Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática
Matemática básica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.
Resolver, em , a equação x 2
− 2 x = 3 .
x − 2
Resolução
x2 − 2x
= 3 (C.E.: x ≠ 2)
x − 2
x 2 – 2x = 3 (x – 2)
x 2 – 2x = 3x – 6
⎧a
= 1
x2 ⎪
− 5x
+ 6 = 0⎨b
= −5
⎪
⎩c
= 6
∆ = b 2 – 4 · a · c
∆ = (–5) 2 – 4 · 1 · 6
∆ = 1
b
x = − ± ∆
2a
x = − ( − 5)
± 1
2⋅1
5
x = − 1 5
ou x = + 1
2 2
x
= 2 ou x = 3
não serve
S = { 3}
02.
Escreva duas equações do 2º grau que tenham
como raízes os números 4 e 3.
Resolução
S = 4 + 3 = 7
P = 4 · 3 = 12
ax 2 + bx + c = 0 é equivalente a x 2 – Sx + P = 0;
assim, temos:
x 2 – 7x + 12 = 0
Para encontrar uma segunda equação, basta
multiplicar ou dividir os dois membros da
igualdade por um número real diferente de
zero.
x 2 – 7x + 12 = 0 (multiplicar os dois lados por 5)
5x 2 – 35x + 60 = 0, que é equivalente a
x 2 – 7x + 12 = 0
Resposta
Duas equações que têm como raízes 4 e 3 são:
x 2 – 7x + 12 = 0 e 5x 2 – 35x + 60 = 0
Obs. – Dividindo ou multiplicando a equação
x 2 – 7x + 12 = 0 por um número real diferente
de zero, obteremos novas equações
equivalentes, portanto há infinitas equações
do 2º grau que possuem as raízes
4 e 3.
03.
Considere a equação ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ,
com raízes x 1 e x 2 . Mostre que a expressão
ax 2 + bx + c é equivalente à expressão
a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ).
Resolução
Como x 1 e x 2 são raízes da equação ax 2 + bx + c = 0,
temos que x 1 + x 2 = - b (soma das raízes ) e
a
x 1· x 2 = c (produto das raízes)
a
⎛ b
a · x 2 + b · x + c = a x
a x c
⋅
2
⎞
+ +
⎝
⎜
a⎠
⎟ =
⎡
= − ⎛ b ⎞ ⎤
a⎢x
−
⎝
⎜
⎠
⎟ + ⎥
⎣ a x c
2
= a ·[x 2 –(x 1 + x 2 )· x + (x 1 · x 2 )] =
a⎦
= a [x 2 – x · x 1 – x · x 2 + x 1 · x 2 ) =
= a [x (x – x 1 ) – x 2 (x – x 1 )] =
= a · [(x – x 1 ) · (x – x 2 )]=
= a · (x – x 1 ) · (x – x 2 )
Assim, temos que: ax 2 + bx + c = a · (x – x 1 ) · (x – x 2 )
(c. q. d.)
A forma a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) é a forma fatorada de
ax 2 + bx + c, quando x 1 e x 2 são as raízes.
PV-13-11
46