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<strong>Matemática</strong> básica<br />
<strong>Matemática</strong><br />
PV-13-11<br />
Exemplo<br />
Consideremos os números 2.520 e 2.700:<br />
2. 520, 2.<br />
700<br />
1. 260, 1.<br />
350<br />
2 *<br />
2 *<br />
630,<br />
375 2<br />
315,<br />
675 3 *<br />
105,<br />
225 3 *<br />
35,<br />
75 3<br />
35,<br />
25 5 *<br />
7,<br />
5<br />
7,1<br />
5<br />
7<br />
1,<br />
1<br />
Teremos que:<br />
MDC (2.700, 2.520) = 2 2 · 3 2 · 5 e<br />
MMC (2.700, 2.520) = 2 3 · 3 3 · 5 2 · 7<br />
7. MDC pelo método das<br />
divisões sucessivas<br />
A determinação do MDC pelo método das<br />
divisões sucessivas é um processo desenvolvido<br />
por Euclides e consiste, basicamente,<br />
em dividir o número maior pelo número menor.<br />
Se a divisão for exata, o MDC será o menor<br />
número. Porém, caso a divisão apresente<br />
resto diferente de zero, deveremos dividir o<br />
menor número pelo resto e, assim, sucessivamente,<br />
até chegarmos a uma divisão exata. O<br />
último divisor será o MDC dos números.<br />
Exemplos<br />
a) Determinar o MDC dos números 252 e<br />
140.<br />
1 1 4 quocientes<br />
252 140 112 28<br />
112 28 0 restos<br />
Posteriormente, tomamos o terceiro número<br />
com o MDC dos dois primeiros:<br />
5 2<br />
165 30 15<br />
15 0<br />
MDC (330, 210, 165) = 15<br />
8. Propriedades do MDC e do MMC<br />
• Propriedade 1<br />
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B<br />
Justificativa<br />
Consideremos os números A e B decompostos<br />
em fatores primos:<br />
α<br />
A = a 1<br />
β<br />
⋅ b 1<br />
γ<br />
⋅ c 1 ⋅ ⋅⋅⋅pε<br />
1<br />
e<br />
α<br />
B = a 2<br />
β γ δ<br />
⋅ b 2 ⋅c 2 ⋅ ⋅⋅⋅p<br />
2<br />
Para o cálculo do MDC (A, B), tomamos os<br />
fatores comuns com os menores expoentes;<br />
para o cálculo do MMC (A, B), tomamos todos<br />
os fatores comuns ou não comuns com os<br />
maiores expoentes. Vamos considerar o caso<br />
do fator a:<br />
α 1 < α 2 , teremos α 1 no MDC e α 2 no MMC.<br />
α 1 > α 2 , teremos α 1 no MMC e α 2 no MDC.<br />
No produto A · B, o fator a terá expoente<br />
(α 1 + α 2 ). No produto MDC (A, B) · MMC (A, B),<br />
o fator a também terá expoente (α 1 + α 2 ).<br />
Fazendo a mesma consideração para todos os<br />
outros fatores primos, verificaremos que os<br />
mesmos fatores, com os mesmos expoentes,<br />
que compõem o produto dos números A e B,<br />
compõem, também, o produto do MDC e o<br />
MMC desses números e, portanto:<br />
MDC (252, 140) = 28<br />
b) Determinar o MDC dos números 330,<br />
210 e 165. Tomemos, inicialmente, os<br />
dois maiores números:<br />
1 1 1 3<br />
330 210 120 90 30<br />
120 90 30 0<br />
MDC (330, 210) = 30<br />
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B<br />
• Propriedade 2<br />
MDC (k · A, k · B) = k · MDC (A, B)<br />
• Propriedade 3<br />
MMC (k · A, k · B) = k · MMC (A, B)<br />
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