo.
Exemplos
a) Reconhecer se o número 673 é primo.
673 2
1 336
673 5
3 134
673 13
2 61
673 17
10 39
673 23
6 29
673 3
1 224
673 7
1 96
673 13
10 51
673 19
8 35
673 29
6 23
G. Divisibilidade aritmética
Podemos verificar quando um número é divisível
por outro efetuando a operação de divisão.
Existem, porém, critérios que nos permitem
reconhecer a divisibilidade entre dois números
sem que façamos a divisão. Tais critérios se
aplicam aos principais e mais usados divisores,
como observaremos a seguir:
• divisibilidade por 2: um número é divisível
por 2 quando for par.
• divisibilidade por 3: um número é
divisível por 3 quando a soma dos
algarismos que o formam resultar em
um número múltiplo de 3.
Exemplos
3.210 é divisível por 2, pois é par, e também é
divisível por 3, pois a soma dos algarismos
3 + 2 + 1 + 0 = 6 é divisível por 3.
• divisibilidade por 4: um número é divisível
por 4 quando o número formado
pelos seus dois últimos algarismos da
direita for divisível por 4.
Exemplo
1.840 é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos,
40, é divisível por 4.
• divisibilidade por 5: um número é divisível
por 5 quando o seu algarismo da
unidade for zero ou cinco.
• divisibilidade por 6: um número é divisível
por 6 quando for divisível, separadamente,
por 2 e por 3.
• divisibilidade por 8: um número é divisível
por 8 quando o número formado
pelos três últimos algarismos da direita
for divisível por 8.
31

Matemática
Matemática básica
Exemplo
35.712 é divisível por 8, pois 712 é divisível por 8.
• divisibilidade por 9: um número é divisível
por 9 quando a soma dos algarismos
que o formam resultar em um
número múltiplo de 9.
Teremos, finalmente, a fatoração completa do
número 90:
90 = 2 · 3 · 3 · 5
Como procedimento geral, podemos estabelecer
uma regra para a decomposição de um
número natural em fatores primos.
Exemplo
18.711 é divisível por 9, pois:
1 + 8 + 7 + 1 + 1 = 18 é múltiplo de 9.
• divisibilidade por 10: um número é
divisível por 10 quando o seu algarismo
da unidade for zero.
• divisibilidade por 11: um número é
divisível por 11 quando a diferença entre as
somas dos valores absolutos dos algarismos
de posição ímpar e a dos algarismos
de posição par for divisível por 11.
Exemplo
83.765 é divisível por 11, pois a diferença
da soma dos algarismos de posição
ímpar (5 + 7 + 8 = 20) e a soma dos
algarismos de posição par (3 + 6 = 9) é
um número divisível por 11.
• divisibilidade por 12: um número é
divisível por 12 quando for divisível,
separadamente, por 3 e por 4.
H. Fatoração numérica
Todo número composto pode ser decomposto
ou fatorado num produto de números primos.
Assim, por exemplo, o número 90, que não é
primo, pode ser decomposto como:
90 = 2 · 45
O número 45, por sua vez, sendo composto,
pode ser fatorado na forma:
45 = 3 · 15
Dessa forma, poderíamos apresentar o número
90 com uma fatoração:
90 = 2 · 3 · 15
Sendo o número 15 também um número composto,
podemos apresentá-lo através do seguinte
produto:
15 = 3 · 5
Regra
Para decompormos um número natural em
fatores primos, dividimos o número dado
pelo seu menor divisor primo; dividimos o
quociente obtido pelo seu menor divisor
primo e procedemos da mesma maneira
com os demais quocientes obtidos até chegarmos
a um quociente igual a 1. O produto
indicado de todos os fatores primos obtidos
representa o número fatorado.
Exemplos
90
45
15
5
1
2
3
3
5
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
72
36
18
9
3
1
90 = 2 · 3 2 · 5 300 = 2 2 · 3 · 5 2 72 = 2 3 · 3 2
I. Número de divisores de
um número natural
Determinação dos divisores naturais do
número 20
Decomposição prima do número 20: 20 = 2 2 · 5
Divisores de 20:
2 0 · 5 0 = 1
2 0 · 5 1 = 5
2 1 · 5 0 = 2
2 1 · 5 1 = 10
2 2 · 5 0 = 4
2 2 · 5 1 = 20
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Observação: É possível provar que:
2
2
2
3
3
PV-13-11
32

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
Regra
O número de divisores naturais de um número
natural N é igual ao produto dos expoentes
dos seus fatores primos aumentado,
cada expoente, do número 1.
Assim, se N = a α · b β · c γ
, com a, b e c primos,
temos:
n[D + (N)] = (α + 1) · (β + 1) · (γ + 1)
Exemplo
No exemplo anterior, n[D(20)] = (2 + 1) · (1 + 1) = 6
Como observação, podemos estabelecer que
o número de divisores inteiros de um número
natural é o dobro do número de divisores naturais,
pois a cada divisor natural existem dois
divisores inteiros: um positivo e o oposto .
Assim:
n[D(N)] = 2 · n[D + (N)]
Exemplo
Consideremos: 60 = 2 2 · 3 1 · 5 1
Temos que o número de divisores naturais de
60 é:
n[D + (60)] = (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12
Temos que, a partir desse resultado, o número
de divisores inteiros de 60 é:
n[D(60)] = 2 · n[D + (60)] = 2 · 12 = 24
J. Determinação dos divisores
de um número natural
Regra
Para estabelecermos os divisores de um
número natural, inicialmente, devemos decompor
o número em fatores primos e, à
direita dessa fatoração, passamos um traço
vertical. A seguir, colocamos ao lado direito
do traço e acima do primeiro fator o número
1. Os demais divisores do número dado são
obtidos a partir da unidade, multiplicando-se
cada um dos fatores primos que estão à esquerda
do traço pelos números que estão à
direita e situados acima dele, evitando-se as
repetições.
Exemplo
Determinar os divisores naturais do número
natural 60.
1
60 2 2 D+
( 60)
30
15
5
1
2
3
5
4
3, 6,
12
5, 10, 20, 15, 30,
60
D ( 60) { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
+
=
2. Propriedades
Os múltiplos e os divisores dos números naturais
apresentam algumas propriedades que
nos são muito úteis e que passaremos a estudar
a seguir.
• Propriedade 1
Se um número natural P dividido por um número
natural d deixa resto r, então (P – r) é
múltiplo de d.
Justificativa
P d
r q ⇒ P = d ⋅ q + r ⇒ P – r = d ⋅ q
Portanto, (P – r) é múltiplo de d.
Exemplo
45 6
3 7 ⇒ 45 – 3 = 42 que é, de fato, um
múltiplo do divisor 6.
• Propriedade 2
Se um número natural P dividido por um número
natural d deixa resto r, então P + (d – r)
é um múltiplo de d.
Justificativa
P d ⇒ P = d ⋅ q + r ( igualdade I)
r q
33

Matemática
Matemática básica
Adicionando-se (d – r) aos dois membros da
igualdade I, teremos:
P + (d – r) = d · q + r + (d – r)
P + (d – r) = d · q + d
Assim:
P + (d – r) = d · (q + 1)
Portanto, P + (d – r) é um múltiplo de d.
Exemplo
45 6 ⇒ 45 + ( 6 – 3)
= 48 , que é, de fato, um
3 7
múltiplo do divisor 6.
• Propriedade 3
Se um número A é múltiplo de um número
B, então o número A será múltiplo de todos
os divisores de B.
Justificativa
Sendo A um múltiplo de B, temos que:
A = k · B, onde k ∈ ¢ (I).
Sendo d um divisor qualquer de B, temos que:
B = k 1 · d, em que k 1 ∈ ¢ (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
A = k · k 1 · d, em que k · k 1 ∈ ¢
Portanto, A é um múltiplo de d.
Exemplo
O número 40 é múltiplo de 20, pois 40 = 20 · 2.
Os divisores naturais de 20 são: 1; 2; 4; 5; 10
e 20.
O número 40 também é múltiplo dos divisores
de 20.
• Propriedade 4
Para um conjunto com n números naturais
não nulos consecutivos, um deles é múltiplo
de n.
Justificativa
Consideremos a sequência dos números naturais
não nulos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,...
Observemos que os múltiplos do número 3
aparecem de três em três nesta sequência e
que, portanto, qualquer conjunto com três
números consecutivos vai apresentar, necessariamente,
um múltiplo de 3.
Podemos extrapolar a ideia para todos os números
naturais, confirmando a propriedade.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
Dado o número inteiro 60:
a. decomponha-o em fatores primos;
b. determine o seu número de divisores
naturais;
c. determine o seu número de divisores
inteiros;
d. determine todos os seus divisores naturais;
e. determine todos os seus divisores inteiros.
Resolução
a. 60 2
30 2
15 3
5 5
1
∴ 60 = 2 2 · 3 · 5
b. D(60) = (2+1) · (1+1) · (1+1) = 12
c. D(60) = 12 ·2 = 24
d.
1
60 2 2
30 2 4
15 3 3, 6, 12
5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60
1
D + (60) ={1, 2, 4, 3, 6, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
e. D(60) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12,
±15, ±20, ±30, ±60}
PV-13-11
34

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
02. UEPB
Se k é um número inteiro positivo, então o
conjunto A formado pelos elementos k 2 + k é,
necessariamente:
a. o conjunto dos inteiros não negativos.
b. um conjunto de múltiplos de 3.
c. um conjunto de números ímpares.
d. um conjunto de números primos.
e. um conjunto de múltiplos de 2.
Resolução
k 2 + k = k(k + 1)
Número par para qualquer k.
Resposta
E
03.
Mostre que se a divisão de um número natural
n, com n positivo, por 5, dá resto 1, então
(n – 1) · (n + 4) é múltiplo de 25.
Resolução
Sabemos que: n 5 ⇒ n = q ⋅ 5 + 1
1 q
Pelas propriedades dos divisores:
• n – 1 é múltiplo de 5 n – 1 = 5 K 1 (1)
• n + (5 – 1) é múltiplo de 5 n + 4 = 5 K 2 (2)
Multiplicando 1 por 2:
(n – 1) (n + 4) = 5 K 1 · 5 K 2
(n – 1) (n + 4) = 25 K 1 · K 2
K 1 · K 2 = K ∈ ¢
Logo, (n – 1) (n + 4) = 25 K
Assim, (n – 1) (n + 4) é múltiplo de 25.
3. Máximo divisor comum
04. UEPE
O número N = 6 3 ·10 4 · 15 x , sendo x um inteiro
positivo, admite 240 divisores inteiros e positivos.
Indique x.
Resolução
A fatoração em primos de N é:
2 7 · 3 3+x · 5 4+x , logo seu número de divisores é
8(4 + x)(5 + x) = 240.
Segue que (4+x)(5+x) = 30
⇒ 20 + 4x + 5x + x 2 = 30
⇒ x 2 + 9x + 10 = m 0
∴ x = 1 ou x = – 10 (não convém)
Resposta
x = 1
05. Fuvest-SP
Um número natural N tem três algarismos.
Quando dele subtraímos 396, resulta o número
que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos
de N. Se, além disso, a soma do algarismo
das centenas e do algarismo das unidades de N é
igual a 8, então o algarismo das centenas de N é:
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Resolução
N = abc
abc − 396 = cba
100a + 10b + c − 396 = 100c + 10b + a
99a
− 99c
= 396
⎧ a − c = 4
⎨
⎩ a + c = 8
a = 6
c = 2
Resposta
C
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais
números é o maior número, que é divisor comum
de todos os números dados.
35

Matemática
Matemática básica
Podemos estabelecer uma sequência de etapas
até determinarmos o valor do máximo divisor
comum de dois ou mais números como
veremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O número 18 e os seus divisores naturais:
D + (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
2. O número 24 e os seus divisores naturais:
D + (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Podemos descrever, agora, os divisores
comuns a 18 e 24:
D + (18) ∩ D + (24) = {1, 2, 3, 6}
Observando os divisores comuns, podemos
identificar o maior divisor comum dos números
18 e 24, ou seja:
MDC (18, 24) = 6
4. Mínimo múltiplo comum
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois
ou mais números é o menor número positivo
que é múltiplo comum de todos os números
dados.
Podemos estabelecer uma sequência de etapas
até determinarmos o valor do mínimo
múltiplo comum de dois ou mais números,
como veremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M * +(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}
2. O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M * + (8) = (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos
comuns:
M * + (6) ∩ M * + (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos
identificar o mínimo múltiplo comum dos números
6 e 8, ou seja: MMC (6, 8) = 24.
5. MDC e MMC pelo método
da decomposição isolada
Para determinarmos o MDC e o MMC de vários
números, devemos colocar todos os números
na forma fatorada. Após esse procedimento,
podemos estabelecer:
1) O máximo divisor comum (MDC) dos
núneros é o produto de todos os fatores
comuns às fatorações com os menores
expoentes com os quais eles se apresentam
nas suas respectivas decomposições.
2) O mínimo múltiplo comum (MMC) dos
números é o produto de todos os fatores
existentes nas decomposições, comuns ou
não, considerados com os maiores expoentes
com os quais eles se apresentam
nas suas respectivas decomposições.
Exemplo
Consideremos os números A, B e C já fatorados:
A = 2 3 · 3 · 5 2
B = 2 2 · 5 · 7
C = 2 4 · 3 2 · 5 3
Teremos que:
MDC (A, B, C) = 2 2 · 5 e MMC (A, B, C) = 2 4 · 3 2 · 5 3 · 7
6. MMC e MDC pelo método
da fatoração simultânea
Podemos determinar o MDC e o MMC de dois
ou mais números pelo uso de um procedimento
que prevê a fatoração simultânea de todos
os números dados.
Para este procedimento, inicialmente, decompomos,
simultaneamente, os números, dividindo
sucessivamente pelo menor fator primo
e, no caso de algum número ou quociente não
ser divisível pelo fator primo, o número deve
ser repetido no algoritmo. Obtemos o MMC
multiplicando todos os fatores primos da decomposição.
Podemos, à medida que efetuamos fatoração
simultânea, ir assinalando quais são os farores
primos que dividem, ao mesmo tempo, todos
os números ou quocientes. Obtemos o MDC
multiplicando todos esses fatores assinalados.
PV-13-11
36

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
Exemplo
Consideremos os números 2.520 e 2.700:
2. 520, 2.
700
1. 260, 1.
350
2 *
2 *
630,
375 2
315,
675 3 *
105,
225 3 *
35,
75 3
35,
25 5 *
7,
5
7,1
5
7
1,
1
Teremos que:
MDC (2.700, 2.520) = 2 2 · 3 2 · 5 e
MMC (2.700, 2.520) = 2 3 · 3 3 · 5 2 · 7
7. MDC pelo método das
divisões sucessivas
A determinação do MDC pelo método das
divisões sucessivas é um processo desenvolvido
por Euclides e consiste, basicamente,
em dividir o número maior pelo número menor.
Se a divisão for exata, o MDC será o menor
número. Porém, caso a divisão apresente
resto diferente de zero, deveremos dividir o
menor número pelo resto e, assim, sucessivamente,
até chegarmos a uma divisão exata. O
último divisor será o MDC dos números.
Exemplos
a) Determinar o MDC dos números 252 e
140.
1 1 4 quocientes
252 140 112 28
112 28 0 restos
Posteriormente, tomamos o terceiro número
com o MDC dos dois primeiros:
5 2
165 30 15
15 0
MDC (330, 210, 165) = 15
8. Propriedades do MDC e do MMC
• Propriedade 1
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B
Justificativa
Consideremos os números A e B decompostos
em fatores primos:
α
A = a 1
β
⋅ b 1
γ
⋅ c 1 ⋅ ⋅⋅⋅pε
1
e
α
B = a 2
β γ δ
⋅ b 2 ⋅c 2 ⋅ ⋅⋅⋅p
2
Para o cálculo do MDC (A, B), tomamos os
fatores comuns com os menores expoentes;
para o cálculo do MMC (A, B), tomamos todos
os fatores comuns ou não comuns com os
maiores expoentes. Vamos considerar o caso
do fator a:
α 1 < α 2 , teremos α 1 no MDC e α 2 no MMC.
α 1 > α 2 , teremos α 1 no MMC e α 2 no MDC.
No produto A · B, o fator a terá expoente
(α 1 + α 2 ). No produto MDC (A, B) · MMC (A, B),
o fator a também terá expoente (α 1 + α 2 ).
Fazendo a mesma consideração para todos os
outros fatores primos, verificaremos que os
mesmos fatores, com os mesmos expoentes,
que compõem o produto dos números A e B,
compõem, também, o produto do MDC e o
MMC desses números e, portanto:
MDC (252, 140) = 28
b) Determinar o MDC dos números 330,
210 e 165. Tomemos, inicialmente, os
dois maiores números:
1 1 1 3
330 210 120 90 30
120 90 30 0
MDC (330, 210) = 30
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B
• Propriedade 2
MDC (k · A, k · B) = k · MDC (A, B)
• Propriedade 3
MMC (k · A, k · B) = k · MMC (A, B)
37

Matemática
Matemática básica
• Propriedade 4
Os divisores comuns de dois ou mais números
naturais são os divisores do MDC desses números.
• Propriedade 5
Os múltiplos comuns de dois ou mais números
naturais são os múltiplos do MMC desses números.
• Propriedade 6
Dois números são considerados primos entre
si se o MDC deles é igual a 1.
Os números 5 e 7 são primos entre si, bem
como 4 e 9, pois MDC (5, 7) = 1 e MDC (4, 9) = 1.
Notemos que, para que os números sejam primos
entre si, não é necessário que eles sejam primos.
• Propriedade 7
Dois números naturais consecutivos são, sempre,
primos entre si.
• Propriedade 8
Para os dois números primos entre si, o MMC
é o produto deles.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Unisul-SC
Num painel de propaganda, três luminosos se
acendem em intervalos regulares: o primeiro a
cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos
e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um
dado instante, os três se acenderem ao mesmo
tempo, os luminosos voltarão a se acender, simultaneamente,
depois de:
a. 2 minutos e 30 segundos.
b. 3 minutos.
c. 2 minutos.
d. 1 minuto e 30 segundos.
e. 36 segundos.
Resolução
Os luminosos se acendem simultaneamente
em um tempo múltiplo dos intervalos, pela
primeira vez no menor múltiplo .
mmc(12, 30, 18) = 180 s = 3 min
Resposta
B
02.
Os restos das divisões de 247 e de 315 por x são
7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões
de 167 e de 213 por y são 5 e 3, respectivamente.
O maior valor possível para a soma x + y é:
a. 36
b. 34
c. 30
d. 25
e. 48
Resolução
247 – 7 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 240.
315 – 3 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 312.
O número x é o maior divisor comum de 240 e de
312.
240 = 24
. 3.
5 ⎫
312 = 23
⎬
. 3.
13 ⎭
⇒ ( ) = = ∴ =
mdc 240, 312 23
. 3 24 x 24
167 – 5 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 162
213 – 3 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 210
O número y é o maior divisor comum de 162 e de 210.
162 = 2 . 34
⎫
⎬
210 = 2 . 3. 5.
7 ⎭
mdc 160, 210 2 . 3 6 y 6
⇒ ( ) = = ∴ =
Assim, o valor máximo de x + y é 30.
Resposta
C
03. Unicamp-SP
Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m
deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados
iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos
vizinhos, pergunta-se:
a. Qual deve ser a dimensão máxima, em
centímetros, de cada um desses ladrilhos
para que a sala possa ser ladrilhada
sem cortar nenhum ladrilho?
b. Quantos desses mesmos ladrilhos são
necessários?
Resolução
Sala: 300 cm x 425 cm
a. Seja n o lado do ladrilho
n = mdc (300, 425) ∴ n = 25 cm
b. No lado de 425 cm : 425 ÷ 25 = 17
No lado de 300 cm : 300 ÷ 25 = 12
Número de ladrilhos: 17 · 12 = 204 ladrilhos
Resposta
a. 15 cm
b. 204 ladrilhos
PV-13-11
38

Matemática básica
Matemática
CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES
PV-13-11
1. Introdução
Observemos as igualdades abaixo:
I. 4 + 7 = 10
II. 4 + 7 = 11
III. 4 + x = 7
As duas primeiras igualdades são sentenças
matemáticas fechadas, uma vez que cada uma
delas admite uma, e somente uma, das seguintes
classificações: FALSA ou VERDADEIRA.
No caso acima, a sentença (I) é FALSA e a (II) é
VERDADEIRA.
A igualdade (III) é uma sentença matemática
aberta, pois não podemos classificá-la como
FALSA ou VERDADEIRA, porque não sabemos
o valor que a letra x representa. Na sentença
matemática aberta, o ente matemático
desconhecido, geralmente representado
por uma letra, recebe o nome de incógnita,
ou variável. Dependendo do valor que se
atribui à incógnita em uma sentença aberta,
pode-se obter uma sentença FALSA ou VER-
DADEIRA. Por exemplo, em (III), se atribuirmos
o valor 3 para a letra x, teremos uma
sentença VERDADEIRA, mas, se atribuirmos
o valor 4, teremos uma sentença FALSA.
2. Equação matemática
As sentenças matemáticas abertas com uma
ou mais incógnitas são denominadas equações
matemáticas.
Exemplos de equações matemáticas:
01. 2x + 10 = 0
02. x 2 + 1 = 0
03. x + x = 2
04. 1 x + 1 = 1
05. x 2 – 11x + 28 = 0
06. 0 · x = 1
07. 2 x = 4
08. 0 · x = 0
3. Raiz (ou solução) de uma equação
É o número do conjunto universo que, quando
colocado no lugar da incógnita, transforma a
sentença matemática aberta em uma sentença
matemática fechada verdadeira. De
maneira prática, podemos dizer que raiz é o
número que, substituído no lugar da incógnita,
“torna” a igualdade verdadeira.
Observação – Conjunto universo de uma
equação é o conjunto constituído dos possíveis
valores que a incógnita pode assumir.
Exemplo 1 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida
em .
a. O conjunto universo é o conjunto ,
conjunto dos números reais.
b. Se substituirmos x por – 5 na equação
2x + 10 = 0, teremos 2(– 5) + 10 = 0,
que é uma igualdade verdadeira. Dizemos,
então, que – 5 é raiz da equação.
c. O número 5, mesmo sendo um elemento
pertencente ao conjunto universo,
não é solução da equação 2x + 10 = 0,
pois 2(5) + 10 = 0 é falsa.
Exemplo 2 – Observe a equação 2x + 10 = 0 definida
em .
a. O conjunto universo é o conjunto ,
conjunto dos números naturais.
b. Se substituirmos x por – 5 na equação
2x + 10 = 0, teremos: 2(– 5) + 10 = 0, que
é uma igualdade verdadeira, mas – 5 não
é raiz da equação, pois o número – 5 não
é elemento pertencente ao conjunto .
4. Resolução de equações
Encontrar todas as raízes (ou soluções) da equação
e representá-las em um conjunto denominado
conjunto solução.
Ao resolver uma equação, é preciso estar atento
ao conjunto universo em que está definida
a equação.
39

Matemática
Matemática básica
5. Equações equivalentes
São aquelas que possuem as mesmas raízes,
isto é, o mesmo conjunto solução, no mesmo
universo.
Exemplo
As equações 2x + 10 = 0 e x + 5 = 0 são equivalentes,
pois ambas possuem uma única raiz,
que é –5.
Os teoremas a seguir permitem transformar
uma equação em outra equação equivalente.
T 1 . Adicionar (subtrair) um mesmo número, do
conjunto universo, em ambos os membros da
igualdade.
a = b ⇔ a + c = b + c ou a = b ⇔ a – c = b – c
T 2 . Multiplicar (dividir) um mesmo número diferente
de zero, do conjunto universo, em ambos
os membros da igualdade.
a = b ⇔ a · c = b · c ou a = b ⇔ a b
=
c c
Exemplo
Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em .
Considere os procedimentos a seguir:
2x + 10 = 0
2x + 10 = 0 (vamos subtrair 10 dos dois membros
da igualdade, T 1 .)
2x + 10 – 10 = 0 – 10)
2x = – 10 (agora, vamos dividir os membros da
igualdade por 2, T 2 )
2
2
x =
–
x = – 5
10
2
Pelo teorema T 1 , a equação 2x + 10 = 0 é equivalente
à equação 2x = – 10 e, pelo teorema T 2 ,
esta é equivalente à equação x = – 5. Assim,
podemos dizer que as três equações são equivalentes
entre si, sendo que a última é a mais
simples e nos leva à solução. O uso de teoremas
de equivalência é de grande auxílio na resolução
de equações matemáticas.
6. Equação do 1º grau
Observando os oito exemplos de equações citados
anteriormente, percebemos que há diversos
tipos distintos de equações, por isso é
preciso organizar as equações em grupos com
características semelhantes.
O primeiro grupo que iremos organizar para
estudo é o das equações do 1º grau.
Denominamos equação do 1º grau em , na
incógnita x, toda equação que pode ser escrita
na forma ax + b = 0, com a ≠ 0, a ∈ e b ∈.
Dentre os oito exemplos de equações citados
anteriormente, apenas a primeira equação é
do 1º grau, e comparando a forma geral
ax + b = 0 com a equação 2x + 10 = 0, verificamos
que a = 2 e b = 10.
Observe que a 6ª e a 8ª equações, embora
possam ser escritas na forma ax + b = 0, não
são equações do 1º grau, pois a = 0.
Os dois teoremas citados anteriormente nos
auxiliam na resolução de equações do 1º grau.
Observe:
Forma geral: ax + b = 0
(T 1 ) Subtraindo b dos dois membros da
igualdade: ax + b – b = 0 – b
Equação equivalente: ax = – b
(T 2 ) Dividindo os dois membros por a:
ax b
= –
a a
Equação equivalente: x = – b a (descobrimos o
valor do x)
b
S = –
a
7. Problemas matemáticos
Proposição a ser resolvida a partir dos dados
do problema, os quais são informações contidas
no enunciado da questão de forma explícita
ou implícita. Um problema matemático
pode ter uma solução, mais de uma solução
ou não ter solução.
Para resolver um problema matemático, precisamos
encontrar todos os possíveis valores das
incógnitas propostas no enunciado da questão.
8. Passos para resolver um problema
matemático
01. Equacionar o problema (organizar os
dados da questão em uma ou mais
equações matemáticas).
PV-13-11
40

Matemática básica
Matemática
02. Resolver as equações.
03. Analisar os resultados encontrados
avaliando se algum serve, se todos servem
ou se nenhum deles serve.
04. Apresentar a resposta final.
Exemplo
A soma das idades de dois irmãos é 30. A idade
do mais velho excede a idade do mais novo em
10 anos. Quais são as idades dos irmãos?
Podemos organizar os dados do problema em
uma tabela, que é um artifício de muita utilidade.
Ainda do enunciado: 30 – x = x + 10
(a idade do mais velho excede a idade do
mais novo em 10 anos.)
30 – 10 = x + x
20 = 2x
10 = x
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o
irmão mais velho tem 20 anos.
3º modo
O mesmo problema poderia ser resolvido utilizando-se
duas incógnitas.
Idade
Idade dos irmãos
Mais novo
x
Irmão mais novo
x
Mais velho
y
PV-13-11
Irmão mais velho
x + 10 (o enunciado diz
que a idade do mais velho
excede a idade do mais
novo em 10 anos.)
Ainda do enunciado, temos: x + x + 10 = 30
(a soma das idades é 30).
Resolver a equação: 2x + 10 = 30
2x = 20
x = 10
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o
irmão mais velho tem 20 anos.
Um problema pode ter mais de um modo de
se resolver.
2º modo
No exemplo anterior, poderíamos montar a tabela
do seguinte modo:
(A soma das idades é 30.) x + y = 30
(A idade do mais velho excede a idade do mais
novo em 10 anos.) y = x + 10
Substituir a 2ª equação na 1ª: x + x + 10 = 30
2x = 20
x = 10
Substituir o resultado na 2ª equação: y = 10 + 10
y = 20
Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o
irmão mais velho tem 20 anos.
Idade dos irmãos
Irmão mais novo
x
Irmão mais velho 30 – x (a soma das idades é 30.)
41

Matemática
Matemática básica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
Resolver em a equação x − 1
+ x =
2 3 1.
Resolução
1º passo: reduzindo a um denominador comum:
x − 1 x + =
2 3 1
3⋅ 1 2 6 1
mmc (2; 3) = 6 →
( x − ) + ⋅ x = ⋅
6 6
Multiplicando ambos os
membros por 6, temos: 3 · (x – 1) + 2 · x = 6 · 1
2º passo: isolar a incógnita em um dos membros da igualdade com auxílio dos teoremas T 1 e T 2
anteriores:
3 · x – 3 + 2 · x = 6
5 · x – 3 = 6
5 · x = 6 + 3
5 · x = 9
x = 9 5
x = 1,8
Conjunto solução → S = {1,8}
02.
Yasmin, ao sair de casa, tinha em sua bolsa moedas, todas de mesmo valor. Entrou em uma loja e
deixou metade delas na compra de um produto A. Em seguida, gastou a metade das moedas que
sobraram na compra de um produto B, em outra loja, ficando com exatamente 30 moedas. Com
quantas moedas Yasmin saiu de casa?
Resolução
Moedas
Inicial 1ª compra 1ª sobra 2ª compra 2ª sobra
x
x
2
⎛ x⎞
x
x −
⎝
⎜
⎠
⎟ =
2 2
⎛ x
⎝
⎜ ⎞ 2⎠ ⎟ x
=
2 4
x x x
− = = 30
2 4 4
PV-13-11
x
= 30
4
x = 30 · 4
x = 120
Resposta
Yasmin tinha 120 moedas.
42

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
9. Equação do 2º grau
A. Introdução
O segundo grupo de equações que iremos
organizar para estudo são as equações do 2º
grau.
B. Equação do 2º grau
Denominamos equação do 2º grau em
, na incógnita x, toda equação que
pode ser escrita na forma ax 2 + bx + c = 0,
com a ≠ 0, a ∈, b ∈ e c ∈.
Exemplo
A equação 2x 2 + x – 1 = 0 é do segundo grau.
Comparando-a com a forma genérica ax 2 + bx + c = 0,
temos: a = 2, b = 1 e c = –1.
C. Resolvendo equações do 2º grau
Exemplo
Resolver, em , as equações:
a. x 2 – 25 = 0
b. x 2 – 2 x = 0
c. x 2 – 4x – 7 = 0
Resolução:
a. x 2 – 25 = 0
x 2 = 25
x = ± 25 (Note que o símbolo ± é
exigência da equação do 2º grau, e não da raiz
quadrada.)
x = ± 5 (leia-se x igual a mais ou menos cinco.)
A igualdade acima apresenta como soluções
x = 5 ou x = – 5.
S = {5, – 5}
b. x 2 – 2x = 0
(Observe que x é um fator comum.)
x (x –
2) = 0 (Uma multiplicação de reais igual
a zero significa que pelo menos
um dos fatores é igual a zero.)
x = 0 ou x – 2 = 0
x = 0 ou x = 2
S = {0; 2}
c. x 2 – 4x – 7 = 0
x 2 – 4x = 7
(Somar número conveniente nos
dois membros da igualdade para
que o trinômio que irá surgir, no
membro da esquerda, seja um trinômio
quadrado perfeito.)
x 2 –4x + 4 = 7 + 4
(x – 2) 2 = 11
( x − 2) = 11 ou ( x − 2)
= − 11
x = 2 + 11 ou x = 2 − 11
S = { 2 + 11, 2 − 11}
As equações, dos itens (a) e (b) do exemplo
acima, são conhecidas como equações incompletas
do 2º grau, pois apresentam
b = 0 ou c = 0.
D. Equações incompletas do 2º grau
As equações incompletas do 2º grau são de
dois tipos:
a. ax 2 + c = 0 (b = 0, resolução rápida: isolar
o x)
b. ax 2 + bx = 0 (c = 0, resolução rápida:
fatoração)
E. Uma fórmula para resolver
equações do 2º grau
Dada a equação do 2º grau na forma genérica
ax 2 + bx + c = 0, consideremos os passos matemáticos
a seguir.
ax 2 + bx + c = 0
Multiplicando os dois membros da equação por
4a, temos:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0
4a 2 x 2 + 4abx = – 4ac
Adicionando-se b 2 a cada um dos membros
da equação, temos:
4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = – 4ac + b 2
(2ax) 2 + 2(2ax)b + b 2 = b 2 – 4ac
Observe que (2ax + b) 2 = (2ax) 2 + 2(2ax)b + b 2
(trinômio quadrado perfeito) e substituindo,
temos:
(2ax + b) 2 = b 2 – 4ac
43

Matemática
Matemática básica
O termo b 2 – 4ac é denominado discriminante
e costuma ser representado pela letra grega ∆.
(2ax + b) 2 =
2ax + b = ±
2ax = – b ±
–b ± ∆
x =
2a
∆
∆
Conclusão – Dada a equação do 2º grau
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, podemos encontrar os valores
de x através da fórmula x = com
–b ± ∆
2a
= b 2 – 4ac. Essa fórmula costuma ser designada
por fórmula resolutiva de Bhaskara.
Exemplo
Resolver em as equações:
a. – 4x 2 – 10x – 4 = 0
b. x 2 – 20x + 100 = 0
c. – x 2 – 2x – 2 = 0
Resolução
⎧a
= − 4
⎪
a. − 4x2
− 10x − 4 = 0 ⎨b
= − 10
⎪
⎩c
= − 4
∆ = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4 · ( – 4) · (– 4)
∆ = 100 – 64
∆ = 36
b
x = − ± ∆
2a
x = − ( − 10)
± 36
2⋅( −4)
10 ± 6
x =
−8
10 + 6 10 − 6
x = ou x =
−8
−8
1
x = − 2 ou x = −
2
⎧ 1⎫
S = ⎨−2;
− ⎬
⎩ 2⎭
⎧a
= 1
b. x 2
⎪
− 20x + 100 = 0 ⎨b
= −20
⎪
⎩c
= 100
∆ = b 2 – 4ac = ( –20) 2 – 4 · 1 · 100
∆ = 400 – 400
∆ = 0
b
x = − ± ∆
2a
x = − ( − 20)
± 0
2⋅1
20 ± 0
x =
2
20 + 0 20 − 0
x = ou x =
2
2
x = 10 ou x = 10
S = {10}
c. – x 2 – 2x – 2 = 0
Mutiplicando os dois membros por (–1), temos:
⎧a
= 1
x 2
⎪
+ 2x + 2 = 0 ⎨b
= 2
⎪
⎩c
= 2
∆ = b 2 – 4ac = 2 2 – 4 · 1 · 2
∆ = – 4
Na fórmula resolutiva, é necessário calcular
∆ e, neste exemplo, precisaríamos encontrar
- 4, porém este número não existe no
conjunto dos números reais. Dizemos, então,
que não existe solução real.
S = Ø (conjunto vazio)
Observações:
I. No exemplo a, encontramos um valor
de ∆ positivo e duas raízes reais e distintas.
II. No exemplo b, o valor do ∆ é zero e as
duas raízes são reais e iguais.
III. No exemplo c, o ∆ é negativo e não existem
raízes reais.
De maneira geral, em uma equação do 2º grau,
podemos dizer que:
a. ∆ > 0 ⇔ há duas raízes reais e distintas;
b. ∆ = 0 ⇔ há duas raízes reais e iguais;
c. ∆ < 0 ⇔ não há raiz real.
PV-13-11
44

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
F. A soma e o produto das raízes
de uma equação do 2º grau
Consideremos a equação do 2º grau
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Pela fórmula resolutiva, temos:
x 1
= − b + ∆
x
2 2
= − b − ∆
;
a
2a
Indicaremos a soma das raízes por S e o produto
por P.
S = x1 + x2
= − b + ∆
+ − b − ∆
2a
2a
= − b + ∆
S
− b − ∆
2a
2b
S = −
2a
b
S = −
a
⎛
P = − b
⎜
+ ∆ ⎞
⎟
⎝ ⎠
⋅ ⎛ − b − ∆ ⎞
2a
⎜ ⎟
⎝ 2a
⎠
⎛ b2 − ( ∆)
2 ⎞
P = ⎜ ⎟
⎝ 4a2
⎠
⎛ b2
− ∆⎞
P =
⎝
⎜
4a2
⎠
⎟
⎛ b2 − ( b2
− 4 ⋅ac)
⎞
P =
⎝
⎜
4a2
⎠
⎟
⎛ b2 − b2
+ 4 ⋅ac⎞
P =
⎝
⎜
4a2
⎠
⎟
4ac
P =
4aa
c
P =
a
Resumindo – Dada a equação do 2º grau
ax 2 + bx + c = 0, com raízes x 1 e x 2 , então:
S = x 1 + x 2 = - b a e P = x 1 · x 2 = c a
Exemplo
Resolver, em , a equação
x
2 − ( 3 − 1 ) x − 3 = 0
Resolução:
⎧a
= 1
⎪
x2 − ( 3 − 1) x − 3 = 0⎨b
= −( 3 − 1)
⎪
⎩c
= − 3
Soma das raízes:
b 3
S = − = − [ − ( − 1)]
= 3 − 1
a 1
c
= = − 3
Produto das raízes: P = −
a 1
Os números 3 e –1 são dois números reais
que possuem soma igual a 3 –1 e produto
igual a – 3. Assim, as raízes são x 1 = –1 e x 2 = 3.
S = {–1; 3}
G. Escrever uma equação do 2º
grau conhecendo suas raízes
Considere a seguinte proposta: escrever uma
equação do 2º grau que tem como raízes os
números 10 e 8.
A equação x 2 – 18x + 80 = 0 satisfaz a proposta.
Vejamos:
10 2 – 18 · 10 + 80 = 100 – 180 + 80 = 0
(10 é uma raiz.)
8 2 – 18 · 8 + 80 = 64 – 144 + 80 = 0 (8 é uma
raiz.)
Analisemos como foi montada a equação.
A forma geral de uma equação do 2º grau é
ax 2 + bx + c = 0. Observe que a foi substituído
por 1, b por –18 e c por 80, em que 18 é a
soma das raízes e 80 é o produto.
Podemos dizer que ax 2 + bx + c = 0 é equivalente
a x 2 – Sx + P = 0, em que S é a soma
das raízes e P é produto das raízes. As seguintes
passagens justificam essa afirmativa.
ax 2 + bx + c = 0 (dividir os dois membros da
igualdade por a.)
ax2
+ bx + c 0 =
a a
a
a x b
a x c
2
+ + = 0
a
b b
Como S S
a a e P c
= − , − = = ,
a te mos:
x 2 – Sx + P = 0
3
45

Matemática
Matemática básica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
Resolver, em , a equação x 2
− 2 x = 3 .
x − 2
Resolução
x2 − 2x
= 3 (C.E.: x ≠ 2)
x − 2
x 2 – 2x = 3 (x – 2)
x 2 – 2x = 3x – 6
⎧a
= 1
x2 ⎪
− 5x
+ 6 = 0⎨b
= −5
⎪
⎩c
= 6
∆ = b 2 – 4 · a · c
∆ = (–5) 2 – 4 · 1 · 6
∆ = 1
b
x = − ± ∆
2a
x = − ( − 5)
± 1
2⋅1
5
x = − 1 5
ou x = + 1
2 2
x
= 2 ou x = 3
não serve
S = { 3}
02.
Escreva duas equações do 2º grau que tenham
como raízes os números 4 e 3.
Resolução
S = 4 + 3 = 7
P = 4 · 3 = 12
ax 2 + bx + c = 0 é equivalente a x 2 – Sx + P = 0;
assim, temos:
x 2 – 7x + 12 = 0
Para encontrar uma segunda equação, basta
multiplicar ou dividir os dois membros da
igualdade por um número real diferente de
zero.
x 2 – 7x + 12 = 0 (multiplicar os dois lados por 5)
5x 2 – 35x + 60 = 0, que é equivalente a
x 2 – 7x + 12 = 0
Resposta
Duas equações que têm como raízes 4 e 3 são:
x 2 – 7x + 12 = 0 e 5x 2 – 35x + 60 = 0
Obs. – Dividindo ou multiplicando a equação
x 2 – 7x + 12 = 0 por um número real diferente
de zero, obteremos novas equações
equivalentes, portanto há infinitas equações
do 2º grau que possuem as raízes
4 e 3.
03.
Considere a equação ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ,
com raízes x 1 e x 2 . Mostre que a expressão
ax 2 + bx + c é equivalente à expressão
a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ).
Resolução
Como x 1 e x 2 são raízes da equação ax 2 + bx + c = 0,
temos que x 1 + x 2 = - b (soma das raízes ) e
a
x 1· x 2 = c (produto das raízes)
a
⎛ b
a · x 2 + b · x + c = a x
a x c
⋅
2
⎞
+ +
⎝
⎜
a⎠
⎟ =
⎡
= − ⎛ b ⎞ ⎤
a⎢x
−
⎝
⎜
⎠
⎟ + ⎥
⎣ a x c
2
= a ·[x 2 –(x 1 + x 2 )· x + (x 1 · x 2 )] =
a⎦
= a [x 2 – x · x 1 – x · x 2 + x 1 · x 2 ) =
= a [x (x – x 1 ) – x 2 (x – x 1 )] =
= a · [(x – x 1 ) · (x – x 2 )]=
= a · (x – x 1 ) · (x – x 2 )
Assim, temos que: ax 2 + bx + c = a · (x – x 1 ) · (x – x 2 )
(c. q. d.)
A forma a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) é a forma fatorada de
ax 2 + bx + c, quando x 1 e x 2 são as raízes.
PV-13-11
46

Matemática básica
Matemática
10. Resolução de equações
com mudança de variável
Frequentemente nos deparamos com equações
que, mesmo não sendo do 2º grau, podem
ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas
situações, devemos nos valer de mudanças
nas variáveis da equação de tal forma que ela
se transforme, temporariamente, numa equação
do 2º grau, como nos exemplos que veremos
a seguir:
Exemplos
a) Resolver a equação:
x 4 – 3x 2 – 4 = 0
Notemos que esta é uma equação de quarto
grau, porém com uma característica particular:
apresenta apenas os termos de grau par.
Se fizermos:
x 2 = y
teremos:
y 2 – 3y – 4 = 0
Resolvendo esta equação, teremos:
y 1 = –1 e y 2 = 4
Considerando que y está ocupando o lugar de
x 2 , teremos:
x 2 = –1 ou x 2 = 4
Considerando x ∈ R, teremos:
Assim:
x = –2 ou x = 2
S= {–2,2}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01.
Resolver, em , a equação:
x 6 – 28 x 3 + 27 = 0
Resolução
Fazendo x 3 = t, teremos x 6 = t 2 , logo:
t 2 – 28 t + 27 = 0
∆ = 784 – 108 = 676
28 ± 26 t1
= 27
t = =
2 t = 1
Então, teremos:
x
x
3
= 27
= 3
3 3
x
x
3
= 1
= 1
x = 3 x = 1
Resposta
S = {1, 3}
2
3 3
02.
Resolva em : (x 2 + 2) 2 - 5(x 2 + 2) + 6 = 0.
Resolução
(x 2 + 2) 2 - 5(x 2 + 2) + 6 = 0
Fazendo x 2 + 2 = m, vem:
m 2 - 5m + 6 = 0
S=
5
P=
6
( 2,
3)
Então:
x 2 + 2 = 2
x 2 = 0
x = 0
ou
x 2 + 2 = 3
x 2 = 1
x=±1
S = {0, - 1, 1}
47

Matemática
Matemática básica
03.
Resolver em a equação
x
2
– 4x
+ 5–
4 + 1 = 0 ( x ≠0)
x x2
Resolução
Primeiro, arrumamos a equação:
1 4
x2
+ – 4x
– +
x2
5 = 0
x
⎛ 1 1
x2
⎞
+ 4 x 5 0 I
⎝
⎜
x2
⎠
⎟ ⎛
⎝
⎜ + ⎞
–
x⎠
⎟ + = ()
Faremos a seguinte troca:
1
x + = t
x
Elevando ao quadrado, teremos:
11. Equações irracionais
1 1
x2
+ 2 + = t2 ⇒ x2
+ = t2
–2
x2
x2
Substituindo em (I):
(t 2 – 2) – 4t + 5 = 0
t 2 – 4t + 3 = 0
4 t
t = ± 2 = 3
=
2 t = 1
Voltando à mudança variável:
1
1
x + = 3 x + = 1
x
x
x
2– 3x + 1 = 0 x2
– x + 1 = 0
3 ± 5 1
x =
x = ± – 3
não é real
2
2
Daí, teremos:
⎧3–
5 3 + 5 ⎫
S = ⎨ , ⎬
⎩ 2 2 ⎭
Equação irracional é uma equação em que há incógnita em um ou mais radicais. São equações
irracionais:
3
1. x + 2 = 5
2. x + 1 = x – 2
3. 3x
+ 1 + x –1 = 6
As raízes podem ter qualquer índice, mas, no nosso estudo, trataremos apenas das equações
irracionais que apresentarem raízes quadradas. Não existe fórmula para resolver essas equações,
mas temos um processo de resolução prático e seguro que nos conduz a equações cuja resolução
já conhecemos.
Vamos acompanhar o método por meio de um exemplo.
Resolver a equação:
x + 3 + x = 3
PV-13-11
1º passo: Isolamos o radical num dos membros da equação. Se existir mais de um radical, escolher
um deles e isolar.
x + 3 = 3 – x
2º passo: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação.
2 2
( x + 3) = ( 3 – x)
x + 3 = 9 – 6x + x
x2
– 7x
+ 6 = 0
2
48

Matemática básica
Matemática
3º passo: Resolvemos a equação.
Se na primeira vez que elevarmos a equação
ao quadrado continuar a existir a raiz quadrada,
ela deve ser isolada e a equação será
novamente elevada ao quadrado tantas vezes
forem necessárias até que não exista mais nenhum
radical:
x 2 – 7x + 6 = 0, que resolvida, fica: x = 1 ou x = 6
4º passo: Dessa maneira, obtemos uma outra
equação que não tem, necessariamente, o
mesmo conjunto verdade da equação proposta.
Quase sempre, a última equação admite
todas as raízes da primeira equação.
Para contornar esse problema, iremos efetuar
uma verificação para eliminar as raízes estranhas
e obter o conjunto solução correto. Essa
verificação consiste em substituir na equação
original os valores de x obtidos.
Observe:
para x = 1: 1 + 3 + 1 = 3
4 + 1 = 3
2 + 1 = 3 ( V)
para x = 6: 6 + 3 + 6 = 3
9 + 6 = 3
3 + 6 = 3
9 = 3 ( F)
Notamos que 1 é solução da equação, mas 6
não é. Assim:
S = {1}
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01. PUC-SP
O conjunto de soluções inteiras da equação
4x
+ 1 = 2x
– 1 é:
a. {2}
b. {0,2}
c. {0}
{ }
{ }
d. 0 , 1 2
e.
1
2
Resolução
4x
+ 1 = 2x
– 1
2 2
4 1 2 1 4 1 4
2
( x + ) = ( x – ) ⇒ x + = x – 4x
+ 1 ⇒
⎧x
= 0 ( não convém)
⇒ x2
– 2x
= 0⎨
⎩x
= 2∴ V = { 2}
Resposta
A
02. FEI-SP
Seja V o conjunto dos números reais que são soluções
da equação irracional 2x
– 7 + x = 1.
Assim:
a. V = {2; 18}
b. V = {2}
c. V = {18}
d. V = ∅
e. V = {–2; –18}
Resolução
2x
– 7 + x = 1
2 2
( ) = ( + + ) ⇒ = + + + +
2x 7 x 1 2x 7 x 2 7 x 1
2
( ) = ( ) 2
2 7 + x = x – 8 ⇒ 2 7 + x x – 8
⎧x
= 2 ( não convém)
⇒ x2 – 20x
+ 18 = 0⎨
⎩x
= 18∴ V = { 18}
Resposta
C
49

Matemática
Matemática básica
CAPÍTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS
1. Introdução
A teoria dos conjuntos representa instrumento
de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos
da Matemática, bem como em outros
ramos das ciências físicas e humanas.
Devemos aceitar, inicialmente, a existência de
alguns conceitos primitivos (noções que adotamos
sem definição) e que estabelecem a
linguagem do estudo da teoria dos conjuntos.
Adotaremos a existência de três conceitos primitivos:
elemento, conjunto e perti nência.
Assim, é preciso entender que cada um de
nós é um elemento do conjunto de moradores
desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um
elemento que pertence ao conjunto de habitantes
da cidade, mesmo que não tenhamos
definido o que é conjunto, o que é elemento e
o que é pertinência.
2. Notação e representação
A notação dos conjuntos é feita mediante a
utilização de uma letra maiúscula do nosso
alfabeto, e a representação de um conjunto
pode ser feita de diversas maneiras, como veremos
a seguir.
A. Listagem dos elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem
de seus elementos quando relacionamos
todos os elementos que pertencem ao conjunto
considerado e envolvemos essa lista por um
par de chaves. Os elementos de um conjunto,
quando apresentados na forma de listagem,
devem ser separados por vírgula ou por ponto
e vírgula, caso tenhamos a presença de números
decimais.
Exemplos
a. Seja A o conjunto das cores da bandeira
brasileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
b. Seja B o conjunto das vogais do nosso
alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u}
c. Seja C o conjunto dos algarismos do
sistema decimal de numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B. Uma propriedade de
seus elementos
Há situações em que podemos fazer a apresentação
do conjunto por meio de uma propriedade
dos elementos do conjunto e que
sirva somente a eles.
A = {x / x possui uma determinada propriedade P}
Exemplos
a. Seja B o conjunto das vogais do nosso
alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
b. Seja C o conjunto dos algarismos do sistema
decimal de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal
de numeração}
C. Diagrama de Euler-Venn
A apresentação de um conjunto por meio do
diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto,
muito prática. Os elementos são representados
por pontos interiores a uma linha fechada
não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores
à linha representam elementos que não
pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo
B
i
u
a
e
o
3. Relação de pertinência
Quando queremos indicar que um determinado
elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos
que o elemento x pertence ao conjunto
A e indicamos:
x ∈ A
em que o símbolo ∈é uma versão da letra grega
epsílon e está consagrado em toda matemática
como símbolo indicativo de pertinência.
Para indicarmos que um elemento x não
pertence ao conjunto A, indicamos:
x ∉A
t
PV-13-11
50

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
Exemplo
A = {a; e; i; o; u}
A letra a pertence ao conjunto A: a ∈ A.
A letra c não pertence ao conjunto A: c ∉ A.
4. Relação de inclusão
Dizemos que o conjunto A está contido no
conjunto B se todo elemento que pertencer
a A pertencer também a B. Indicamos que o
conjunto A está contido em B por meio da seguinte
simbologia:
A ⊂ B (lê-se: A contido em B.)
Observação: Há também a notação:
B ⊃ A (lê-se: B contém A.)
O conjunto A não está contido em B quando
existe pelo menos um elemento de A que não
pertence a B. Indicamos que o conjunto A não
está contido em B dessa maneira:
A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B)
B
A
B
A
B
Observação: A é subconjunto de A, para todo
conjunto A.
Importante – A relação de pertinência relaciona
um elemento a um conjunto e a relação de
inclusão refere-se sempre a dois conjuntos.
Falso: a ⊂ {a; e; i; o; u}
{a} ∈ {a; e; i; o; u}
Verdadeiro: a ∈ {a; e; i; o; u}
{a} ⊂ {a ; e; i; o; u}
{a} ∈ {{a} ; e; i; o; u}
{a} ⊄ {{a} ; e; i; o; u}
A
B
A
B
B
A
A
Podemos notar que existe uma diferença entre
a e {a}. O primeiro é o elemento a, e o segundo
é o conjunto formado pelo elemento a.
Um conjunto pode ser um elemento de um
outro conjunto. No exemplo {{a} ; e; i; o; u},
um dos elementos é o conjunto {a}.
Uma cidade é um conjunto de pessoas que
representam os moradores da cidade, porém
uma cidade é um elemento do conjunto de
cidades que formam um Estado.
5. Conjuntos especiais
A. Conjunto unitário
Chamamos de conjunto unitário aquele formado
por um só elemento.
Exemplo
Conjunto dos satélites naturais da Terra:
{LUA}
B. Conjunto vazio
Chamamos de conjunto vazio aquele formado
por nenhum elemento. Obtemos um conjunto
vazio considerando um conjunto formado por
elementos que admitem uma propriedade impossível.
O conjunto vazio pode ser representado pela
letra norueguesa ∅ ou pelo símbolo { }.
Não podemos confundir as duas notações representando
o conjunto vazio por {∅}, pois estaríamos
apresentando um conjunto unitário
cujo elemento é ∅.
O conjunto vazio está contido em qualquer
conjunto e, por isso, é considerado subconjunto
de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
Demonstração
Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja
contido num dado conjunto A. Nesse caso,
existe um elemento x que pertence ao conjunto
vazio e que não pertence ao conjunto A, o
que é um absurdo, pois o conjunto vazio não
tem elemento algum. Conclusão: o conjunto
vazio está contido no conjunto A, qualquer
que seja A.
51

Matemática
Matemática básica
6. Conjunto universo
Quando desenvolvemos um determinado assunto
dentro da matemática, precisamos admitir
um conjunto ao qual pertencem os elementos
que desejamos utilizar. Esse conjunto
é chamado de conjunto universo e é representado
pela letra maiúscula U.
Uma determinada equação pode ter diversos
conjuntos solução de acordo com o conjunto
universo que for estabelecido.
Exemplos
a. A equação 2x 3 – 5x 2 – 4x + 3 = 0 apresenta:
1
S =
{
1 3
2
, –
} , se U =
S = {–1, 3} se U = ¢
S = {3} se U =
7. Conjunto de partes
Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto
de partes, representado por P(A), é o
conjunto formado por todos os subconjuntos
do conjunto A.
A. Determinação do
conjunto de partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o
procedimento que se deve adotar para a determinação
do conjunto de partes de um dado
conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para
obtermos o conjunto de partes do conjunto A,
basta escrevermos todos os seus subconjuntos:
1º) Subconjunto vazio: ∅, pois o conjunto
vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2º) Subconjuntos com um elemento: {2},
{3}, {5}.
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3},
{2, 5} e {3, 5}.
4º) Subconjuntos com três elementos:
A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto
dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes do conjunto A
pode ser apresentado da seguinte forma: P(A)
= {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.
B. Número de elementos
do conjunto de partes
Podemos determinar o número de elementos
do conjunto de partes de um conjunto A dado,
ou seja, o número de subconjuntos do referido
conjunto, sem que haja necessidade de escrever
todos os elementos do conjunto P (A).
Para isso, basta partirmos da ideia de que cada
elemento do conjunto A tem duas opções na
formação dos subconjuntos: ou o elemento
pertence ao subconjunto ou ele não pertence
ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo
das regras de contagem, se cada elemento
apresenta duas opções, teremos:
n[P(A)] = 2 n(A)
Observemos o exemplo anterior: o conjunto
A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto,
é de se supor, pelo uso da relação apresentada,
que n [P (A)] = 2 3 = 8, o que de fato
ocorreu.
8. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se,
eles possuírem os mesmos elementos, em
qualquer ordem e independentemente do número
de vezes que cada elemento se apresenta.
Vejamos os exemplos:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Observação
Se o conjunto A está contido em B (A ⊂ B) e B
está contido em A (B ⊂ A), podemos afirmar
que A = B.
9. Operações com conjuntos
A. União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a união
dos conjuntos A e B, de notação A ∪ B (lê-se: A
união B), é o conjunto formado pelos elementos
que pertencem a A ou B. Podemos representar
a união de dois conjuntos pela seguinte
sentença:
A ∪ B = {x l x ∈ A ou x ∈ B}
PV-13-11
52

Matemática básica
Matemática
Graficamente, temos:
Graficamente, temos:
A
B
A
B
A
B
A
B
A ∪ B
A ∪ B
–
–
A
B
A
B
A ∪ B
B. Intersecção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a
intersecção dos conjuntos A e B, de notação
A ∩ B (lê-se: A intersecção B), é o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a A e a
B. Podemos representar a intersecção de dois
conjuntos pela seguinte sentença:
A ∩ B = {x / x ∈A e x ∈ B}
D. Conjunto complementar
Quando dois conjuntos A e B são de tal maneira
que B está contido em A (B ⊂ A), dizemos
que a diferença A – B é o conjunto complementar
de B em relação a A, cuja representação
podemos ver a seguir:
B
C A = A – B
Graficamente, temos:
–
Graficamente, temos:
A
B
B
A
A
B
A
B
Exemplo
PV-13-11
A
B
∅
Dados A = {0, 1, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {4, 5}
e D = {5, 6, 7}, calcule:
a. (A ∪ C) ∩ B
b. (B ∩ C) ∪ D
c. (B – A) ∩ C
d. C C B
U (A ∩ B)
Resolução
C. Diferença de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, dizemos que a diferença
dos conjuntos A e B, nessa ordem e com
notação A – B (lê-se: A menos B), é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A
e não pertencem a B. Podemos representar a
diferença de dois conjuntos por meio da seguinte
sentença:
A – B = {x l x ∈ A e x ∉ B}
a. (A ∪C) B = {0, 1, 3, 4, 5} {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5}
b. (B C) D = {4, 5} {5, 6, 7} = {4, 5, 6, 7}
c. (B – A) C = {2, 5} {4, 5} = {5}
d. (A B) = {2, 3} {3, 4}
C
B
= {2, 3, 4}
53

Matemática
Matemática básica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
De acordo com a figura, classifique com V ou F
cada uma das afirmações.
C
a. A ∈ r
b. A ⊂ r
c. {A} ⊂ r
d. AB ∈ r
e. AB ⊂ r
f. DE ⊂ AE
g. A ∈ AC
h. A ⊂ AC
A
Resolução
a. V, pois A é ponto de r.
b. F, pois a relação ⊂ só é usada entre subconjunto
e conjunto, e não entre elemento e
conjunto.
c. V, pois o ponto A é elemento da reta r.
d. F, pois AB não é elemento de r, mas sim
subconjunto de r.
e. V, pois todo ponto da semirreta AB é elemento
de r.
f. V, pois todo ponto DE também é ponto de
AE . Logo, a relação ⊂ está correta.
g. V, pois A é o ponto AC .
h. F, pois a relação ⊂ só é usada entre subconjunto
e conjunto, e não entre elemento e
conjunto.
02. Vunesp
Suponhamos que:
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
A ∩ B = {d, e}
A – B = {a, b, c}
D
B
E
r
s
Então:
a. B = {f, g, h}
b. B = {d, e, f, g, h}
c. B = {a, b, c, d, e}
d. B = {d, e}
e. B = ∅
Resolução
A
b
B = {d, e, f, g, h}
03. UFC-CE
a
c
d
e
Se um conjunto A possui n elementos, então
o conjunto P(A), das partes de A, possui 2 n
elementos. Qual é o número de elementos do
conjunto das partes de P(A)?
a. 2 n
b. 4 n
c. 2 2n
d. 8 n
e. 16 n
Resolução
n = 1 P(A) = 2 1 = 2
nº de elementos do conjunto das partes de
P(A) = 22 1 = 4
n = 2 P(A) = 2 2 = 4
nº de elementos do conjunto das partes de
P(A) = 22 2 = 16
.
.
.
n = n P(A) = 2 n
nº de elementos do conjunto das partes de
P(A) = 2 2n
Resposta
C
f
h
g
B
PV-13-11
54

Matemática básica
Matemática
10. Número de elementos da união
e da intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, como vemos na
figura abaixo, podemos estabelecer uma relação
entre os respectivos números de elementos.
A
A
B
B
Observações
1ª) Se os conjuntos A e B forem disjuntos
ou mesmo se um deles estiver contido
no outro, ainda assim a relação dada
será verdadeira.
2ª) Podemos ampliar a relação do número
de elementos para três ou mais conjuntos
com a mesma eficiência.
Observe o diagrama e comprove.
A
B
A B C
A
B
n (A ∪ B) = n (A) + n(B) – n (A ∩ B)
Note que ao subtrairmos os elementos comuns
(n (A ∩ B)), evitamos que eles sejam
contados duas vezes.
A C B C
C
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) –
– n (A ∩ C) – n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
PV-13-11
01.
A e B são dois conjuntos tais que 13 elementos
pertencem a A e não pertencem a B; 13 elementos
pertencem a B e não pertencem a A e
39 elementos pertencem a A ou B. O número
de elementos que pertencem a a e a B é:
a. 0
b. 13
c. 39
d. 26
e. 23
Resolução
Fazendo um esquema:
A
B
13 x 13
n (A) = 13 + x n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
n (B) = 13 + x 39 = 13 + x + 13 + x – x
n (A ∪ B) = 39 39 = 26 + x
x = 39 – 26
x = 13
Resposta
B
02. FVG-SP
Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários
a respeito de três embalagens, A, B e
C, para o lançamento de um novo produto. O
resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem
A; 120 indicaram a embalagem B; 90
indicaram a embalagem C; 30 indicaram as
embalagens A e B; 40 indicaram as embalagens
A e C; 50 indicaram as embalagens B e C;
e 10 indicaram as 3 embalagens.
Pergunta-se:
a. quantas pessoas indicaram apenas a
embalagem A?
b. quantas pessoas indicaram as embalagens
A ou B?
c. quantas não indicaram a embalagem C?
d. quantas não tinham preferência por
nenhuma das três embalagens?
Resolução
Usaremos os diagramas para resolver.
Vamos começar por A ∩ B ∩ C, que tem 10
elementos.
55

Matemática
Matemática básica
A
B
Da mesma forma, completamos os conjuntos
A, B e C; veja que 40 pessoas não têm preferência
alguma.
10
A
B
U
C
Para n (A ∩ B) e já colocamos 10, restam 20
elementos para completar a região A ∩ B; para
completar (A ∩ C), faltam 30 e, para completar
(B ∩ C), faltam 40.
A
20
C
B
10
30 40
100 20 50
10
30 40
10
C
Agora, consultando o diagrama final, podemos
responder às questões.
a. 100 pessoas indicaram apenas a embalagem
A;
b. 100 + 30 + 10 + 20 + 50 + 40 = 250 indicaram
as embalagens A ou B;
c. 100 + 20 + 50 + 40 = 210 não indicaram a
embalagem C;
d. 40 pessoas não tinham preferência por
nenhuma embalagem.
40
11. Conjuntos numéricos
• Conjunto dos números naturais:
= {0, 1, 2, 3, ...}
• Conjunto dos números inteiros:
¢ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
• Conjunto dos números inteiros não negativos
¢ + = {0, 1, 2, 3, ...} =
Vamos convencionar que qualquer conjunto numérico que, em sua representação, tiver acrescentado
o símbolo * (asterisco) ficará sem o elemento 0 (zero). Assim:
PV-13-11
* = {1, 2, 3, 4, ...}
¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
• Conjunto dos números racionais:
⎧
p
⎫
Q = ⎨
x x
=
, onde
p
∈
Z e
q
∈
Z
*
⎬
⎩ q
⎭
56

Matemática básica
Matemática
PV-13-11
Com relação aos números racionais, eles podem
ser encontrados de três maneiras: número
inteiro ou número decimal exato ou número
decimal periódico (dízimas periódicas).
Os números que não podem ser colocados na
forma de fração com numerador inteiro e denominador
inteiro não nulo são chamados de
números irracionais.
5
Exemplos: 2, p,
7
• Conjunto dos números reais:
= {x / x é racional ou x é irracional}
Os números reais podem ser associados
biunivoca men te com cada ponto de uma reta,
estabelecendo o que nós chamaremos de reta
real ou eixo real.
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Origem
A partir dessa representação gráfica, iremos
observar algumas propriedades importantes
dos números reais.
O eixo real apresenta uma ordenação dos números
de tal maneira que qualquer número colocado à
direita de um outro será maior que este outro.
a
b > a
Numa comparação entre números reais representados
no eixo real, podemos estabelecer
subconjuntos de extrema importância e que
serão chamados de intervalos reais, cuja
representação vamos estudar a seguir:
a
a
a
a
b
b
b
b
x
x
x
a < x < b ] a, b [ ( a,b )
a ≤ x ≤ b [ a, b ] [ a, b ]
a < x ≤ b ] a, b ] ( a, b ]
x x > a ] a, +∞ [ ( a, + ∞ )
x
x ≤ b ] –∞, b ] ( – ∞, b ]
Podemos “explicar” o aparecimento dos conjuntos
numéricos através da necessidade que
a Matemática manifestava em apresentar
b
resultados que os conjuntos numéricos existentes
até então não forneciam. A partir dos
conjuntos dos números naturais, operações
como, por exemplo, a subtração 5 – 8 só puderam
apresentar um resultado com o aparecimento
do conjunto dos números inteiros. A
divisão de número 8 por 3 só pode apresentar
resultado dentro do conjunto dos números racionais.
O cálculo da raiz quadrada do número
17, por exemplo, é um resultado possível
somente dentro do conjunto dos números
irracionais. Pela reunião do conjunto dos números
racionais com os números irracionais,
obtivemos o conjunto dos números reais. Por
mais amplo que possa parecer o conjunto dos
números reais, não foi suficiente para cumprir
todas as exigências quanto a esgotar as necessidades
de resultados possíveis dentro da
Matemática. Algumas operações matemáticas
só puderam apresentar resultados dentro do
conjunto dos números complexos.
Irracionais
12. Operações com intervalos
Vejamos com exemplos:
1º) Dados A = [0, 3] e B = [1, 5[, calcule:
a. A ∪ B
b. A ∩ B
c. B – A
Resolução
0 1 3 5
A ∪ B = [0, 5[ = {x ∈ l 0 ≤ x < 5}
A ∩ B = [1, 3] = {x ∈ l 1 ≤ x ≤ 3}
B – A = [0,1 [ = {x ∈ l 0 ≤ x < 1}
A
B
A
A
B
B
A – B
57

Matemática
Matemática básica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Unisinos-RS
Chama-se conjunto dos números racionais o
conjunto:
a. { x x ∈
}
a
b. { b a ∈ , b ∈
}
e b ≠ 0
a
c. { b a ∈ ,
}
b ∈
{ }
d. x ∈ R x = a, a ∈
a
e. { b a ∈ , b ∈
}
e b ≠ 0
Resolução
Número racional é aquele que pode ser expresso
na forma de uma fração com numerador
inteiro e denominador inteiro e diferente
de zero, como na forma descrita na alternativa B.
Resposta
B
02. PUC-MG
Quatro intervalos reais, A, B, C e D, são tais
que:
x ∈A ⇔ −10 ≤ x ≤ 10
x ∈B ⇔ 0 < x ≤ 5
x ∈C ⇔ −3 ≤ x < 2
D = B − C
Sendo D o complementar de D em relação ao
conjunto A, então:
a. x ∈D ⇔ −10 ≤ x < 2 ou 2 < x ≤ 10
b. x ∈D ⇔ −10 ≤ x < − 3 ou 5 < x ≤ 10
c. x ∈D ⇔ −10 ≤ x ≤ 0 ou 2 < x ≤ 10
d. x ∈D ⇔ −10 ≤ x ≤ 2 ou 2 ≤ x ≤ 10
e. x ∈D ⇔ −10 ≤ x < 2 ou 5 < x ≤ 10
Resolução
0
5
B:
–3
C:
2
2 5
B – C = D :
D = C
D= A − D
A
–10
B:
D:
2 5
10
–10 2 5 10
D:
{ < < ≤ }
D = x ∈R − 10 ≤ x 2 ou 5 x 10
Resposta
E
PV-13-11
58

Exercícios Propostos

Matemática básica
Matemática
Capítulo 01
PV-13-14
01.
Calcule:
02.
a. 2 3 f. (– 2) 4
b. 3 5 g. – 2 4
c. 0 6 h. (– 1) 41
d. 1 n , n ∈ i. (– 6) 1
e. 2 4 j. 23 0
Se (x –1 + y –1 ) –1 = 2, então y é igual a:
a.
x
1 - 2x
b. - -
x
1 2x
c.
2x
x - 2
d. x - 2
2x
e.
x
1+ x
03. UEL-PR
Simplificando-se a expressão:
3−n 2−n 1−n
3 + 3 ⋅ 3 − 9 ⋅ 3
a. 1 6
9 ⋅ 3
b. 1 3
2−n
c. 6 · 3 n – 1
d. 1 – 3 1 – n
e. –3 n + 1
para n ∈ , obtém-se:
04. Mackenzie-SP
O número de algarismos do produto 5 15 · 4 6 é:
a. 21
b. 15
c. 18
d. 17
e. 23
05. Mackenzie-SP
98 50 34
A fração 2 + 4 − 8
2 − 32 + 2
a. 1
b. - 11 6
c. 2
d. - 5 2
e. 7 4
99 20 101
é igual a:
06. Vunesp
Considere as sequências (a n ) e (b n ) definidas
por a n + 1 = 2 n e b n + 1 = 3 n , n ≠ 0. Então, o valor
de a 11 · b 6 é:
a. 2 11 · 3 6
b. (12) 5
c. 5 15
d. 6 15
e. 6 30
07. UFRN
A acidez de uma solução depende da sua concentração
de íons hidrogênio [H + ]. Tal acidez
é medida por uma grandeza denominada pH,
expressa em escala logarítmica de base 10 –1 .
Assim, quando dizemos que o pH de uma solução
é x, isso significa que a concentração de
íons hidrogênio é 10 –x mol/L. O pH do café é 5
e o do leite de magnésia é 10.
Podemos dizer que o café, em relação ao leite
de magnésia, apresenta uma concentração
de íons hidrogênio:
a. 100 vezes maior.
b. 1.000 vezes maior.
c. 10.000 vezes maior.
d. 100.000 vezes maior.
08. ENEM
Dados divulgados pelo Instituto Nacional de
Pesquisas Espaciais mostraram o processo de
devastação sofrido pela Região Amazônica
61

Matemática
Matemática básica
entre agosto de 1999 e agosto de 2000. Analisando
fotos de satélites, os especialistas concluíram
que, nesse período, sumiu do mapa
um total de 20.000 quilômetros quadrados
de floresta. Um órgão de imprensa noticiou o
fato com o seguinte texto:
O assustador ritmo de destruição é de um
campo de futebol a cada oito segundos.
Considerando que um ano tem aproximadamente
32 · 10 6 s (trinta e dois milhões
de segundos) e que a medida da área
oficial de um campo de futebol é aproximadamente
10 –2 km 2 (um centésimo de
quilômetro quadrado), as informações
apresentadas nessa notícia permitem concluir
que tal ritmo de desmatamento, em
um ano, implica a destruição de uma área
de:
a. 10.000 km 2 , e a comparação dá a ideia
de que a devastação não é tão grave
quanto o dado numérico nos indica.
b. 10.000 km 2 , e a comparação dá a ideia
de que a devastação é mais grave do
que o dado numérico nos indica.
c. 20.000 km 2 , e a comparação retrata
exatamente o ritmo da destruição.
d. 40.000 km 2 , e o autor da notícia exagerou
na comparação, dando a falsa impressão
de gravidade a um fenômeno
natural.
e. 40.000 km 2 e, ao chamar a atenção
para um fato realmente grave, o autor
da notícia exagerou na comparação.
09.
Dê o valor de:
a. 121
b.
c.
d.
e.
3
4
3
1
8
625
-27
0
10. ESA-RJ
Simplificando 2 8 − 4 18 + 32 , obtemos:
a. + 2
b. - 8
c. + 8
d. -4 2
e. -2 2
⎞
⎟ ,encontrare-
⎠
11. EFOA-MG
⎛
Calculando ⎜a ·
mos: ⎝
a a a
12.
a. 1
6
a
b. 4 · a –1
c. a –1
8
d. a
e. a -1
−1 −1 −1
Forme uma sucessão decrescente com os números
reais , e 2.
13.
Calcule:
3 4
a. 2 · 3
3
b. 16
4 32
14. CPCAR
A diferença 8 0,666... – 9 0,5 é igual a:
a. –2
b. 2 –3
c. –2 2
d. 1
15. UPF-RS
Sendo
, então A –1 vale:
PV-13-14
f.
g.
h.
2,
25
0,
04
3
0,
008
a. 4 d. 1 8
b. 8 e. 14
c. 1 4
62

Matemática básica
Matemática
16. Fuvest-SP
3
2 + 2
10
28 30
8
a. 2 5
2
b. 2 6
c. 2 8
=
d. 2 9
17. Fuvest-SP
a. Qual a metade de 2 22 ?
b. Calcule 8 2 3 + 90,5 .
18. CPCAR
1
3
58
⎛
e. 2 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
Ao se resolver a expressão numérica:
⎡
−6
( 25 · 10 ) · 0,
000075 ⎤ ⎡ 3
5 1,
5 ⎤
3
0
⎢
⎥ : ⎢ · ( 0, 0010)
4 ⎥ − ,
⎣⎢
10
⎦⎥
⎣ 10 ⎦
o valor encontrado é:
3
a. 2
c. 423.000
d. 439.000
e. 441.000
21.
Racionalize os denominadores e simplifique,
se possível, as frações.
a.
b.
c.
22. UEPB
1
3
10
5
7
8
d.
e.
3
5
5
2 + 1
2 − 1
Calculando o valor de 9 –0,333 ..., obtemos:
a.
b.
PV-13-14
3
b. 3
c. 1
d. 0,1
19. Unesp
Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente
a área, em metros quadrados, da
superfície corporal de uma pessoa, é dada por:
11 2
3
S(p) = · p , em que p é a massa da pessoa
100
em quilogramas.
Considere uma criança de 8 kg. Determine:
a. a área da superfície corporal da criança;
b. a massa que a criança terá quando a
área de sua superfície corporal duplicar.
(Use a aproximação 2 = 1,4.)
20. Uneb-BA
A expressão P(t) = k · 2 0,05t fornece o número P
de milhares de habitantes de uma cidade, em
função do tempo t em anos. Se em 1990 essa
cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes,
aproximadamente, espera-se que ela
tenha no ano de 2000?
a. 325.000
b. 401.000
c.
d.
e.
23. Fuvest-SP
O valor da expressão é:
a. 2
1
b.
2
c. 2
d. 1 2
e. 2 + 1
24. Fuvest-SP
2 2
-
5 - 3 3 é igual a:
2
a. 5 +
3
3 + 4
b. 5 + 3 - 3 2
c. 5 - 3 - 3 2
d. 5 + 3 - 3 4
e. 5 - 3 - 3 4
63

Matemática
Matemática básica
25. ESPM-SP
O valor da expressão 2 − 1 2 1
2 + 1
− + é igual a:
2 − 1
a. 2 2
b. - 2 2
c. 0
d. 4 2
e. - 4 2
26. Uespi
A expressão 7 + 1 7 1
7 − 1
+ − , na forma racionalizada,
é igual
7 + 1
a:
27.
a. 8 3
b. 8 5
c. 1
d. 8 7
e. 8 11
a. Racionalize os denominadores das frações:
29. UFV-MG
7
A expressão
, em que a é um número
positivo, equivale a:
7 + a − a
a. 7
b. 7 + a + a
c. 7
7
d.
7
e. 1
30. FGV-SP
A expressão 3 5 − 2 13 é igual a:
7 5 + 3 13
a. - 1
15
b.
c.
5 65 - 2 13
3
183 - 23 65
128
d. - 7
128
e. 1
31. Inatel-MG
A expressão
30
5 - 3 - 2
é equivalente a:
a.
5 + 10 + 15
2
N
b. - 5 - 10 - 15
2
b. Calcule o valor de:
c. 5 + 25 −
2
28. Cesgranrio-RJ
Sendo x > 0, com denominador racionalizado,
a razão
a. 2x + 1
1
b.
2
x + x
x
c.
2x
+ 1
torna-se:
x
d.
2x
+ 1
2
e. x + x − x
d. 10 + 5
2
e. 10 + 6
3
32. Unifor-CE
Simplificando-se ,
obtém-se:
a. d.
b. e. 6
c.
PV-13-14
64

Matemática básica
Matemática
33. UFC
Seja A =
igual a:
a. –2 2
b. 3 2
c. –2 3
d. 3 3
e. 2 3
1
e B =
3 + 2
1
, então, A + B é
3 − 2
34. UFMG-modificado
A expressão a − 1
a − 1
9 3 2
2
· ( ) ⎛ 1⎞
: −
2
− a ⎝
⎜
a⎠
⎟ , com a ≠ 0, é
equivalente a:
a. 9
-a 5
b. 9
a 5
c. 9
-a 7
37. UNB-DF
1
1 5 + 8
Se P = , Q = , R = ,
7 − 5 8 − 5 3
então:
a. P < Q < R
b. P < Q, Q < R
c. P > Q > R
d. P > Q = R
e. Q > P = R
38. CPCAR
O inverso de
igual a:
a.
b.
6
3
xy
y
5
2
x y
x
x x
3 , com x > 0 e y > 0, é
y y
c.
6
yx
x
5
2
3
d. xy
y
PV-13-14
d. 9
a 7
9
e. - a a
35. Mackenzie-SP
1
A expressão −
1 − 2
a. 2
b. –2
c. 2
2
d. 2( 2 + 1)
e. –2 2
1
é igual a:
2 + 1
36. PUC-MG
2
Se x =
3 +2 2 e y = 56
, então x + y é igual
a:
4 - 2
a. 22
b. 22 2
c. 8 2
d. 22 + 8 2
e. 160 + 4 2
39. Fuvest-SP
Qual é o valor da expressão 3 + 1 +
3 − 1
a. 3
b. 4
c. 3
d. 2
e. 2
3 − 1
3 + 1
?
40. Unifesp
Se 0 < a < b, racionalizando o denominador,
tem-se que:
1 b − a
=
a + b b − a
Assim, o valor da soma:
1
1 + 2 + 1
2 + 3 + 1
3 + 4 + ... + 1
999 + 1.000 é:
a. 10 10 -1
b. 10 10
c. 99
d. 100
e. 101
65

Matemática
Matemática básica
Capítulo 02
41.
Desenvolva os produtos notáveis:
a. (2x + 3y) 2
b. (5x – 2y) 2
c. (3a 2 – b) 2
42.
Desenvolva os produtos notáveis:
a. (x - 2y)(x + 2y)
b. (a 3 - 2b)(a 3 + 2b)
c. (2xy + z 2 )(2xy - z 2 )
43.
Desenvolva os produtos notáveis:
a. (x + 2y) 3
b. (2x – y) 3
c. (2x – 2y) 3
44.
Desenvolva os produtos notáveis:
⎛ 1 ⎞⎛
1 ⎞
a. ⎜ x + x
⎝ x
⎟⎜
−
⎠⎝
x
⎟
⎠
⎛ x y ⎞⎛
x y ⎞
b. ⎜ + ⎟⎜
− ⎟
⎝ y x ⎠⎝
y x ⎠
45. ETF-RJ
Qual a expressão que deve ser somada a
x 2 – 6x + 5 para que resulte o quadrado de (x – 3)?
a. 3x
b. 4x
c. 3
d. 4
e. 3x + 4x
46.
Sendo x + y = 4 e x · y = 5, então x 2 + y 2 é igual a:
a. 6
b. 4
c. – 6
d. 10
e. – 1
47.
Sendo x 2 + y 2 = 65 e x · y = 28, então x + y é
igual a:
a. ± 5
b. ± 7
c. ± 9
d. ± 11
e. ± 13
48. ESPM-SP
A expressão (a + b + c) 2 é igual a:
a. a 2 + 2ab + b 2 + c 2
b. a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
c. a 2 + b 2 + c 2 + 2abc
d. a 2 + b 2 + c 2 + 4abc
e. a 2 + 2ab + b 2 + 2bc + c 2
49. Ibmec-SP
A diferença entre o quadrado da soma e o
quadrado da diferença de dois números reais
é igual:
a. à diferença dos quadrados dos dois números.
b. à soma dos quadrados dos dois números.
c. à diferença dos dois números.
d. ao dobro do produto dos números.
e. ao quádruplo do produto dos números.
50. FCC-SP
A expressão que deve ser somada a
a 2 + 6a 2 b 2 – 12a 2 b para que resulte o quadrado
de 2a – 3ab é:
a. 3a 2 + 3a 2 b 2
b. a 2 – 9a 2 b 2 + 12a 2 b
c. – 3a 2 – 3a 2 b 2
d. 3a 2 + 3a 2 b 2 + 24a 2 b
e. 3a 2 – 3a 2 b 2 + 24a 2 b
51. 1
Sendo x + = t , obter em função de t o valor
de: x
2 1
a. x +
2
x
3 3
b. x + x
−
c. x 3 + x – 3
PV-13-14
66

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
52.
( x + y) 2 − ( x − y)
2
Sendo E =
, calcule o valor da
( 2xy)
2
expressão E + 1, sabendo que x – 1 · y – 1 é 2.
53.
2 2
⎛ 1 ⎞
Sendo A = ⎜x+
e B x
⎝ ⎠
⎟ = ⎛
⎜
⎝
− 1 ⎞
⎟ , calcule
2
x ⎠
(A + B) 2 .
54. ESPM
Sabendo-se que x + y –1 = 7 e que x = 4y, o valor
da expressão x 2 + y – 2 é igual a:
a. 49
b. 47
c. 45
d. 43
e. 41
55. Fuvest-SP
Se x + 1 = b calcule x +
1 2
, em função de b.
2
x
x
56. FATEC-SP
Efetuando-se (579.865) 2 – (579.863) 2 , obtêm-se:
a. 4
b. 2.319.456
c. 2.319.448
d. 2.086.246
e. 1.159.728
57.
Num paralelepípedo retângulo de dimensões
a, b e c, sabe-se que a área total S e a diagonal
d são dadas pelas fórmulas:
S = 2ab + 2ac + 2bc
2 2 2
d = a + b + c
Dado um paralelepípedo retângulo com S = 108
e d = 6, obtenha a + b + c.
58. Fuvest-SP
A diferença entre o cubo da soma de dois números
inteiros e a soma de seus cubos pode
ser:
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
59. UFPR
Se 2 x + 2 –x = 3, o valor de 8 x + 8 –x é:
a. 12
b. 18
c. 21
d. 24
e. 28
60.
Sendo E 2 = 1 + 1.155 · 1.157 com E > 0, então:
a. E = 26
b. E = 28
c. E = 32
d. E = 34
e. E = 36
67

Matemática
Matemática básica
Capítulo 03
61.
Simplificar a expressão x 2 xy y 2
+ 2 +
, supon-
2 2
x − y
do seu denominador diferente de zero.
62.
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: 25x 2 + 70x + 49
b. Fatorar: x 2 – 2x + 1
c. Fatorar: a 3 – 10a 2 + 25a
d. Calcular: 2.499 2
63. FEBA
Sabe-se que a + b = ab = 10. Então, o valor de
a b
+ é:
b a
a. 2
b. 4
c. 8
d. 16
e. 20
64. Fameca-SP
Dado que x = a + x –1 , a expressão x 2 + x –2 é igual
a:
a. a 2 + 2
b. 2a + 1
c. a 2 + 1
d. 2a – 1
e. a 2
65.
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: a 3 – 8
b. Fatorar: x 3 + 1
c. Fatorar: x 3 + 2x 2 + 2x + 1
66.
Resolva os itens a seguir:
a. a 3
- 1
2
a - 1
3 3
m + n
b.
3 2 2
m − m n + mn
c. x 3 x 2 y xy 2 y 3
+ 3 + 3 + x + 2xy + y
:
3 3
2 2
x + y x − xy + y
2 2
67.
Sabendo-se que a + 1 = 3, calcular o valor de
a
a 3 + 1 3
a .
68.
Fatore as expressões.
a. x 4 – y 4
b. (a + b) 2 – c 2
c. 4a 2 – 49b 2m
d. (x + 3) 2 – (3x – 4) 2
69.
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: x 2 + 2y 2 + 3xy + x + y
b. Fatorar: 4a 2 – 9b 2
c. Fatorar: (x + y) 2 – (x – y) 2
d. Fatorar: x 4 – y 4
e. Calcular: 2.501 · 2.499
70.
Resolva os itens a seguir:
a. Fatorar: 6a 4 b 2 c + 8a 3 b 5 – 12ab 3 c 2
b. Fatorar: (a + b) · x + 2 · (a + b)
c. Fatorar: 2x + ax + 2y + ay
d. Fatorar: x 3 + x 2 – 3x – 3
e. Fatorar: x 2 – 5x + 6
71. PUC-MG
A diferença entre os quadrados de dois números
ímpares, positivos e consecutivos é 40. Esses
números pertencem ao intervalo:
a. [3, 9]
b. [4, 10]
c. [8, 14]
d. [10, 15]
e. [11, 14]
PV-13-14
68

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
72. UEFS-BA
Simplificando a expressão
2
2 2
x + xy x −y
, obtém-se:
·
2 2 2
xy −y
x + y + 2xy
a.
1
d. x 2
2 2
x + y
2y
b.
c.
1
2 2
x + y + 3xy
+ x
x + y + xy
2x
2
2 2
73. Fatec-SP
O valor da expressão
, é:
a.
b.
c. 2
d. – 0,75
e.
e. x y
, para
74. Unifor-CE
A expressão 2 2
x + x + 3 x 2
com x 1
2
x + 2x
+ 1
− +
, ≠ − ,
x + 1
é equivalente a:
2
⎛ x −1
⎞
a. ⎜ ⎟
⎝ x + 1 ⎠
x −1
b.
x + 1
c. 1
2
x + 4x
+ 5
d.
2
( x + 1)
x + 5
e.
x + 1
75. UFG-GO
Simplificando ( x y) 3 y( y x)
2
+ − 2 +
, temos:
2 2
x − y
a. ( y x)
2
+
x − y
b. x - y
c. x - y - 2x 2 y
d. x 2 y 2
+
x − y
e. x + y
76. UFU-MG
15 1
Sabendo-se que x + y = e x − y =
7 14 , qual é o
valor da expressão:
2 2 3 3
( x + xy + y )( x − y ) x − xy
E =
( x − y )( x + xy + y ) : ( 2
2
) ?
2 2 2 2
2x
a. 30 c. 60 e. 25
b. d.
77. UFPE
A diferença 55555 2 – 44444 2 não é igual a:
a. 9 · 11111 2
b. 99999 · 11111
c. 1111088889
d. 33333 2
e. 11110 · 88889
78. Fatec-SP
Se a, x, y e z são números reais tais que
2x − 2y+ ax−ay
2 + a
z =
: , então z é igual a:
3 2 2
a −a − a + 1 a − 1
a. x - y
d. x + y
a-1
a− 1
x-y
b.
e. ( x − y) · ( a + 1 )
2
a -1
a−
1
c. x + y
a+ 1
79. Unifesp
1 27
Se
3
x + x + 1
= 37
, então 1
é igual a:
3
x + x + 2
a. 27
84
b. 27
64
c. 27
38
d. 28
37
e. 64
27
80.
3 3
Prove que 20 + 14 2 + 20 − 14 2 é um
número racional.
69

Matemática
Matemática básica
Capítulo 04
81.
Calcule o valor de:
a. 0,1% de 460
82.
b. 125% de 540
Represente as porcentagens na forma decimal
e os decimais e frações na forma de porcentagem.
a. 64% d. 135%
83.
b. 142,7% e.
c. 0,37% f.
Se um em cada 320 habitantes de uma cidade
é engenheiro, então a porcentagem de engenheiros
nessa cidade é de:
a. 0,32%
b. 3,2%
c. 0,3125%
d. 0,3215%
e. 3,125%
84. UFV-MG
Observando a figura, podemos dizer que a razão
entre a área colorida e a área do triângulo
MNP é expressa, na forma percentual, por:
a. 37,5%
b. 37%
c. 63%
d. 53%
e. 62,5%
85. FGV
Se P é 30% de Q, Q é 20% de R e S é 50% de R,
então P é igual a:
S
3
a.
250
3
b.
25
c. 1
86. Unicamp-SP
Uma quantidade de 6.240 litros de água apresentava
um índice de salinidade de 12%. Devido
à evaporação, esse índice subiu para 18%.
Calcule, em litros, a quantidade de água que
evaporou.
87. Fuvest-SP
O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro.
A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O
salário de Antônio é:
a. R$ 5.500,00
b. R$ 45.000,00
c. R$ 4.000,00
d. R$ 4.500,00
e. R$ 3.500,00
88. Vunesp
Uma pesquisa realizada com pessoas com idade
maior ou igual a sessenta anos residentes
na cidade de São Paulo, publicada na revista
Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou
que, dentre os idosos que nunca frequentaram
a escola, 17% apresentam algum tipo de
problema cognitivo (perda de memória, de
raciocínio e de outras funções cerebrais). Se
dentre 2.000 idosos pesquisados, um em cada
cinco nunca foi à escola, o número de idosos
pesquisados nessa situação e que apresentam
algum tipo de problema cognitivo é:
a. 680
b. 400
c. 240
d. 168
e. 68
d.
e.
6
5
4
3
PV-13-14
70

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
89. Fuvest-SP
Num colégio com 1.000 alunos, 65% dos quais
são do sexo masculino, todos os estudantes
foram convidados a opinar sobre o novo plano
econômico do governo. Apurados os resultados,
verificou-se que 40% dos homens e 50%
das mulheres manifestaram-se favoravelmente
ao plano. A porcentagem de estudantes favoráveis
ao plano vale:
a. 43,5% d. 17,5%
b. 45% e. 26%
c. 90%
90. ENEM
O tabagismo (vício em fumo) é responsável
por uma grande quantidade de doenças e
mortes prematuras na atualidade. O Instituto
Nacional do Câncer divulgou que 90% dos
casos diagnosticados de câncer de pulmão e
80% dos casos diagnosticados de enfisema
pulmonar estão associados ao consumo de
tabaco. Paralelamente, foram mostrados os
resultados de uma pesquisa realizada em um
grupo de 2.000 pessoas com doenças de pulmão,
das quais 1.500 são casos diagnosticados
de câncer e 500 são casos diagnosticados de
enfisema.
Com base nessas informações, pode-se estimar
que o número de fumantes desse grupo
de 2.000 pessoas é, aproximadamente:
a. 740
b. 1.100
c. 1.310
d. 1.620
e. 1.750
91. Fuvest-SP
Um recipiente contém uma mistura de leite
natural e leite de soja num total de 200 litros,
dos quais 25% são de leite natural. Qual
a quantidade de leite de soja que deve ser
acrescentada a essa mistura para que venha a
conter 20% de leite natural?
92. Fuvest-SP
Um lote de livros foi impresso em duas gráficas,
A e B, sendo que A imprimiu 70% dos livros
e B, 30%. Sabe-se que 3% dos livros impressos
em A e 2% dos livros impressos em
B são defeituosos. Qual a porcentagem dos
livros defeituosos do lote?
93. Faap-SP
Em 20 kg de uma liga com 30% de cobre, quantos
quilos se deve acrescentar desse material
para que aquela porcentagem passe para
40%?
94.
Um negociante vendeu mercadorias compradas
a R$ 4.000,00 por R$ 5.000,00. De quantos
por cento foi seu lucro sobre o preço de compra
e sobre o preço de venda?
95. Fuvest-SP
Em uma prova de 25 questões, cada resposta
certa vale + 0,4 e cada resposta errada vale
– 0,1. Um aluno resolveu todas as questões e
teve nota 0,5. Qual a porcentagem de acertos
desse aluno?
a. 25%
b. 24%
c. 20%
d. 16%
e. 5%
96. ITA-SP
Certa liga contém 20% de cobre e 5% de estanho.
Quantos quilos de cobre e quantos quilos
de estanho devem ser adicionados a 100 quilos
dessa liga para a obtenção de uma outra
com 30% de cobre e 10% de estanho?
97. ENEM
As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais”
são produtos diferentes, comercializados
em embalagens quase idênticas. O consumidor,
para diferenciar um produto do outro, deve ler
com atenção os dizeres do rótulo, geralmente
em letras muito pequenas. As figuras que seguem
representam rótulos desses dois produtos.
Peso líquido 500 g
MARGARINA
65% de lipídeos
Valor energético por porção de 10 g: kcal
71

Matemática
Matemática básica
Peso líquido 500 g
CREME VEGETAL
35% de lipídeos
Valor energético por porção de 10 g: kcal
Uma função dos lipídios no preparo das massas
alimentícias é torná-las mais macias. Uma
pessoa que, por desatenção, use 200 g de
creme vegetal para preparar uma massa cuja
receita pede 200 g de margarina não obterá
a consistência desejada, pois estará utilizando
uma quantidade de lipídios que é, em relação
à recomendada, aproximadamente:
a. o triplo.
b. o dobro.
c. a metade.
d. um terço.
e. um quarto.
98.
Uma pessoa aplica 60% do seu capital a uma
taxa de 20% ao ano. A que taxa ao ano essa pessoa
deve aplicar a outra parte do seu capital
para que, após um ano, os montantes obtidos
sejam iguais?
a. 30% d. 80%
b. 40% e. 120%
c. 60%
99.
A União da Indústria de cana-de-açúcar,
Unica, quer retomar os 25% de etanol
anidro misturado na gasolina. Há dois
meses, o governo federal reduziu o nível
para 20% como uma forma de controlar a
escalada dos preços do etanol e evitar um
desabastecimento.
O Estado de S. Paulo, 14.12.2011.
Admita que certo tanque contenha 9.000 litros
de uma mistura combustível composta de 80%
de gasolina e 20% de etanol anidro. Para que
essa mistura passe a ter 25% de etanol anidro,
conforme desejo dos produtores, será necessário
adicionar à mistura original uma quantidade,
em litros, de etanol anidro igual a:
a. 600 d. 450
b. 550 e. 400
c. 500
100. ENEM
A eficiência de anúncios num painel eletrônico
localizado em uma certa avenida movimentada
foi avaliada por uma empresa. Os resultados
mostraram que, em média:
– passam, por dia, 30.000 motoristas em
frente ao painel eletrônico;
– 40% dos motoristas que passam observam
o painel;
– um mesmo motorista passa três vezes
por semana pelo local.
Segundo os dados acima, se um anúncio de
um produto ficar exposto durante sete dias
nesse painel, é esperado que o número mínimo
de motoristas diferentes que terão observado
o painel seja:
a. 15.000
b. 28.000
c. 42.000
d. 71.000
e. 84.000
101. Uneb-BA
O preço do cento de laranja sofreu dois aumentos
consecutivos de 10% e 20%, passando
a custar R$ 5,28. O preço do cento da laranja
antes dos aumentos era de:
a. R$ 4,00
b. R$ 3,80
c. R$ 3,70
d. R$ 4,40
e. R$ 4,20
102. Fafeod-MG
Um vendedor resolve aumentar o preço de
venda de um determinado produto em 30%.
Sabendo-se que o lucro do vendedor antes do
aumento era de 15% e que não houve alteração
no preço de custo, podemos afirmar que
após o aumento seu lucro é de:
a. 18%
b. 15%
c. 45%
d. 49,5%
e. 19,5%
PV-13-14
72

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
103. Fuvest-SP
A cada ano que passa, o valor de um carro diminui
30% em relação ao valor anterior. Se V
for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor
no oitavo ano será:
a. (0,7) 7 · V
b. (0,3) 7 · V
c. (0,7) 8 · V
d. (0,3) 8 · V
e. (0,3) 9 · V
104. Mackenzie-SP
Numa loja, um determinado produto de preço
p é posto em promoção, do tipo “leve 5 e
pague 3”. O desconto que a promoção oferece
sobre o preço p do produto é de:
a. 40%
b. 35%
c. 30%
d. 25%
e. 20%
105. UFG-GO
Uma empresa concedeu aumento de 8% a
seus funcionários. Após o aumento, um dos
funcionários passou a receber R$ 237,60. Qual
era o salário deste funcionário?
106. FGV-SP
Roberto Mathias investiu R$ 12.000,00 em
ações das empresas A e B. Na época da compra,
os preços unitários das ações eram R$ 20,00
para a empresa A e R$ 25,00 para a B.
Depois de algum tempo, o preço unitário de
A aumentou 200% e o de B aumentou apenas
10%. Nessa ocasião, o valor total das ações da
carteira era de R$ 17.000,00.
A diferença, em valor absoluto, entre as quantidades
de ações compradas de A e B foi de:
a. 200
b. 225
c. 300
d. 250
e. 275
107. UFMG
Um comerciante aumentou os preços de suas
mercadorias em 150%. Como a venda não estava
satisfatória, voltou aos preços praticados
antes do aumento. Em relação aos preços aumentados,
o percentual de redução foi de:
a. 0%
b. 60%
c. 75%
d. 100%
e. 150%
108. FGV-SP
Um lucro de 30% sobre o preço de venda de
uma mercadoria representa que porcentagem
sobre o preço de custo da mesma mercadoria?
a. 30%
b. 15%
c. 42,86%
d. 7,5%
e. 21,42%
109. Fuvest-SP
Um vendedor ambulante vende os seus produtos
com lucro de 50% sobre o preço de venda.
Então, o seu lucro sobre o preço de custo é
de:
a. 10%
b. 25%
c. 33,333...%
d. 100%
e. 120%
110. UERJ
Um trem transportava, em um de seus vagões,
um número inicial n de passageiros. Ao parar
em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram.
Em seguida, entraram nesse
vagão 20% da quantidade de passageiros que
nele permeneceu após o desembarque. Dessa
forma, o número final de passageiros no vagão
corresponde a 120.
Determine o valor de n.
73

Matemática
Matemática básica
111. Unesp
O lucro líquido mensal de um produtor rural
com a venda de leite é de R$ 2.580,00. O custo
de produção de cada litro de leite, vendido
por R$ 0,52, é de R$ 0,32. Para aumentar em
exatamente 30% o seu lucro líquido mensal,
considerando que os valores do custo de produção
e do lucro, por litro de leite, permaneçam
os mesmos, quantos litros a mais de leite
o produtor precisa vender mensalmente?
a. 16.770
b. 12.900
c. 5.700
d. 3.870
e. 3.270
112. Unifesp
André aplicou parte de seus R$ 10.000,00 a
1,6% ao mês, e o restante a 2% ao mês. No final
de um mês, recebeu um total de R$ 194,00
de juros das duas aplicações. O valor absoluto
da diferença entre os valores aplicados a 1,6%
e a 2% é:
a. R$ 4.000,00.
b. R$ 5.000,00.
c. R$ 6.000,00.
d. R$ 7.000,00.
e. R$ 8.000,00.
113. Fuvest-SP
Sobre o preço de um carro importado incide
um imposto de importação de 30%. Em função
disso, o seu preço para o importador é de
R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe
de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo
preço do carro para o importador?
a. R$ 22.500,00
b. R$ 24.000,00
c. R$ 25.350,00
d. R$ 31.200,00
e. R$ 39.000,00
114. Fuvest-SP
Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B,
sendo R$ 20,00 mais cara em B. Se a loja B oferecesse
um desconto de 10%, o preço nas duas
lojas seria o mesmo. Qual é o preço na loja A?
115. Uespi
Uma máquina que fazia 80 fotocópias por minuto
foi substituída por outra que é 30% mais
veloz. Quantas fotocópias a nova máquina faz,
em 30 segundos?
a. 48 d. 54
b. 50 e. 56
c. 52
116. Fuvest-SP
Um comerciante compra calças, camisas e
saias e as revende com lucro de 20%, 40% e
30%, respectivamente. O preço x que o comerciante
paga por uma calça é três vezes o que
ele paga por uma camisa e duas vezes o que
ele paga por uma saia. Certo dia, um cliente
comprou duas calças, duas camisas e duas
saias e obteve um desconto de 10% sobre o
preço total.
a. Quanto esse cliente pagou por sua
compra, em função de x?
b. Qual o lucro aproximado, em porcentagem,
obtido pelo comerciante nessa
venda?
117. Unifesp
Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida
em dólares e os 70% restantes em euros. Admitindo-se
uma valorização de 10% do dólar e
uma desvalorização de 2% do euro, ambas em
relação ao real, pode-se afirmar que o total da
dívida dessa empresa, em reais:
a. aumenta 8%.
b. aumenta 4,4%.
c. aumenta 1,6%.
d. diminui 1,4%.
e. diminui 7,6%.
118. FGV-SP
Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00
em dois pagamentos iguais, sem acréscimo,
sendo o 1º como entrada e o 2º, um mês após
a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um
desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A
taxa mensal de juros simples do financiamento
é, aproximadamente, igual a:
a. 8,7% d. 5,7%
b. 7,7% e. 4,7%
c. 6,7%
PV-13-14
74

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
119. Unesp
Suponhamos que, para uma dada eleição, uma
cidade tivesse 18.500 eleitores inscritos. Suponhamos
ainda que, para essa eleição, no caso
de se verificar um índice de abstenções de 6%
entre os homens e de 9% entre as mulheres,
o número de votantes do sexo masculino será
exatamente igual ao de votantes do sexo feminino.
Determine o número de eleitores inscritos de
cada sexo.
120. Fuvest-SP
O valor, em reais, de uma pedra semipreciosa
é sempre numericamente igual ao quadrado
de sua massa, em gramas. Infelizmente uma
dessa pedras, de 8 gramas, caiu e se partiu em
dois pedaços. O prejuízo foi o maior possível.
Em relação ao valor original, o prejuízo foi de:
a. 92%
b. 80%
c. 50%
d. 20%
e. 18%
121. UFPE
Se a liga A contém 25% de ouro e 75% de prata
e a liga B contém 55% de ouro e 45% de prata,
quantos gramas da liga A se deve misturar com
a liga B de modo a se obterem 120 g de uma liga
com a mesma concentração de ouro e prata?
122. Fuvest-SP
O preço de certa mercadoria sofre anualmente
um acréscimo de 100%. Supondo que o preço
atual seja R$ 100,00, daqui a três anos será:
a. R$ 300,00
b. R$ 400,00
c. R$ 600,00
d. R$ 800,00
e. R$ 1.000,00
123. Mackenzie-SP
Nos três primeiros trimestres de um ano, a
inflação foi, respectivamente, 5%, 4% e 6%.
Nessas condições, a inflação acumulada nesse
período foi:
a. 15%
b. 15,75%
c. 16%
d. 16,75%
e. 15,25%
124. FGV-SP
O salário de um gerente sofreu em março e
abril aumentos de 15% e 12%, respectivamente.
No mês de maio, esse gerente foi obrigado
a aceitar uma redução de 8% em seu salário
em função de mudança de emprego. O que
ocorreu com o salário desse gerente no trimestre?
a. Aumentou em aproximadamente 18,5%.
b. Aumentou em aproximadamente 28%.
c. Aumentou em aproximadamente 25%.
d. Aumentou em aproximadamente 21,5%.
e. Aumentou em aproximadamente 17%.
125. E.N.
Uma senhora extremamente gorda resolveu
fazer uma dieta e perdeu em três meses 30%
de seu peso; entretanto, nos três meses seguintes,
ela aumentou seu peso em 40%. No
decorrer desse semestre, o peso da senhora:
a. aumentou 16%.
b. aumentou 10%.
c. manteve seu valor inicial.
d. diminuiu 10%.
e. diminuiu 2%.
126. Unesp
Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros
compostos, pelo período de 10 meses e à taxa
de 2% a.m. (ao mês).
Considerando a aproximação (1,02) 5 = 1,1,
Cássia computou o valor aproximado do montante
a ser recebido ao final da aplicação. Esse
valor é:
a. R$ 18.750,00.
b. R$ 18.150,00.
c. R$ 17.250,00.
d. R$ 17.150,00.
e. R$ 16.500,00
127. FEI Modificado
Fiz a compra de um aparelho numa loja em
liquidação que dava 10% de desconto sobre
o preço de qualquer mercadoria. Estava para
75

Matemática
Matemática básica
pagar a conta, com o referido desconto, quando
encontrei na gerência um amigo de infância que,
em nome da velha amizade, deu-me um desconto
de 10% sobre o que estava prestes a pagar. Paguei,
então, a importância de R$ 810,00. Qual era
o preço inicial do aparelho?
a. R$ 830,00
b. R$ 900,00
c. R$ 1.000,00
d. R$ 1.110,00
e. R$ 1.200,00
128. Fatec-SP
Numa microempresa, consomem-se atualmente
X litros de combustível por dia. Para a
próxima semana, haverá um aumento de 5%
no preço do combustível. Com o objetivo de
manter a mesma despesa, será feita uma redução
no consumo. O novo consumo diário de
combustível deverá ser de, aproximadamente:
a. 94,2% X
b. 95% X
c. 95,13% X
d. 95,24% X
e. 95,5% X
129. Fuvest-SP
Pedro e João são concorrentes na venda de carnês.
Em maio, eles venderam o mesmo número
de carnês. Em junho, Pedro conseguiu aumentar
em 32% as suas vendas. Porém, neste mês
de junho, as vendas de João foram 25% superiores
às de Pedro. Em relação ao mês de maio,
de quanto foi o aumento nas vendas de João?
a. 32% d. 60%
b. 40% e. 65%
c. 57%
130. FEI
Uma loja vende um liquidificador por R$ 16,00
para pagamento à vista ou em duas prestações
fixas de R$ 9,00, uma entrada e outra para 30
dias. A taxa de juros mensais cobrada pela firma
está no intervalo:
a. de 10% a 14% ao mês.
b. de 15% a 19% ao mês.
c. de 20% a 24% ao mês.
d. de 25% a 29% ao mês.
e. de mais de 30% ao mês.
131. Unesp
O quadro, reproduzido da revista Veja (7/6/95),
mostra quanto renderam os investimentos do
início de 1995 a 31 de maio desse ano.
Quanto renderam os
investimentos do início
do ano até 31 de maio,
descontada a inflação
(em %).
– 3,7
ouro
– 18,2
IBV
– 21,5
Ibovespa
Perdas e lucros
10,7 CDB
– 1,6 dólar
comercial
– 6,2 dólar
paralelo
7,0
poupança
4,8
fundão
Considerando esses dados, suponhamos que
uma pessoa, no primeiro dia útil de 1995, tinha
investido na poupança metade das enconomias
que possuía e investido no dólar paralelo
a outra metade. Se o rendimento global
obtido por ela no período foi de R$ 400,00,
quanto investiu ao todo?
132. Mackenzie-SP
Numa loja, a diferença entre o preço de venda
solicitado e o preço de custo de um determinado
produto é 3.000. Se esse produto for
vendido com 20% de desconto, ainda assim
dará um lucro de 30% à loja. então, a soma entre
os preços de venda e de custo é:
a. 15.200
b. 14.600
c. 13.600
d. 12.600
e. 6.400
133. Mackenzie-SP
Um comerciante comprou uma peça de 50
metros por R$ 1.000,00. Se ele vender 20 metros
com lucro de 50%, 20 metros com lucro
de 30% e 10 metros pelo preço de custo, o seu
lucro total na venda dessa peça será de:
a. 8% d. 32%
b. 12% e. 40%
c. 20%
PV-13-14
76

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
134. Fuvest-SP
Um automóvel consumia trimetil-2,24-pentano
puro, ao preço de R$ 5/L e percorria 12 km/L.
Posteriormente, passou a consumir a mistura
de 80% de trimetil-2,2,2-pentano com 20%
de álcool etílico, 20% mais cara (R$ 6/L), e a
percorrer 10 km/L. O aumento percentual do
custo do km percorrido foi de:
a. 25% d. 60%
b. 40% e. 72%
c. 44%
135. FGV-SP
As vendas de uma empresa foram, em 1982,
60% superiores às vendas de 1980. Em relação
a 1982, as vendas de 1980 foram inferiores
em:
a. 25%
b. 42,5%
c. 30%
d. 27,50%
e. 37,5%
136. Vunesp
Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o
preço de venda de seus produtos deve ser, no
mínimo, 44% superior ao preço de custo. Assim,
ele prepara a tabela de preços de venda
acrescentando 80% ao preço de custo, porque
sabe que o cliente gosta de obter desconto no
momento da compra. Qual é o maior desconto
que ele pode conceder ao cliente, sobre o
preço de tabela, de modo a não ter prejuízo?
a. 10%
b. 15%
c. 20%
d. 25%
e. 36%
137. Fuvest-SP
a. Se os preços aumentam 10% ao mês,
qual a porcentagem de aumento em
um trimestre?
b. Supondo a inflação constante, qual
deve ser a taxa trimestral de inflação
para que a taxa anual seja 100%?
138. FVG-SP
O “Magazine Lúcia” e a rede “Corcovado” de
hipermercados vendem uma determinada
marca de aparelho de som do tipo Home Cinema
pelo mesmo preço à vista. Na venda a
prazo, ambas as lojas cobram a taxa de juros
compostos de 10% ao mês, com planos de pagamentos
distintos.
Comprando a prazo no “Magazine Lúcia”, um
consumidor deve pagar R$ 2.000,00 no ato
da compra e R$ 3.025,00 depois de 2 meses,
enquanto na rede “Corcovado” ele pode levar
o aparelho sem desembolsar dinheiro algum,
pagando uma parcela de R$ 1.980,00, 1 mês
após a compra, e o saldo em 2 meses após a
compra.
a. Qual o valor à vista do aparelho de som?
b. Se um consumidor comprar o aparelho
de som a prazo na rede “Corcovado”,
qual o valor da parcela final, vencível 2
meses após a compra?
139. UFMG
Uma loja oferece duas formas de pagamento
a seus clientes: 10% de desconto sobre o preço
anunciado se o pagamento for à vista, ou
o preço anunciado dividido em duas parcelas
iguais: a 1ª no ato da compra e a 2ª no trigésimo
dia após a compra.
A taxa mensal de juros efetivamente cobrada,
no pagamento parcelado, é de:
a. 10% d. 30%
b. 15% e. 50%
c. 25%
140. FGV-SP
Numa loja, os preços dos produtos expostos
na vitrine incluem um acréscimo de 50% sobre
o preço de custo.
Durante uma liquidação, o lojista decidiu vender
os produtos com um lucro real de 20% sobre
os preços de custo.
a. Calcule o desconto que ele deve dar sobre
os preços da vitrine.
b. Quando não há liquidação, sua venda é
a prazo, com um único pagamento após
dois meses e uma taxa de juros compostos
de 10% ao mês. Nessa condição,
qual será a porcentagem do lucro sobre
o preço de custo?
77

Matemática
Matemática básica
Capítulo 05
141. Fuvest
Determine os números que são divisores de
40.
142. Uespi
O número de divisores do inteiro 1.800 é:
a. 24
b. 36
c. 48
d. 60
e. 72
143. ESPM-SP
O número natural N = 180 · p, em que p é um
número primo, possui 27 divisores naturais. O
valor de p é:
a. 2 d. 7
b. 3 e. 11
c. 5
144. UFPE
Um cubo tem aresta 2 3 · 3 2 . Para quantos naturais
n este cubo pode ser dividido em (mais de
um) cubos congruentes de aresta n?
a. 7
b. 9
c. 11
d. 13
e. 15
145. Unifesp
O número de inteiros positivos que são divisores
do número N = 21 4 · 35 3 , inclusive
1 e N, é:
a. 84
b. 86
c. 140
d. 160
e. 162
146. Fatec-SP
O número inteiro N = 16 15 + 2 56 é divisível por:
a. 5 d. 13
b. 7 e. 17
c. 11
147.
Qual o número de dois algarismos que dividido
por 25 tem resto 2 e que dividido por 9 tem
resto 5?
148. Unicamp-SP
A divisão de um certo número positivo N por
1.994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão
de N + 2.000 pelo mesmo número 1.994.
149.
Determine o menor número que se deve somar
a 8.746 para se obter um múltiplo de 11
aumentado de 4 unidades.
150.
Mostre que a soma de um número de dois algarismos
com aquele que se obtém invertendo-se
a ordem de seus algarismos é múltiplo de 11.
151. Unifesp
O conhecido quebra-cabeça “Leitor virtual de
pensamentos” baseia-se no seguinte fato: se
x ≠ 0 é o algarismo das dezenas e y é o algarismo
das unidades do número inteiro positivo
“xy”, então o número z = “xy” − (x + y) é sempre
múltiplo de 9.
a. Verifique a veracidade da afirmação
para os números 71 e 30.
b. Prove que a afirmativa é verdadeira
para qualquer número inteiro positivo
de dois algarismos.
152. UnB-DF
Se x, y e z são três números inteiros positivos e
⎧a = x+
y
⎪
⎨b = y+
z , então:
⎪
⎩c = x+
y
a. (a + b + c) é sempre um número par.
b. (a + b + c) é sempre um número ímpar.
c. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 3.
d. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 5.
e. (a + b + c) é sempre um múltiplo de 7.
PV-13-14
78

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
153. UFMG
Considera-se o conjunto M de todos os números
inteiros formados por exatamente três algarismos
iguais. Pode-se afirmar que todo n ∈ M é
múltiplo de:
a. 5
b. 7
c. 13
d. 17
e. 37
154. FGV-SP
Em uma sala de aula, a razão entre o número
de homens e o de mulheres é 3 4 . Seja N o
número total de pessoas (número de homens
mais o de mulheres). Um possível valor para
N é:
a. 46
b. 47
c. 48
d. 49
e. 50
155. Mackenzie-SP
Um número N é formado por dois algarismos, a
e b, tais que a + b = 7. Se N - 1 é divisível por 7,
então N + 1 é múltiplo de:
a. 11
b. 9
c. 3
d. 13
e. 5
156. UFU-MG
Considere a e b dois números inteiros, tais
que a – b = 23, sendo b > 0. Sabendo-se que
na divisão de a por b o quociente é 8 e o resto
é o maior valor possível nessa divisão, então
a + b é igual a:
a. 29
b. 26
c. 32
d. 36
157. UFRR
A quantidade de números primos de 2 algarismos
que, divididos por 13, deixam resto 3 é
igual a:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
158. Fuvest-SP
Mostre que se m é um número ímpar, então
m 2 - 1 é divisível por 8.
159.
Em uma festa com n pessoas, em um dado
instante, 31 mulheres se retiraram e restaram
convidados na razão de 2 homens para cada
mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se
retiraram e restaram, a seguir, convidados na
razão de 3 mulheres para cada homem. O número
n de pessoas presentes inicialmente na
festa era igual a:
a. 100
b. 105
c. 115
d. 130
e. 135
160.
Considere o critério de divisibilidade por 3:
“um número natural é divisível por 3 quando
a soma dos algarismos que o formam resultar
em um número múltiplo de 3”.
Prove a validade deste critério para um número
natural de 3 algarismos.
161. Vunesp
Três viajantes partem num mesmo dia de uma
cidade A. Cada um desses três viajantes retorna
à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72
dias, respectivamente. O número mínimo de
dias transcorridos para que os três viajantes
estejam juntos novamente na cidade A é:
a. 144
b. 240
c. 360
d. 480
e. 720
79

Matemática
Matemática básica
162. Unicamp-SP
Numa linha de produção, certo tipo de manutenção
é feito na máquina A a cada 3 dias, na
máquina B a cada 4 dias e na máquina C a cada
6 dias.
Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção
nas três máquinas, a próxima vez em que
a manutenção das três ocorreu no mesmo dia
foi:
a. 5 de dezembro.
b. 6 de dezembro.
c. 8 de dezembro.
d. 14 de dezembro.
e. 26 de dezembro.
163. UEM-PR
As merendas servidas nas escolas da cidade
de Alegria são todas preparadas em uma cozinha
central e depois são embaladas em pacotes
contendo, cada um, o mesmo número de
merendas. Para facilitar o transporte, a quantidade
de pacotes deve ser a menor possível.
Sabendo que as escolas A, B, C e D recebem,
respectivamente, 700, 630, 805 e 560 merendas,
qual é o número de merendas em cada
pacote?
164. Mackenzie-SP
Nas últimas eleições, três partidos políticos
tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s
de tempo gratuito de propaganda na televisão,
com diferentes números de aparições. O
tempo de cada aparição, para todos os partidos,
foi sempre o mesmo e o maior possível.
A soma do número das aparições diárias dos
partidos na TV foi de:
a. 15
b. 16
c. 17
d. 19
e. 21
165. PUC-MG
A partir das 07h00min, as saídas de ônibus de
Belo Horizonte para Sete Lagoas, Ouro Preto e
Monlevade obedecem à seguinte escala:
• Para Sete Lagoas, de 35 em 35 minutos.
• Para Ouro Preto, de 40 em 40 minutos.
• Para Monlevade, de 70 em 70 minutos.
Às sete horas, os ônibus saem juntos. Após as
sete horas, os ônibus para essas cidades voltarão
a sair juntos às:
a. 10h20min
b. 11h40min
c. 12h10min
d. 13h00min
166. PUC-MG
O terreno da figura tem a forma de um triângulo
retângulo cujos catetos medem, respectivamente,
30 m e 40 m. Em volta desse terreno,
devem ser plantadas n palmeiras igualmente
espaçadas, considerando as distâncias medidas
sobre os lados do triângulo, de modo que
a distância entre uma e outra planta seja a
maior possível e o número de palmeiras seja o
menor. Nessas condições, o valor de n é:
a. 10
b. 12
c. 15
d. 20
167. Fuvest-SP
No alto da torre de uma emissora de televisão,
duas luzes "piscam" com frequências diferentes.
A primeira "pisca" 15 vezes por minuto
e a segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se,
num certo instante, as luzes piscam simultaneamente,
após quantos segundos elas voltarão
a "piscar" simultaneamente?
a. 12 d. 15
b. 10 e. 30
c. 20
168. Mackenzie-SP
Um painel decorativo retangular, com dimensões
2,31 m e 92,4 cm, foi dividido em um número
mínimo de quadrados de lados paralelos
aos lados do painel e áreas iguais. Esse número
de quadrados é:
a. 10 d. 14
b. 8 e. 12
c. 16
PV-13-14
80

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
169. PUC-MG
Um latifundiário decide lotear três terrenos
com áreas de 145 ha, 174 ha e 232 ha, de
modo que os lotes sejam de áreas iguais e
cada um deles tenha a maior área possível.
Nessas condições, o número de lotes, depois
de feita a divisão, é:
a. 15
b. 17
c. 19
d. 21
170. Mackenzie-SP
Os números compreendidos entre 400 e
1.500, divisíveis ao mesmo tempo por 18 e 75,
têm soma:
a. 1.600
b. 2.350
c. 1.350
d. 2.700
e. 1.800
171. Unicamp-SP
Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m
deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados
iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos
vizinhos, pergunta-se:
a. qual deve ser a dimensão máxima, em
centímetros, de cada um desses ladrilhos
para que a sala possa ser ladrilhada
sem cortar nenhum ladrilho?
b. quantos desses mesmos ladrilhos são
necessários?
172. Cesgranrio-RJ
Se o mínimo múltiplo comum entre os inteiros
(2 m · 15) e (4 · 3 n ) é 360, então:
a. m = n.
b. m + n é ímpar.
c. m · n é múltiplo de 4.
d. m · n é múltiplo de 15.
e. m = 2n.
173. Unicamp-SP
Dividindo-se 7.040 por n, obtém-se resto 20.
Dividindo-se 12.384 por n, obtém-se resto 9.
Ache n.
174.
No conjunto dos números naturais, considere
um número n, que, quando dividido por
3, deixa resto 2, quando dividido por 4 deixa
resto 3 e quando dividido por 5 deixa resto 4.
Conclui-se que o menor valor de n pertence ao
intervalo:
a. 30 < n < 50
b. 80 < n < 110
c. 50 < n < 80
d. 130 < n < 180
e. 110 < n < 140
175. Fuvest-SP
Maria quer cobrir o piso de sua sala com lajotas
quadradas, todas com lado de mesma medida
inteira, em centímetros. A sala é retangular, de
lados 2 m e 5 m. Os lados das lajotas devem
ser paralelos aos lados da sala, devendo ser
utilizadas somente lajotas inteiras. Quais são
os possíveis valores do lado das lajotas?
176. UFMG
Sejam a, b e c números primos distintos, em
que a > b.
O máximo divisor comum e o mínimo multiplo
comum de m = a 2 · b · c 2 e n = a · b 2 são, respectivamente,
21 e 1.764.
Pode-se afirmar que a + b + c é:
a. 9
b. 10
c. 12
d. 42
e. 62
177.
A altura, em centímetros, do nível da água armazenada
em um reservatório com a forma de
um prisma reto de base retangular é igual a x,
conforme mostra a figura.
h
x
81

Matemática
Matemática básica
Usando todo esse volume de água armazenado,
pode-se encher completamente uma
quantidade exata de recipientes com capacidade
de 20 litros cada, ou uma quantidade
exata de recipientes com capacidade de 50 litros
cada. Se x = h , onde h é a altura do reservatório,
então a menor capacidade, em litros,
3
desse reservatório cheio é:
a. 200
b. 300
c. 400
d. 500
e. 600
178. PUC-RJ
A editora do livro Como ser aprovado no vestibular
recebeu os seguintes pedidos de três
livrarias:
Livraria
Número de exemplares
A 1.300
179. Fuvest-SP
O produto de dois números naturais a e b é
600.
a. Quais são os possíveis divisores naturais
primos de a?
b. Quais são os possíveis valores do máximo
divisor comum de a e b?
180.
Murilo possui uma empresa e resolveu investir
mais em propaganda. Para isso, procurou uma
emissora de televisão que lhe ofereceu o seguinte
pacote: 180 segundos diários durante a
primeira semana; 216 segundos diários durante
a segunda semana e 144 segundos diários
na terceira semana. Por motivo de economia,
Murilo gravou um único comercial. Assim:
a. qual o máximo tempo do comercial
para que ele seja exibido sem cortes
nas três semanas?
b. quantas vezes ele passará durante esse
período?
B 1.950
C 3.900
A editora deseja remeter os três pedidos em n
pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor
possível. Calcule o número n.
PV-13-14
82

Matemática básica
Matemática
Capítulo 06
PV-13-14
181.
Resolver em as equações:
a. 2 · (2 · (x – 8) – 10) = 100
b. 2 x x
+ + x = 1
3 2
182.
Resolver em a equação x x 1
− + = 1.
2 3
183.
O professor Dzor Ganizado entrou em sua sala
de aula sem preparar a aula. Em determinado
instante inventou e propôs o seguinte problema:
“Florinda tinha em sua carteira x reais.
Com a visita de alguns parentes ela ganhou da
avó o que tinha mais 10 reais, do avô o que tinha
inicialmente mais 20 reais e do tio ganhou
duas vezes o que tinha inicialmente mais 30
reais. No final, Florinda ficou com um total de
cinco vezes o que tinha inicialmente. Quantos
reais tinha Florinda inicialmente?”
Faça o que se pede:
a. Equacione o problema proposto pelo
professor e escreva a equação equivalente
na forma mais simples.
b. A equação encontrada é uma equação
do 1º grau?
c. Qual é o conjunto solução?
184.
Resolver em a equação x x 1 x 2
− − − − = 1.
2 3 4
185.
Pérola é uma leitora dedicada, porém sistemática.
Ela tem uma mania, lê exatamente números
de páginas inteiras e 5 páginas a mais do
que leu no dia anterior. O último livro que leu
tinha 100 páginas e foi lido em exatos 5 dias
seguidos. Quantas páginas Pérola leu no quinto
dia?
186. Insper-SP
Dois dados idênticos, cujas planificações são
dadas na figura a seguir, possuem em suas faces
pontuações diferentes das convencionais.
Todas as faces dos dois dados, no entanto, têm
iguais probabilidades de ficarem voltadas para
cima quando eles são lançados.
n
2 3 4 2 3 4
2 2
3 3
Considere que n representa um número inteiro
e positivo.
Nos dados convencionais, a soma dos pontos
de duas faces opostas quaisquer é sempre
igual a um mesmo valor. Para que os dados
descritos no enunciado também tenham essa
propriedade, n deverá representar o número:
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
187. UFF
Colocando-se 24 litros de combustível no tanque
de uma caminhonete, o ponteiro do marcador,
que indicava 1 4
indicar 5 8 .
n
do tanque, passou a
Determine a capacidade total do tanque de
combustível da caminhonete. Justifique sua
resposta.
188. AFA-SP
Três amigos, Samuel, Vitória e Júlia, foram a
uma lanchonete.
• Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras
e pagou 5 reais.
• Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra
e pagou 4 reais.
• Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras
e pagou k reais.
Considerando-se que cada um dos três pagou
o valor exato do que consumiu, é correto afirmar
que:
a. o guaraná custou o dobro da esfirra.
b. os três amigos, juntos, consumiram 16
reais.
c. cada esfirra custou 2 reais.
d. Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu.
83

Matemática
Matemática básica
189. FGV-SP modificado
Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolvia
equações como x + 0,5x = 30, por meio de
uma regra de três, que chamava de “regra do
falso”. Atribuía um valor falso à variável, por
exemplo, x = 10 , 10 + 0,5 .10 = 15 e montava
a regra de três:
Valor falso
10
10 x
= → x = 20
15 30
Valor verdadeiro
15 30
Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo
método acima:
“Uma quantidade, sua metade, seus dois terços,
todos juntos somam 26. Qual é a quantidade?
190. Fuvest-SP
Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais,
sem juros. Caso se queira adquirir o produto,
pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda
sem juros, o valor de cada parcela deve ser
acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente.
Com base nessas informações,
conclui-se que o valor de n é igual a:
a. 13
b. 14
c. 15
d. 16
e. 17
191. FGV-SP
Em uma escola, a razão entre o número de alunos
e o de professores é de 50 para 1.
Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores,
a razão entre o número de alunos e o de
professores seria de 40 para 1.
Podemos concluir que o número de alunos da
escola é:
a. 1.000
b. 1.050
c. 1.100
d. 1.150
e. 1.200
x
192. FGV-SP
Marta quer comprar um tecido para forrar
uma superfície de 10 m 2 . Quantos metros,
aproximadamente, ela deve comprar de uma
peça que tem 1,5 m de largura e que, ao lavar,
encolhe cerca de 4% na largura e 8% no comprimento?
Aproxime a resposta para o número inteiro
mais próximo.
193. FGV-SP
?
1,5 m
A figura incluída nesta questão representa
quatro balanças.
As duas primeiras balanças estão em equilíbrio.
Temos pesos de 1, 2, 5, 10 e 20 gramas.
Nos pratos da esquerda, os pesos têm a forma
de cubos e cones, em que cada cubo pesa x
gramas e cada cone, y gramas.
1 a 2 a
20 g
20 g 20 g
3 aa 4 a 4 a ?
? ?
a. Qual é o menor número de pesos que
devemos colocar no prato da direita da
3ª balança para que ela fique em equilíbrio?
b. Queremos colocar no prato da direita
da 4ª balança somente pesos de 2 g e
5 g. Quantos pesos devemos colocar,
de modo que ela fique em equilíbrio?
Descreva todos os modos possíveis.
PV-13-14
84

Matemática básica
Matemática
194. FGV-SP
Segundo antiga lenda chinesa, um gênio, que
vivia em um estreito desfiladeiro, avisou aos
camponeses da região que quem passasse
pela sua morada teria de pagar 16 moedas.
Entretanto, para não desagradá-los, na volta,
como prova de amizade, dobraria a quantia
que tinham na bolsa.
Um astuto camponês juntou todas as suas
economias e, em um só dia, atravessou o desfiladeiro
e voltou quatro vezes.
Para sua surpresa, descobriu, no fim do dia,
que a sua bolsa estava completamente vazia.
Quantas moedas tinha ele inicialmente?
195. Vunesp
Uma estrada foi percorrida por um ciclista em
dois dias. No primeiro dia percorreu 0,35 da estrada
pela manhã, 1 15
à tarde e à noite.
5 100
A parte da estrada que deixou para percorrer no
dia seguinte foi de:
a. 0,7
b. 0,3
c. 0,35
d. 2
10
e.
75
100
Releia o texto com atenção e responda à questão:
Quantos ovos carregava cada uma?
197. ESPM-SP
Numa família de 4 pessoas, a mãe pesa o triplo da
filha, o pai pesa 12 kg a mais que a mãe e o filho
pesa a metade do pai. Se o peso médio dos elementos
dessa família é 51,25 kg, pode-se afirmar
que o filho pesa:
a. 32 kg a menos que a mãe.
b. 36 kg a menos que o pai.
c. o dobro da filha.
d. 17 kg a mais que a filha.
e. a metade da mãe.
198. FGV-SP
Um feirante vende maçãs, peras e pêssegos
cobrando certo preço por unidade para cada
tipo de fruta. Duas maçãs, três peras e quatro
pêssegos custam R$ 13,00; três maçãs, uma
pera e cinco pêssegos custam R$ 11,50.
Se o preço de cada pera for R$ 2,00, podemos
afirmar que o preço de seis maçãs, seis peras e
seis pêssegos é:
a. R$ 27,00
b. R$ 26,50
c. R$ 26,00
d. R$ 25,50
e. R$ 25,00
PV-13-14
196. FGV-SP
No seu livro Introdução à Àlgebra, Leonhard
Euler propõe um curioso e interessante problema
aos leitores:
Duas camponesas juntas carregam 100 ovos
para vender em uma feira e cada uma vai cobrar
seu preço por ovo. Embora uma tivesse
levado mais ovos que a outra, as duas receberam
a mesma quantia em dinheiro. Uma delas
disse, então:
— Se eu tivesse trazido o mesmo número de
ovos que você trouxe, teria recebido 15 kreuzers
(antiga moeda austríaca).
Ao que a segunda respondeu:
— Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos
que você trouxe, teria recebido 20 3 kreuzers.
199. UFMG
De um recipiente cheio de água tiram-se 2 3 de
seu conteúdo. Recolocando-se 30d de água, o
conteúdo passa a ocupar a metade do volume
inicial. A capacidade do recipiente é:
a. 45d
b. 75d
c. 120d
d. 150d
e. 180d
85

Matemática
Matemática básica
200. PUC-SP
Vítor e Valentina possuem uma caderneta de
poupança conjunta. Sabendo que cada um deles
dispõe de certa quantia para, numa mesma
data, aplicar nessa caderneta, considere as seguintes
afirmações:
• se apenas Vítor depositar nessa caderneta
a quarta parte da quantia de que
dispõe, o seu saldo duplicará;
• se apenas Valentina depositar nessa caderneta
a metade da quantia que tem,
o seu saldo triplicará;
• se ambos depositarem ao mesmo tempo
as respectivas frações das quantias que
têm, mencionadas nos itens anteriores, o
saldo será acrescido de R$ 4.947,00.
Nessas condições, se nessa data não foi feito
qualquer saque de tal conta, é correto afirmar
que:
a. Valentina tem R$ 6.590,00.
b. Vítor tem R$ 5.498,00.
c. Vítor tem R$ 260,00 a mais que Valentina.
d. o saldo inicial da caderneta era
R$ 1.649,00.
e. o saldo inicial da caderneta era
R$ 1.554,00.
201.
Resolver em as equações:
a. x 2 – 400 = 0
b. x 2 – 7 · x = 0
c. x 2
− 40x
+ 1.
000 = 0
2
202.
Resolver em as equações:
a. x 2 – 7 = 0
b. x 2 + 4 = 0
c. 5x 2 – 6 · x = 0
d. x 2 – x 5 = 0
203.
Resolver em as equações:
a. x 2 – x – 1 = 0
b. x 2 – 5 · x – 8 = 0
204. ESPM-SP
Por causa de limitações do mercado, o preço
unitário de uma certa mercadoria pode variar
de 15 a 30 reais.
Quando se cobram x reais por unidade, são
vendidas 86 – 2x unidades por dia.
Dessa forma, podemos concluir que receita diária
é obtida multiplicando-se o preço unitário
pela quantidade de unidades vendidas, isto é,
R = x · (86 – 2x), em que R representa a receita
diária. Existem dois possíveis valores de x, que
não estão compreendidos entre 15 a 30 reais,
para os quais a receita diária fica nula. Qual é a
média aritmética destes valores?
a. R$ 18,50
b. R$ 21,50
c. R$ 16,00
d. R$ 20,00
e. R$ 23,50
205. Cesgranrio-RJ
Sobre a equação 1.983x 2 - 1.984x - 1.985 = 0,
a afirmação correta é:
a. não tem raízes reais.
b. tem duas reais e distintas.
c. tem duas raízes simétricas.
d. tem duas raízes positivas.
e. tem duas raízes negativas.
206. FGV-SP
O produto de 3 números positivos e consecutivos
é igual a 8 vezes a sua soma. A soma dos
quadrados desses 3 números é igual a:
a. 77
b. 110
c. 149
d. 194
e. 245
207. Fuvest-SP
No segmento AC , toma-se um ponto B de forma
que AB BC
= 2 .
AC AB
Então, o valor de BC
AB é:
a. 1 2
PV-13-14
86

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
b. 3 - 1
2
c. 5 -1
d.
e.
208. UFPE
5 -1
2
5 -1
3
O proprietário de uma loja comprou certo
número de artigos, todos custando o mesmo
valor, por R$ 1.200,00. Cinco dos artigos estavam
danificados e não puderam ser comercializados;
os demais foram vendidos com lucro
de R$ 10,00 por unidade. Se o lucro total do
proprietário com a compra e a venda dos artigos
foi de R$ 450,00, quantos foram os artigos
comprados inicialmente?
209. ENEM
Vinte anos depois da formatura, cinco colegas
de turma decidem organizar uma confraternização.
Para marcar o dia e o local da confraternização,
precisam comunicar-se por telefone.
Cada um conhece o telefone de alguns colegas
e desconhece o de outros. No quadro a seguir,
o número 1 indica que o colega da linha correspondente
conhece o telefone do colega da
coluna correspondente; o número 0 indica que
o colega da linha não conhece o telefone do colega
da coluna. Exemplo: Beto sabe o telefone
do Dino que não conhece o telefone do Aldo.
Aldo Beto Carlos Dino Ênio
Aldo 1 1 0 1 0
Beto 0 1 0 1 0
Carlos 1 0 1 1 0
Dino 0 0 0 1 1
Ênio 1 1 1 1 1
O número mínimo de telefonemas que o Aldo
deve fazer para se comunicar com Carlos é:
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
210. ESPM-SP modificado
No estudo da geometria plana, estuda-se a
seguinte propriedade: “Em qualquer polígono
convexo o número d de diagonais e o número
n de lados se relacionam pela fórmula
( n − 3)
· n
d = ”. Por exemplo, um quadrilátero
2
convexo tem 4 lados, isto é, n = 4 e o número
( 4 − 3)
· 4
de diagonais dada por d =
= 2 diagonais.
2
Resolva o problema a seguir com base nas informações
acima:
“Se o número de lados de um polígono convexo
fosse acrescido de 3 unidades, seu número
de diagonais triplicaria. Qual é o número de
lados do polígono?
211. UFSC
As equações x 2 + px = 0 e 4x – 1 = 0 têm uma
raiz em comum. Determine o valor de p.
212. Unicamp-SP
Quarenta pessoas em excursão pernoitam em
um hotel. Somados, os homens despendem
R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a
mesma quantia, embora cada uma tenha pago
R$ 64,00 a menos que cada homem.
Denotando por x o número de homens do grupo,
uma expressão que modela esse problema
e permite encontrar tal valor é:
a. 2.400x = (2.400 − 64x)(40 − x)
b. 2.400x = (2.400 + 64x)(40 − x)
c. 2.400(40 − x) = (2.400 – 64x)x
d. 2.400(40 − x) = (2.400 + 64x)x
213. UFPR
Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos
obteve um total de R$ 900,00 pelas
vendas de um certo perfume. Com a chegada
do mês de janeiro, a loja decidiu dar um
desconto para estimular as vendas, baixando
o preço desse perfume em R$ 10,00. Com
isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais
do que em dezembro, obtendo um total de
R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço
pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro
era de:
a. R$ 55,00
87

Matemática
Matemática básica
214.
b. R$ 60,00
c. R$ 65,00
d. R$ 70,00
e. R$ 75,00
Considere um retângulo de largura (x – 2) cm,
comprimento (x + 2) cm e área 103 cm 2 . Em
relação ao número que fornece o perímetro
pode-se afirmar que:
a. é primo.
b. é quadrado perfeito.
c. é múltiplo de 5.
d. pode ser ímpar.
e. é irracional.
215. Fuvest-SP
Dada a equação
a. V = ∅
b. V = {–1, 0, 1}
c. V = {–1, 1}
d. V = {–1, 0}
e. V = {0}
216. FGV-SP modificado
, então:
O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades,
A e B, é feito por uma única companhia
em um único voo diário.
O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da
passagem p relaciona-se com o número x de passageiros
por dia pela relação p = 300 – 0,75x.
Quantos passageiros esse avião transportou
em um dia que a receita da companhia foi de
R$ 22.500,00?
217. ESPM-SP modificado
Um triângulo retângulo se diz pitagórico se
as medidas dos seus lados são expressas por
números inteiros, numa certa unidade. Se um
dos catetos de um triângulo pitagórico mede
50 cm menos que a hipotenusa e o outro cateto
mede 1 cm a menos, também em relação
à hipotenusa, seu perímetro será igual a:
a. 192 cm
b. 132 cm
c. 151 cm
d. 125 cm
e. 137 cm
218. Insper-SP
Numa empresa de auditoria, há duas máquinas
trituradoras de papel, cuja função é fragmentar
os documentos descartados todas as
semanas nos escritórios da empresa.
O volume de papel descartado semanalmente
é sempre o mesmo e as duas máquinas levam
juntas, trabalhando sem interrupções, 20
horas para fragmentar todos os documentos.
Cada uma das máquinas precisou ficar parada
para manutenção durante uma semana,
na qual todo o papel foi triturado apenas pela
outra. Percebeu-se que as máquinas não têm
rendimento igual e que a mais rápida levou 9
horas a menos que a mais lenta para fazer a
fragmentação.
O tempo que a mais lenta levou para triturar
todo o papel sozinha é igual a:
a. 41 horas.
b. 43 horas.
c. 45 horas.
d. 47 horas.
e. 49 horas.
219. UFAC
A condição sobre p, de modo que a equação
px 2 + x + 1 = 0 tenha duas raízes reais e distintas,
é:
a. p < 1 4
b. p > 1 4
1
c. p < e p ≠ 0
4
d. p = 1 4
e. p = 0
220. Fuvest-SP
O conjunto verdade da equação:
x + 2 2 1
+ = − é:
2 x − 2 2
a. {– 2}
b. {– 2; – 1}
c. {2; – 1}
d. ∅
e. {– 2; 1}
PV-13-14
88

Matemática básica
Matemática
221.
Na equação do 2º grau 2x 2 – 5x + 1 = 0, as letras
p e q representam suas raízes. Calcule:
a. p + q
b. p · q
c. 1 +
1
p q
d. p 2 + q 2
222.
Na equação do 2º grau 2 · x 2 – x – 1 = 0 as
letras r e s representam suas raízes. Calcule:
a. r + s
b. r · s
c. 1 +
1
r s
d. r 2 + s 2
223.
Se x 1 e x 2 são as raízes da equação
3x 2 - 2x - 8 = 0, sendo x 1 < x 2 , então 3 2
2
x - 2x 1 - 8
é igual a:
a. 2 3
c. 16 3
226.
A soma das raízes da equação
(k – 2)x 2 – 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto
dessas raízes. Nessas condições, temos:
a. k = 1/2
b. k = 3/2
c. k = 1/3
d. k = 2/3
e. k = -2
227. UFSCar-SP
Considere a equação x 2 + kx + 36 = 0, em que x’
e x” representam suas raízes. Para que exista a
relação 1 1 1
x' + x"
= 12
, o valor de k na equação
deverá ser:
a. – 15
b. – 10
c. + 12
d. + 15
e. + 36
228. UEPI
PV-13-14
b. 8 3
224. FESP-PE
d. 20 3
A equação do 2 o grau ax 2 + x – 6 = 0 tem uma
raiz cujo valor é 2. A outra raiz é:
a. – 3
b. – 2
c. – 1
d. 1
e. 3
225. UECE
Se s e p são, respectivamente, a soma e o produto
das raízes da equação
1 0
x x 2
1− x
+ − − = ,
x
então:
a. s = p
b. s · p é negativo
c. s > p
d. s < p
Sejam x 1 e x 2 as raízes da equação
4x 2 – 20x + 24 = 0. O valor de 5 ⋅ ( x + x )
10x x
a. 12
25
b. 20
25
c. 25
12
229. FGV-SP modificado
d. 25
24
e. 30
25
1 2 2
1 2
Sejam A e B as raízes da equação x 2 – nx + 2 = 0.
1 1
Se A + e B + são raízes da equação
B A
x 2 – p · x + q = 0, então q é igual a:
a. 4,5
b. 4
c. 3,5
d. 2,5
e. 2
é:
89

Matemática
Matemática básica
230. Unifor-CE
Seja a equação x 2 + 4x + k = 0, em que k é uma
constante real. Se uma das raízes dessa equação
é igual à terça parte da outra, então o número
k é tal que:
a. k ≤ – 4
b. – 4 < k ≤ 0
c. 0 < k ≤ 2
d. 2 < k ≤ 4
e. k > 4
231. Unicentro-PR
Dois colegas foram resolver uma equação do
2º grau, com o coeficiente do termo do 2º
igual a 1. Um copiou errado o coeficiente do
termo do 1º grau e encontrou as raízes 2 e 3.
O outro copiou errado o termo independente
e obteve as raízes 3 e 4. Se x 1 e x 2 , com x 1 < x 2 ,
forem as raízes da equação original, então
2x 1 – x 2 será igual a:
a. – 6
b. – 4
c. – 2
d. 2
e. 4
232.
Dada a equação 2x 2 - 5x - 7 = 0 com raízes x 1
e x 2 , obtenha:
a. x 1 + x 2
b. x 1 · x 2
2 2
c. x + x
233.
1
2
Se as raízes x 1 e x 2 da equação x 2 – 3ax + a 2 = 0
satisfazem a condição x 1
2
+ x 2
2
= 1,75, podemos
concluir que o valor de a é:
234.
a. 1 2
b. – 1 2
c. ± 1 2
d. 1
e. 0
Resolver em
x
2
a equação:
− ( 47 + 7) · x + 329 = 0
235.
a. Escreva uma equação do 2º grau na forma
ax 2 + bx + c = 0, sabendo que 2 e 5
são suas raízes.
b. Escreva a equação do item anterior na
forma fatorada.
236.
Escrever uma equação do 2º grau que tenha
como raízes os números 5 e 6.
237.
Escreva o trinômio do 2º grau x 2 – 5 · x + 4 na
forma fatorada a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ).
238. AFA-SP modificado
Os números 3 e 1 são raízes da equação do 2º
grau a · x 2 + b · x + c = 0 (a ≠ 0) e 2 é raiz da
equação a · x 2 + b · x + c = 2. Determine o valor
de a 2 + b 2 + c 2 .
239.
Uma equação do 2º grau a · x 2 + b · x + c = 0
(a ≠ 0), definida em , apresenta uma curiosidade
em relação trinômio ax 2 + bx + c: para
qualquer valor de x em tem-se:
a · x 2 + b · x + c = a · (1 – x) 2 + b · (1 – x) + c.
Assim, o oposto da média aritmética das raízes
da equação do 2º grau é igual a:
a. – 0,25
b. – 0,5
c. 1
d. –2
e. 4
240. Unifor-CE
Sejam a e b as raízes reais da equação
2x 2 – 3x – 2 = 0. Uma equação do 2º grau cujas
raízes são (a + 1) e (b + 1) pode ser:
a. 2x 2 – 7x + 3 = 0
b. 2x 2 + 7x + 3 = 0
c. 2x 2 – 5x + 3 = 0
d. x 2 + 5x = 0
e. x 2 – 5x = 0
PV-13-14
90

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
241.
Resolva, em , a equação: x 4 – 3x 2 – 4 = 0
242.
Resolva, em , a equação: x 4 – 20x 2 – 21 = 0
243.
Resolva em : x 6 – 4x 3 + 3 = 0
244.
Resolva, em , a equação: x 2
− 2 x =
2
x x − 2
245.
Resolva em : x 4 x 2 2
+ 2 + 1 x 1
2
x − 4x
+ 4
+ +
x − 2 = 2
246.
Resolva, em , a equação: x − 2+ 3 x − 2 = 10
247. Mackenzie-SP
Sejam x e y dois números reais e positivos,
de tal forma que ocorra a igualdade
x 2 + 2xy + y 2 + x + y – 6 = 0.
Assim, a soma x + y vale:
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
248. FEI-SP
A soma das raízes reais da equação
x 6 – 19x 3 – 216 = 0 é:
a. 1
b. 2
c. 0
d. – 1
e. – 2
249.
Resolva, em
250.
Resolva, em
, a equação:
, a equação:
251. PUC-SP
A solução da equação x − 2x
+ 2 = 3 é:
a. 1 d. 3
b. –1 e. 7
c. 2
252. UFV-MG
Com relação à equação
, é correto
afirmar que:
a. seu conjunto solução é vazio.
b. seu conjunto solução é formado por
dois números inteiros negativos.
c. seu conjunto solução é unitário.
d. seu conjunto solução é formado por
dois números inteiros positivos.
e. seu conjunto solução é formado por
dois números simétricos.
253. UEL-PR
O conjunto solução da equação x - 1 = x + 11,
em , está contido no intervalo:
a. ]– ∞; 0]
b. [–3; 2]
c. [–2; 5[
d. ]3; 6]
e. [6; + ∞[
254.
Resolva, em , a equação: x + 2 − x − 3 = 1
255.
Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se
o dobro da sua raiz quadrada. Qual é esse número?
a. 2 d. 9
b. 3 e. 11
c. 7
256. PUC-SP
O conjunto verdade da equação irracional
x − 1+ 2x
− 2 = 2 é:
a. V = {3}
b. V = {3; 9}
c. V = {9}
d. V = ∅
e. V = {0}
91

Matemática
Matemática básica
257. PUC-SP
3 2
As raízes de x − x − 1 = x − 1 estão no intervalo:
a. [–2; –1]
b. [–1; 0]
c. [0; 3]
d. [3; 7]
e. [7; + ∞]
258. UECE
A soma das raízes da equação
2
x − 2 x − 15= 0 é:
a. 98
b. 97
c. 96
d. 95
3 3
259. FAAP-SP
Resolver a equação .
260. Urca-RS
Com relação à equação:
x + 11 − 2x + 5 = −3x
− 2
podemos afirmar que ela:
a. admite uma única solução real positiva.
b. admite uma única solução real negativa.
c. não admite solução real.
d. admite duas soluções reais negativas.
e. admite duas soluções reais positivas.
PV-13-14
92

Matemática básica
Matemática
Capítulo 07
PV-13-14
261.
Escreva como se lê cada sentença abaixo.
a. e ∈ C
b. d ∉ C
c. A ⊂ B
d. A ⊄ B
e. D ⊃ C
262.
Utilize os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄ e ⊃ e complete
as lacunas de modo a tornar as sentenças verdadeiras.
a. a ______ {a, e, i, o, u}
b. b ______ {a, e, i, o, u}
c. {a} _____ {a, e, i, o, u}
d. {a, b, e, i, o} ______ {a, e, i, o, u}
e. {a, b, e, c, i, o, u} ______ {a, e, i, o, u}
263.
Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das
afirmações.
a. ∅ ∈ A,∀ A
b. ∅ ⊂ A,∀ A
c. 0 ∈ ∅
d. ∅ ∈ {0}
e. ∅ ⊂ {0}
f. A ⊂ A,∀ A
g. A ⊂ ∅,∀ A.
h. {5} ⊂ {∅, {1}, {5}, {1, 5}}
i. {x} ∈ {x, {x, y}}
264.
Quantos elementos possui o conjunto
A = {x ∈¢ | x é primo e x é par}?
265.
Quanto elementos possui o conjunto
B = {x ∈ | x 2 + 1 = 0}?
266.
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):
a. ∅ ⊂ ∅
b. ∅ ∈ ∅
c. {∅} ∈ ∅
267.
d. ∅ ∈ {∅}
e. {∅} ⊂ ∅
f. ∅ ⊃ ∅
g. {∅} ∈ {{∅}, ∅}
Considere as seguintes afirmações sobre o
conjunto A = {– 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
I. ∅ ⊂ A e n(A) = 11
II. ∅ ∈ A e n(A) = 11
III. 0 ∈ A e {0} ⊂ A
IV. 0 ⊂ A e {0} ∈ A
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira (s):
a. apenas I e III.
b. apenas II e IV.
c. apenas II e III.
d. apenas IV.
e. todas as afirmações.
268.
Escreva em forma de listagem (ou enumeração)
cada um dos conjuntos abaixo.
a. {x ∈ ¢ | –2 < x ≤ 5}
b. {x ∈ | –2 < x ≤ 5}
c. {x ∈ | 5 · x = 3}
269.
Escreva uma propriedade que define cada um
dos conjuntos enumerados abaixo.
a. {..., –3, –1, 1, 3, 5, 7, ...}
b. {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...}
c. {–8, 8}
270.
Determinar os possíveis valores de x e y para
que as igualdades abaixo sejam verdadeiras.
a. {–1, 0, 1} = {–1, 1, x}
b. {–1, 0, 1} = {–1, 0, 1, y}
271.
Obtenha x e y, de modo que: {0, 1, 2} = {0, 1, x}
e {2, 3} = {2, 3, y}.
93

Matemática
Matemática básica
272.
Se x e y são números tais que:
{–1, 0, 3, 7} = {–1, 0, x, y} , então podemos afirmar
que:
a. x = 3 e y = 7
b. x < y
c. x > y
d. x ≠ 3
e. x + y = 10
273.
Determine todos os subconjuntos de A = {0, 1}.
274.
Determine todos os subconjuntos de A = {a, e, i}.
275.
Quantos subconjuntos tem um conjunto com
10 elementos?
276.
Um conjunto A com n elementos é tal que o
número de elementos de P(A) = 4.096. Determine
o valor de n.
277. FCMSC-SP
Um conjunto A possui n elementos e um conjunto
B possui um elemento a mais do que A.
Sendo x e y os números de subconjuntos de A
e B, respectivamente, tem-se que:
a. y é o dobro de x.
b. y é o triplo de x.
x
c. y = +
2 1.
d. y = x + 1.
e. y pode ser igual a x.
278.
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) cada
sentença abaixo.
a. ∅ é um conjunto unitário.
b. {∅ } é um conjunto unitário.
c. {–1, 1} = {1, –1}
d. {0, 1} = {0, 0, 0, 1, 1, 1, 1}
e. A ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.
279. Uespi
Seja o conjunto A abaixo:
A = {0, {0}, 1, {1}, {0,1}}
É correto afirmar que:
a. 0 ∉ A
b. {0, 1} ∈ A
c. {0, 1} ⊄ A
d. os elementos de A são 0 e 1.
e. o número de subconjuntos de A é 2 2 = 4.
280. UFF-RJ
Dado o conjunto P = { {0}, 0, ∅, {∅} }, considere
as afirmativas:
I. {0} ∈ P
II. {0} ⊂ P
III. ∅ ∈ P
Com relação a estas afirmativas, conclui-se
que:
a. todas são verdadeiras.
b. apenas a I é verdadeira.
c. apenas a II é verdadeira.
d. apenas a III é verdadeira.
e. todas são falsas.
281. Unifesp
O quadro mostra o resultado de uma pesquisa
realizada com 200 moradores de competição
da cidade de São Paulo, visando apontar o percentual
desses nadadores que já tiveram lesões
(dores) em certas articulações do corpo,
decorrentes da prática de natação, nos últimos
três anos.
Articulação
Percentual de nadadores
ombro 80%
coluna 50%
joelho 25%
pescoço 20%
Com base no quadro, determine quantos nadadores
do grupo pesquisado tiveram lesões
(dores) no joelho ou no pescoço, considerando
que 5% dos nadadores tiveram lesões nas
duas articulações, joelho e pescoço.
PV-13-14
94

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
282. Vunesp
Se A = {1, 2, x}, B = {2, 3}, C = {3, 4} e
(A – B) ∩ C = ∅, então C – A será igual ao conjunto:
a. {x}
b. {3}
c. {4}
d. C
e. {4} ou {3, 4}, dependendo do valor de x.
283. PUC-RS
Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, d} e
C = {a, b, d}, o conjunto X tal que A ∪ C = B ∪ X
e B ∩ X = ∅ é:
a. {a}
b. {b}
c. {c}
d. {a, b}
e. {b, c}
284. UFPE
Dados os conjuntos A e B, a operação
de diferença simétrica (⊕) é definida
por A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B).
Se A = {1, {1}, ∅, a} e B = {1, 2, {∅}, a, b}, então
o conjunto A ⊕ B é igual a:
a. {1, {1}, ∅, {∅}, 2, a, b}
b. {1, a}
c. {{1}, {∅}, 2, b}
d. {{1}, ∅, {∅}, 2, b}
e. ∅
285. UFRGS-RS
O conjunto A é subconjunto de
B e A ≠ B, A ∪ (B – A) é:
a. B
b. A
c. ∅
d. A – B
e. A ∩ B
286. UEPG-PR
Indica-se por n(X) o número de elementos do
conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que
n(A) = 20, n(B – A) = 15 e n(A ∩ B) = 8, assinale
o que for correto.
01. n(A – B) = 12
02. n(B) = 23
03. n(A ∪ B) = 35
04. n(A ∪ B) – n(A ∩ B) = 27
05. n(A) – n(B) = n(A – B)
287. UFT-TO
Foi aplicado um teste contendo três questões
para um grupo de 80 alunos. O gráfico abaixo
representa a porcentagem de acerto dos alunos
por questão.
Acertos
70%
60%
40%
1ª 2ª 3ª
Questões
Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos
duas questões e 8 alunos não acertaram nenhuma.
O número de alunos que acertaram as
três questões é:
a. 44
b. 40
c. 12
d. 20
e. 30
288. FGV-SP modificado
Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que:
• 50% aplicam dinheiro em caderneta de
poupança.
• 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento.
• 15% aplicam dinheiro em caderneta de
poupança e fundos de investimento simultaneamente.
O número de pessoas que não aplicam em caderneta
de poupança nem em fundos de investimento
é:
a. 105
b. 45
c. 90
d. 150
e. 100
95

Matemática
Matemática básica
289. Unifoa
Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas
consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o
jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110
não liam nenhum dos dois jornais. Quantas
pessoas foram consultadas?
a. 260. d. 340
b. 280. e. 380
c. 320.
290. UFF-modificado
Seiscentos estudantes de uma escola foram
entrevistados sobre suas preferências quanto
aos esportes vôlei e futebol.
O resultado foi o seguinte: 204 estudantes
gostam somente de futebol, 252 gostam somente
de vôlei e 48 disseram que não gostam
de nenhum dos dois esportes.
Determine o número de estudantes entrevistados
que gostam dos dois esportes.
291. ITA-SP
Considere as seguintes afirmações sobre o
conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
I. ∅ ∈U e n(U) = 10
II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10
III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U
IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):
a. apenas I e III.
b. apenas II e IV.
c. apenas II e III.
d. apenas IV.
e. todas as afirmações.
292. EFOMM
Considere-se o conjunto universo U, formado
por uma turma de cálculo da Escola de Formação
de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM)
e composta por alunos e alunas. São dados os
subconjuntos de U:
A: conjunto formado pelos alunos; e
B: conjunto formado por todos os alunos e alunas
aprovados.
Pode-se concluir que C UB
– (A – B) é a quantidade
de
a. alunos aprovados.
b. alunos reprovados.
c. todos os alunos e alunas aprovados.
d. alunas aprovadas.
e. alunas reprovadas.
293. Unifoa-RJ
Os exames Holter-24 horas e ecocardiograma
foram realizados em pacientes com a finalidade
de diagnosticar uma possível arritmia cardíaca.
Em 1.000 pacientes analisados, de acordo
com a origem das arritmias, foram constatados:
150 pacientes apresentaram arritmias
atriais, 380 apresentaram arritmias juncionais,
270 apresentaram arritmias ventriculares, 58
apresentaram arritmias atriais e juncionais,
29 apresentaram arritmias e ventriculares, 36
apresentaram arritmias juncionais e ventriculares,
12 apresentaram as três origens de arritmias.
Determine a quantidade de pacientes
que não apresentaram nenhuma arritmia.
a. 311
b. 289
c. 368
d. 256
e. 196
294. PUC-RS
Em enquete realizada numa turma de 60 alunos
da PUC-RS, tomou-se conhecimento dos
seguintes dados, que relacionam o número de
alunos ao(s) esporte(s) que praticam no Centro
Esportivo:
Nº de alunos Esporte praticado
40 futebol
30 natação
15 tênis
20 futebol e natação
10 futebol e tênis
8 natação e tênis
5 futebol, natação e tênis
O número de alunos que não praticam esporte,
nesse grupo, é:
a. 0 d. 13
b. 5 e. 25
c. 8
PV-13-14
96

Matemática básica
Matemática
295. IME
Em relação à teoria dos conjuntos, considere
as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos
A, B e C:
I. Se A ∈ B e B ⊆ C então A ∈ C.
II. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ∈ C.
III. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ⊆ C.
Está(ão) correta(s):
a. nenhuma das alternativas.
b. somente a alternativa I.
c. somente as alternativas I e II.
d. somente as alternativas II e III.
e. todas as alternativas.
296. Unifoa-RJ
Dos diagramas de Venn abaixo, qual melhor
representa o conjunto que contém o resultado
da busca?
a.
b.
F
F
B
V
V
PV-13-14
Leia o texto atentamente e responda a questões
296 e 297.
Ao utilizar sites de buscas na Internet, o usuário
terá possibilidades de efetuar combinações
de palavras que deverão ser pesquisadas. Por
exemplo, no site de busca Google, o usuário
poderá efetuar as seguintes combinações de
busca:
• Se o usuário digitar palavras separadas
com um espaço entre elas, a busca será
feita por uma palavra e a outra palavra.
• Se o usuário digitar palavras entre aspas,
a busca será feita pela expressão
(frases exatas).
• Se o usuário digitar um sinal de –(menos)
na frente de uma palavra, a busca
será feita excluindo-se os sites que contenham
tal palavra.
Com base nessas regras, um usuário realizou a
seguinte pesquisa: universidade "unifoa volta
redonda" – facebook. Considere o conjunto V
que é formado por todos os sites que contêm
a palavra universidade, F que é formado por
todos os sites que contêm a expressão “unifoa
volta redonda” e B que é formado por todos os
sites que contêm a palavra facebook.
c.
d.
e.
297. Unifoa-RJ
F
F
F
O conjunto que representa o resultado da busca
pode ser representado matematicamente,
utilizando noções de teorias de conjuntos por:
a. F ∪ (V ∩ B)
b. (F ∪ V) – B
c. (F ∩ V) ∪ B
d. F ∪ V – (B ∩ F ∩ V)
e. (F ∩ V) – B
B
B
B
B
V
V
V
97

Matemática
Matemática básica
298. Udesc
A tabela 1 apresenta informações a respeito
da Carteira Nacional de Habilitação (CBH).
Tabela 1: Categorias da CNH e suas características
Categoria
A
B
C
Características
Destinada a condutor de veículo
motorizado de 02 (duas) ou 03 (três)
rodas, com ou sem carro lateral,
que tenha a idade mínima de 18
(dezoito) anos.
Destinada a condutor de veículo
motorizado cujo peso bruto total
não ultrapasse a 3.500 kg e cuja
locação não exceda a 08 (oito)
lugares, excluído o do motorista,
e que tenha a idade mínima de 18
(dezoito) anos.
Destinada a condutor de veículo
motorizado voltado ao transporte
de carga, cujo peso bruto total
ultrapasse a 3.500 kg, que esteja
habilitado no mínimo há um ano na
categoria B e não tenha cometido
nenhuma infração grave ou
gravíssima, ou ser reincidente em
infrações médias, durante os últimos
doze meses.
Disponível em: . Acesso em: 22 mar. 2011.
Uma pesquisa de rua foi realizada com 2.000
jovens entre 18 e 25 anos. Os dados desta
pesquisa mostraram que somente 20% destes
jovens não possuem CNH; 70% possuem CNH
da categoria B e metade destes também possui
CNH da categoria A; 5% possuem CNH da
categoria C; e 2% possuem CNH das categorias
A e C.
Então, o percentual de jovens entrevistados
que possuem CNH da categoria A é igual a:
a. 42%
b. 45%
c. 65%
d. 55%
e. 37%
299. UEL-PR
Num dado momento, três canais de TV tinham,
em sua programação, novelas em seus horários
nobres: a novela A no canal A, a novela B
no canal B e a novela C no canal C. Numa pesquisa
com 3.000 pessoas, perguntou-se quais
novelas agradavam. A tabela a seguir indica o
número de telespectadores que designaram
as novelas como agradáveis.
Novelas
Número de telespectadores
A 1.450
B 1.150
C 900
A e B 350
A e C 400
B e C 300
A, B e C 100
Quantos telespectadores entrevistados não
acham agradável nenhuma das três novelas?
a. 300 telespectadores
b. 370 telespectadores
c. 450 telespectadores
d. 470 telespectadores
e. 500 telespectadores
300. UFF-RJ
Uma pesquisa foi realizada para avaliar o consumo
de três marcas de sucos.
Descobriu-se que de 100 pessoas entrevistadas,
83 consomem pelo menos uma das três marcas,
57 consomem somente uma delas e 19 consomem
somente duas das três marcas citadas.
Determine o número de pessoas entrevistadas:
a. que não consomem nenhuma das três
mascas.
b. que consomem as três marcas citadas.
301. Unisinos-RS
Chama-se conjunto dos números racionais o
conjunto:
a. {x | x ∈ }
a
b.
b | a ∈ , b ∈ e b ≠ 0
{ }
PV-13-14
98

Matemática básica
Matemática
PV-13-14
a
c.
{ b | a ∈
}
, b ∈
{ }
d. x ∈ R| x = a,
a ∈Q
a
e.
{ b | a ∈ , b ∈
}
e b ≠ 0
302. Fuvest-SP
Seja r = 2 + 3.
a. Escreva 6 em função de r.
b. Admitindo que 6 seja irracional, prove
que r também é irracional.
303. Unisa-SP
( ) e 0,999... não são nú-
Assinale a afirmação verdadeira.
a. ( 5 + 1) ⋅ 5 − 1
racional.
b. ( 5 + 1) ⋅ 5 − 1
racional.
c. ( 5 + 1) ⋅ 5 − 1
irracional.
d. ( 5 + 1) ⋅ 5 − 1
irracional.
e. ( 5 + 1) ⋅ 5 − 1
meros reais.
304. UEPG-PR
( ) é irracional e 0,999... é
( ) é racional e 0,999... é
( ) é racional e 0,999... é
( ) é irracional e 0,999... é
Assinale o que for correto.
01. O número real representado por 0,5222...
é um número racional.
02. O quadrado de qualquer número irracional
é um número racional.
04. Se m e n são números irracionais, então
m · n pode ser racional.
08. O número real 3 pode ser escrito sob a
305.
forma a , em que a e b são inteiros e b ≠ 0.
b
16. Toda raiz de uma equação algébrica do
2º grau é um número real.
Um número natural possui 3 algarismos. Retirando-se
o algarismo 0 desse número e mantendo-se
a ordem dos outros dois, seu valor se
reduz à sexta parte do original.
A soma dos algarismos desse número é igual a:
a. 6
b. 7
306.
c. 8
d. 9
e. 10
Um conjunto é formado por 18 números naturais
distintos, dos quais 12 são ímpares e 7 são
múltiplos de 3. A quantidade máxima de múltiplos
de 6 que esse conjunto pode conter é:
a. 7
b. 6
c. 5
d. 4
e. 3
307. EFOMM
4 61
Se a= 3, b = e c = 1,222222..., assinale a
50
opção correta.
a. a < c < b
b. a < b < c
c. c < a < b
d. b < a < c
e. b < c < a
308. UFSM-RS
Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada
uma das afirmações a seguir:
( ) A letra grega p representa o número racional
que vale 3,14159265.
( ) O conjunto dos números racionais e o
conjunto dos números irracionais são
subconjuntos dos números reais e possuem
apenas um ponto em comum.
( ) Toda dízima periódica provém de uma
divisão de dois números inteiros, portanto
é um número racional.
A sequência correta é:
a. F – V – V
b. V – V – F
c. V – F – V
d. F – F – V
e. F – V – F
99

Matemática
Matemática básica
309. PUC-SP
Sabe-se que o produto de dois números irracionais
pode ser um número racional.
Um exemplo é:
a. 12 ⋅ 3 = 36
b. 4 ⋅ 9 = 6
c. 3 ⋅ 1 = 3
d. 2 ⋅ 2 = 8
e. 2 ⋅ 3 = 6
310. UFMG
Considere x, y e z números naturais. Na divisão
de x por y, obtém-se quociente z e resto 8.
Sabe-se que a representação decimal de x y é
a dízima periódica 7,363636...
Então, o valor de x + y + z é:
a. 190
b. 193
c. 191
d. 192
311. PUC-MG
Considere os seguintes conjuntos de números
naturais:
A = { x ∈
| 0 ≤ x ≤ 25} e { B = x ∈
| 16 ≤ x < 25}
.
O número de elementos do conjunto A ∩ B é:
a. 9
b. 10
c. 11
d. 12
312. Fuvest-SP
Na figura estão representados geometricamente
os números reais 0, x, y e 1.
Qual é a posição do número x · y?
313. UEPB-PR
O número π − 3 pertence ao intervalo:
⎛ 1
a. ⎜
⎝ 2 , 1 ⎤
⎥
⎦
⎛
b. 1,
3 ⎤
⎜
⎝ 2⎥
⎦
⎛ 3
c. ⎜
⎝ 2 , 2 ⎤
⎥
⎦
⎛
d. 0 , 1 ⎤
⎜
⎝ 2⎥
⎦
e. ⎡ 1 ⎤
⎢−
⎥
⎣ 2 , 0
⎦
314. PUC-MG
Sendo:
A = {x ∈ | –2 ≤ x < 3} e B = {x ∈ | –2 < x ≤ 3}
a. A ∪ B = A
b. A ∪ B ⊂ Z
c. A ∩ B = A
d. A ∩ B ⊂ Z
e. A ∩ B = B
315. UFS-SE
Considere os conjuntos:
{ }
{ }
{ }
A = x ∈ |
1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6
B = x ∈|
1 ≤ x < 5 e x ≠ 3
C = x ∈ |
2 < x ≤ 4
para analisar as afirmações que seguem.
01. B ⊃ C
02. A ∪ B = [1; 6]
03. A ∩ C = ]2; 3]
04. B – C = {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5}
05. Se A é o complementar de A em relação
ao universo , então 5 ∈ A .
3
PV-13-14
a. À esquerda de 0
b. Entre 0 e x
c. Entre x e y
d. Entre y e 1
e. À direita de 1
316. ITA-SP
Sobre o número
afirmar que:
a. x ∈ ]0, 2[.
b. x é racional.
c. é irracional.
d. x 2 é irracional.
e. x ∈ ]2, 3[.
, é correto
100

Matemática básica
Matemática
317. UFAL/PSS
No universo , sejam A o conjunto dos números
pares, B o conjunto dos números múltiplos
de 3 e C o conjunto dos números múltiplos de
5. Determine os 10 menores números que pertencem
ao conjunto B – (A ∪ C).
318. UEL-PR
Dados os conjuntos X e Y, a diferença entre X
e Y é o conjunto X – Y = {x ∈ X: x ∉Y}. Dados
os conjuntos (intervalos) A = [2, 5] e B = [3, 4],
temos:
a. A – B = {2, 5} e B – A = {–1, –2}
b. A – B = B – A
c. A – B = ∅ e B – A = [2, 3] ∪ [4, 5]
d. A – B = (2, 3] ∪ [4, 5) e B – A = ∅
e. A – B = [2, 3) ∪ (4, 5] e B – A = ∅
319. FCC-SP
Dados os conjuntos P = [2; 7] e Q = [– 3; 5[,
podemos afirmar que:
a. P ∪ Q = [– 1; 12[
b. 3 ∈ Q – P
c. 5 ∉ P ∪ Q
d. [3; 4] ⊂ P ∩ Q
e. P – Q = ] – 3; 2]
320.
Considere os conjuntos: A = [2, 5], B = ]5, 8] e
C = [8, 10]. Determine A ∪ B ∪ C.
PV-13-14
101

Matemática R:
Matemática básica
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Capítulo 01
01. a. 8
b. 243
c. 0
d. 1
e. 16
f. 16
g. – 16
h. – 1
i. – 6
j. 1
02. C
03. B
04. B
05. B
06. B
07. D
08. E
09.
a.
b.
10. D
11. D
3
121 = 11
8 = 2
4
c. 625 = 5
3
d. − 27 = − 3
1
e. 0 = 0
f. 2, 25 = 1,
5
g. 0, 04 = 0,
2
3
h. 0, 008 = 0,
2
12. 3 2 > 2 > 2 3
13. a.
b.
14. D
15. E
12
12
432
2
16. D
17. a. 2 21
b. 7
18. C
19. a. 0,44 m 2
b. 22,4 kg
20. C
21.
a.
b.
c.
22. A
23. A
24. D
3
3
2 5
56
8
3
d. 25
e. 3 + 2 2
25. E
26. A
27. a.
1
I.
2 +1 = 2 - 1
II.
III.
Capítulo 02
41.
a. (2x + 3y) 2 = 4x 2 + 12xy + 9y 2
b. (5x – 2y) 2 = 25x 2 – 20xy + 4y 2
c. (3a 2 – b) 2 = 9a 4 – 6a 2 b + b 2
42.
a. (x – 2y) · (x + 2y) = x 2 - 4y 2
b. (a 3 – 2b) · (a 3 + 2b) = a 6 - 4b 2
c. (2xy + z 2 ) · (2xy – z 2 ) = 4x 2 y 2 - z 4
43.
a. (x + 2y) 3 = x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3
b. (2x – y) 3 = 8x 3 – 12x 2 y + 6xy 2 – y 3
c. (2x – 2y) 3 = 8x 3 – 24x 2 y + 24xy 2 – 8y 3
44.
4
2 1 x − 1
a. x − =
2 2
x x
2 2 4 4
b. x y x − y
− =
2 2 2 2
y x x y
28. E
29. B
30. C
31. B
32. B
33. E
34. E
1
3 + 2 = 3 - 2
1
n+1 + n = n + 1 - n
b. S = 10
35. E
36. A
37. D
38. B
39. B
40. A
PV-13-14
102

Matemática básica
R:
Matemática
PV-13-14
45. D
46. A
47. D
48. B
49. E
50. A
51.
a. x
2
52. E = 3
1 2
+ = t − 2
2
x
b. x 3 + x –3 = t 3 – 3t
53. (A + B) 2 = 4x 4 + 8 + 4 x 4
54. E
55. x
56. B
2
1 2
+ = b − 2
2
x
57. a + b + c = 12
58. C
59. B
60. D
CAPÍTULO 03
61.
62.
63. C
64. A
x + y
x − y
a. (5x + 7) 2
b. (x – 1) 2
c. a · (a – 5) 2
d. 6.245.001
65. a. (a – 2) · (a 2 + 2a + 4)
b. (x + 1) · (x 2 – x + 1)
c. (x + 1) · (x 2 + x +1)
66. a. a 2
+ a + 1
a + 1
m + n
b.
m
c. 1
67. a 3 + 1 3
a = 18
68.
a. x 4 – y 4 = (x 2 – y 2 ) (x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )(x – y)(x + y)
b. (a + b) 2 – c 2 = (a + b + c) (a + b – c)
c. 4a 2 – 49b 2m = (2a – 7b m ) (2a + 7b m )
d. (x + 3) 2 – (3x – 4) 2 = (x + 3 + 3x – 4) (x + 3 – 3x + 4) = (4x – 1) · (7 – 2x)
69. a. (x + y) · (x + 2y + 1)
b. (2a + 3b) · (2a – 3b)
c. 4xy
d. (x 2 + y 2 ) · (x + y) · (x – y)
e. 6.249.999
70. a. 2ab 2 · (3a 3 c + 4a 2 b 3 – 6bc 2 )
b. (a + b) · (x + 2)
c. (2 + a) · (x + y)
d. (x + 1) · (x 2 – 3)
e. (x – 2) · (x – 3)
71. C
72. E
73. A
74. A
75. E
76. C
77. E
78. A
79. B
80. x = 4, x ∈
CAPÍTULO 04
81. a. 0,46
b. 675
82.
83. C
84. E
85. B
a. 0,64
b. 1,427
c. 0,0037
d. 1,35
e. 104%
f. 80%
103

Matemática R:
Matemática básica
86. 2.080 litros.
87. D
88. E
89. A
90. E
91. 50 litros de leite de soja.
92. 2,7% do total
10
93.
3 kg
94. Lucro = 20% de venda
95. B
Lucro = 25% da compra
96. Devemos acrescentar 17,5
quilos de cobre e 7,5 quilos de
estanho.
97. C
98. D
99. A
100. B
101. A
102. D
103. A
104. A
105. Logo o salário anterior
sem aumento era de R$
220,00.
106. C
107. B
108. C
109. D
110. 125
111. A
112. D
113. B
114. 180 reais
115. C
116. a. 4,17 x
b. 14%
117. C
118. A
119. 9.400 eleitores do sexo
feminino e 9.100 eleitores do
sexo masculino
120. C
121. 20 g da liga A
122. D
123. B
124. A
125. E
126. B
127. C
128. D
129. E
130. D
131. R$ 100.000,00
132. D
133. D
134. C
135. E
136. C
137.
a. 33,1%
b. Aproximadamente
19%.
138.
a. 4.500,00
b. m = 3.267,00
139. C
140.
a. O desconto que ele
deve dar sobre os preços da
vitrine é de 20%.
b. O lucro sobre o preço
de custo é 81,5%.
CAPÍTULO 05
141. D(40) = ±1; ±2; ±4; ±5; ±8;
±10; ±20; ±40
142. E
143. C
144. C
145. D
146. E
147. 77
148. 154
149. 3
150. Logo, esta soma é uma
número múltiplo de 11.
151.
a. z 1 = 71 – (7 + 1) = 63 = 9 · 7
z 2 = 30 – (3 + 0) = 27 = 9 · 3
Como z 1 e z 2 são multiplos
de 9, a afirmação é verdadeira
para os números 71 e 30.
b. z = “xy” – (x + y)
z = 10 x + y – x – y
z = 9 · x
Como x é inteiro, de 1
a 9, então z é múltiplo de 9.
152. A
153. E
154. D
155. A
156. A
157. B
158. Se m é ímpar, então é um
número do tipo 2k + 1.
Assim, m 2 - 1 = (2k + 1) 2 - 1 ⇒
2 2
m − 1 = 4k + 4k
+ 1 − 1
m
2
( )
− 1 = 4k k + 1
Sendo k e k + 1 dois números
inteiros consecutivos, um
deles é um número par, admitindo,
portanto, o fator 2.
Considerando-se que já existe
o fator 4, pode-se concluir que
m 2 - 1 é divisível por 8.
159. D
160.
N = abc (o símbolo abc representa
um número natural de 3
algarismos).
N = 100a + 10b + c
PV-13-14
104

Matemática básica
R:
Matemática
PV-13-14
A soma a + b + c é múltiplo de
3: a + b + c = 3k, k ∈ N.
N = 100a + 10b + c
3k = a + b + c
N − 3k = 99a + 9b
N = 99a + 9b + 3k
N = 3(33a + 3b + k)
∴ N é múltiplo de 3 ou N é divisível
por 3.
161. E
162. D
163. 35
164. E
165. B
166. B
167. A
168. A
169. C
170. D
171. a. A dimensão máxima
será de 25 cm.
b. Serão necessários 204
ladrilhos.
172. B
173. n = 45
174. C
175. Os possíveis valores, em
cm, são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,
50 e 100.
176. C
177. B
178. 11
179. a. Os possíveis divisores
são: 2, 3 e 5.
b. Os possíveis valores
do mdc (a, b) são: 1, 2, 5 e 10.
180. a. 36s
b. 105 exibições
CAPÍTULO 06
181.
a. S = { 38 }
b. S = ⎧ 6 ⎫
⎨ ⎬⎭ ⎩ 13
182. S = {8}
183.
a. 0x = 60
b. A equação não é uma
equação do 1º grau. A equação
na forma a.x + b = 0 terá o valor
de a igual a zero.
c. 0x = 60 não apresenta
raiz, pois qualquer número
multiplicado por zero é zero e,
portanto, não poderá resultar
60.
Assim, o conjunto solução é o
conjunto vazio: S = { } = Ø.
184. S = { – 2}
185. Pérola leu 30 páginas no
5º dia.
186. D
187. 64 litros
188. C
189. x = 12
190. A
191. E
192. Marta deve comprar 8 m
de tecido.
193.
a. o menor número de
pesos que devemos colocar no
prato da direita da 3ª balança
para que ela fique em equilíbrio
é 3 pesos de 20 g.
b. 4ª balança: temos no
prato da esquerda um cubo e
um cone.
194. Ele tinha inicialmente 30
moedas
195. B
196. A 1ª camponesa carregava
40 ovos e a 2ª 60 ovos.
197. D
198. A
199. E
200. D
201.
a. S = { 20, – 20}
b. S = { 0, 7 }
c. S = Ø
202.
a. S = {– 7 ; 7 }
b. S = Ø
c. S = {0; 6 5 }
d. S = { 0; 1 5 }
203.
⎧1 5 1 5
a. S =
⎪ − + ⎫⎪
⎨ ; ⎬
⎩⎪ 2 2 ⎭⎪
b.
204. B
205. B
206. A
207. B
208. 60
209. C
⎧⎪
5 − 57 +
S = ⎨
⎩⎪ 2
5 57
2
⎫⎪
⎬
⎭⎪
210. O polígono tem 6 lados.
211. p = – 1 4
212. A
213. B
214. E
215. E
216. 100 passageiros
217. B
218. C
219. C
220. E
221.
a. 5
2
b.
1
2
105

Matemática R:
Matemática básica
c. 5
21
d.
4
222.
2
a. r + s =
2
2
b. r · s = –
2
s + r
c. = – 1
r · s
d. r 2 + s 2 = 1 + 2 2
2
223. D
224. A
225. A
226. C
227. A
228. C
229. A
230. D
231. B
232.
a. x 1 + x 2 = 5 2
b. x 1 · x 2 = - 7 2
c. x + x =
4
233. C
1 2 2 2 53
234. S = { 7; 47}
235.
a. x 2 – 7x + 10 = 0
b. (x – 2) · (x – 5) = 0
236.
x 2 – ( 5 + 6) · x + 6 · 5 = 0
237. x 2 – 5 · x + 4 = (x – 4) · ( x – 1)
238. a 2 + b 2 + c 2 = 104
239. B
240. A
241. S = {–2,2}
242. S = −
243. S = { 3 3,
1}
{ 21,
21}
244. ∴ S = {– 2, – 1, 1, 2}
245. S = {1, – 3}
246. S = {6}
247. A
248. A
249. S = {–1, –2}
250. S = {3}
251. E
252. B
253. D
254. V = {7}
255. D
256. A
257. C
258. A
⎧5⎫
259. S = ⎨ ⎬
⎩4⎭
260. D
CAPÍTULO 07
261.
a. e pertence a C.
b. d não pertence a C.
c. A é subconjunto de B
ou A está contido em B ou A é
parte de B.
d. A não é subconjunto
de B ou A não está contido em
B ou A não é parte de B.
d. D contém C
262.
a. ∈
b. ∉
c. ⊂
d. ⊄
e. ⊃ ou ⊄
263.
a. Falsa, pois ∅ não é elemento
de qualquer conjunto.
b. Verdadeira, pois o
conjunto vazio é considerado
contido em qualquer conjunto.
c. Falsa, pois, se o conjunto
vazio não possui elementos,
o 0 não poderia estar contido
nele.
d. Falsa, pois o elemento
∅ não pertence ao conjunto
unitário {0}.
e. Verdadeira, pois o
conjunto vazio é considerado
contido em qualquer conjunto.
f. Verdadeira, pois todo
conjunto é considerado contido
nele mesmo.
g. Falsa, pois o único
conjunto contido no vazio é o
próprio conjunto vazio.
h. Falsa, pois, se o elemento
5 não pertence ao conjunto
A, o conjunto {5} não estará
contido em A.
i). Falsa, pois o elemento
{x} não pertence ao conjunto
{x, {x, y}}.
264. 2
265. O conjunto B não possui
elementos.
266.
a. V
b. F
c. F
d. V
e. F
f. V
g. V
267. A
268.
a. {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b. {0, 1, 2, 3, 4, 5}
3
c.
{ 5}
269.
a. {x ∈ | x é um número
ímpar}
b. {x ∈ | x é um quadrado
perfeito}
PV-13-14
106

Matemática básica
R:
Matemática
PV-13-14
c. {x ∈ | x 2 – 64 = 0}
295. B
270.
296. A
a. x = 0
297. B
b. y = –1 ou y = 0 ou y = 1
298. B
271.
299. C
x = 2 e y = 2 ou y = 3
300. a. 17 pessoas
272. E
b. 7 pessoas
273. P(A) = {∅ , {0}, {1}, A} 301. B
274.
302.
P(A) = {∅ ,{a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e},
r2
r2
− 5
= 5 + 2 6a.
⇒ 6 =
{a, i}, {e, i}, A}
2
275. 1.024
b. Se r fosse racional, r 2 , r 2 – 5 e r2 - 5
seriam racionais,
2
276. 12
contrariando a hipótese de que 6 é irracional.
277. A
303. B
278.
304. 01 + 04 = 05
a. F
305. D
b. V
306. B
c. V
307. E
d. V
e. V
308. D
279. B
309. A
280. A
310. C
281. 80 nadadores
311. A
282. E
312. B
283. E
313. B
284. D
314. D
285. A
315.
01. F
286. 01; 02; 04; 08
02. V
287. C
03. F
288. A
04. V
289. D
05. F
290. 96 estudantes entrevistados
gostam dos dois esportes.
316. B
317. {3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69}
291. C
318. E
292. E
319. D
293. A
320. A ∪ B ∪ C = [2, 10].
294. C
107