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Matemática01 - Matemática Básica (320)

Matemática Matemática básica 03. Fatore a expressão: x 2 – 25y 2 Resolução x 2 – 25y 2 = x 2 – (5y) 2 = (x + 5y) · (x – 5y) Resposta (x + 5y) · (x – 5y) 04. Fatore: (x 2 + 2xy + y 2 ) + 2(x + y) + 1 Resolução (x 2 + 2xy + y 2 ) + 2(x + y) + 1 = (x + y) 2 + 2(x + y) + 1 = [(x + y) + 1] 2 = (x + y + 1) 2 Resposta (x + y + 1) 2 05. Vunesp Por hipótese, considere a = b. Multiplique ambos os membros por a. a 2 = ab. Subtraia de ambos os membros b 2 . a 2 – b 2 = ab – b 2 Fatore os termos de ambos os membros. (a + b) · (a – b) = b (a – b) Simplifique os fatores comuns (a + b) = b. Use a hipótese que a = b. 2b = b Simplifique a equação e obtenha 2 = 1. A explicação para isso é: a. A álgebra moderna, quando aplicada à teoria dos conjuntos, prevê tal resultado. b. A hipótese não pode ser feita, pois como 2 = 1, a deveria ser (b + 1). c. Na simplificação dos fatores comuns, ocorreu divisão por zero, gerando o absurdo. d. Na fatoração, faltou um termo igual a – 2ab, no membro esquerdo. e. Na fatoração, faltou um termo igual a +2ab, no membro esquerdo. Resolução (a + b) · (a – b) = b (a – b) ⇔ a + b = b A equivalência acima só é possível se dividirmos os dois membros por (a – b), porém da hipótese a = b, assim a – b = 0, e a divisão por zero não é definida. Resposta C 06. Simplifique a expressão: a 4 + a 2 + 1 . a2 + a+ 1 Resolução a4 + a2 + 1 a a 1 a a a2 + a+ 1 = + + + − a2 + a+ 1 a2 2 ( + 1) − a a2 + a + 1 = a 2 - a + 1 Resposta a 2 – a + 1 2 4 2 2 2 = a 2 + a + 1 a + 2a + 1−a = a2 + a+ 1 a2 a a2 ( + 1 + ) ( + 1 − a) 4 2 2 = E. Trinômio do 2º grau Considerando o trinômio do 2º grau ax 2 + bx + c, a ≠ 0 e suas raízes reais x 1 e x 2 , a seguinte igualdade é verdadeira: ax 2 + bx + c = a · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) F. Soma e diferença de cubos Observe a multiplicação: (a + b) · (a 2 – ab + b 2 ) = = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3 PV-13-11 20

Matemática básica Matemática A partir deste resultado, podemos fatorar a soma de dois cubos: a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 – ab + b 2 ) Pode-se mostrar, de modo semelhante, que a 3 – b 3 = (a – b) · (a 2 + ab + b 2 ). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PV-13-11 01. Fatore a expressão: x2 − ( 1 + 2) x + 2 . Resolução x 2 –( 1 + 2) x + 2 = 0 S = 1 + 2 P = 2 x = 1 ; x = 2 1 2 ∴( x – 1)( x – 2) Resposta ( x – 1) · ( x – 2) 02. Fatore a expressão: x 6 – y 6 . Resolução x 6 – y 6 = (x 2 ) 3 – (y 2 ) 3 = = (x 2 – y 2 ) · (x 2 + x 2 y 2 + y 2 ) = = (x + y) · (x - y) · (x 2 + (xy) 2 + y 2 ) Resposta (x + y) · (x – y) · (x 2 + (xy) 2 + y 2 ) 03. Simplifique a expressão: x3 − y3 x3 + y3 − x − y x + y Resolução x3 − y3 x3 + y3 − = x − y x + y ( x − y) ( x + xy + y ) ( x + y) x − xy + y = − x − y x + y = x2 + xy + y2 x2 xy y2 2xy 04. ( ) 2 2 2 2 ( ) − ( − + ) = Sendo (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 e (a – b) 3 = = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 , fatore as expressões: a. 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 b. 8a 3 – 12a 2 b + 6ab 2 – b 3 Resolução a. 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 = = (2x) 3 + 3 · (2x) 2 · 1 + 3 · 2x · 1 2 + 1 3 = = (2x + 1) 3 Como também já foi dado no enunciado, pode-se obter esse resultado sem esse procedimento. b. 8a 3 – 12a 2 b + 6ab 2 – b 3 8a 3 – 12a 2 b + 6ab 2 – b 3 = = (2a) 3 – 3 · (2a) 2 · b + 3 (2a) · b 2 – b 3 = = (2a – b) 3 = 21