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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica 5. Equações equivalentes São aquelas que possuem as mesmas raízes, isto é, o mesmo conjunto solução, no mesmo universo. Exemplo As equações 2x + 10 = 0 e x + 5 = 0 são equivalentes, pois ambas possuem uma única raiz, que é –5. Os teoremas a seguir permitem transformar uma equação em outra equação equivalente. T 1 . Adicionar (subtrair) um mesmo número, do conjunto universo, em ambos os membros da igualdade. a = b ⇔ a + c = b + c ou a = b ⇔ a – c = b – c T 2 . Multiplicar (dividir) um mesmo número diferente de zero, do conjunto universo, em ambos os membros da igualdade. a = b ⇔ a · c = b · c ou a = b ⇔ a b = c c Exemplo Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em . Considere os procedimentos a seguir: 2x + 10 = 0 2x + 10 = 0 (vamos subtrair 10 dos dois membros da igualdade, T 1 .) 2x + 10 – 10 = 0 – 10) 2x = – 10 (agora, vamos dividir os membros da igualdade por 2, T 2 ) 2 2 x = – x = – 5 10 2 Pelo teorema T 1 , a equação 2x + 10 = 0 é equivalente à equação 2x = – 10 e, pelo teorema T 2 , esta é equivalente à equação x = – 5. Assim, podemos dizer que as três equações são equivalentes entre si, sendo que a última é a mais simples e nos leva à solução. O uso de teoremas de equivalência é de grande auxílio na resolução de equações matemáticas. 6. Equação do 1º grau Observando os oito exemplos de equações citados anteriormente, percebemos que há diversos tipos distintos de equações, por isso é preciso organizar as equações em grupos com características semelhantes. O primeiro grupo que iremos organizar para estudo é o das equações do 1º grau. Denominamos equação do 1º grau em , na incógnita x, toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a ≠ 0, a ∈ e b ∈. Dentre os oito exemplos de equações citados anteriormente, apenas a primeira equação é do 1º grau, e comparando a forma geral ax + b = 0 com a equação 2x + 10 = 0, verificamos que a = 2 e b = 10. Observe que a 6ª e a 8ª equações, embora possam ser escritas na forma ax + b = 0, não são equações do 1º grau, pois a = 0. Os dois teoremas citados anteriormente nos auxiliam na resolução de equações do 1º grau. Observe: Forma geral: ax + b = 0 (T 1 ) Subtraindo b dos dois membros da igualdade: ax + b – b = 0 – b Equação equivalente: ax = – b (T 2 ) Dividindo os dois membros por a: ax b = – a a Equação equivalente: x = – b a (descobrimos o valor do x) b S = – a 7. Problemas matemáticos Proposição a ser resolvida a partir dos dados do problema, os quais são informações contidas no enunciado da questão de forma explícita ou implícita. Um problema matemático pode ter uma solução, mais de uma solução ou não ter solução. Para resolver um problema matemático, precisamos encontrar todos os possíveis valores das incógnitas propostas no enunciado da questão. 8. Passos para resolver um problema matemático 01. Equacionar o problema (organizar os dados da questão em uma ou mais equações matemáticas). PV-13-11 40

Matemática básica Matemática 02. Resolver as equações. 03. Analisar os resultados encontrados avaliando se algum serve, se todos servem ou se nenhum deles serve. 04. Apresentar a resposta final. Exemplo A soma das idades de dois irmãos é 30. A idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos. Quais são as idades dos irmãos? Podemos organizar os dados do problema em uma tabela, que é um artifício de muita utilidade. Ainda do enunciado: 30 – x = x + 10 (a idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.) 30 – 10 = x + x 20 = 2x 10 = x Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos. 3º modo O mesmo problema poderia ser resolvido utilizando-se duas incógnitas. Idade Idade dos irmãos Mais novo x Irmão mais novo x Mais velho y PV-13-11 Irmão mais velho x + 10 (o enunciado diz que a idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.) Ainda do enunciado, temos: x + x + 10 = 30 (a soma das idades é 30). Resolver a equação: 2x + 10 = 30 2x = 20 x = 10 Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos. Um problema pode ter mais de um modo de se resolver. 2º modo No exemplo anterior, poderíamos montar a tabela do seguinte modo: (A soma das idades é 30.) x + y = 30 (A idade do mais velho excede a idade do mais novo em 10 anos.) y = x + 10 Substituir a 2ª equação na 1ª: x + x + 10 = 30 2x = 20 x = 10 Substituir o resultado na 2ª equação: y = 10 + 10 y = 20 Resposta – O irmão mais novo tem 10 anos e o irmão mais velho tem 20 anos. Idade dos irmãos Irmão mais novo x Irmão mais velho 30 – x (a soma das idades é 30.) 41