Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

Lógica para la Computación
V) Lógica Abductiva y Lógica Paraconsistente
Alfredo Burrieza Muñiz
Inmaculada Fortes Ruiz
Inmaculada Pérez de Guzmán Molina
Agustín Valverde Ramos

No hay que sobrestimar lo inusitado.
Hay que dotar de aguijones a lo común y corriente.
i
Elias Canetti
Aunque la naturaleza se inicia con la razón y termina con la experiencia,
es necesario para nosotros hacer lo contrario, es decir,
comenzar con la experiencia y después proceder a investigar la razón 1
Leonardo da Vinci
Ser o no Ser ¿o Ser y no Ser?
1 Cita tomada de la tesis doctoral de Mauricio Atzori. Abduction and Anonymity in Data Mining. Dipartimento
di Informatica Università di Pisa

Índice general
1. Introducción 1
2. Lógica Abductiva Proposicional 7
2.1. Propiedades de la relación de consecuencia abductiva |=ab . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Novedades y Anomalías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Demostración automática en Lógica Abductiva 15
3.1. Tablas semánticas para la Lógica Abductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. δ-resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1. δ-Resolución como algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Logica abductiva de primer orden 37
4.1. Semántica para los Lenguajes de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1. Semántica de Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2. Forma Normal Prenexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.3. Skolemización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.4. Herbrandización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Método de C-tablas para la lógica abductiva de primer orden . . . . . . . . . . . . . 53
4.3. δ-Resolución Abductiva en la lógica de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4. Predicados Abducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5. Aplicaciones de la Lógica Abductiva 63
5.1. Lógica Epistémica y Abducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6. Lógica Paraconsistente 73
6.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2. Inconsistencia y trivialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3. Algunas lógicas paraconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.1. La Lógica de la Paradoja LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.2. Las C-lógicas de da Costa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4. Aplicaciones de la lógica paraconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
iii

iv ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1
Introducción
Comencemos planteándonos la siguiente pregunta ¿qué requiere un sistema de IA? De inmediato
nos planteamos que la pregunta nos hace reflexionar sobre cuatro cuestiones:
¿cuánto conocimiento requiere un sistema de IA para ser útil? Los investigadores
en el tema han llegado a la conclusión de que “mucho”. Tendría que tener conocimiento
sobre ciencia, sociedad y cultura, climatología, finanzas, historia, etc. Así que tendremos que
ser eficaces a la hora de decidir cómo formalizar el razonamiento, cómo almacenarlo, cómo
estructurarlo, cómo gestionarlo.
¿qué tipo de conocimiento es necesario? Como las personas, un sistema inteligente
tendrá que saber aprender a partir del conocimiento previo. Por lo tanto, tendremos que
proporcionarle ese conocimiento previo y la posibilidad de aprender de él.
¿cómo debe ser representado el conocimiento? Hay un amplio consenso sobre la necesidad
de:
• el lenguaje de la lógica de primer orden;
• el lenguaje modal (creencia, conocimiento, . . . ) y el lenguaje temporal;
• un lenguaje que permita razonar “por defecto” 1 y con grados de verdad,
• un lenguaje que permita discernir entre diversos contextos de referencia ¿Qué queremos
decir con esto? Recurramos a un ejemplo clásico. Consideremos la siguiente conversación:
Padre: ¿quién es drácula?
Hijo: Un vampiro.
Padre: ¿existen los vampiros?
Hijo: ¡No!, no existen.
Las respuestas del hijo parecen contradictorias. La causa es que la primera pregunta se
contesta en el marco de la ficción y la segunda en el del mundo real. Tendremos pues
que poder integrar diversas “sub-teorías” y exigir que las afirmaciones en una sub-teoría
1 En el sentido de la lógica no monótona de Reiter, en la que, en presencia de información incompleta, estamos
obligados a recurrir a, “por defecto”, obtener conclusiones conjeturables simplemente plausibles. El ejemplo considerado
ya como universal de este tipo de razonamientos es el siguiente: Si Titi es un pájaro, inferimos que Titi vuela.
No todos los pájaros vuelan, pero nos sentimos autorizados a concluir que Titi vuela, si no existe nada que indique
lo contrario. Concluimos que Titi vuela porque es la más natural para nosotros y porque es consistente con nuestros
conocimientos. Este género de razonamientos se denomina razonamiento por defecto.
1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
sean consistentes entre sí, pero no con las afirmaciones en otra sub-teoría. Por lo tanto,
dada una afirmación, será preciso conocer qué sub-teorías son relevantes.
¿con qué tipo de razonamientos debemos dotar al sistema? Si queremos simular
el modo de razonar de las personas, sabemos que no podemos limitarnos al razonamiento
deductivo, tendremos también que dotarlo de capacidad de otros modos de razonamiento
que utilizamos habitualmente. Tendremos que dotarlo de la la capacidad de razonar con información
imprecisa o incompleta e incluso inconsistente. Ante todas estas situaciones las
personas no pierden su capacidad de razonar. Por lo tanto, es preciso contemplar tipos de razonamiento
tales como los denominados razonamiento abductivo, inductivo, paraconsistente,
probabilístico, . . .
En este texto nos centraremos en el razonamiento abductivo, y, concretamente, en aquellos
aspectos de este tipo de razonamiento en los que la computación está interesada. La profesora
Atocha Aliseda 2 explica de forma sencilla e intuitiva lo que para la computación es abducción:
Dado un conjunto de premisas y una conclusión, supongamos que le aplicamos un algoritmo
de resolución para estudiar la validez y el resultado es negativo. Si pudiéramos
depurar el algoritmo podríamos encontrar dónde falla y podríamos ver que le faltaría al
conjunto de premisas para que el razonamiento fuera válido. “Lo que le falta” sería posiblemente
un conjunto de fórmulas. Pues la abducción trataría de encontrar ese conjunto
de fórmulas”.
Antes de abordar la tarea de formalización, conozcamos un poco sobre este tipo de razonamiento:
El padre de la abducción es Charles Sanders Peirce (1839-1914). La definición de abducción que
Peirce da es la siguiente:
Razonamiento que deriva hipótesis explicativas para una observación, a partir de un
conjunto de hechos.
Según Peirce, el ser humano tiene tres modos destacados de razonar: el deductivo, el inductivo y
el abductivo. Veamos ejemplos de cada uno de ellos:
I) Ejemplos de deducción:
Regla: “Todas las bolas de la bolsa B1 son blancas”.
Caso: “Estas bolas provienen de la bolsa B1”.
Deducción (de la conclusión): “Estas bolas son blancas”.
Regla: “Los animales sin bilis son longevos”.
Caso: “El hombre y el caballo no tienen bilis”.
Deducción (de la conclusión): “El hombre y el caballo son longevos”.
Regla: “Si el fusible está fundido, entonces la lavadora no funciona”.
Caso: “El fusible está fundido”.
Deducción (de la conclusión): “La lavadora no funciona”.
2 En nuestro estudio, nos basaremos en los trabajos de la profesora Atocha Aliseda que ha estudiado ampliamente
la abducción.

En la deducción, dada la Regla y el Caso, la “conclusión” hace explícito un conocimiento ya
implícito. Decimos que en la deducción “se va de lo universal a lo particular”. La deducción no es
más que la aplicación de una regla general a un caso particular para establecer un resultado. Si
sabemos que todas las bolas de B1 son blancas y extraemos un puñado de bolas, antes de verlas,
sabemos que son blancas.
II) Ejemplos de inducción:
Caso: “Estas bolas proceden de la bolsa B1”
Caso: “Estas bolas son blancas”.
Inducción (de la regla): “En la bolsa B1 todas las bolas son blancas”
Caso: “El hombre y el caballo no tienen bilis”
Caso: “El hombre y el caballo son longevos”
Inducción (de la regla): “Los animales sin bilis son longevos”
Caso: “La lavadora no funciona”
Caso: “El fusible está fundido”.
Inducción (de la regla): “Si el fusible está fundido, entonces la lavadora no funciona”.
El razonamiento deductivo no provoca discusión pero, en el razonamiento inductivo, entendemos
que, para que la regla inducida sea admisible, habría que exigir la enumeración exhaustiva de todos
los casos, con lo cual se convertiría en un razonamiento deductivo. Cuando la enumeración no es
exhaustiva, hay un salto cualitativo de lo particular a lo universal. Así, sin saber de qué color son
las bolas de B1, extraemos un puñado y observamos que son blancas; extraemos otro puñado, y
volvemos a ver que también éstas son blancas. . . . . . Espontáneamente, inferimos que todas las bolas
son blancas, aunque somos conscientes de que la inferencia no tiene el carácter de necesario.
En definitiva, la inducción permite crear una Regla (hipotética) a partir de un caso y otro caso,
y otro caso, . . . . A diferencia de la deducción, la inducción requiere confirmaciones externas. En los
ejemplos dados, bastaría una excepción a la regla para que la regla quedase falsificada (en el primer
ejemplo, bastaría una bola negra). Aunque, podríamos argumentar que la excepción puede reforzar
en cierto modo a la regla, precisamente por su carácter de excepcionalidad, 3 la inducción no es
válida sin una ratificación empírica y, pese a todas las posibles ratificaciones empíricas, siempre
parece existir el riesgo de la aparición de una excepción.
De modo general, podemos decir que el razonamiento inductivo es un tipo de razonamiento en
el que la verdad de las premisas supone un apoyo a la verdad de la conclusión, pero no la asegura.
La noción de “consecuencia lógica” es, pues, más débil que en el caso deductivo.
III) Ejemplo de abducción:
Regla: “Todos las bolas de la urna B1 son blancas”
Caso: “Estas bolas son blancas”.
Abducción (de Hipótesis): “Estas bolas proceden de la bolsa B1”
Regla: “Los animales sin bilis son longevos”
Caso: “El hombre y el caballo son longevos”
Abducción (de Hipótesis): “El hombre y el caballo no tienen bilis”
3 En el sentido del dicho popular: “La excepción confirma la regla”.
3

4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Regla: “Si el fusible está fundido la lavadora no funciona”
Caso: “La lavadora no funciona”
Abducción (de Hipótesis): “El fusible está fundido”
La abducción propone una regla de inferencia básica que nos lleva a compararla con la que
conocemos como Modus Ponens para el razonamiento deductivo. Esta regla se llama regla de la
implicación inversa:
A → B
B
A
El razonar abductivo es el “razonar del detective”, permite relacionar diversos indicios para
formular una hipótesis explicativa aceptable. Siguiendo con el primero de los anteriores ejemplos,
si tenemos la urna B1 sobre una mesa, y sobre tal urna la Regla nos informa que solo contiene
bolas blancas, y observamos junto a ella un montón de bolas blancas, la Regla se nos presenta como
un modo de dar “una explicación” y nos lleva a “conjeturar” que las bolas del montón observadas
proceden de la urna B1. De este modo (pese a la incertidumbre) hemos incrementado nuestro
conocimiento, “ya sabemos algo más”. Al principio sabíamos que “las bolas eran blancas”, ahora
sabemos que “pueden” corresponder a la urna B1.
Por estar fundamentada en el juego de hipótesis “conjeturables”, Peirce considera a la abducción
“como la única forma de razonar que es realmente susceptible de incrementar nuestro saber”,
o, mejor dicho, de crear nuevas ideas y prever (aunque al precio de un cierto riesgo de error).
Podríamos argumentar que también la deducción añade nuevo conocimiento. Pero existe una diferencia:
la deducción “extrae” un conocimiento que está “implícito en el conocimiento previo” y el
conocimiento añadido por la abducción no está ímplicito en el previo, sino que lo “explica” 4 .
La abducción, como la inducción, debe ser confirmada.
Si comparamos estos tres tipos de razonamiento, podríamos decir que:
La deducción es el único modo de razonar completamente certero, que infiere su “resultado”
como conclusión necesaria. En la deducción sabemos qué ocurrirá antes de realizar el
experimento (sacar una bola de la urna).
La inducción produce una “regla”. Realizamos “muchas” veces un experimento y nos aventuramos
a establecer un “patrón” o “regla”.
En la abducción, la menos certera de las tres, una vez hemos realizado el experimento, tratamos
de averiguar por qué se ha dado el resultado obtenido y, “simplemente”, sugerimos una
“explicación”.
Para evitar la debilidad de la abducción, ¿deberíamos llevarla al límite?, es decir, ¿deberíamos
asegurarnos de que cualquier otra conjetura diferente de la hallada es capaz de explicar la observación?
Rotundamente NO, si así fuera, estaríamos realizando un razonamiento deductivo (¡estaríamos
utilizando el silogismo disyuntivo!).
La ventaja de la abducción es que, como la inducción, nos permite formular conjeturas útiles
en ausencia de información completa. Deducción, abducción e inducción son formas de inferencia
4 Podemos expresar esta diferencia diciendo que la deducción es un proceso de inferencia analítico, explicativo y
la abducción es un proceso inferencia sintético, ampliativo

primitivas, independientes y complementarias, es decir, no son reducibles a formas más simples y
no se pueden formular una en términos de otra.
Quizás si nuestro único conocimiento es sobre los razonamientos deductivos, nos alarme la pretensión
de formalizar el razonamiento abductivo, pero esta postura supondría una fuerte restricción
a la lógica. Así que vayamos a otro ejemplo que nos confirme la necesidad de esta formalización:
Supongamos que disponemos de la Regla:
y observamos un Caso:
“Si el enfermo tiene sarampión, tiene manchas rojas en su cuerpo“
“Alfredo tiene manchas rojas en su cuerpo”
Sería bueno concluir que tiene sarampión. Pero esta conclusión no está permitida por la lógica
clásica y lo cierto es que, aunque este razonamiento requiere cautelas, con la información que
tenemos, es la mejor suposición que podemos hacer. Lo mejor que podemos hacer es realizar una
“deducción hacia atrás”, a partir de la regla y de su consecuente, “conjeturar” un antecedente. Por
esta razón, al proceso abductivo se le llama también proceso retroductivo.
Podemos seguir dando ejemplos que nos confirmen la utilidad del razonamiento abductivo:
La mayoría de lo hogares españoles están interesados en ventanas de doble cierre. PErC es
un distribuidor de ventanas de doble cierre. De aquí, que resulta esperable que la mayoría de
los hogares españoles estén interesados en contactar con PErC.
Restos fósiles de dinosaurios de las mismas especies propias del Período Jurásico han sido
encontrados tanto en América del Norte como en Europa. Este hecho proporciona elementos
de juicio para sostener que ambos continentes estaban unidos en ese período geológico.
De la información disponible acerca de Marte no se infiere que haya seres vivos en su superficie.
Luego, se puede suponer que no hay vida en Marte.
Pero no nos alarmemos, como veremos más adelante (al tratar el tema formalmente), el antecedente
concluido en el proceso de abducción, se habrá de entender tan solo como un ‘‘candidato’’
para la explicación del consecuente y tendrá que ser analizado. En primer lugar, el candidato,
tendrá que ser consistente con el conocimiento previo, y siempre habrá de mantener la alerta
en las sucesivas actualizaciones del conocimiento. En definitiva, la explicación abducida debe
ser confirmada. Por ello, hay expresiones que matizan a la conclusión. Expresiones como “hay
buenas razones para afirmar que”, “se puede suponer que”, “es razonable creer que”, etc.
Podríamos sintetizar así el proceso abductivo:
una vez formulada la conjetura, ésta se utiliza para realizar predicciones acerca de qué otras
observaciones deberían ser ciertas si la conjetura fuese cierta.
viene entonces una fase “experimental” en la que se recaban nuevas observaciones que se
compararán con las predicciones, y servirán para descartar o aceptar la conjetura.
si alguna evidencia contradice las predicciones de la conjetura, ésta queda refutada (deductivamente).
5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
si la “base experimental” es suficientemente amplia, y ninguna observación contradice las
predicciones, la conjetura quedará bien fundamentada y podrá ser finalmente aceptada.
Sin duda, es el modo en el que el ser humano procede y por ello abordamos el estudio formal de
la abducción en el marco de la lógica como un tema de estudio atractivo ya que las abducciones
no son sino las conjeturas espontáneas de la razón y para que esas conjeturas surjan se requiere el
concurso de la imaginación y del instinto. La abducción es como un destello de comprensión, un
saltar por encima de lo sabido.
Por lo dicho hasta aquí, podemos afirmar que el razonamiento abductivo tiene una amplia
gama de aplicaciones en el ámbito computacional, por ejemplo, en Inteligencia Artificial, donde
se emplean modelos formales de inferencia abductiva para construir programas de diagnosis que
puedan detectar cuáles son los fallos (la explicación) que hay detrás del comportamiento defectuoso
(la observación) de cierto sistema (una red de ordenadores, un microprocesador, etc.). Un ejemplo
típico en el ámbito del diagnóstico es el siguiente:
Consideremos un motor a explosión que no arranca, y por lo tanto se observa que las
bujías no producen chispas. Supongamos que la situación se describe por las reglas:
Si las bujías están usadas y el tiempo es húmedo, entonces no saltan chispas.
Si la batería está sin agua entonces no saltan chispas.
y por la abservación:
Tiempo húmedo
En este caso, un razonamiento abductivo permite concluir que las dos únicas explicaciones
son bujías usadas y batería seca Se puede tener una información más fina que
permite clasificar las hipótesis (con una relación de orden) según se consideren más o
menos relevantes o plausibles, Ésta información, habitualmente, se obtiene de manera
empírica. Esto es muy importante en ejemplos reales, pues el número de posibles explicaciones
puede ser muy grande. Así pues, las únicas explicaciones que se consideran son
las más plausibles. Para nuestro ejemplo, podemos suponer que la explicación la batería
está seca es menos plausible que las bujías están usadas.
Más tarde nos centraremos en detallar algunas de las aplicaciones.

Capítulo 2
Lógica Abductiva Proposicional
Nuestra introducción en el capítulo anterior, habrá hecho al lector concluir que la lógica abductiva
es una lógica no clásica y los ejemplos referidos le habrán llevado a concluir que no se
trata de una extensión, sino que se trata de una lógica rival de la lógica clásica, es decir,
se trata de una lógica que utiliza el mismo vocabulario que la lógica clásica, pero no mantiene
algunas de las leyes de ésta, es decir, no refrenda como tales algunos de sus teoremas o fórmulas
válidas.
Por lo tanto, para abordar un estudio formal de los razonamiento abductivos, nuestro punto de
partida ha de ser la lógica clásica proposicional, Lprop, y analizar como “desviarnos de ella” para
obtener nuestros propósitos.
Concretemos un poco más: consideraremos el lenguaje de la lógica clásica proposicional, Lprop,
y la semántica de la misma. Por lo tanto, estamos ante una lógica bivaluada, con valor semántico
destacado 1 y como conjunto de interpretaciones, I = {I : Vprop −→ {0, 1} y donde cada interpretación
I ∈ I se extiende a Lprop del modo habitual. Asimismo, mantenemos las nociones de
satisfacibilidad y validez de las fórmulas (en adelante, fbfs) y la noción de equivalencia lógica. Para
toda fbf, A, denotaremos por Mod(A) el conjunto de modelos de A, es decir,
Mod(A) = {I ∈ I | I(A) = 1}
Recordemos que, dado un conjunto de fbfs, Ω ⊆ Lprop, decimos que
Ω es modelizable, consistente o satisfacible si existe I ∈ I tal que I(Ai) = 1 para
toda Ai ∈ Ω. Una tal I decimos que es un modelo de Ω y el conjunto de modelos de Ω
lo denotamos por Mod(Ω). Por lo tanto, si Ω = {Ai | i ∈ Λ}, se tiene que Mod(Ω) =
i∈λ Mod(Ai)
Ω es insatisfacible si no existe I ∈ I tal que I(Ai) = 1 para toda Ai ∈ Ω, es decir,
Mod(Ω) = ∅.
Ω es universalmente válido, denotado |= Ω, si Mod(Ω) = I. En definitiva, Ω es universalmente
válido si y solo si toda fbf Ai ∈ Ω es válida.
En particular, si Ω = ∅, se tiene que ∅ es universalmente válido.
Ω es contingente si es satisfacible, pero no universalmente válido.
7

8 CAPÍTULO 2. LÓGICA ABDUCTIVA PROPOSICIONAL
¿Cuál es pues la diferencia entre la lógica clásica proposicional y la lógica abductiva proposicional?
La diferencia está, como habrá intuido el lector, en la noción de consecuencia lógica y a su análisis
dedicaremos especial atención.
Comenzamos estableciendo la siguiente definición:
Definición 2.1 Un problema abductivo es un par (Θ, O) donde
1. Θ ⊆ Lprop es un conjunto satisfacible de fórmulas, denominado teoría, que podemos entender
como el conocimiento que tenemos como punto de partida.
2. O ∈ Lprop es una fbf que es contingente (es decir, ni válida ni insatisfacible 1 ), denominada
observación y que es consistente con la teoría, pero no implicada por ella, es decir, ni ella
ni su negación, se infieren de la teoría. En definitiva, O satisface las condiciones siguientes:
2.1 Θ |≈ O. Ya que si Θ |≈ O, no se requiere “explicar” O,
2.1 Θ |≈ ¬O. Ya que si Θ |≈ ¬O, ya sabemos que O no es “explicable” en la teoría Θ.
La componente |≈ puede ser la relación de consecuencia de la lógica clásica, o bien algún tipo de
relación de consecuencia no clásica. Nosotros consideraremos la relación de consecuencia de la lógica
clásica denotada por |=, es decir:
La fbf, C ∈ Lprop, es consecuencia semántica de Ω ⊆ Lprop si Mod(Ω) ⊆ Mod(C),
es decir, para toda interpretación I ∈ I,
si I(Ai) = 1 para toda Ai ∈ Ω, entonces I(C) = 1
Recordemos (de nuestro estudio de la lógica clásica ) que
Ω ⊆ Lprop es satisfacible si y solo si Ω |= ⊥
Antes de avanzar en nuestro estudio, recordemos la siguiente definición:
Definición 2.2 Sean A, B ∈ Lprop, decimos que
B es implicada por A si |= A → B. Denotaremos por Iα(A) el conjunto de fbfs implicadas
por A.
B es un implicante de A si |= B → A. Denotaremos por Iβ(A) el conjunto de implicantes
de A.
Si, como hemos indicado, consideramos la relación de consecuencia clásica, |=, no es necesario
exigir en la definición de problema abductivo que la teoría Θ sea satisfacible ni que la observación
O sea contingente. En efecto:
Proposición 2.1 Si Θ ⊆ Lprop y O ∈ Lprop son tales que
Θ|= ¬O y Θ|= O
Entonces se tiene que Θ es un conjunto satisfacible de fbfs y O es una fbf contingente.
1 ¡Poco nos puede interesar buscar explicaciones de observaciones válidas o insatisfacibles!

Demostración:
1. Si Θ fuera insatisfacible, tendríamos que Θ |= ¬O y Θ |= O, en contra de la hipótesis.
2. Supongamos que O no es contingente. Tenemos dos posibilidades:
- O es válida, en cuyo caso Θ |= O, en contra de la hipótesis.
- O es insatisfacible, en cuyo caso, ¬O es válida y Θ |= ¬O, en contra de la hipótesis.
En un problema abductivo (Θ, O), la componente O funciona como una “observación inesperada”,
una observación que no puede ni afirmarse ni negarse a partir de Θ. Necesitamos extender la
teoría Θ para pronunciarnos sobre O. Necesitamos una “explicación”. Vamos pues a hablar de las
“explicaciones” en el contexto de la abducción.
Definición 2.3 Un esquema abductivo es una terna (Θ, O, E), representada mediante la relación
Θ, E |=ab O tal que:
1. (Θ, O) es un problema abductivo,
2. E ∈ Lprop se denomina explicación o solución abductiva y satisface las dos condiciones
siguientes:
Θ, E |= O, es decir, E “explica” la observación O,
Θ, E |= ⊥, es decir, E es consistente con la teoría Θ.
Así, una fórmula E es una explicación de O, con respecto a una teoría Θ, si es consistente
con Θ y a partir de ella se infiere O como consecuencia lógica. El subíndice ab en |=ab advierte de
las exigencias que establece la definición, es decir, consideramos una restricción de la noción de
consecuencia lógica clásica.
❡❡ En un esquema abductivo, a la observación O se le suele denominar también detonador abductivo
(“explicar” O es lo que provoca el proceso abductivo). Como detalla la definición, ni la observación
O a explicar, ni su negación, deben inferirse de la teoría, Θ, pero deseamos explicar O
dentro de ella.
El siguiente resultado nos proporciona una definición equivalente de esquema abductivo.
Proposición 2.2 Una terna (Θ, E, O) es un esquema lógico abductivo con observación O y solución
E si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones:
1. Θ|= O,
2. Θ, E |= O,
3. Θ, E |= ⊥.
Demostración: Por la definición de esquema abductivo, tan solo tenemos que probar que, si
se satisfacen las tres condiciones se tiene que (Θ, O) es un problema abductivo, es decir, que se
satisface que Θ |= ¬ O. Lo demostramos por reducción al absurdo. Supongamos que Θ |= ¬ O.
Entonces, por la propiedad de monotonía de |=, se tiene que Θ ∪ {E} |= ¬ O y junto con la segunda
hipótesis, Θ ∪ {E} |= O, tendríamos Θ ∪ {E} |= ⊥, lo cual contradice la hipótesis 3, que exige que
E sea consistente con la teoría Θ.
9

10 CAPÍTULO 2. LÓGICA ABDUCTIVA PROPOSICIONAL
Según las sucesivas restricciones consideradas, podemos encontrar en la bibliografía la siguiente
denominación para los esquemas abductivos: Sea (Θ, O) un problema abductivo. Decimos que
E ∈ Lprop es una:
1. solución plana para (Θ, O), si Θ, E |= O,
2. solución consistente para (Θ, O), si es plana y Θ, E |= ⊥,
3. solución explicativa para (Θ, O), si es consistente y E |= O. Es decir, la observación O
no basta para explicar E. De este modo, se vincula la explicación a la teoría y E puede ser
una explicación para la teoría Θ, pero puede no serlo para otra teoría Θ ′ .
4. solución minimal para (Θ, O), si E es una solución explicativa y no existe ninguna otra
solución explicativa para (Θ, O), E ′ , tal que E ′ ∈ Iα(E), es decir, tal que |= E ′ → E.
Si no es minimal, tendríamos que la solución obtenida incluye información innecesaria para
explicar O.
El siguiente resultado nos indica que nuestro interés ha de centrarse en la búsqueda de soluciones
explicativas.
Proposición 2.3 Si (Θ, O) es un problema abductivo con al menos una solución explicativa, entonces
Θ es contingente.
Demostración: Basta probar que Θ no es universalmente válido. Sea E un solución explicativa.
Por hipótesis se tiene que Θ, E |= O, es decir, Mod(Θ ∪ {E}) = Mod(Θ) ∩ Mod(E) ⊆ Mod(O).
Ahora bien, si Θ es universalmente válido, Mod(Θ) = I y Mod(Θ) ∩ Mod(E) = Mod(E). Por lo
tanto, tendríamos que Mod(E) ⊆ Mod(O), en contra de lo hipótesis que asegura que E |= O.
Ahora podemos incidir, en términos formales, sobre la diferencia entre deducción y abducción
a la que nos hemos referido en el capítulo anterior: La deducción es el proceso inferencial que
seguimos cuando, dado el conjunto Θ, buscamos una fórmula O tal que Θ |= O, o bien, dados Θ
y O, comprobamos que Θ |= O, es decir, vamos de las premisas a la conclusión. Por su parte, la
abducción, dados Θ y O, tales que Θ |= O, buscamos extender Θ a Θ ′ = Θ ∪ E con el objetivo de
que Θ ′ |= O, es decir, buscamos premisas adicionales que sostengan una conclusión dada.
Ejemplo 2.1 Consideremos que tenemos un modelo formal del protocolo Θ y que O representa el
objetivo que buscamos (autenticación), la solución al problema abductivo (Θ, O) nos da la secuencia
de mensajes que deben enviarse para conseguirlo.
Es importante seleccionar bien el conjunto de explicaciones, de forma que contenga sólo las
acciones (mensajes) permitidas en el protocolo. Para asegurar que el protocolo es seguro, si E
representa una violación del protocolo, debe comprobarse que el problema abductivo (Θ, O) no
tiene solución
Ejemplo 2.2 Quizás la terminología en la lógica abductiva nos lleve a considerar como una de
sus aplicaciones naturales la Diagnosis. Por definición, todo diagnóstico conlleva un proceso de
razonamiento abductivo. Pensemos, por ejemplo, en el campo conocido como diagnosis basada en
modelos. En él se dispone de una teoría que describe el comportamiento normal de un sistema que
se desea diagnosticar. Ante un comportamiento anómalo, la abducción analiza las componentes y
busca explicaciones del tipo

2.1. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE CONSECUENCIA ABDUCTIVA |=AB 11
¿La componente A del sistema funciona de forma anómala?
Habitualmente, hablar de diagnóstico nos conduce a pensar en el ámbito de la Medicina. Un médico
abduce continuamente: Su conocimiento constituye la teoría, Θ, los síntomas constituyen las
observaciones, O, mientras que las distintas enfermedades serían las posibles explicaciones, E, que
consideraría el médico como posible causa de tales síntomas. El médico recurrirá a un razonamiento
abductivo cuando requiera encontrar una causa que explique algún síntoma discrepante respecto a
su conocimiento, discrepante con lo considerado “normal”.
2.1. Propiedades de la relación de consecuencia abductiva |=ab
Como hemos comentado, el subíndice ab, con el que denotamos la relación entre Θ, E y O,
nos advierte de las restricciones que establece la definición de esquema abductivo en la relación
de consecuencia lógica clásica Θ, E |= O. Vamos pues a profundizar en la noción de consecuencia
lógica.
Comencemos destacando que una noción de consecuencia lógica puede ser completamente caracterizada
por sus propiedades básicas, expresadas por sus reglas estructurales. El término “estructural”
refleja que estas reglas no hacen referencia a ningún símbolo específico del lenguaje lógico (en
particular, no hacen referencia a ninguna conectiva). Si nos centramos en la noción de consecuencia
clásica, |=, sus reglas estructurales son las siguientes:
I) A |= A (Toda hipótesis se implica así misma) Reflexividad
II)
III)
IV)
IV)
X, A, Y, A, Z |= C
X, A, Y, Z |= C
y
X, A, Y, A, Z |= C
X, Y, A, Z |= C
(Podemos borrar hipótesis repetidas)
X, A, B, Y |= C
X, B, A, Y |= C
X, Y |= C
X, Y, A |= C
Contracción
(Podemos permutar las hipótesis) Permutación
(Añadiendo nueva información no se invalidan las conclusiones previas)
X, Y, A |= C; Z |= A
X, Z, Y |= C
(las hipótesis pueden ser reemplazadas por secuencias de hipótesis que la impliquen)
Monotonía
Corte
El lector puede comprobar que la propiedad de Permutación es derivable de las propiedades
de Contracción y Monotonía.
Como hemos indicado, las reglas estructurales anteriores caracterizan a la relación de consecuencia
lógica clásica, como nos indica el siguiente teorema.
Teorema 2.1 (van Benthem) La propiedades de Reflexividad, Contracción, Monotonía y Corte,
determinan completamente las propiedades estructurales de la relación de consecuencia clásica.

12 CAPÍTULO 2. LÓGICA ABDUCTIVA PROPOSICIONAL
En el resto de la sección, denotaremos por |= c ab , y |=e ab las relaciones de consecuencia correspondientes,
respectivamente, a la abducción consistente y a la abducción explicativa.
El siguiente resultado, cuya demostración es inmediata, nos detalla cuales son las reglas estructurales
de la relación de consecuencia clásica que S Í satisface |=ab
Proposición 2.4 La relación de consecuencia lógica abductiva consistente, denotada |= c ab , (y, en
) satisface las reglas estructurales de Permutación y Contracción.
consecuencia, |= e ab
Pero |= c ab
no satisface las propiedades de Reflexividad, Monotonía y Corte:
{¬p}, p |=ab ¬p. Ya que {¬p} ∪ {p} no es consistente. Por lo tanto, a diferencia de |=, se tiene
que |= c ab no posee la propiedad de reflexividad.
|= c ab no es monótona, ya que si Θ, E |=c ab O, se tiene que, por ejemplo, Θ ∪ {¬O}, E |=c ab O.
|= c ab no cumple la propiedad de corte. En efecto, sea Θ = {¬p ∨ q}, Θ′ = {p ∨ q}, E = p,
E ′ = ¬q y O = q. Es claro que Θ, E |= c ab O y que Θ′ , E ′ |= c ab E, pero Θ, Θ′ , E ′ |= c ab O.
Sin embargo, vamos a ver que sí satisface otras formas más débiles de estas reglas. Consideremos
las siguientes reglas:
1. X1, . . . Xn |= c ab B B |=c ab ⊥
X1, . . . Xn |= c ab Xi
(1 ≤ i ≤ k) Reflexividad Condicional (RC)
Para asegurar la propiedad de reflexividad, se requiere que del conjunto de hipótesis se derive
alguna conclusión consistente.
2. X1, . . . Xk |= c ab B B |=c ab ⊥ U1, . . . , Un |= c ab X1 . . . U1, . . . , Un |= c ab Xk
U1, . . . , Un |= c ab B
Corte Simultáneo (CS)
Esta propiedad es una combinación de Corte y Contracción en la que X1, . . . , Xk puede ser
omitida en la conclusión cuando se satisfacen las dos condiciones siguientes:
cada uno de los Xi es consistentemente derivado de U1, . . . , Un,
de la secuencia U1, . . . , Un se deriva consistentemente B.
3. U1, . . . , Un |= c ab X1 . . . U1, . . . , Un |= c ab Xk
X1, . . . Xk |= c ab Xi
1 ≤ i ≤ k Conclusión Consistente (CC)
Esta propiedad afirma que la secuencia X1, . . . Xk implica a cada uno de sus elementos, si
cada uno de estos son implicados consistentemente por alguna secuencia U1, . . . , Un (es otra
forma de reflexividad).
Aliseda demuestra que estas tres propiedades caracterizan la abducción consistente, |= c ab . Antes
de enunciar su resultado, observemos que en la definición de solución abductiva consistente, en las
dos propiedades
Θ, E |= O y
Θ ∪ {E} es consistente

2.2. NOVEDADES Y ANOMALÍAS 13
Θ y E se comportan simétricamente, es decir, podemos contemplar indistintamente el par (Θ, E) o
bien el par (E, Θ). Podemos pues optar por un representación binaria de las reglas: X |= C, donde
X se entiende como la conjunción de Θ y E y C es O y de nuevo, contemplamos X como una
secuencia finita de fbfs X1, . . . , Xk y C una única conclusión.
Como en el caso clásico, se tiene un teorema de representación:
Teorema 2.2 (Teorema de Representación para |= c ab ) Una relación de consecuencia satisface
(RC), (CS) y (CC) si y solo si es representable en la forma de abducción consistente.
2.1.0.1. Reglas estructurales derivadas para |= c ab
Las reglas (RC), (CS) y (CC) nos permiten disponer de nuevas reglas estructurales para |= c ab que
son modificaciones de las reglas de Monotonía y Corte de la relación de consecuencia clásica. Por
ejemplo, es fácil ver que |= c ab satisface una forma de monotonía modificada: B puede ser a~nadida
como hipótesis si esta adicción no perjudica la consistencia:
X |= c ab A X, B |=c ab C 2
X, B |= c ab A
Otro ejemplo es la siguiente forma de Corte Débil:
X |= c ab A U, A, V |=c ab B U, X, V |=c ab C
U, X, V |= c ab B
Monotonía Débil
Corte Débil
Dejamos al lector comprobar que la abducción consistente dispone de la reglas de permutación y
contracción.
Análogamente, podríamos analizar las propiedades estructurales para la relación de consecuen-
y para la relación de consecuencia en la abducción explicativa
. Pero tal análisis escapa a los objetivos de este texto.
cia en la abducción explicativa, |= e ab
minimal, |= m ab
Antes de abordar el problema de la automatización del razonamiento abductiva, en la sección
siguiente prestaremos atención a la naturaleza de las observaciones, es decir, de los hechos que
provocan nuestra búsqueda de “explicaciones”.
2.2. Novedades y Anomalías
Como hemos indicado, el padre de la abducción es Charles Sanders Peirce. De acuerdo con la
formulación de abducción de Peirce, el razonamiento abductivo se dispara por un hecho sorprendente,
por un hecho que requiere explicación. En las restriciones que hemos establecido anteriormente
para la observación, O, al introducir el concepto de esquema abductivo, podemos establecer una
diferenciación entre “detonadores” y llamar:
novedad abductiva: a toda observación O tal que ni ella ni su negación pueden ser explicadas
en la teoría, es decir: Θ|= O y Θ|= ¬O, lo cual responde a nuestra definición de problema
abductivo.
anomalía abductiva: la observación O es anómala si no puede ser explicada, es decir, Θ
|= O,
pero la teoría sí explica su negación, es decir, Θ |= ¬O, es decir, O es inconsistente con la
teoría.

14 CAPÍTULO 2. LÓGICA ABDUCTIVA PROPOSICIONAL
La diferenciación entre “novedades abductivas” y “anomalías abductivas”, determina dos modos
de proceder, dos tipos de operaciones inducidas, respectivamente, por cada uno de estos “detonadores
abductivos”:
- expansión abductiva. Dada una novedad abductiva, una explicación consistente, E, se calcula
de forma que Θ, E |= O. Así se añaden E y O a la teoría Θ por una simple expansión.
- revisión abductiva. Dada una anomalía abductiva, una explicación consistente, E, se calcula
de la siguiente manera:
i) Primero se revisa Θ de tal forma que no explique a ¬O. Esto es, se obtiene Θ ′ de tal
manera que Θ ′ |= O y también Θ ′ |= ¬ O.
ii) Una vez obtenida Θ ′ , se obtiene una explicación E consistente con Θ ′ de tal forma que
Θ ′ , E |= O.
En definitiva: podemos considerar que el razonamiento abductivo se dispara por una sorpresa,
la cual genera una duda que puede ser de dos tipos: novedad o anomalía. En el primer caso el
fenómeno a explicar es totalmente nuevo y consistente con la teoría, por lo que su explicación se
calcula y se incorpora a la teoría por la operación de extensión. En el segundo caso, como el hecho
es anómalo, la operación de revisión es necesaria para incorporarlo y requiere un tratamiento no
monótono. Así, la teoría se revisa de tal forma que su modificación no esté en conflicto con el hecho
a explicar, a continuación se calcula la explicación y se incorpora a la teoría revisada por expansión.

Capítulo 3
Demostración automática en Lógica
Abductiva
En este capítulo vamos a describir dos métodos de demostración automática para la lógica
abdutiva. En primer lugar, describiremos el método de las tablas semánticas (que conocemos de la
lógica clásica) para la búsqueda de explicaciones abductivas.
Comencemos pues recordando dicho método (el lector dispone de las demostraciones de los
resultados en el libro Lógica Computacional I. Lógica Clásica Proposicional):
El método de las tablas semánticas en la lógica clásica proposicional es un sistema de refutación
y, en consecuencia, para verificar la validez de una inferencia H1, . . . , Hn |= C, procede analizando
si H1 ∧ . . . Hn ∧ ¬C es o no insatisfacible. Para ello organiza la búsqueda sistemática de un modelo
para H1 ∧. . . Hn ∧¬C. Si la búsqueda tiene éxito, la inferencia no es válida y si la búsqueda fracasa,
la inferencia es válida.
En síntesis, el método puede describirse como sigue:
Dado el conjunto de fbfs, Ω = {A1, . . . , An}, cuya satisfacibilidad se quiere comprobar, se
organizan las fbfs de Ω en un árbol de una sola rama con raíz A1 y tal que cada Ai con 2 ≤ i ≤ n
es sucesor inmediato de Ai−1, es decir,
A1
A2
.
An
Este árbol, denominado árbol inicial asociado a Ω, se irá ampliando sucesivamente mediante
ciertas reglas de extensión, basadas únicamente en la estructura sintáctica de las fórmulas. Cada
árbol obtenido se denomina árbol asociado a Ω. Las reglas de extensión están diseñadas de modo
que:
La aplicación de cada una de dichas reglas genera un árbol binario cuyos nodos están etiquetados
con fbfs.
Cada regla introduce fbfs que son subfórmulas propias o bien negaciones de subfórmulas
propias de fbfs existentes en el árbol al que se aplica.
15

16 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
Para la descripción del método se utiliza habitualmente la notación uniforme debida a Smullyan
1 , que consiste en agrupar las fórmulas por tipos, consiguiendo con ello una notable simplificación
en la exposición del método.
Definición 3.1 Las fbfs se clasifican en: literales, fbfs de tipo α (o de comportamiento
conjuntivo) y fbfs de tipo β (o de comportamiento disyuntivo). Cada fórmula de tipo α o de tipo
β tiene asociada dos componentes, denotadas α1, α2 y β1, β2 respectivamente. Las siguientes tablas
muestran las fórmulas de tipo α y de tipo β junto con sus componentes.
Reglas de Extensión
α α1 α2
A ∧ B A B
¬(A ∨ B) ¬A ¬B
¬(A → B) A ¬B
¬¬A A A
β β1 β2
A ∨ B A B
¬(A ∧ B) ¬A ¬B
A → B ¬A B
El árbol inicial asociado a un conjunto de fbfs, Ω, denotado TΩ, es extendido sucesivamente,
para obtener árboles asociados a Ω, mediante las siguientes reglas:
(α) Si ρA denota la rama determinada por el nodo hoja A y una α-fórmula ocurre en ρA, extendemos
dicha rama añadiendo:
si α1 = α2, dos nodos etiquetados con sus componentes α1 y α2.
si α1 = α2, un nodo etiquetado con la componente común.
.
α
.
A
−→
(β) Si ρA denota la rama determinada por el nodo hoja A y una β-fórmula ocurre en ρA, extendemos
dicha rama añadiendo:
dos nodos si β1 = β2: uno como descendiente izquierdo y otro como descendiente derecho
etiquetados con sus componentes β1 y β2, respectivamente.
un nodo etiquetado con la componente común, si β1 = β2.
1 R. M. Smullyan. First-Order Logic. Springer-Verlag, 1968. Vuelto a publicar por Dover en 1995.
.
α
.
A
α1
α2

.
β
.
A
−→
.
β
.
A
β2
❅ β1
Definición 3.2 Sea Ω = {A1, . . . , An} un conjunto de fbfs. Un árbol T se dice que es un árbol
para Ω, si existe una secuencia de árboles T1, . . . , Tn tal que:
T1 es el árbol inicial asociado a Ω, es decir, el árbol de una sola rama:
A1
A2
.
An
Cada árbol Ti (2 ≤ i ≤ n) es un árbol asociado a Ω que es extensión inmediata de Ti−1,
es decir, Ti se obtiene de Ti−1 por aplicación de una regla de extensión a uno de sus nodos.
Tn = T .
Definición 3.3 Sea T un árbol para Ω. Una rama de T se dice cerrada, si en ella ocurren una
variable proposicional p y su negación ¬p. En caso contrario, se dice que la rama es abierta. El
árbol T se dice cerrado si todas sus ramas son cerradas.
Representaremos un árbol T por el conjunto de sus ramas abiertas T = {ρ1, . . . , ρn} y cada
rama abierta, le asociaremos el conjunto de sus literales ρi = {ℓi1, . . . , ℓini }.
Una rama ρ de un árbol T para Ω se dice completa si satisface las siguientes condiciones:
1. Si la fórmula α ocurre en ρ, también sus componentes α1 y α2 ocurren en ρ.
2. Si la fórmula β ocurre en ρ, o la componente β1 o la componente β2 ocurre en ρ.
Definición 3.4 Un árbol T para Ω se dice terminado si toda rama es cerrada o completa.
Definición 3.5 [Cierres de una rama abierta] Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado. El
conjunto de cierres de una rama abierta ρi = {ℓi1, . . . , ℓini }, denotado Cl(ρi), es el conjunto
de los literales opuestos de los literales en ρi
es decir, cada literal de Cl(ρi) cierra ρi.
Cl(ρi) = {ℓi1, . . . , ℓini }
Definición 3.6 [Cierre de un árbol] Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado. El conjunto de
cierres totales de T , denotado Cl(T ), es la intersección de los conjuntos de los cierres de cada
una de sus ramas:
n
Cl(T ) = Cl(ρi)
i=1
17

18 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
es decir, cada literal de Cl(T ) cierra T .
Definición 3.7 [Cierres parciales de una rama] Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado.
El conjunto de cierres parciales de una rama ρi = {ℓi1, . . . , ℓini }, denotado Clpar(ρi) es el
conjunto de literales, denotado Clpar(ρi), tal que cada literal de Clpar(ρi) cierra ρi (y, posiblemente,
otras ramas), pero no cierra T . Así pues,
Clpar(ρi) = Cl(ρi) - Cl(T )
En definitiva, el conjunto de literales que cierra la rama, pero no el árbol.
Definición 3.8 [Cierres parciales de un árbol] Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado. El
conjunto de cierres parciales de T , denotado Clpar(T ) es la unión de los conjuntos de cierres
parciales de cada una de las ramas:
Clpar(T ) =
n
1
Clpar(ρi)
es decir, cada literal de Clpar(T ) cierra al menos una de las ramas de T , pero no cierra T .
Definición 3.9 [Extensión de un árbol]Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado y Λ =
{ℓ1, . . . , ℓm} un conjunto de literales. La extensión de T con Λ, denotada Ext(T, Λ), es el árbol
Ext(T, Λ) = {ρi ∪ Λ | ρi ∩ {ℓ1, . . . , ℓm} = ∅, 1 ≤ i ≤ n} 2
Denotemos por |T | el número de ramas abiertas de un árbol T . Entonces,
Si |Ext(T, Λ)| = |T |, decimos que la extensión es abierta.
Si |Ext(T, Λ)| = 0, decimos que la extensión es cerrada.
Si |Ext(T, Λ)| < |T |, decimos que la extensión es semicerrada 3 .
Una extensión abierta o semicerrada se denomina extensión consistente.
Ejemplo 3.1 Sea T = {ρ1, ρ2} = { {¬p ∨ q, r, ¬p}, {¬p ∨ q, r, q} }:
Ext(T, {s}) = { {¬p ∨ q, r, ¬p, s}, {¬p ∨ q, r, q, s} } es una extensión abierta de T , ya que, por
ejemplo, {s} no cierra ni ρ1, ni ρ2.
Ext(T, {p}) = {¬p ∨ q, r, q, p} es una extensión semicerrada de T , ya que {p} cierra ρ1, pero
no cierra ρ2.
Ext(T, {¬r}) = ∅ es una extensión cerrada de T , ya que {¬r} cierra ρ1 y cierra ρ2.
El siguiente resultado recoge la “bondad” del método:
Teorema 3.1 Para todo conjunto finito Ω de fbfs, mediante un número finito de extensiones se
obtiene un árbol terminado para Ω.
2 donde, por abuso de notación, usamos el mismo símbolo para identificar una rama y el conjunto de sus fórmulas
3 En definitiva, la extensión es semicerrada si tiene al menos una rama abierta y una rama cerrada.

Definición 3.10 Llamamos refutación para un conjunto de fbfs, Ω, a todo árbol cerrado para Ω.
Una fbf C se dice que se deriva del conjunto de fbfs {H1, . . . , Hn}, si existe una refutación para
{H1, . . . , Hn, ¬C}. En particular, una fbf, A, se dice demostrable si existe una refutación para
{¬A}.
Definición 3.11 Un árbol T para Ω se dice que es un árbol satisfacible si el conjunto de las
fbfs que etiquetan los nodos de alguna de las ramas de T es satisfacible. Una rama tal se dice que
es una rama satisfacible.
Teorema 3.2 (de existencia de modelo) Toda rama completa y abierta ρ de un árbol T para
Ω es satisfacible.
El teorema de existencia de modelos asegura que en un árbol terminado para un conjunto de fbfs, Ω,
cada rama abierta, ρ (si existe) proporciona un modelo para Ω. Concretamente, toda interpretación
I tal que:
I(pi) = 1 si pi ocurre en ρ,
I(pi) = 0 si ¬pi ocurre en ρ.
Destaquemos que no es necesario que el modelo generado asigne valores de verdad específicos a
todos los símbolos proposicionales que intervienen en Ω y que ramas distintas pueden generar el
mismo modelo.
Teorema 3.3 (Corrección y completitud) El método de las tablas semánticas es:
1. Correcto: Si {H1, . . . , Hn, ¬C} puede ser refutado, entonces H1, . . . , Hn |= C.
2. Completo: Si H1, . . . , Hn |= C, entonces existe una refutación para {H1, . . . , Hn, ¬C}.
Descripción del método
En la construcción de un árbol para refutar un conjunto de fórmulas, se tienen en cuenta las
siguientes consideraciones:
Para evitar ramificaciones innecesarias, se da prioridad a la regla (α).
Tanto la regla (α) como la regla (β) se aplica sobre cada nodo una sola vez. Para indicar que
la α-fórmula o β-fórmula a la que se aplica la correspondiente regla no será usada más, tras
su aplicación, se marca con el nodo que etiquetan.
No se realiza ninguna extensión sobre las ramas cerradas. Para indicar que una rama es
cerrada se marca con ×.
En la Figura 3.1 aparece un diagrama de flujo para la construcción de un árbol de refutación.
19

20 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
Hipótesis 1
Hipótesis 2
.
Hipótesis n
Negación de la conclusión
❄
Aplicar α o β a un nodo no marcado
❄
Marcar con × las ramas cerradas
❄
¿Están todas las ramas marcadas?
SI
NO
❄
❄
Válida ¿Quedan nodos α o β sin marcar?
✛
NO SI
❄
No Válida
Figura 3.1:
En los siguientes ejemplos hacemos uso del método para probar, en un caso la validez de una
fórmula y en el otro la no validez de una inferencia.
Ejemplo 3.2 Demostremos la validez de la fórmula ((p → q) ∧ (q → p)) → ((p ∨ q) → (p ∧ q)).
¬[((p → q) ∧ (q → p)) → ((p ∨ q) → (p ∧ q))] 1
(p → q) ∧ (q → p) 2
¬((p ∨ q) → (p ∧ q)) 3
p → q 4
q → p 5
p ∨ q 6
¬(p ∧ q) 7
✟✟
❍❍ ¬p
q
✟✟
❍❍
¬q p ❅
¬q p
❅
×
p
✟✟ ×
❍ ×
q
❍
p q
×
❅ ❅
¬p ¬q ¬p ¬q
× × × ×

3.1. TABLAS SEMÁNTICAS PARA LA LÓGICA ABDUCTIVA 21
Ejemplo 3.3 Demostremos que la inferencia (p ∨ q) → r, ¬q |= p ∨ r no es válida.
(p ∨ q) → r 2
¬q
¬(p ∨ r) 1
¬p
¬r
❅
¬(p ∨ q) 3 r ×
¬p
¬q
La rama abierta nos proporciona un modelo para el conjunto de fórmulas
{(p ∨ q) → r, ¬q, ¬(p ∨ r)}
cualquier interpretación I tal que I(p) = I(q) = I(r) = 0 satisface todas las hipótesis pero no la
conclusión de la inferencia.
3.1. Tablas semánticas para la Lógica Abductiva
Puesto que en nuestra formalización de la lógica abductiva proposicional partimos de la lógica
clásica proposicional, tenemos todos los elementos necesarios para abordar el problema de cómo usar
el método de las tablas semánticas para la búsqueda de soluciones explicativas para un problema
abductivo. En nuestro desarrollo seguimos el planteamiento de la profesora Atocha Aliseda.
Comenzemos destacando que el método que vamos a exponer proporciona explicaciones atómicas
(un literal) o conjuntivas (conjunciones de literales).
Dado un problema abductivo (Θ, O), deseamos encontrar soluciones abductivas para la observación
O. Por lo tanto, la proposicion 2.2, en términos de tablas semánticas, nos indica que se han
de satisfacer las siguientes condiciones:
I) Θ |= O, es decir, no existe una refutación para Θ ∪ {¬O}. En definitiva, existe un árbol con
una rama abierta y completa para Θ ∪ {¬O}.
II) Θ, E |= O, es decir, existe una refutación para Θ ∪ {E} ∪ {¬O}. En definitiva, existe un árbol
cerrado para Θ ∪ {E} ∪ {¬O}, y
III) Θ, E |= ⊥, es decir, no existe una refutación para Θ ∪ {E}. En definitiva, existe un árbol con
una rama abierta y completa para Θ ∪ {E} (E es consistente con la teoría Θ).
Ejemplo 3.4 [Aliseda] Sea el problema abductivo (Θ, O) donde: Θ = {p → q, (t ∧ s) → p} y O = q
Construimos el árbol para Θ, que reutilizaremos para las tareas I), II) y III):

22 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
(p → q) 1
(t ∧ s) → p 2
✘ ❳❳
¬p q
✏ ❍ ✟ ❳ ❳
¬(t ∧ s)3 p ¬(t ∧ s)4 p
×
¬t
◦
❅
¬s
◦
¬t
◦
❅
El árbol es abierto y completo y tiene cinco ramas abiertas y completas.
¬s
◦
TΘ = {ρ1, ρ2, ρ3, ρ4, ρ5}
donde= ρ1 = {¬p, ¬t}; ρ2 = {¬p, ¬s}; ρ3 = {q, ¬t}; ρ4 = {q, ¬s} y ρ5 = {q, p}. Por lo
tanto, la teoría, Θ es consistente y cada rama abierta proporciona un modelo para ella.
Comprobamos que el árbol para Θ ∪ {¬q} tiene una rama abierta y completa, es decir, que
Θ|= q. Para ello, bastará con extender las ramas abiertas del árbol para Θ con ¬q:
(p → q) 1
(t ∧ s) → p 2
✘ ❳❳
¬p q
✏ ❍ ✟ ❳ ❳
¬(t ∧ s)3 p ¬(t ∧ s)4 p
×
❅
¬t ¬s
¬q ¬q
◦1
◦2
Hemos concluido la tarea I) y obtenemos que el árbol para TΘ ∪{¬q} tiene dos ramas abiertas
y completas:
Ext(TΘ, {¬q}) = {ρ ′ 1, ρ ′ 2}
donde ρ ′ 1 = {¬p, ¬t, ¬q} y ρ′ 2 = {¬p, ¬s, ¬q}. En consecuencia, disponemos de dos modelos
para Θ ∪ {¬q}, los cuales nos indican cómo abordar la tarea de buscar las posibles
“extensiones” de Θ a una nueva teoría Θ ′ de modo que Θ ′ |= O.
La tarea II) es la búsqueda de explicaciones abductivas, E, lo cual nos conduce analizar cómo
cerrar simultáneamente las ramas abiertas, es decir, la búsqueda de E tal que existe una
refutación para Θ ∪ {E} ∪ {¬O}.
Para que existan tales explicaciones atómicas o conjuntivas, la extensión Ext(TΘ, {¬q}) debe
ser semicerrada (tiene al menos una rama abierta y al menos una rama cerrada), como lo es
en este ejemplo. En efecto,
¬t
¬q
×
• si fuera cerrada, tendríamos que Θ |= O y, en consecuencia, (Θ, O) no sería un problema
abductivo.
• si fuera abierta, el número de ramas del árbol de la teoría, T , sería el mismo que el
de Ext(TΘ, {¬O}). Sea {ℓ1, . . . , ℓn} el conjunto de literales que cierra Ext(TΘ, {¬O}).
Tenemos dos posibilidades:
❅
¬s
¬q
×
◦
¬q ×

3.1. TABLAS SEMÁNTICAS PARA LA LÓGICA ABDUCTIVA 23
◦ O ∈ {ℓ1, . . . , ℓn} 4 . En este caso, tendríamos que la explicación E es tal que E |= O,
en contra de la definición de solución explicativa.
◦ O ∈ {ℓ1, . . . , ℓn}. En este caso, tendríamos que {ℓ1, . . . , ℓn} cierra también al árbol
de la teoría, Θ, y en consecuencia, Θ ∪ {E} no sería consistente, en contra de la
definición de solución explicativa (que exige que sea consistente).
Podemos ya buscar las soluciones explicativas, E, tanto atómicas, como conjuntivas. Ello nos
conduce analizar cómo cerrar simultáneamente las ramas abiertas, es decir, la búsqueda de
E tal que existe una refutación para Θ ∪ {E} ∪ {¬O}:
• La rama ρ ′ 1
• La rama ρ ′ 2
cierra con cualquier subconjunto de {p, t, q}
cierra con cualquier subconjunto de de {p, s, q}
Puesto que toda explicación E debe satisfacer que E |= O, el cierre simultáneo de ambas
ramas nos lleva a considerar los subconjuntos de {p, t, q} - {q} = {p, t} y los subconjuntos de
{p, s, q} - {q} = {p, s}, es decir, las posibles explicaciones candidatas son:
E1 = p; E2 = p ∧ t; E3 = p ∧ s; E4 = p ∧ t ∧ s y E5 = s ∧ t
Abordamos por último la tarea III), es decir, analizar cuáles de estas Ei es consistente con
Θ. En definitiva, comprobar cuáles de estas Ei satisfacen que Θ ∪ {Ei} tiene ramas abiertas.
Puesto que las ramas abiertas de Θ son
ρ1 = {¬p, ¬t}; ρ2 = {¬p, ¬s}; ρ3 = {q, ¬t}; ρ4 = {q, ¬s} y ρ5 = {q, p}
las cinco Ei anteriores son consistentes con la teoría.
Ahora procedemos como sigue:
III.1) Si buscamos explicaciones atómicas, buscamos literales ℓ = Ei tales que:
- Ext( Ext(TΘ, {¬O}), {ℓ} ) = ∅, es decir, ℓ ∈ Cl(Ext(TΘ, {¬O})),
- ℓ ha de ser tal que no cierre TΘ
- ℓ = O.
En consecuencia, toda explicación atómica ℓ = Ei ha de satisfacer
Ei ∈ [Cl(Ext(TΘ, {¬O})) ∩ Clpar(TΘ)] -{O} = [{p} ∩ {p, t, s, ¬p, ¬q}] -{q} = {p}
Existe pues una única explicación atómica E1 = p.
III.2) Si buscamos explicaciones conjuntivas, Ei = ℓ1 ∧ . . . ∧ ℓn, n > 1, cada rama de
Ext(TΘ, {¬O}) debe cerrarse con al menos uno de los ℓi y ninguno de los ℓi debe cerrar
completamente el árbol, por lo tanto, toda rama ρ ∈ Ext(TΘ, {¬O}) ha de satisfacer
que
Clpar(ρ) ∩ {ℓ1 ∧ . . . ∧ ℓn} = ∅
Para conseguir esto, podemos elegir todos los conjuntos de literales ∆ que contienen un
literal de los cierre parciales de cada una de las ramas y eliminar los ∆ no minimales (es
decir, que esté contenido en otro).
4 Recordemos que O es atómica

24 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
En el ejemplo, las ramas abiertas de TΘ ∪ {¬O} son ρ ′ 1 = {¬p, ¬t, ¬q} y ρ′ 2 =
{¬p, ¬s, ¬q}; Clpar(ρ ′ 1 ) = {t} y Clpar(ρ ′ 2 ) = {s}. Por lo tanto, solo hay una explica-
ción conjuntiva E4 = t ∧ s
Ejemplo 3.5 Sea el problema abductivo (Θ, O) donde: Θ = {p, q → r, r → w, s → w} y O = w
Construimos el árbol TΘ:
¬s
◦
p
(q → r) 1
r → w 2
s → w 3
✘ ❳❳ r
¬q
✘ ❍ ✟ ❳ ❳
¬r w ¬r w
⊗
❅ ❅ ❅
w
◦ ¬s
◦ w ¬s
◦ ◦
El árbol es abierto y completo y tiene seis ramas abiertas.
T = {ρ1, ρ2, ρ3, ρ4, ρ5, ρ6}
donde= ρ1 = {p, ¬q, ¬r, ¬s}; ρ2 = {p, ¬q, ¬r, w}; ρ3 = {p, ¬q, w, ¬s}; ρ4 = {p, ¬q, w}; ρ5 =
{p, r, w, ¬s} y ρ6 = {p, r, w}. Por lo tanto, la teoría, Θ es consistente y cada rama abierta
proporciona un modelo para ella.
Comprobamos que el árbol para Θ ∪ {¬w} tiene alguna rama abierta y completa, es decir,
que Θ|= w. Para ello, bastará con extender las ramas abiertas del árbol para Θ con ¬w:
p
(q → r) 1
r → w 2
s → w 3
✘ ❳❳ r
¬q
✘ ❍ ✟ ❳ ¬r w
❅ ❅
¬s w ¬s w
❳
¬r w
⊗
❅
¬s w
¬w
◦
¬w
⊗
¬w
⊗
¬w
⊗
¬w
⊗
¬w
⊗
= {p, ¬q, ¬r, ¬s, ¬w}. En consecuencia,
Obtenemos que Ext(TΘ, {¬w}) = {ρ ′ 1 }, donde ρ′ 1
disponemos de un modelo para Θ ∪ {¬w}, el cual nos indica como abordar la tarea de buscar
las posibles “extensiones” de Θ a una nueva teoría Θ ′ de modo que Θ ′ |= O.
Iniciamos la búsqueda de explicaciones abductivas, E, lo cual nos conduce analizar cómo cerrar
la rama abierta, es decir, la búsqueda de E tal que existe una refutación para Θ∪{E}∪{¬O}.
Para que existan tales explicaciones, la extensión Ext(T, {¬w}) debe ser semicerrada, como
en este ejemplo. Ahora, tan solo tenemos que indagar cómo cerrar la rama abierta, es decir,
la búsqueda de E tal que existe una refutación para Θ ∪ {E} ∪ {¬O}: La rama ρ ′ 1 cierra con
cualquier subconjunto de {¬p, q, r, s, w}. Puesto que toda explicación E debe satisfacer que
Θ ∪ {E} sea consistente y E |= O, el cierre de ρ ′ 1 nos lleva a considerar los subconjuntos de
{q, r, s}, es decir, las posibles explicaciones candidatas son:
E1 = q; E2 = r; E3 = s; E4 = q ∧ r; E5 = r ∧ s; E6 = q ∧ s; y E7 = q ∧ r ∧ s
w
◦

3.2. δ-RESOLUCIÓN 25
3.2. δ-resolución
En esta sección presentamos un método dual de la resolución, introducido por Fernando Soler
Toscano en su Tesis Doctoral. 5
Antes de describir el método, recordemos que,
Una fbf, D, se dice que es un cubo si es ⊤, ⊥, un literal o una conjunción (posiblemente vacía)
de literales.
D es un cubo restringido si no contiene literales repetidos ni pares de literales opuestos. a
El cubo vacío (conjunción vacía de literales) es una fbf válida, que representaremos por ♦.
Una fbf es normal disyuntiva si es ⊤, ⊥, un cubo, o una disyunción (quizás vacía) de cubos. b
Una fnd es restringida (abreviadamente, fndr), si cumple los siguientes requisitos:
(i) Ningún cubo contiene un literal y su opuesto.
(ii) Ningún cubo contiene literales repetidos.
(iii) Ningún cubo contiene a otro.
La forma normal disyuntiva vacía es insatisfacible.
Podemos representar un cubo por el conjunto de sus literales y una fndr por el conjunto
de sus cubos.
Recordemos que para toda fbf, A ∈ Lprop existe una fnd, Afnd tal que A ≡ Afnd
a En la bibliografía, se denomina también δ-cláusulas a los cubos. Nosotros les seguiremos llamando
cubos, en coherencia a nuestro estudio de la lógica clásica.
b Las fnfs se denominan también forma δ-clausal en la bibliografía.
El punto de partida del método de δ-resolución es el siguiente: Dado el problema abductivo
(Θ, O), con Θ = {A1, . . . , An}, sabemos que, si E es una solución plana de dicho problema, ha de
satisfacer que
Θ, E |= O si y solo si E |= (A1 ∧ . . . ∧ An) → O
La descripción E |= (A1 ∧ . . . An) → O nos destaca que la búsqueda de soluciones abductivas puede
contemplarse como la búsqueda de implicantes de (A1 ∧ . . . An) → O.
El método de δ-resolución se basa en esta segunda descripción. Como en el caso del método de
resolución, el método exige que la entrada sea una forma normal, concretamente, una forma normal
disyuntiva restringida (fndr). Así pues, la entrada será una fndr equivalente a (A1 ∧ . . . ∧ An) → O.
El profesor Toscano ilustra la adecuación de la descripción E |= (A1 ∧ . . . ∧ An) → O con el
siguiente ejemplo tomado de A. Kakas, R. Kowalski y F. Toni: Consideremos que el lenguaje consta
de las siguientes variables proposicionales:
a expresa “los aspersores regaron anoche”
l expresa “llovió anoche”
c expresa “el césped está mojado”, y
z expresa “los zapatos se mojan”.
5 Dirigida por el profesor Ángel Nepomuceno.

26 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
Sea la teoría: Θ = {a → c, l → c, c → z}:
“si los aspersores han regado, el césped estará mojado”;
“si anoche llovió, entonces el césped estará mojado”, y
“si es césped se moja, los zapatos de mojan”.
Consideremos que observamos que “los zapatos están mojados”, es decir, O = z y deseamos
saber si nuestra teoría consigue explicar z, es decir, consideramos el problema abductivo (Θ, O) y
deseamos buscar explicaciones, E, tales que
E |= ((l → c) ∧ (a → c) ∧ (c → z)) → z
Un modo fácil de buscar, E, es decir, de buscar implicantes de ((l → c) ∧ (a → c) ∧ (c → z)) → z
es construir la forma normal disyuntiva restringida de la fbf
que no es más que la fndr:
((l → c) ∧ (a → c) ∧ (c → z)) → z (†)
(l ∧ ¬c) ∨ (a ∧ ¬c) ∨ (c ∧ ¬z) ∨ z (††)
Obviamente, todos los cubos en la fndr (††) son explicaciones de nuestra observación. Pero aún
podemos encontrar nuevos de implicantes de (†). Para ello, podemos usar la regla dual de la “Regla
de resolución”. Recordemos que dicha regla es un caso particular de la ley
(X ∨ Z) ∧ (Y ∨ ¬Z) |= X ∨ Y (Resolv)
X ∨ Y ∈ Iα((X ∨ Z) ∧ (Y ∨ ¬Z)). Ahora estamos interesados no en implicados, sino en implicantes.
Por lo tanto, podemos usar la ley dual a Resolv, es decir, la ley:
X ∧ Y |= (X ∧ Z) ∨ (Y ∧ ¬Z) (δ-Resolv)
Ahora, X ∧ Y ∈ Iβ((X ∧ Z) ∨ (Y ∧ ¬Z)), por lo tanto, podemos hacer uso de ella para la
búsqueda de soluciones abductivas.
En el ejemplo anterior, para buscar implicantes de (l ∧ ¬c) ∨ (a ∧ ¬c) ∨ (c ∧ ¬z) ∨ z (††) podemos
proceder como sigue:
1. l ∧ ¬c cubo en (††)
2. a ∧ ¬c cubo en (††)
3. c ∧ ¬z cubo en (††)
4. z cubo en (††)
5. c δ-Resolv de 3 y 4
6. a δ-Resolv de 2 y 5
7. l δ-Resolv de 1 y 5

3.2. δ-RESOLUCIÓN 27
Por lo tanto, c, l y a ∈ Iβ((l ∧ ¬c) ∨ (a ∧ ¬c) ∨ (c ∧ ¬z) ∨ z) son posibles explicaciones.
Vamos pues a describir el método.
La entrada es una fndr equivalente a ¬(A1 ∧ . . . ∧ An) ∨ O), es decir, un conjunto finito de cubos
Ω = {D1, . . . , Dm} y a partir de él, va generando, en cada ejecución, un nuevo conjunto de cubos
Ω ′ = {D1, . . . , Dm, D}, tal que:
D |= D1 ∨ . . . ∨ Dm
Para derivar nuevos cubos a partir de Ω, el método utiliza una única regla de inferencia llamada
regla de δ-resolución, que no es más que la particularización a cubos de la ley δ-Resolv
destacada anteriormente:
X ∧ Y |= (X ∧ Z) ∨ (Y ∧ ¬Z)
Definición 3.12 [Regla de δ-resolución] Dadas los cubos D1 ∪ {ℓ} y D2 ∪ {¬ℓ}, llamamos regla
de δ-resolución a la siguiente:
D1 ∪ {ℓ} D2 ∪ {¬ℓ}
D1 ∪ D2
Decimos que D1∪{ℓ} y D2∪{¬ℓ} son δ-resolubles respecto a ℓ y que D1∪D2 es una δ-resolvente
de D1 ∪ {ℓ} y D2 ∪ {¬ℓ} respecto de ℓ y la denotamos R δ ℓ (D1 ∪ {ℓ}, D2 ∪ {¬ℓ}).
❡❡
Advirtamos que si D1 y D2 son δ-resolubles respecto a dos literales ℓ1 y ℓ2, entonces ℓ2, ¬ℓ2 ∈
Rδ ℓ1 (D1, D2) y ℓ1, ¬ℓ1 ∈ Rδ ℓ2 (D1, D2), es decir, en ambos casos, Rδ ℓ1 (D1, D2) ≡ ⊥ ≡ Rδ ℓ2 (D1, D2).
Por lo tanto, estamos solo interesados en los cubos δ resolubles respecto a un único literal y, en
consecuencia, eliminaremos el subíndice ℓ de la expresión de la δ-resolvente, denotando tan solo
Rδ (D1, D2).
Como indica la ley δ-Resolv, tenemos el siguiente resultado:
Proposición 3.1 Si dos cubos D1 y D2 son δ-resolubles, entonces R δ (D1, D2) |= D1 ∨ D2
Es decir, R δ (D1, D2) ∈ Iβ(D1 ∨ D2).
Definición 3.13 Si Ω = {D1, . . . , Dn} es un conjunto de cubos y D es un cubo, se dice que D es
deducible por δ-resolución a partir de Ω, denotado Ω ⊢δ D, si existe una secuencia finita de
cubos D1, D2, · · · , Dk tal que
1. Cada Di (1 ≤ i ≤ n) es o bien un cubo de Ω o bien una δ-resolvente de dos cubos anteriores
en la secuencia.
2. Dk = D.
La secuencia Di (1 ≤ i ≤ k) se dice que es una derivación por δ-resolución de D a partir
de Ω.

28 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
❡❡ Advirtamos que Ω ⊢δ D si y solo si D |= D1 ∨ . . . ∨ Dk
¿Qué podemos afirmar en el caso en que ♦ es derivable por δ-resolución a partir de Ω? En
este caso, la secuencia de cubos que nos proporciona ♦ se denomina validación de Ω y el lector
ya habrá concluido el siguiente resultado:
Teorema 3.4 Dado un conjunto finito de cubos Ω = {D1, . . . , Dm}, se tiene que:
D1 ∨ . . . ∨ Dm es válida si y solo si Ω ⊢δ ♦
Ejemplo 3.6 Dado el conjunto de cubos Ω = {p ∧ q, p ∧ r, ¬q ∧ ¬r, ¬p}, se tiene que la fbf
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ∨ (¬q ∧ ¬r) ∨ ¬p
es una fbf válida. Comprobémoslo usando el método de δ-resolución:
1. p ∧ q
2. p ∧ r
3. ¬q ∧ ¬r
4. ¬p
5. p ∧ ¬r R δ (1, 3)
6. q R δ (1, 4)
7. p ∧ ¬q R δ (2, 3)
8. r R δ (2, 4) R δ (Ω) = Ω ∪ {p ∧ ¬r, q, p ∧ ¬q, r}
9. ¬r R δ (3, 6)
10. ♦ (8,9)
Basándonos en el teorema 3.4, el método funciona generando cubos a partir del conjunto de
cubos inicial, Ω, hasta derivar ♦ o bien hasta concluir que ♦ no se puede generar a partir de Ω
mediante δ-resolución.
Recordemos que nuestro objetivo es aplicar el método para obtener soluciones para el problema
abductivo (Θ, O), donde Θ = {A1, . . . , An} y que para ello, partimos de una fndr equivalente a
(A1 ∧ . . . An) → O, es decir, una fndr equivalente a ¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An ∨ O.
En definitiva, aplicar el método para obtener soluciones planas del problema abductivo (Θ, O)
con Θ = {A1, . . . , An}, es decir, buscar implicantes de (A1 ∧ . . . ∧ An) → O ≡ ¬A1 ∨ ¬An ∨ O,
requiere:
Obtener una fndr equivalente a ¬Ai, para 1 ≤ i ≤ n. Sea esta {D i 1 , . . . , Di mi }.
Obtener una fndr equivalente a O. Sea esta {D O
1 , . . . , DO m }.
O
En la unión
n
i=1
{D i 1, . . . , D i mi } ∪ {DO 1 , . . . , D O
m }
O
eliminar los cubos tal que existe uno al que subsumen
De esta forma, obtenemos un conjunto de cubos {D1, . . . , Dm}.

3.2. δ-RESOLUCIÓN 29
Notación
Dado un conjunto de cubos Ω = {D1, . . . , Dk}, denotamos
ˆΩ = D1 ∨ . . . ∨ Dk
Por definición de problema abductivo, Θ |= O, es decir, que (A1 ∧ . . . An) → O no es una fbf válida.
Por lo tanto, si Ω = {D1, . . . , Dk} es una fndr equivalente a (A1 ∧ . . . An) → O, conocemos que
ˆΩ = D1 ∨ . . . ∨ Dk no es válida. El siguiente resultado nos proporciona un criterio de no validez:
Teorema 3.5 Dado un conjunto finito de cubos Ω = {D1, . . . , Dk}, si Di, Dj ∈ Ω son δ-resolubles
entonces
Y, en consecuencia:
ˆΩ no es válida si y solo si ˆ Ω ∨ R δ (Di, Dj) no es válida.
Ω ⊢δ ♦ si y solo si Ω ∪ {R δ (Di, Dj) | Di, Dj ∈ Ω} ⊢δ ♦.
3.2.0.2. Árboles semánticos para un conjunto de cubos
Recordemos el concepto de árbol semántico:
Dada una secuencia de símbolos de proposición ∆ = [p1, p2, . . . , pn, . . .] un árbol semántico
respecto de ∆ es un árbol binario que satisface las condiciones siguientes:
1. Cada arco está etiquetado con un literal pi o ¬pi donde pi ∈ ∆.
2. Los literales que etiquetan dos arcos que nacen del mismo nodo son opuestos.
3. Ninguna rama contiene más de una ocurrencia de cada pi ∈ ∆.
En lo que sigue, Ω = {D1, . . . , Dk} es un conjunto finito de cubos y [p1, . . . , pn] una ordenación
del conjunto de los símbolos proposicionales que intervienen en Ω.
Definición 3.14 Un nodo N de un árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] para un conjunto
finito de cubos, Ω = {D1, . . . , Dk}, se denomina nodo éxito si su interpretación IN asociada es
tal que IN(Di) = 1 para algún cubo Di ∈ Ω pero ninguna de las interpretaciones asociadas a sus
ascendientes posee esta propiedad.
Un nodo éxito, N, nos proporciona una interpretación (parcial) IN que satisface a ˆ Ω. Por lo
tanto, no es preciso considerar las extensiones de IN.
Un árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] se dice cerrado si todas sus hojas son nodos éxito.
Un nodo N de un árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] se denomina un δ-nodo inferencia
si sus dos descendientes inmediatos son nodos éxito.
Ejemplo 3.7 Dado Ω = {p, q ∧ r, ¬p ∧ ¬q, ¬p ∧ ¬r}, la figura muestra un árbol semántico cerrado
para Ω respecto de [p, q, r]

30 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
•❛
¬p ❛❛❛❛❛❛❛ p
✦✦✦✦✦✦✦✦ •❍
❍❍❍❍❍❍
I6(p) = 1
✟ ✟✟✟✟✟✟
•
¬q q
• • (∗)
I2(¬p ∧ ¬q) = 1
❅
❅
❅❅
¬r r
•
•
I4(¬p ∧ ¬r)=1 I5(q ∧ r) = 1
En este árbol solo el nodo marcado con (∗) es un δ-nodo inferencia.
Lema 3.1 Sea N un δ-nodo inferencia de un árbol semántico de Ω = {D1, . . . , Dk} respecto
[p1, . . . , pn], y sean Di, Dj ∈ Ω cubos a las que asignan el valor de verdad 1 las interpretaciones
asociadas al descendiente derecho de N, Nd y al descendiente izquierdo de N, Ni, respectivamente.
Si l y l son los literales que etiquetan los arcos que parten de N, entonces IN(R δ (Di, Dj)) = 1. En
particular, N es un nodo éxito del árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] para Ω ∪ {R δ (Di, Dj)}.
Demostración: Supongamos que N no es un nodo éxito del árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn]
para Ω ∪ {R δ (Di, Dj)}. Entonces, la interpretación I asociada a N es tal que IN(R δ (Di, Dj)) = 0
y por lo tanto, se tiene una de las situaciones siguientes:
1. La interpretación INi asociada al descendiente izquierdo de N es una extensión de IN tal que
INi (Di) = 0.
2. La interpretación INd asociada al descendiente derecho de N es una extensión de IN tal que
INd (Dj) = 0
Por lo tanto, alguno de los dos descendientes inmediatos de N no será nodo éxito, en contra de la
hipótesis de que N es un δ-nodo inferencia.
Teorema 3.6 El método de δ-resolución es:
Correcto: dado un conjunto finito de cubos Ω = {D1, . . . , Dk}, si existe una validación por
δ-resolución de Ω, entonces ˆ Ω = D1 ∨ . . . ∨ Dk es válida.
Completo: si un conjunto finito de cubos Ω = {D1, . . . , Dk} es tal que ˆ Ω = D1 ∨ . . . ∨ Dk es
válida, entonces existe una validación por δ-resolución de Ω.
Demostración: Supongamos que D ′ 1 , D′ 2 , . . . , D′ l , ♦ es una validación por δ-resolución de ♦ a
partir de Ω. Si ˆ Ω = D1 ∨ . . . ∨ Dk no fuera válida, existiría un interpretación I tal que I(D1 ∨ . . . ∨
Dk) = 0, es decir, I(Di) = 0 para todo cubo Di ∈ Ω. Puesto que Dj1 , Dj2 |=δ Rδ (Dj1 , Dj2 ), se
tendría I(D ′ i ) = 0 para todo cubo D′ i de la secuencia D′ 1 , D′ 2 , . . . , D′ l , ♦, y, en particular, I(♦) = 0
lo cual es imposible.
Recíprocamente, si ˆ Ω = D1∨. . .∨Dk es válida y [p1, . . . , pn] es una ordenación del conjunto de los
símbolos proposicionales que intervienen en Ω, el árbol semántico completo respecto a [p1, . . . , pn]

3.2. δ-RESOLUCIÓN 31
nos permite (por ser ˆ Ω válida) obtener un árbol semántico cerrado T para Ω. Si T es un árbol
de un solo nodo, entonces ♦ ∈ Ω pues, en otro caso, se requiere al menos el primer nivel del
árbol semántico para acceder a un nodo éxito. Por lo tanto, si ♦ ∈ Ω, la secuencia de un solo
elemento ♦ es una validación por δ-resolución de Ω. En cambio, si T no es un árbol de un solo
nodo, existe entonces al menos un δ-nodo inferencia, o de lo contrario todo nodo del árbol tendría
un descendiente no éxito, lo cual es imposible por tratarse T de un árbol cerrado.
Sea, pues, N un nodo tal, y N1 y N2 sus descendientes inmediatos; entonces ambos son nodos
éxito. Por tanto, existen cubos Dj1 , Dj2 en [D1, . . . , Dk] (una ordenación de los elementos de Ω)
tales que IN1 (Dj1 ) = IN2 (Dj2 ) = 1. Sea l el literal del arco que va de N a N1 y l el literal opuesto
que etiqueta el arco que va de N a N2, entonces por el lema previo a este teorema resulta que
IN(Rδ (Dj1 , Dj2 )) = 1.
Consideremos ahora el camino que va desde la raíz del árbol hasta N y eliminemos los arcos y
nodos debajo del primer nodo de dicho camino que cumpla que el cubo Rδ (Dj1 , Dj2 ) es verdadero
en la interpretación parcial asociada a dicho nodo. Obtenemos así un árbol semántico cerrado T ′
para [D1, . . . , Dk] ∪ {Rδ (Dj1 , Dj2 )} que es un subárbol estricto de T . Ahora, aplicamos este mismo
proceso en T ′ obteniendo como resultado un subárbol estricto de T ′ y una extensión del conjunto
de cubos anterior de manera similar. Procedemos así sucesivamente de modo que, en un número
finito de etapas, obtendremos una secuencia cuyo árbol semántico cerrado es un árbol de un solo
nodo y cuyo último elemento es ♦, es decir, obtenemos una validación por δ-resolución de Ω.
El modo habitual de representar las derivaciones por δ-resolución a partir de un conjunto Ω de
cubos es mediante un árbol binario, llamado árbol de δ-resolución:
Definición 3.15 Un árbol de δ-resolución para un conjunto finito de cubos Ω es un árbol
caracterizado como sigue:
1. Cada nodo no hoja tiene dos descendientes inmediatos.
2. Cada nodo hoja está etiquetado por un cubo de Ω.
3. Cada nodo no hoja está etiquetado por una δ-resolvente de las etiquetas de sus descendientes
inmediatos.
Por definición, resulta obvio el siguiente teorema:
Teorema 3.7 Si D es la etiqueta de la raíz de un árbol de δ-resolución para Ω, entonces Ω ⊢δ D.
Si D es ♦, el árbol se dice que es un árbol de validación para Ω.
Ejemplo 3.8 A continuación se presenta un árbol de validación para el conjunto de cubos
Ω = {p ∧ q, ¬q ∧ r, ¬p ∧ r, ¬r}

32 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
p ∧ q ¬p ∧ r ¬r ¬q ∧ r ¬r
❅ ❅
❅
❅❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅
❅ ❅
❅ ¬p ¬q
q
♦
En general, para todo conjunto finito de cubos, Ω, existen validaciones distintas para Ω. El
siguiente árbol muestra una nueva validación para el conjunto de cubos del ejemplo anterior
¬p ∧ r ¬r p ∧ q ¬q ∧ r ¬r
❅ ❅
¬p❅
❅
❅
q❅
❅
❅
r❅
❅
❅ ♦
3.2.1. δ-Resolución como algoritmo
Si el conjunto de cubos, Ω, cuya validez estamos estudiando es finito, el conjunto de las variables
proposicionales que ocurren en Ω también es finito y por lo tanto, también es finito el conjunto de δresolventes
que podemos obtener, ya que éstas deben ser cubos restringidos (sin literales repetidos)
y, en cada aplicación de la regla de δ-resolución, el cubo obtenido tiene un literal menos.
En consecuencia, es posible generar todas las δ-resolventes, lo que nos lleva al algoritmo básico
construido sobre la regla de δ-resolución: generar sistemáticamente todas las δ-resolventes a partir
de un conjunto finito de cubos dado, Ω = {D1, . . . , Dk}. Si Ω conjunto contiene el cubo vacío,
ˆΩ = D1 ∨ . . . ∨ Dk es válida, en caso contrario, no lo es.
En definitiva, dado un conjunto de cubos Ω, denotamos por R δ 1 (Ω) la unión de Ω y el conjunto
de todas las δ-resolventes de cubos de Ω (δ-resolventes obtenidas utilizando solo cubos de Ω). Para

3.2. δ-RESOLUCIÓN 33
todo n ∈ N, definimos R δ n(Ω) como sigue:
R δ 0(Ω) = Ω
Por definición, es claro que R δ n(Ω) ⊆ R δ n+1 (Ω).
R δ n+1(Ω) = R δ (R δ n(Ω))
El algoritmo de δ-resolución construye sucesivamente Rδ 1 (Ω), Rδ 2 (Ω) . . .. Si existe un k ∈ N tal
que ♦ ∈ Rδ k (Ω) entonces, la disyunción de los cubos en Ω es válida. En caso contrario, no lo es.
Como en el caso del método de resolución, el algoritmo propuesto finaliza al cabo de un número
finito de etapas, es decir:
Teorema 3.8 Dado un conjunto de cubos, Ω, existe m ∈ N tal que
R δ n(Ω) = R δ m(Ω) para todo n ≥ m
Puesto que el objetivo es comprobar la validez de la disyunción de un conjunto Ω de cubos, cuando
obtengamos ♦, paramos la construcción de la secuencia
R δ 1(Ω), R δ 2(Ω), . . . , R δ m(Ω)
Si la disyunción de los cubos de Ω no es válida, será necesario construir conjuntos R δ n(Ω) hasta
que, en alguno de los pasos no se generen nuevos cubos, lo cual indicará que el cubo vacío ♦
no se puede deducir por δ-resolución a partir de Ω. Si eliminamos en él los cubos insatisfacibles
(ya que D ∨ ⊥ ≡ D) y los cubos, D ′ , que subsumen (incluyen) a otro, D (ya que, en tal caso,
D ∨ D ′ ≡ D), obtenemos el método llamado δ-resolución por saturación. Al conjunto final
de cubos obtenidos a partir de un conjunto Ω de cubos tras aplicar el método de δ-resolución por
saturación, lo denotaremos por Ω δ .
El método de δ-resolución por saturación nos asegura que los cubos obtenidos son minimales
en el sentido de la siguiente definición:
Definición 3.16 [δ-resolvente minimal] Decimos que un cubo, D, es una δ-resolvente minimal
de un conjunto de cubos, Ω = {D1, . . . , Dk}, si y solo si se satisfacen las tres condiciones
siguientes:
1. D es satisfacible, es decir, no contiene literales complementarios.
2. Ω ⊢δ D,
3. No existe ningún cubo D ′ tal que D ′ ⊂ D 6 y Ω ⊢δ D ′ .
El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el método de de δ-resolución por saturación.
Ejemplo 3.9 Dado Ω = {p ∧ q, p ∧ r, ¬q ∧ ¬r, ¬p}, mostramos una validación de que Ω usando
el método de δ-resolución descrito, denominado δ-resolución por saturación: Generamos
sistemáticamente todas las posibles δ-resolventes, comprobando si cada cubo es δ-resoluble con
“todos” los demás y comprobando si cada nueva δ-resolvente es a su vez resoluble con todos los
demás.
6 Donde consideramos cada cubo como un conjunto de literales

34 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
−− 1. p ∧ q
−− 2. p ∧ r
−− 3. ¬q ∧ ¬r
−− 4. ¬p
−− 5. p ∧ ¬r Rδ (1,3)
−− 6. q Rδ(1,4) (tacha 1 porque lo contiene)
−− 7. p ∧ ¬q Rδ(2,3)
−− 8. r Rδ(2,4) (tacha 2 porque lo contiene)
−− 9. ¬r Rδ(3,6) (tacha 3 y 7 porque lo contienen)
10. ♦ Rδ(8,9) (tacha 4,6,8 y 9 porque lo contienen)
3.2.1.1. Búsqueda de soluciones explicativas mediante δ-resolución
En esta sección, aplicamos el método de δ-resolución a la búsqueda de soluciones explicativas
de un problema abductivo. Consideremos un problema abductivo (Θ, O), con Θ = {A1, . . . , An}
(Θ una teoría contingente y O una observación contingente). Buscamos soluciones explicativas
conjuntivas, E = ℓ1 ∧ . . . ∧ ℓk.
En la sección anterior hemos visto que aplicando el método de δ-resolución por saturación a una
fnd equivalente a (A1 ∧ . . . ∧ An) → O obtenemos soluciones planas y minimales del problema
abductivo (Θ, O). Nos queda pues determinar cómo obtener soluciones explicativas, es decir, las
explicaciones E tales que satisfagan las condiciones:
Θ, E |= ⊥ (Consistentes con Θ)
E |= O (E es una solución que requiere a Θ)
1. La condición de consistencia, nos lleva a exigir que Θ, E |= ⊥, es decir, Θ |= ¬E, es decir,
Θ |= ¬ℓ1 ∨ . . . ∨ ¬ℓk.
Supongamos que Θ = {A1, . . . , An}. Esta condición es equivalente a
|= ¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An ∨ ¬ℓ1 ∨ . . . ∨ ¬ℓk
Supongamos que {D ¬ Θ
1 , . . . , D ¬ Θ
nΘ } es una fndr equivalente a ¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An. La condición
de consistencia nos lleva a exigir que,
esta exigencia es equivalente a la siguiente:
|= D ¬ Θ
1 ∨ . . . ∨ D ¬ Θ
nΘ ∨ ¬ℓ1 ∨ . . . ∨ ¬ℓk

3.2. δ-RESOLUCIÓN 35
Para todo D ¬ Θ
i , con 1 ≤ i ≤ n Θ se tiene que en D ¬ Θ
i ⊆ {ℓ1, . . . , ℓk} CONS
2. Para que E sea explicativa, hemos de exigir que E |= O, es decir, |= E → O, es decir,
|= O ∨ ¬E ≡ O ∨ ¬ℓ1 ∨ . . . ∨ ¬ℓk.
Si D O
1
∨ . . . ∨ DO
nO
es una fndr equivalente a O, esta exigencia es equivalente a la siguiente:
|= D O
1
Para todo D O
i , con 1 ≤ i ≤ n O
∨ . . . ∨ DO
nO ∨ ¬ℓ1 ∨ . . . ∨ ¬ℓk.
se tiene que en DO
i ⊆ {ℓ1, . . . , ℓk} EXPL
Denotaremos por Abδ(Θ, O) el conjunto de soluciones explicativas minimales al problema
abductivo (Θ, O)
Por lo tanto, los pasos a seguir para la búsqueda de soluciones explicativas minimales de un
problema abductivo (Θ, O) con Ω = {A1, . . . , An} son los siguientes:
1. Hallar F NDr(¬A1 ∨ . . . ∨ An) = Ω ¬Θ
2. Hallar F NDr(O) = Ω O
= {D O
1 , . . . , DO
nO },
3. Hallar F NDr(¬A1 ∨ . . . ∨ ¬An ∨ O) = Ω ¬Θ∪O
Y proceder como sigue:
= {D ¬ Θ
1 , . . . , D ¬ Θ
nΘ },
= {D ¬Θ∪O
1 , . . . , D ¬Θ∪O
n },
¬Θ∪O
I) Aplicar δ-resolución por saturación a Ω ¬Θ∪O
, obteniendo así las posibles soluciones planas
minimales.
II) De entre estas soluciones, E = ℓ1 ∧. . .∧ℓk, seleccionar las que cumplen (CONS) y (EXPL).
Ejemplo 3.10 Θ = {p → q, t → s, m → (p ∧ t)}; O = q ∧ s
I) Obtenemos Ω ¬Θ∪O
y le aplicamos δ-resolución por saturación:
I.1) ¬(p → q) ∨ ¬(t → s) ∨ ¬(m → (p ∧ t)) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (t ∧ ¬s) ∨ (m ∧ ¬p) ∨ (m ∧ ¬t). Por
lo tanto: Ω ¬Θ
= {p ∧ ¬q, t ∧ ¬s, m ∧ ¬p, m ∧ ¬t}.
I.2) Ω O = {q ∧ s}
I.3) Ω ¬Θ∪O
= {p ∧ ¬q, t ∧ ¬s, m ∧ ¬p, m ∧ ¬t, q ∧ s}
I.4) Aplicamos δ-resolución por saturación a Ω ¬Θ∪O
y obtenemos las siguientes soluciones
planas minimales:
{p ∧ ¬q, t ∧ ¬s, q ∧ s, p ∧ s, q ∧ t, p ∧ t, m}

36 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
II) Eliminamos de estas explicaciones las que no satisfacen (CONS), que son p ∧ ¬q y t ∧ ¬s, y
obtenemos las soluciones consistentes minimales:
{q ∧ s, p ∧ s, q ∧ t, p ∧ t, m}
Finalmente, eliminamos de estas soluciones las que no satisfacen (EXPL) y la única a eliminar
es q ∧ s. Por lo tanto, obtenemos las soluciones explicativas minimales:
Abδ(Θ, O) = {p ∧ s, q ∧ t, p ∧ t, m}

Capítulo 4
Logica abductiva de primer orden
En este capítulo centramos nuestro estudio en el razonamiento abductivo en la lógica de primer
orden. En este ámbito, consideraremos razonamientos tales como:
(∀x)(P (x) → Q(x)), Q(a), |=abd P (a)
Así, por ejemplo, si conocemos que “todo el que tiene gripe tiene fiebre, dolor muscular y falta de
apetito” y conocemos que “Cecilia tiene fiebre, dolor muscular y falta de apetito”, hay razones para
suponer que “Cecilia tiene gripe”.
Nuestro ejemplo de razonamiento puede simbolizarse en la lógica de primer orden como sigue:
P (x): x tiene gripe
Q(x): x tiene fiebre
S(x): x tiene dolor muscular
T (x): x tiene falta de apetito
c: Cecilia.
Con esta signatura, podemos simbolizar el razonamiento abductivo por:
(∀x)(P x → ((Q(x) ∧ S(x)) ∧ T (x)))
((Q(c) ∧ S(c)) ∧ T (c))
P (c)
La lógica clásica de primer orden, como sabemos, permite captar más detalles del lenguaje
natural que la lógica clásica proposicional. Para ello, considera en los enunciados atómicos la estructura
predicativa, que permite diferenciar “qué se predica” , de “qué” o “quién” se predica, y
permite expresar que una cierta propiedad la satisface un ente concreto, todos los entes, algún
ente o ningún ente de un determinado universo del discurso. En consecuencia, el alfabeto de los
lenguajes de primer orden disponen de símbolos que permiten:
representar elementos arbitrarios del dominio o universo del discurso, por medio de símbolos
de variable.
representar elementos específicos del universo del discurso, mediante símbolos de constante.
37
Abd

38 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
representar generadores de elementos del universo del discurso a partir de uno o varios elementos
de dicho universo, por medio de símbolos de función.
expresar que nos referimos a algunos o a todos los elementos del universo del discurso, por
medio de símbolos de cuantificación o cuantificadores.
expresar propiedades o relaciones entre los elementos del universo del discurso, por medio de
símbolos de predicado.
Así pues, el alfabeto de un lenguaje de primer orden consta de los siguientes símbolos:
1. Los conectivos de la lógica proposicional ¬, →, ∧, ∨ y ↔.
2. Los símbolos lógicos ⊤ y ⊥.
3. Los símbolos de cuantificación ∀ (universal) y ∃ (existencial).
4. Los símbolos de puntuación “(”, “)”, “[”, “]”, “{”, “}” y “,”.
5. Un conjunto infinito numerable, V = {x, y, z, v, . . . , x1, y1, z1, v1, . . . , xn, yn, zn, vn, . . .}, de
símbolos de variables.
6. Un conjunto numerable (posiblemente vacío), C = {a, b, c, . . . , a1, b1, c1, . . . , an, bn, cn, . . .}, de
símbolos de constante.
7. Un conjunto numerable (posiblemente vacío), F = {f, g, h, . . . , f1, g1, h1, . . . , fn, gn, hn, . . .},
de símbolos de función y una función r1 que asigna a cada símbolo de función un elemento
de N ∗ llamado su aridad (que representa el número de argumentos).
8. Un conjunto numerable y no vacío, P = {P, Q, R, . . . , P1, Q1, R1, . . . , Pn, Qn, Rn, . . .}, de
símbolos de predicado y una función r2 que asigna a cada símbolo de predicado un elemento
de N ∗ llamado su aridad (que representa el número de argumentos).
Los símbolos referidos en 1, 2, 3, 4 y 5 son comunes a todos los lenguajes de primer orden. Por
otra parte, cada elección de los conjuntos C, F y P proporciona un lenguaje específico de primer
orden. Tal elección viene determinada por la aplicación que se pretende.
Supondremos que los conjuntos V, C, F y P son disjuntos dos a dos.
Definición 4.1 La signatura de un lenguaje de primer orden recoge los símbolos no comunes,
propios de cada lenguaje de primer orden, es decir, es el conjunto de símbolos
Σ = C ∪ F ∪ P
Hablaremos pues de un lenguaje de primer orden sobre la signatura Σ y lo denotaremos L1(Σ).
En definitiva, el alfabeto de una lógica de primer orden con signatura Σ es
a Σ = Σ ∪ V ∪ {¬, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃, , , (, ), {, }, . . .}
Pasamos ahora a describir qué cadenas de símbolos representan elementos del universo del discurso.
Para ello introducimos la noción de término:

Términos:
Definición 4.2 Sea a un alfabeto para la lógica de primer orden. Los términos sobre a son los
elementos de a ∗ determinados por las siguientes reglas:
1. Las variables y los símbolos de constantes son términos.
2. Si f es un símbolo de función n-aria y t1, . . . , tn son términos, entonces f(t1, . . . , tn) es un
término.
3. solo las cadenas obtenidas aplicando las reglas 1 y 2 son términos.
Los términos en los que no ocurren variables se llaman términos básicos.
Ejemplo 4.1 Si f es un símbolo de función monaria (es decir, de aridad 1) y g es un símbolo de
función binaria (es decir, de aridad 2) entonces, las expresiones
f(g(a, x)); g(f(x), g(x, y)) y g(a, g(a, g(a, f(b))))
son términos. El tercero de ellos es un término básico.
Los predicados se aplican sobre los términos para formar las fórmulas atómicas o átomos, es decir,
las fbfs más simples de L1. ..
Definición 4.3 Los átomos son los elementos de a ⋆ de la forma P (t1, . . . , tn), donde P es un
símbolo de predicado n-ario y t1, . . . , tn son términos. Denotaremos por Atom el conjunto de átomos.
Los átomos en los que no intervienen variables se llaman átomos básicos. Ellos son las expresiones
más sencillas del lenguaje que son interpretables como aserciones (afirmamos que una
n-upla de objetos concretos están en una determinada relación n-aria).
Tenemos ya todo lo necesario para definir el conjunto de fbfs, esto es, el lenguaje. Los cuantificadores
y los conectivos permitirán obtener fbfs complejas a partir de los átomos, de modo similar
al caso proposicional.
Fórmulas bien formadas:
El conjunto de las fórmulas bien formadas es el conjunto de los elementos de a ∗ determinados
por las siguientes reglas:
1. ⊤ y ⊥ son fbfs.
2. Las fórmulas atómicas son fbfs.
3. Si A y B son fbfs, ¬A, (A ∨ B), (A ∧ B), (A → B) y (A ↔ B) son fbfs.
4. Si A es una fbf y x es un símbolo de variable, (∀x)A y (∃x)A son fbfs.
5. solo las cadenas obtenidas aplicando las reglas 1, 2, 3 y 4 son fbfs.
39

40 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Como en el lenguaje de la lógica proposicional, usaremos el convenio de omitir en toda fbf los
paréntesis inicial y final.
Definición 4.4 Dado un conjunto Ω de fbfs, la signatura de Ω es el conjunto
ΣΩ = CΩ ∪ FΩ ∪ PΩ
donde CΩ es el conjunto de símbolos de constantes que intervienen en Ω, FΩ es el conjunto de símbolos
de función que intervienen en Ω y PΩ es el conjunto de símbolos de predicados que intervienen
en Ω.
Notación: En todo lo que sigue,
1. usaremos el símbolo ♯ para representar un símbolo de cuantificación, es decir, un elemento
del conjunto {∀, ∃}. Diremos que ∀ y ∃ son símbolos duales de cuantificación y usaremos ♯
para indicar el dual de ♯, es decir, ∀ = ∃ y ∃ = ∀.
2. A[B] denota que B es una subfórmula de A y A[B/C] denota que al menos una ocurrencia
de B en A se ha sustituido por C.
Variables Libres y Variables Ligadas:
Definición 4.5 Dada una fbf (♯x)A, decimos que x es la variable del cuantificador y A es el
rango o radio de acción del cuantificador (o de la variable cuantificada). Es decir, el rango
de un cuantificador es la fbf a la que se aplica.
Ejemplo 4.2 En la fbf (∀z) [(∀x) P (x, z) → (∃y)(Q(z) ∧ R(y, z))] cuyo árbol sintáctico es:
los rangos de sus cuantificadores son:
P (x, z) para (∀x).
Q(z) ∧ R(y, z) para (∃y).
∀x
P (x, z)
∀z
→
❍
❍
Q(z)
(∀x) P (x, z) → (∃y) (Q(z) ∧ R(y, z)) para (∀z).
∃y
∧
❅
R(y, z)
Dada una variable x que ocurre en una fbf A, deseamos distinguir si una determinada ocurrencia
de x está o no en el rango de un cuantificador (♯x). Para ello introducimos las siguientes
definiciones:
Definición 4.6 Una ocurrencia de una variable x es una ocurrencia ligada si es la variable de
un cuantificador o bien si está en el rango de un cuantificador que la tiene como variable.

Una ocurrencia de una variable x es una ocurrencia libre si no es ligada. En definitiva, una
ocurrencia de una variable x en una fbf A es una ocurrencia libre si no es ligada en ninguna
subfórmula de A.
Una variable es libre si tiene ocurrencias libres y es ligada si tiene ocurrencias
ligadas. 1
Ejemplo 4.3
1. En la fbf ((∀x)P (x, y, a) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(Q(d, y) ∧ D(y)), las dos primeras ocurrencias
de x son ligadas y la tercera libre, mientras que la variable y es libre en la primera ocurrencia
y ligada en las tres restantes.
2. En la fbf (∀x)P (x, y) → (∃y)(P (x, y) ∧ Q(z)), las dos primeras ocurrencias de x son ligadas
mientras que la tercera es libre. La primera ocurrencia de la variable y es libre, el resto, son
ligadas. La única aparición de la variable z es libre.
La intersección de Vlibre(A) y Vligada(A) no necesariamente es el conjunto vacío. Así, para la fbf
A = ((∀x) P (x, a, z) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(C(d, y) ∧ D(y))
se tiene que Vlibre(A) = {x, z} y Vligada(A) = {x, y}.
Notación: Escribiremos A(x1, . . . , xn), para expresar que en una fbf, A, las variables x1, . . . , xn
son libres en A. Con esta notación destacamos que {x1, . . . , xn} es un subconjunto de Vlibre(A),
pero téngase en cuenta que este subconjunto puede ser propio, es decir, la notación A(x1, . . . , xn) no
exige que x1, . . . , xn sean las únicas variables con ocurrencias libres en A, son simplemente variables
que queremos destacar.
Definición 4.7 Una fbf A es cerrada o un enunciado si Vlibre(A) = ∅.
Las variables son símbolos que representan a elementos arbitrarios del universo de discurso. En el
desarrollo de algoritmos, transformaciones,. . . necesitaremos “particularizar” las fbfs a elementos
concretos o menos arbitrarios; esto lo haremos mediante la sustitución de variables:
Sustitución:
Comenzamos estableciendo qué se entiende por renombramiento de una variable ligada.
Definición 4.8 Sea A una fbf en la que intervienen cuantificadores. Un renombramiento de una
variable ligada x es la sustitución de x (la variable renombrada) en el cuantificador que la tiene
como variable y en su rango, por otra (llamada la variable de renombramiento) que no intervenga
en dicho rango.
Ejemplo 4.4 Para la fbf A = ((∀x) P (x, a, z) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(C(d, y) ∧ D(y)), el renombramiento
de x por la variable de renombramiento v, nos proporciona la fbf
A ′ = ((∀v)P (v, a, z) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(C(d, y) ∧ D(y))
1 La noción de variable libre en una fbf es fundamental para trabajar en los lenguajes de primer orden. Intuitivamente,
las variables libres son aquellas que pueden ser sustituidas.
41

42 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Notación:
1. Sea x una variable y sea t1, t2 términos. Denotaremos mediante [x/t2]t1 el término resultante
de sustituir en t1 las apariciones de la variable x por el término t2.
2. Sea x ∈ Vlibres(A). La fbf que se obtiene a partir de la fbf A por sustitución de todas las
ocurrencias libres de x por t, la denotaremos por [x/t]A. Si representamos la fbf A por A(x)
para destacar que x tiene ocurrencias libres en A, denotaremos [x/t]A por A(t).
Definición 4.9 Dada la fbf A(x) y el término básico t, la fbf [x/t]A(x) se denomina una instancia
básica de A(x). El mecanismo de sustituir una variable ligada por un término básico se denomina
“instanciación”.
En la práctica, desearemos obtener una fbf, B, a partir de otra fbf, A, mediante la sustitución
en A de variables por términos y de modo que no se altere el significado. Aún antes de estudiar
formalmente la semántica de un lenguaje de primer orden, no dudamos en afirmar que si sustituimos
en la fbf
A = (∀x)(P (x) → Q(y))
la variable y por la variable x, la fbf obtenida
B = (∀x)(P (x) → Q(x))
tiene un significado diferente al de A. más en general, si sustituimos la variable y, por ejemplo, por
el término f(x, z), obtenemos la fbf
B = (∀x)(P (x) → Q(f(x, z)))
en la que existe una interacción entre el cuantificador (∀x) y su rango, que no existía en A. Por lo
tanto, el mecanismo general para sustituir una variable por un término, requiere ciertas precauciones
para asegurar que sustituimos ocurrencias libres en A por “términos libres” en A. En definitiva,
para evitar este hecho conocido en la bibliografía como conflicto de variables 2 , requerimos la
siguiente definición:
Definición 4.10 Sea A una fbf, x ∈ Vlibre(A) y t un término en el que intervienen las variables
V(t) = {x1, . . . , xn}. Se dice que el término t es libre para x en A(x) (o bien que x es sustituible
por t en A(x)) si, para toda variable xi ∈ V(t), se tiene que ninguna ocurrencia libre de
x en A está en el rango de una ocurrencia en A de (♯xi). Es decir, las ocurrencias de xi surgidas
como consecuencia de la sustitución de x por t, son ocurrencias libres en A(t).
Ejemplo 4.5
1. y es libre para x en P (x, a).
2. y no es libre para x en (∀y)P (x, y).
3. En la fbf (∀y)P (x, y) → (∃x)Q(x, z, a), el término f(a, y) no es libre para x, pero sí es libre
para z.
La siguiente definición, establece cómo obtener [x/t]A diferenciando los casos en que el término t
es o no libre para la variable x en A(x).
Definición 4.11 Si t es libre para x en A(x), la sustitución en A de x por t consiste en sustituir
en A las ocurrencias libres de x por t.
Si t no es libre para x en A(x) y V(t) = {x1, . . . , xn}, la sustitución en A de x por t consiste en
2 Variable clash en la bibliografía inglesa.

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 43
1. Renombrar en A las variables xi tales que x ocurre en el rango de (♯xi) por una variable de
renombramiento que no ocurra en t.
2. Sustituir en A las ocurrencias libres de x por t.
Ejemplo 4.6 Dada la fbf (∀z) P (x) → (∃x)Q(x, z) ∨ (∃y)D(x, y), el término f(a, y, z) no es libre
para x. Para realizar la sustitución de x por el término f(a, y, z) podemos proceder como sigue:
1. Como x ocurre libre en el rango de (∀z) y (∃y), renombramos la variable y y la variable z,
por ejemplo, por v y u respectivamente (que no ocurren en f(a, y, z)), obteniendo
(∀u)(P (x) → (∃x)Q(x, u)) ∨ (∃v)D(x, v)
2. En segundo lugar, sustituimos las ocurrencias libres de x en A por f(a, y, z). Obtenemos así:
(∀u)(P (f(a, y, z)) → (∃x)Q(x, u)) ∨ (∃v)D(f(a, y, z), v)
4.1. Semántica para los Lenguajes de Primer Orden
Dar significado a las fbfs de un lenguaje de primer orden, conlleva una mayor dificultad que la
requerida en el caso proposicional. En la lógica clásica proposicional, una interpretación queda
determinada sin más que asignar uno de los valores de verdad 0, 1 a cada símbolo proposicional.
Como ya sabemos, definir la semántica requiere definir una terna (S, D, I), donde S es el conjunto
de valores semánticos, D ⊆ S es el conjunto de valores semánticos destacados e I el conjunto de
interpretaciones.
La lógica clásica de primer orden, como la lógica clásica proposicional, es bivaluada, es decir
S = {0, 1} y el conjunto de valores semánticas es D = {1}, la mayor dificultad se encuentra en
el conjunto de interpretaciones, I, es decir, en la definición de interpretación, en cómo establecer
cuándo una fbf es verdadera o falsa. Puesto que el lenguaje nos permite detallar de qué o quién afirmamos,
qué afirmamos y si afirmamos sobre todos los entes/individuos o de alguno, necesitamos en
primer lugar fijar un dominio o universo del discurso, U. que determine sobre qué entes/individuos
afirmamos y, elegido éste,
1. asignar elementos específicos de U a los símbolos de constantes,
2. asignar funciones n-arias sobre U a los símbolos de función n-arios y
3. asignar relaciones n-arias sobre U a los símbolos de predicados n-arios.
Por otra parte, si la fbf contiene variables libres, debemos especificar qué valores del dominio
representan. Así, dada la fbf (∀x)P (x), si consideramos U = N y asignamos a P el significado “es
par”, podemos asegurar que la fbf es falsa en esta interpretación. Pero nada podemos afirmar sobre
la fbf P (x) si no nos pronunciamos sobre el número natural representado por x.
Deseamos, pues, disponer de un concepto de interpretación que nos permita:
asignar a toda fbf cerrada el valor de verdad 0 ó 1,
contemplar una fbf con variables libres como una afirmación sobre el dominio, que es verdadera
o falsa dependiendo de la asignación realizada a las variables libres.

44 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
4.1.1. Semántica de Tarski
Definición 4.12 Una interpretación para un lenguaje de primer orden es un par (U, I) donde:
U es un conjunto no vacío llamado dominio o universo.
I es una aplicación, que asocia:
- a cada símbolo de constante a un elemento I(a) ∈ U.
- a cada símbolo de predicado n-ario P una relación n-aria sobre U, es decir, I(P ) ⊆ U n 3 .
- a cada símbolo de función n-aria f una función n-aria sobre U, es decir, I(f) : U n −→ U.
Dada una interpretación (U, I), las variables tienen el significado esperado, es decir, representan
elementos cualesquiera del dominio. Este significado se recoge mediante la noción de valuación de
variables:
Definición 4.13 Una valuación o asignación de variables (o un entorno) ξ asociada a una
interpretación (U, I) es una aplicación del conjunto de variables V en el dominio U.
ξ : V −→ U
Definición 4.14 Dada una interpretación (U, I) y una valuación de variables ξ asociada a ella,
definimos recursivamente una aplicación Iξ, llamada función de significado, que asigna a cada
término t un elemento Iξ(t) ∈ U como sigue:
1. Iξ(c) = I(c) para todo símbolo de constante c.
2. Iξ(x) = ξ(x) para toda variable x.
3. Iξ(f(t1, . . . , tn)) = I(f)(Iξ(t1), . . . , Iξ(tn)).
Ahora, nuestro objetivo es introducir las nociones de satisfacibilidad y de validez. Para ello
requerimos conocer el valor de verdad asignado por una función de valuación a una fbf.
Definición 4.15 Dada una interpretación (U, I) y una valuación de variables ξ asociada a (U, I),
definimos el valor de verdad de un átomo como sigue: Iξ(⊥) = 0, Iξ(⊤) = 1 y
Iξ(P (t1, . . . , tn)) = 1 si y solo si (Iξ(t1), . . . , Iξ(tn)) ∈ I(P )
Es decir, si la n-upla (Iξ(t1), . . . , Iξ(tn)) de elementos de U están en la relación I(P ) (es decir, en
la relación n-aria en U que I asocia a P ).
Esta definición se extiende recursivamente a todas las fbfs del siguiente modo:
Iξ(¬A) = 1 si y solo si Iξ(A) = 0, es decir, Iξ(¬A) = 1 − Iξ(A)
Iξ(A ∧ B) = 1 si y solo si Iξ(A) = 1 y Iξ(B) = 1, es decir, Iξ(A ∧ B) = mín{Iξ(A), Iξ(B)}
3 Así, a cada símbolo de predicado monario deberemos asociarle un subconjunto de U, a cada símbolo de predicado
binario deberemos asociarle un conjunto de pares de elementos de U (es decir subconjunto de U × U), . . . a cada
símbolo de predicado n-ario un conjunto de n-tuplas (u1, . . . , un) de elementos de U.

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 45
Iξ(A ∨ B) = 1 si y solo si Iξ(A) = 1 o Iξ(B) = 1, es decir, Iξ(A ∨ B) = máx{Iξ(A), Iξ(B)}
Iξ(A → B) = 1 si y solo si Iξ(A) = 0 o Iξ(B) = 1, es decir,
Iξ(A → B) = máx{1 − Iξ(A), Iξ(B)}
La definición para las fbfs (∀x)A y (∃x)A requiere una definición previa que permite expresar
la asignación de valores a una variable concreta.
Definición 4.16 Dos valuaciones de variables ξ y ξ ′ se dicen x-equivalentes si ξ ′ (y) = ξ(y)
para toda variable y = x.
Obviamente, dado un símbolo de variable x, la relación de x-equivalencia es una relación de
equivalencia en el conjunto de valuaciones de variables.
Definición 4.17
Iξ( (∀x)A ) = 1 si y solo si Iξ ′(A) = 1 para toda valuación de variables ξ′ que sea x-equivalente
a ξ, es decir, Iξ( (∀x)A ) = inf{Iξ ′(A) | ξ′ es x-equivalente a ξ}.
Iξ( (∃x)A) = 1 si y solo si Iξ ′(A) = 1 para alguna valuación de variables ξ′ que sea xequivalente
a ξ, es decir, Iξ( ((∃x)A ) = sup{Iξ ′(A) | ξ′ es x-equivalente a ξ}.
Teorema 4.1 (Teorema de sustitución)
1. Iξ([x/t2]t1) = Iξ ′(t1), para ξ ′ x-equivalente a ξ y Iξ(t2) = ξ ′ (x).
2. Iξ([x/t]A) = Iξ ′(A), para ξ′ x-equivalente a ξ, t está libre para x en A y, además, Iξ(t) = ξ ′ (x).
Definición 4.18
1. Una fbf A se dice satisfacible o modelizable, si existe una interpretación (U, I) y una
valuación de variables ξ asociada a (U, I) tal que Iξ(A) = 1.
2. Una fbf A se dice verdadera en una interpretación M = (U, I), denotado |=M A o bien por
I(A) = 1, si para toda valuación de variables ξ se tiene que Iξ(A) = 1.
3. Una fbf, A, se dice que es válida, denotado |= A, si es verdadera en toda interpretación
(U, I), es decir, si I(A) = 1 para toda interpretación (U, I). Obviamente, ⊤ es válida.
4. Una fbf A se dice insatisfacible o que es una contradicción, si Iξ(A) = 0 para toda
interpretación (U, I) y toda valuación de variables ξ.
5. Un conjunto Ω de fbfs se dice satisfacible o modelizable, si existe alguna interpretación (U, I)
y una valuación de variables ξ asociada a (U, I) tal que Iξ(A) = 1 para toda fbf A de Ω.
Como en la lógica proposicional, es costumbre utilizar indistintamente las expresiones “A es verdadera
en M” y “M es un modelo para A”.
Definición 4.19 Una estructura para una fbf A es una tupla de la forma
donde
(CA, FA, PA; U; {u1, . . . , un}; {F1, . . . , Fm}; {R1, . . . , Rk})

46 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Σ = CA ∪ FA ∪ PA es una signatura para A y
M = (U; {u1, . . . , un}; {F1, . . . , Fm}; {R1, . . . , Rk}) es una interpretación para A.
Los siguientes resultados son de gran interés para facilitar la manipulación semántica de las
fbfs.
Teorema 4.2 Sea una fbf A y sea M = (U, I) una interpretación de L1, entonces si ξ y ξ ′ son dos
valuaciones de variables tales que ξ(x) = ξ ′ (x) para toda variable x tal que x ∈ Vlibre(A), se tiene
que Iξ(A) = 1 si y solo si Iξ ′(A) = 1
Teorema 4.3 Dada una fbf cerrada A y una interpretación M = (U, I), se tiene que I(A) = 1 o
bien I(A) = 0
Teorema 4.4 Dada una fbf A
1. A es válida si y solo si ¬A es insatisfacible.
2. A(x1, . . . , xn) es satisfacible si y solo si su cierre existencial lo es.
3. A(x1, . . . , xn) es válida si y solo si su cierre universal lo es.
❡❡ El Teorema 4.4 nos permite afirmar que Toda la expresividad de la lógica de primer
orden se obtiene usando únicamente fbfs cerradas. De hecho en un lenguaje de primer
orden las fbfs cerradas son las que simbolizan los enunciados del lenguaje natural.
A partir del Teorema 4.4 podemos plantearnos redefinir la semántica limitándonos a la consideración
de las fbfs cerradas:
Definición 4.20 Si t1, . . . , tn son términos básicos y M = (U; {u1, . . . un}; {F1, . . . Fm}; {R}) es
una interpretación para P (t1 . . . , tn), entonces definimos el valor de verdad de P (t1 . . . , tn) como
sigue:
I(P (t1, . . . , tn)) = 1 si y solo si (I(t1), . . . , I(tn)) ∈ I(P ) = R
Esta definición se extiende recursivamente a todas las fbfs cerradas del siguiente modo:
Definición 4.21 Si M = (U; {u1, . . . un}; {F1, . . . Fm}; {R1, . . . Rk}) es una interpretación para el
conjunto de fbfs cerradas {A, B}, entonces, I(⊥) = 0; I(⊤) = 1 y:
1. I(¬A) = 1 si y solo si I(A) = 0
2. I(A → B) = 1 si y solo si I(A) = 0 ó I(B) = 1
3. I(A ∧ B) = 1 si y solo si I(A) = 1 y I(B) = 1
4. I(A ∨ B) = 1 si y solo si I(A) = 1 ó I(B) = 1
5. I( (∃x)B) = 1 si y solo si para algún u0 ∈ U, se tiene que
Iu0 ([x/b]B) = 1
donde b es un símbolo de constante que no ocurre en B e Iu0 es la interpretación correspondiente
a la extensión de M que asocia u0 a b.

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 47
6. I( (∀x)B ) = 1 si y solo si para todo u0 ∈ U, se tiene que
Iu0 ([x/b]B) = 1
donde b es un símbolo de constante que no ocurre en B e Iu0 se define como en el punto
anterior.
Debido a que la semántica de las conectivas booleanas es la misma que para la lógica proposicional,
la noción de tautología es extensible a la lógica de primer orden:
Si en un esquema de tautología de la lógica proposicional sustituimos cada metasímbolo
por una fbf del lenguaje de primer orden L1, obtendremos también una fbf válida (que
llamaremos asimismo tautología).
Tenemos, por lo tanto, el siguiente resultado:
Teorema 4.5 Todo esquema de tautología de la lógica proposicional proporciona un esquema de
tautología en la lógica de primer orden.
Definición 4.22 Sea M = (U, I) una interpretación en L1. Dos fbfs A y B se dicen M-equivalentes,
denotado A ≡M B si I(A) = I(B), es decir, si para toda valuación de variables ξ se tiene que
Iξ(A) = Iξ(B).
Definición 4.23 Dos fbfs A y B se dice que son lógicamente equivalentes, denotado A ≡ B,
si A ≡M B para toda interpretación M en L1. Obviamente,
A ≡M B si y solo si A ↔ B es verdadera en M
A ≡ B si y solo si A ↔ B es válida
En particular, dos fbfs cerradas A y B son lógicamente equivalentes si Mod(A) = Mod(B).
Los siguientes ejemplos de equivalencias muestran cómo, semánticamente, podemos expresar un
cuantificador en términos del otro:
(∀x)A ≡ ¬(∃x)¬A
(∃x)A ≡ ¬(∀x)¬A
El siguiente resultado es una particularización del Teorema 4.5:
Teorema 4.6 Todo esquema de equivalencia en la lógica proposicional es un esquema de equivalencia
en la lógica de primer orden.
Por lo tanto, en L1 disponemos de todas las equivalencias básicas de la lógica proposicional: leyes
de Morgan, ley de la doble negación, leyes de absorción, leyes de cero y uno, etc. Nos queda
pues conocer las leyes en L1 que nos muestran la interacción de las conectivas booleanas con los
cuantificadores y de los cuantificadores entre sí y que son las siguientes:
1. (∃x)(∃y)A(x, y) ≡ (∃y)(∃x)A(x, y)
2. (∀x)(∀y)A(x, y) ≡ (∀y)(∀x)A(x, y)

48 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
3. (∀x)(A(x) ∧ B(x)) ≡ (∀x)A(x) ∧ (∀x)B(x)
4. (∃x)(A(x) ∨ B(x)) ≡ (∃x)A(x) ∨ (∃x)B(x)
5. Si x no ocurre en B, (∀x)(A(x) ∨ B) ≡ (∀x)A(x) ∨ B
6. Si x no ocurre en B, (∃x)(A(x) ∧ B) ≡ (∃x)A(x) ∧ B
7. Si ∗ ∈ {∧, ∨} y ♯, ♯ ′ ∈ {∀, ∃} y z no ocurre ni en A ni en B, entonces
(♯x)A(x) ∗ (♯ ′ x)B(x) ≡
(♯x)A(x) ∗ (♯ ′ z)B([x/z]) ≡ (♯x)(♯ ′ z)(A(x) ∗ B(z)) ≡ (♯ ′ z)(♯x)(A(x) ∗ B(z))
Teorema 4.7 Si B es una subfórmula de A y B ≡M C, entonces A ≡M A[B/C], donde A[B/C]
denota que al menos una ocurrencia de B en A se ha sustituido por C.
Como corolario de este teorema, se tiene el siguiente resultado que generaliza el teorema del mismo
nombre para la lógica clásica proposicional.
Teorema 4.8 (de Equivalencia) Si B es una subfórmula de A y B ≡ C, entonces A ≡ A[B/C].
El paso de A a A[B/C] se denomina transformación de equivalencia.
Lema 4.1 Dada una fbf A y z un símbolo de variable que no ocurre en A(x), entonces:
1. (♯z)A ≡ A
2. (♯x)A(x) ≡ (♯z)A(z)
3. (♯x)(♯ ′ x)A(x) ≡ (♯x)(♯ ′ z)A(z) ≡ (♯ ′ z)A(z)
El teorema de equivalencia permite generalizar la segunda equivalencia y justificar la definición de
renombramiento dada en la Definición 4.8.
Corolario 4.1 Si (♯x) es un cuantificador en la fbf A y la variable z no ocurre en A, la fbf obtenida
a partir de A sustituyendo x por z en (♯x) y en su rango, es equivalente a A.
La noción de consecuencia lógica desempeña el mismo papel que en el caso proposicional, y su
definición para fbfs arbitrarias hace uso de la noción de valuación de variables.
Definición 4.24 Dado un conjunto Ω de fbfs y una fbf C, se dice que C es consecuencia lógica,
(o “se deriva”, o “se infiere semánticamente” de Ω), denotado Ω |= C, si para toda interpretación
M = (U, I) y toda valuación de variables ξ se tiene que
Si Iξ(Ai) = 1 para toda fbf Ai ∈ Ω entonces Iξ(C) = 1.
De nuevo, como en el caso proposicional, el significado de ∅ |= A coincide con el de |= A.
Asimismo, si nos limitamos a fbfs cerradas, se tiene la equivalencia siguiente:
Ω, A |= B si y solo si Ω |= A → B

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 49
en particular,
A1, A2, . . . , An |= A si y solo si |= (A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An) → A
si y solo si |= A1 → (A2 → (A3 · · · → (An → A) . . .))
y también, tenemos el siguiente resultado de comprobación inmediata.
Proposición 4.1
Las fbfs A y B son lógicamente equivalentes si y solo si A |= B y B |= A
A1, A2, . . . , An |= A si y solo si A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬A es insatisfacible
4.1.2. Forma Normal Prenexa
Como en el caso proposicional, nos interesa disponer de “representantes canónicos” para las
clases de equivalencia del conjunto cociente L1/≡. En la lógica de primer orden las formas normales
que se han mostrado especialmente útiles son las formas normales prenexas. Para su descripción
necesitaremos las siguientes definiciones:
Definición 4.25
1. Los átomos junto con sus negaciones se llaman literales. Decimos que los literales P (t1, . . . , tn)
y ¬P (t1, . . . , tn) son literales opuestos.
2. Una fbf se dice que es un cubo si es ⊤, ⊥ o una conjunción finita de literales.
3. Una fbf se dice que es una cláusula si es ⊤, ⊥ o una disyunción finita de literales.
4. Una fbf en la que los únicos conectivos booleanos que intervienen son ¬, ∧ y ∨ y en la que ¬
solo afecta a los átomos se dice que es una forma normal negativa, denotada fnn.
Definición 4.26
1. Una fbf se dice que es una forma normal prenexa, denotada fnp, si es de la forma (♯1x1) . . . (♯nxn)B
donde
(♯ixi) son cuantificadores con variables distintas.
B es una fbf que no contiene cuantificadores.
Dada una fnp, A = (♯1x1) . . . (♯nxn)B, a la secuencia (♯1x1) . . . (♯nxn) se le denomina prefijo
de A y a la fbf B se le denomina matriz de A.
2. Una fbf se dice que es una forma normal prenexa disyuntiva, denotada fnpd, si es ⊤, ⊥,
o una forma normal prenexa en la que su matriz es una disyunción de cubos.
3. Una fbf se dice que es una forma normal prenexa conjuntiva, denotada fnpc, si es ⊤, ⊥,
o una forma normal prenexa en la que su matriz es una conjunción de cláusulas.
Las nociones de cláusula que contiene a otra cláusula y cubo que contiene a otro cubo son las
mismas que para el caso proposicional.

50 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Definición 4.27 Una fnpd se dice restringida, denotada fnpdr, si su matriz cumple que:
ningún cubo contiene un literal y su opuesto.
ningún cubo contiene literales repetidos.
ningún cubo contiene a otro.
Una fnpc se dice restringida, denotada fnpcr, si su matriz cumple los siguientes requisitos:
Ninguna cláusula contiene un literal y su opuesto.
Ninguna cláusula contiene literales repetidos.
Ninguna cláusula contiene a otra.
Teorema 4.9 Para toda fbf de L1 existe una forma normal prenexa disyuntiva restringida y una
forma normal prenexa conjuntiva restringida equivalentes a ella.
Demostración: La demostración de este teorema proporciona el algoritmo estándar para la
obtención de las formas normales cuya existencia asegura su enunciado.
En efecto, el teorema de equivalencia nos asegura que, dada una fbf cualquiera, A, podemos
obtener a partir de A una fndr o una fncr equivalente, realizando en cada paso una sola de las
siguientes transformaciones de equivalencia y en el siguiente orden:
Paso 1 Hacer uso del Corolario 4.8 y realizar cuantos renombramientos sean necesarios para que
en A todas las variables cuantificadas sean distintas.
Paso 2 Para eliminar los conectivos ↔ y →, usar las leyes
A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)
A → B ≡ ¬A ∨ B
Paso 3 Usar la ley de doble negación (¬¬A ≡ A), las leyes de Morgan (¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B y
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B) y las leyes
¬(∀x)A ≡ (∃x)¬A
¬(∃x)A ≡ (∀x)¬A
Con los pasos 2 y 3 obtenemos una fbf en la que no interviene → y en la que ¬ afecta
únicamente a los átomos, es decir, obtenemos una fnn.
Paso 4 Para transmitir los cuantificadores a la cabeza de la fbf, usar las leyes
(∀x)A ∨ B ≡ (∀x)(A ∨ B)
(∀x)A ∧ B ≡ (∀x)(A ∧ B)
(∃x)A ∨ B ≡ (∃x)(A ∨ B)
(∃x)A ∧ B ≡ (∃x)(A ∧ B)
Paso 5 Usar la ley distributiva de ∧ respecto a ∨ (para fnpdr) o de ∨ respecto a ∧ (para fnpcr).

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 51
Paso 6 Usar cuantas veces sea posible las leyes (para ∧, o para ∨) de idempotencia, de complementación,
de cero y uno y de absorción, para obtener las formas normales restringidas.
Ejemplo 4.7 Sea (∃x)[R(x) → ¬(∃y)T (x, y)] ∧ ¬(∃z) [(∀u)P (u, z) → (∀v)Q(v, z)]. Hallemos una
fnpcr y una fnpdr equivalentes a ella:
(∃x)[R(x) → ¬(∃y)T (x, y)] ∧ ¬(∃z) [(∀u)P (u, z) → (∀v)Q(v, z)] ≡
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ ¬(∃y)T (x, y)] ∧ ¬(∃z)[¬(∀u)P (u, z) ∨ (∀v)Q(v, z)]
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ (∀y)¬T (x, y)] ∧ (∀z)¬[¬(∀u)P (u, z) ∨ (∀v)Q(v, z)]
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ (∀y)¬T (x, y)] ∧ (∀z)[(∀u)P (u, z) ∧ ¬(∀v)Q(v, z)]
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ (∀y(¬T (x, y)] ∧ (∀z)[(∀u)P (u, z) ∧ (∃v)¬Q(v, z)]
≡ (∃x)(∀y)[¬R(x) ∨ ¬T (x, y)] ∧ (∀z)(∀u)(∃v)[P (u, z) ∧ ¬Q(v, z)]
≡ (∃x)(∀y)(∀z)(∀u)(∃v)[(¬R(x) ∨ ¬T (x, y)) ∧ P (u, z) ∧ ¬Q(v, z)] (fnpc)
Usando la regla de distribución de ∧ respcto de ∨ hubiésemos obtenido la fnpd
(∃x)(∀y)(∀z)(∀u)(∃v)[(¬R(x) ∧ P (u, z) ∧ ¬Q(v, z)) ∨ (¬T (x, y) ∧ P (u, z) ∧ ¬Q(v, z))]
4.1.3. Skolemización
Las formas normales prenexas permiten utilizar los cuantificadores de un modo limitado (solo
en la cabecera de la fbf) sin pérdida de potencia expresiva. Sin embargo, es posible imponer un uso
aún más restringido de la cuantificación que, si bien reduce la potencia expresiva, lo hace de forma
satisfactoria. Concretamente, es posible asociar a toda fbf, A, una fbf que es una forma normal
prenexa y en cuyo prefijo solo existen cuantificadores universales y que es equisatisfacible con A.
Definición 4.28 Una fbf A se dice que es una forma normal de Skolem si es una forma prenexa
en cuyo prefijo sólo aparecen cuantificadores universales.
Dada una fbf cerrada A, se llama forma normal de Skolem asociada a A, denotada SkA, a toda
forma normal de Skolem obtenida del modo siguiente:
1. Obtener una forma normal prenexa, A ′ , equivalente a A.
2. Obtener nuevas formas prenexas a partir de A ′ aplicando repetidamente el siguiente método
hasta que no haya cuantificadores existenciales en el prefijo:
a) Si x es una variable cuantificada existencialmente y en el prefijo de la matriz no existe
ningún cuantificador universal que preceda a (∃x), entonces
- Elegir un símbolo de constante a que no ocurra en la matriz.
- Sustituir x por a en la matriz.
- Eliminar (∃x) en el prefijo.
b) Si x es una variable cuantificada existencialmente y (∀xn1 ), . . . , (∀xnk ) son los cuantificadores
universales que preceden a (∃x) en el prefijo de la fnp, entonces
- Elegir un símbolo de función f que no ocurra en la matriz.

52 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
- Sustituir x por f(xn1 , . . . , xnk ) en la matriz.
- Eliminar (∃x) en el prefijo.
El proceso descrito para eliminar los cuantificadores existenciales se denomina skolemización.
Cada aplicación de 2.a o 2.b se denomina etapa de skolemización y los símbolos de constante y
de función introducidos constantes de Skolem y funciones de Skolem, respectivamente.
Ejemplo 4.8 Consideremos la fbf
A = (∃y)(∀x)(∀z)(∀u)(∃t) (P (x, y) → Q(a, z, u)) ∧ (P (x, u) → R(t, z))
Una forma normal de Skolem para A es
(∀x)(∀z)(∀u) (P (x, b) → Q(a, z, u)) ∧ (P (x, u) → R(f(x, z, u), z))
Ejemplo 4.9 Considérese la fbf (∀x) P (x) → Q(x) → (∀y)P (y) → (∀z)Q(z) . Eliminando los
conectivos →, obtenemos la fbf ¬(∀x) ¬P (x) ∨ Q(x) ∨ ¬(∀y)P (y) ∨ (∀z)Q(z)
Restringiendo el ámbito de ¬ sólo a los átomos, obtenemos la fbf
(∃x) P (x) ∧ ¬Q(x) ∨ (∃y)¬P (y) ∨ (∀z)Q(z)
y extrayendo los cuantificadores obtenemos la fbf
(∃x)(∃y)(∀z) (P (x) ∧ ¬Q(x)) ∨ ¬P (y) ∨ Q(z)
finalmente, la eliminación de (∃y) y de (∃x) mediante dos etapas de skolemización nos hace incluir
dos símbolos de constante a y b resultando la fbf
(∀z) (P (a) ∧ ¬Q(a)) ∨ ¬P (b) ∨ Q(z)
Teorema 4.10 Si A es una fbf de L1 y SkA una forma de Skolem asociada a A, entonces
A es satisfacible si y solo si SkA es satisfacible.
Definición 4.29 Una fbf A se dice que está en forma clausal si es una forma normal de Skolem
y su matriz es una forma normal conjuntiva.
Como en el caso proposicional, usaremos una notación más concisa escribiendo la matriz como
conjunto de cláusulas y omitiendo los cuantificadores (ya que sabemos que todos son universales)
Ejemplo 4.10 La forma clausal (∀x)(∀y)(∀z) P (x) ∧ (Q(f(x, y) ∨ P (g(z))) ∧ (¬Q(x, z) ∨ ¬P (a)) ,
se representa por el conjunto de cláusulas
{P (x), Q(f(x, y) ∨ P (g(z)), ¬Q(x, z) ∨ ¬P (a)}

4.2. MÉTODO DE C-TABLAS PARA LA LÓGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN 53
4.1.4. Herbrandización
Dualmente al proceso de Skolemización expuesto en la sección anterior, es posible asociar a toda
fbf, A, una fbf que es universalmente válida simultáneamente con A.
Definición 4.30 Una fbf A se dice que es una forma normal de Herbrand si es una forma prenexa
en cuyo prefijo sólo aparecen cuantificadores existenciales.
Dada una fbf cerrada A, se llama forma normal de Herbrand asociada a A, denotada Her A , a
toda forma normal de Herbrand obtenida del modo siguiente:
1. Obtener una forma normal prenexa, A ′ , equivalente a A.
2. Obtener nuevas formas prenexas a partir de A ′ aplicando repetidamente el siguiente método
hasta que no haya cuantificadores universales en el prefijo:
a) Si x es una variable cuantificada universalmente y en el prefijo de la matriz no existe
ningún cuantificador existencial que preceda a (∀x), entonces
- Elegir un símbolo de constante a que no ocurra en la matriz.
- Sustituir x por a en la matriz.
- Eliminar (∀x) en el prefijo.
b) Si x es una variable cuantificada universalmente y (∃xn1 ), . . . , (∃xnk ) son los cuantificadores
existenciales que preceden a (∀x) en el prefijo de la fnp, entonces
- Elegir un símbolo de función f que no ocurra en la matriz.
- Sustituir x por f(xn1 , . . . , xnk ) en la matriz.
- Eliminar (∀x) en el prefijo.
El proceso descrito para eliminar los cuantificadores universales se denomina herbrandización.
Cada aplicación de 2.a o 2.b se denomina etapa de herbrandización.
Teorema 4.11 Si A es una fbf de L1 y Her A una forma normal de Herbrand asociada a A,
entonces
1. A |= Her A .
2. |= A si y solo si |= Her A
Como en el caso proposicional, usaremos una notación más concisa escribiendo la matriz como
conjunto de cláusulas y omitiendo los cuantificadores (ya que sabemos que todos son universales)
4.2. Método de C-tablas para la lógica abductiva de primer orden
El método de C-tablas es una modificación del método de las tablas semánticas para la lógica
clásica de primer orden.
Consideramos un lenguaje de primer orden sin símbolos de función, es decir un lenguaje
L1(C, ∅, P).
El punto de partida es un conjunto finito y no vacío de constantes, C0 ⊆ C, que define una clase
de C0-modelos en la que trataremos de comprobar si cierto conjunto de fórmulas es C0-satisfactible.

54 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Definición 4.31 Sea L1(C, ∅, P) un lenguaje de primer orden y sea C0 = {c1, ..., cn} ⊆ C. Definimos
un C0-modelo como un modelo M = (U, I) tales que:
|U| = n, (el universo del discurso tiene el mismo número de elementos que C0),
Si ci, cj ∈ C0, i = j, 1 ≤ i, j ≤ n, entonces I(ci) = I(cj) (dos constantes diferentes en C0
tienen interpretaciones diferentes).
el resto de las constantes en C \ C0 se interpreta sin restricciones.
Definición 4.32 Sean L1(C, ∅, P) un lenguaje de primer orden, C0 = {c1, ..., cn} ⊆ C y A, B ∈
L1(C, ∅, P), decimos que:
A es C0-satisfactible si y solo si existe un C0-modelo, M, tal que M |= A.
A es C0-válida, denotado |=C0 A si y solo si para cualquier C0-modelo, M, se tiene que M |= A.
B es C0-consecuencia lógica de A, denotado A |=C0 B si y solo si para cualquier C0-modelo,
M, se tiene que si M |= A entonces M |= B.
A y B son C0-equivalentes si y solo si A |=C0 B y B |=C0 A.
Como en el caso proposicional, definimos:
Definición 4.33 Dado un conjunto Θ ⊂ L1(C, ∅, P) y O ∈ L1(C, ∅, P), decimos que el par (Θ, O)
es un problema abductivo si Θ |= O y Θ |= ¬O.
Definición 4.34 Sea Θ ⊂ L1(C, ∅, P) finito y C0 = {c1, . . . , cn} ⊆ C tal que C0 contiene al conjunto
de constantes que ocurren en Θ.
Un C0-árbol de Θ, denotado T C0 (Θ), es un árbol cuya construcción difiere de los ya conocidos
(en nuestra exposición del método de las tablas semánticas para la lógica clásica de primer orden)
únicamente en que las reglas de extensión γ y δ solo consideran las constantes en C0:
(∀x)A
A[x/c1]
.
A[x/cn]
¬(∃x)A
¬A[x/c1]
.
¬A[x/cn]
(∃x)A
A[x/c1] | . . . | A[x/cn]
¬(∀x)A
¬A[x/c1] | . . . | ¬A[x/cn]
es decir, si encontramos una fbf de tipo γ, como (∀x)A, entonces añadimos a la rama todas las
instancias de A[x/c] con c ∈ C0 y en el caso de la fórmulas de tipo δ, como (∃x)A, se ramifica la
rama en la que ocurra dicha fórmula en n nuevas ramas (donde n = |C0|) y a cada una de ellas se
añade una instancia A[x/c] con una constante c ∈ C0, diferente en cada caso.
Ejemplo 4.11 El {a, b}-árbol de (∀x)(∃y)(P (x, y) ∧ ¬P (x, x)), es decir,
T {a,b} {(∀x)(∃y)(P (x, y) ∧ ¬P (x, x))})

4.2. MÉTODO DE C-TABLAS PARA LA LÓGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN 55
es el siguiente:
(∀x)(∃y)(P (x, y) ∧ ¬P (x, x)) 1
(∃y)(P (a, y) ∧ ¬P (a, a)) 2
(∃y)(P (b, y) ∧ ¬P (b, b)) 5
✟
3 P (a, a) ∧ ¬P (a, a) P (a, b) ∧ ¬P (a, a) 4
P (a, a)
¬P (a, a)
⊗
❍
P (a, b)
✟
6 P (b, a) ∧ ¬P (b, b)
P (b, a)
¬P (a, a) ❍❍❍
✟
✟
P (b, b) ∧ ¬P (b, b) 7
P (b, b)
¬P (b, b) ¬P (b, b)
⊗
La siguiente definición introduce la noción de forma normal disyuntiva de un C0-árbol.
Definición 4.35 Una forma normal disyuntiva de un C0-árbol es una forma normal disyuntiva
que tiene un cubo por cada rama abierta del C0-árbol correspondiente.
El {a, b}-árbol de la figura tiene una única rama abierta, su forma normal disyuntiva es
{{P (a, b), ¬P (a, a), P (b, a), ¬P (b, b)}}
que representa un único cubo con los literales de dicha rama.
Los siguientes resultados son de comprobación inmediata.
Lema 4.2 Dado un conjunto satisfacible de literales básicos, Γ, 4 si todos los símbolos de constante
en Γ pertenecen a C0, entonces Γ es C0-satisfactible.
Corolario 4.2 El conjunto de literales que pertenecen a cualquier rama abierta de un C0-árbol es
siempre C0-satisfactible.
Directamente de las definiciones, obtenemos el siguiente resultado:
Lema 4.3 Si Γ es el conjunto de literales que pertenecen a una rama abierta de T C0 ({A1, . . . , Am}),
entonces Γ |=C A1 ∧ . . . ∧ Am.
Demostración: Sea M = (U, I) un C0-modelo que satisface Γ. Supongamos que C = {c1, ..., cn}.
Tenemos que probar que M satisface todas las fórmulas de dicha rama. Lo demostramos por
inducción sobre su grado.
En el caso base, es decir, si todas las fbfs son literales, el resultado está asegurado por hipótesis.
Supongamos que M satisface todas las fórmulas de la rama hasta las de grado k > 1. Sea A
una fórmula de grado k + 1. Tendremos que distinguir los casos siguientes:
4 Es decir, no contiene ningún par de literales complementarios

56 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
1. A es una α-fórmula. Entonces, sus dos componentes α1 y α2 se encuentran en la rama,
y por ser ambas de grado menor o igual que k, ambas deben ser satisfechas por M y,
por lo tanto, M |= A.
2. A es una β-fórmula. Entonces, una de sus dos componentes β1 o β2 se encuentran en la
rama, y por ser ésta de grado menor o igual que k debe ser satisfecha por M y, por lo
tanto, M |= A.
3. A es una γ-fórmula. Supongamos A = (∀x)B (el caso en que A = ¬(∃x)B la demostración
es similar). Entonces, como se ha aplicado la regla γ durante la construcción de la C0tabla,
todas las subfórmulas tipo B[x/cj], 1 ≤ j ≤ n, deben estar en la rama, y por ser
todas de grado menor o igual que k son satisfechas por M. Además, como I asigna a las
constantes cj un elemento de U, recorriendo todo U, tenemos que M |= (∀x)B.
4. A es una δ-fórmula. Supongamos A = (∃x)B (el caso en que A = ¬(∀x)B la demostración
es similar). Entonces, por definición de la regla δ, la rama debe contener cierta subfórmula
B[x/cj] con 1 ≤ j ≤ n, que por hipótesis de inducción es satisfecha por M. Por lo tanto,
M |= A.
Por lo tanto, M satisface todas las fórmulas de la rama, y por ello también M |= Ai, para cada
1 ≤ y ≤ m y, en consecuencia, M |= A1 ∧ . . . ∧ Am.
Lema 4.4 Si Θ ⊂ L1(C, ∅, P) es finito y C0-satisfacible, se tiene que:
1. Cualquier C0-modelo que satisfaga Θ satisface todas las fórmulas de al menos una de las ramas
de TC0 (Θ).
2. T C0 (Θ) es abierto.
Demostración: Sea Θ un conjunto finito de fórmulas C0-satisfactible, para cierto y sea M = (U, I)
un C0-modelo que satisface Θ. Demostraremos que M satisface todas las fórmulas de al menos una
rama de TC(Θ) por inducción sobre el número de veces que se ha aplicado alguna regla de extensión.
En el caso base, con 0 aplicaciones, la única rama de la C0-tabla tiene solo las fórmulas de Θ,
que son satisfechas por M. Ahora supongamos que M satisface todas las fórmulas de cierta rama
hasta la i-ésima aplicación de las reglas. Consideremos la (i + 1)-ésima apliación de las reglas que
se aplica a una fórmula A. Si dicha regla no afecta a la rama que estamos considerando, es trivial
que la rama sigue siendo satisfecha por M tras su aplicación. En otro caso, tendremos las siguientes
posibilidades, según la regla aplicada:
Se aplica la regla α. Entonces A ≡ α1 ∧ α2, y se añaden a la rama las α1 y α2. Puesto que por
por hipótesis M satisface A, se tiene que M satisface α1 y α2, por lo que M sigue satisfaciendo
todas las fórmulas de la rama tras (i + 1)-ésima aplicación de las reglas.
si se aplica la regla β. Entonces A ≡ β1 ∨ β2 y se ramfica la rama en dos y a cada una se
añade, respectivamente, β1 o β2. Como por hipótesis M |= A, se tiene que M satisface al
menos una de las dos nuevas fórmulas, por lo que M satisface al menos una de las dos nuevas
ramas tras (i + 1)-ésima aplicación de las reglas.

4.2. MÉTODO DE C-TABLAS PARA LA LÓGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN 57
si se aplica la regla γ. Entonces A ≡ (∀x)A0. Por lo tanto, al aplicar la regla γ se añaden a
la rama todas las subfórmulas A0[x/cj], 1 ≤ j ≤ n. Pero como por hipótesis M |= (∀x)A0
entonces, se verifica que M |= A0[x/cj] para cada constante cj , 1 ≤ j ≤ n. Por lo tanto, M
satisface la rama tras la aplicación de la regla γ.
si se aplica la regla δ. En este caso, A ≡ (∃x)A0, y por hipótesis de inducción M |= A0, es
decir, M |= (∃x)A0. Puesto que M asigna a cada constante de T ({η})C un elemento diferente
de U, se verifica que, para al menos una constante cj , 1 ≤ j ≤ n, M |= A0[x/cj]. Pero una
de las nuevas ramas que surgen tras la aplicación de la regla δ contiene A0[x/cj], por lo que
sigue habiendo una rama cuyas fórmulas son todas satisfechas por M.
Al finalizar la construcción del C0-árbol habrá, por tanto, al menos una rama tal que todas sus
fórmulas son satisfechas por M, lo cual termina la demostracción del primer item. Además, entre
las fórmulas de la rama satisfecha por M no puede haber literales complementarios. Por ello, la
C-tabla es abierta, lo que prueba la segunda parte del lema.
Teorema 4.12 Sean A ∈ L1(C, ∅, P) y TC0 ({A}) un C0-árbol de {A}. Entonces, A y TC0 ({A}) son
C0-equivalentes.
Demostración: Sea M un C0-modelo que satisface A. Entonces, se tiene que M satisface todas
las fórmulas de al menos una rama de TC0 ({A}). Por lo tanto, M satisface todos los literales de
dicha rama, entre los cuales no puede haber literales complementarios, por lo tanto son literales
de una rama abierta de TC0 ({A}). Por definición, tales literales constituyen un cubo de la forma
normal disyuntiva asociada a TC0 ({A}). En consecuencia, tenemos que M |=C0 A′ , donde A ′ es la
forma normal disyuntiva asociada a TC0 ({A}).
Ahora, sea M una C0-estructura que satisface A ′ . Por definición, M satisface todos los literales
de al menos una rama abierta de la forma normal disyuntiva asociada a T C0 ({A}) y por el lema
anterior, M |= A.
Ejemplo 4.12 Sea la teoría Θ = {(∀x)(∀y)(∀z)((P (x, y) ∧ P (y, z)) → P (x, z))} y la observación
O = (∃x)P (x, x). Un árbol para Θ ∪ {¬O} es:
(1) (∀x)(∀y)(∀z)((P (x, y) ∧ P (y, z)) → P (x, z))
↓
(2) ¬(∃x)P (x, x)
↓
(3) ((P (d1, d2) ∧ P (d2, d3)) → P (d1, d3)) (de (1))
↓
(4) ¬P (d4, d4) (de (2))
↙ ↘
(7) ¬(P (d1, d2) ∧ P (d2, d3) (de (3)) (6) P (d1, d3)
↙ ↘
(7) ¬(P (d1, d2) (8) ¬P (d2, d3)
Tenemos tres ramas abiertas:
ρ1 = {¬P (d4, d4), ¬P (d1, d2)}, ρ2 = {¬P (d4, d4), ¬P (d2, d3)}, ρ3 = {¬P (d4, d4), P (d1, d3)}

58 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Si aplicamos la sustitución θ = {d1/d4, d1/d3}, entonces ρ3 cierra y se obtienen los dos posibles
cierres siguientes:
τ1 = {P (d1, d1), P (d1, d2)}}
τ2 = {P (d1, d1), P (d2, d1)}}
Los correspondiente cierres minimales son P (d1, d1) P (d1, d2) ∧ P (d2, d1) y, por herbrandización,
genera las explicaciones (∃x)P (x, x) (trivial) y (∃x)(∃y)(P (x, y) ∧ P (y, x). Claramente, el árbol
puede ser extendido aún más generando nuevas explicaciones.
4.3. δ-Resolución Abductiva en la lógica de primer orden
Veamos ahora la extensión del método de δ-Resolución a la lógica de primer orden.
Como en la sección anterior, consideramos un lenguaje de primer orden sin igualdad y sin
símbolos de función, L1(C, ∅, P) en el que tan solo consideraremos fbfs cerradas. Dado un literal,
ℓ, denotamos por ¯ ℓ su complementario. Como en el caso proposicional, denotamos por ♦ el cubo
vacío, el cual es una fbf válida.
Definición 4.36 Dado el problema abductivo (Θ, O), decimos que el cubo básico, E, es una solución
C0-abductiva de (Θ, O) si se satisface:
1. Θ, E |= O.
2. Θ ∪ E es C0-satisfactible.
3. E |= O
4. No existe ningún cubo básico E ′ ⊂ E tal que Θ, E ′ |= O
Mediante Abd C0 (Θ, O) denotamos el conjunto de soluciones C0-abductivas al problema abductivo
(Θ, O).
Consideramos un problema abductivo (Θ, O), con Θ = {A1, . . . , Am}.
Dados dos cubos D1 y D2, la regla de δ-resolución es la dual de la regla de resolución estudiada
en el segundo volumen que, como sabemos, requiere introducir el concepto de unificador de máxima
generalidad de dos átomos proporcionado por el algoritmo de unificación. Remitimos al lector a
nuestro estudio de la Lógica Clásica de Primer Orden para recordarlo.
Definición 4.37 Sean D1 y D2 dos cubos sin variables en común, y sean ℓ1 ∈ D1 y ¯ ℓ2 ∈ D2 tales
que ℓ1 unifica con ℓ2 con umg σ. En tal caso se dice que D1 y D2 es un par resoluble y se define
la δ-resolvente binaria de D1 y C2 respecto a ℓ1 mediante σ al cubo D definido como sigue
D = (σD1 − {σℓ1}) ∪ (σD2 − {σ ¯ ℓ2})
Es preciso destacar que en la definición de δ-resolvente, es posible que existan varios literales
a la vez con el mismo predicado. Esta característica del método para la lógica de primer orden se
conoce con el nombre de factorización. Este hecho motiva la definición siguiente.
Definición 4.38 Si dos o más literales (con el mismo signo) de un cubo D son unificables con σ
como unificador de máxima generalidad (umg), entonces σD se dice que es un factor de D.

4.3. δ-RESOLUCIÓN ABDUCTIVA EN LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN 59
Definición 4.39 Una δ-resolvente para los cubos D1 y D2 es una de las siguientes δ-resolventes
binarias:
1. Una δ-resolvente binaria de D1 y D2.
2. Una δ-resolvente binaria de D1 y un factor de D2.
3. Una δ-resolvente binaria de un factor de D1 y D2.
4. Una δ-resolvente binaria de un factor de D1 y un factor de D2.
Ejemplo 4.13 Podemos δ-resolver los cubos
D1 = Q(x) ∧ ¬R(x) ∧ P (x, y) ∧ P (f(z), f(z)) y
D2 = ¬S(u) ∧ ¬R(w) ∧ ¬P (f(a), f(a)) ∧ ¬P (f(w), f(w))
considerando como umg para el conjunto de átomos
{P (x, y), P (f(z), f(z)), P (f(a), f(a)), P (f(w), f(w))}
es θ = {x/f(a), y/f(a), z/a, w/a}. Hallamos la δ-resolvente mediante θ y obtenemos el cubo
Q(f(a)) ∧ ¬R(f(a)) ∧ ¬S(u) ∧ ¬R(a)
4.3.0.1. Búsqueda de soluciones explicativas mediante δ-resolución
Ahora, podemos extender de forma natural el método estudiado en el caso proposicional para la
búsqueda de soluciones explicativas de un problema abductivo. Consideremos un problema abductivo
(Θ, O), con Θ = {A1, . . . , An} ( Θ una teoría contingente y O una observación contingente).
Buscamos soluciones explicativas conjuntivas, E = ℓ1 ∧ . . . ∧ ℓk.
Por lo tanto, los pasos a seguir para la búsqueda de soluciones explicativas minimales de un
problema abductivo (Θ, O) con Ω = {A1, . . . , An} son los siguientes:
1. Hallar una forma normal de Herbrand para (¬A1 ∨ . . . ∨ An), a la que denotaremos por
Ω ¬Θ
= {D ¬ Θ
1 , . . . , D ¬ Θ
nΘ }
2. Hallar una forma normal de Herbrand para O, denotada Ω O
= {D O
1 , . . . , DO
nO }
3. Hallar una forma normal de Herbrand para F (¬A1 ∨ . . . ∨ An ∨ O), a la que denotaremos
Ω ¬Θ∪O
= {D ¬Θ∪O
1 , . . . , D ¬Θ∪O
n }
¬Θ∪O
Y proceder como sigue:
I) Aplicar δ-resolución por saturación a Ω ¬Θ∪O
, obteniéndo así las posibles soluciones planas
minimales.
II) De entre estas soluciones, E = ℓ1 ∧. . .∧ℓk, seleccionar las que cumplen (CONS) y (EXPL).

60 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Ejemplo 4.14 Θ = {(∀x) (∀y)(P (x, y) ∧ P (y, x) → Q(x) ; O = Q(a)
I) Obtenemos Ω ¬Θ∪O
I.1)
y le aplicamos δ-resolución por saturación:
¬(∀x) (∀y)(P (x, y) ∧ P (y, x)) → Q(x) ≡
(∃x)¬ (∀y)(P (x, y) ∧ P (y, x)) → Q(x) ≡
(∃x) (∀y)(P (x, y) ∧ P (y, x) ∧ ¬Q(x) ≡
(∃x)(∀y)(P (x, y) ∧ P (y, x) ∧ ¬Q(x)
Por lo tanto, herbrandizando, obtenemos: Ω ¬Θ
= {P (x, f(x)) ∧ P (f(x), x) ∧ ¬Q(x)}
I.2) Ω O = {Q(a)}
I.3) Ω ¬Θ∪O
= {P (x, f(x)) ∧ P (f(x), x) ∧ ¬Q(x), Q(a)}
I.4) Aplicamos δ-resolución por saturación a Ω ¬Θ∪O
y obtenemos la siguiente solución plana
minimal:
P (a, f(a)) ∧ P (f(a), a)
que resulta que satisface (CONS) y (EXPL) y, por lo tanto, es una solución explicativa
minimal.
4.4. Predicados Abducibles
Hasta aquí, hemos considerado la búsqueda de explicaciones abductivas sin prestar demasiada
atención a la teoría, o mejor haciendo tan solo referencias generales a ella en términos de la
relación de consecuencia, pero en las aplicaciones el universo del discurso determina de forma
natural que los literales en la explicación deben pertenecer a un conjunto pre-fijado llamado conjunto
de predicados abducibles. Asimismo, en general, los predicados abducibles están sujetos
a restricciones, denominadas restricciones de integridad. Por lo tanto, aunque los predicados
abducibles no están definidos en la teoría, Θ, ésta aporta alguna información implícita sobre ellos
mediante las restricciones de integridad. En consecuencia, definimos:
Definición 4.40 Una teoría abductiva es una terna (Θ, A, IC), donde Θ es la teoría de partida,
A un conjunto de predicados abducibles e IC un conjunto de restricciones de integridad.
Una fbf, E es una explicación abductiva de un problema abductivo ((Θ, A, IC), O) si, además
de las propiedades exigidas hasta aquí, se satisface que Θ ∪ {E} satisface IC.
En la bibliografía, se hace uso habitualmente de restricciones de integridad de la forma
(∀x)¬(P1(x) ∧ . . . ∧ Pn(x))
o bien ← P1(x), . . . , Pn(x) en el estilo de la programación lógica.
Θ satisface esta restricción de integridad si no existe ningún término básico t0 tal que Θ |= Pi(t0),
i = 1, 2, . . . , n.

4.4. PREDICADOS ABDUCIBLES 61
Ejemplo 4.15 Sea (Θ, A, IC) donde Θ consta de las siguientes relaciones familiares:
padre(x, y) ← progenitor(x, y), hombre(x)
madre(x, y) ← progenitor(x, y), mujer(x)
hijo(x, y) ← progenitor(y, x), hombre(x)
hija(x, y) ← progenitor(y, x), mujer(x)
desc-direc(x, y) ← hijo(y, x)
desc − direc(x, y) ← hija(y, x)
quiere(x, y) ← progenitor(y, x)
Las restricciones de integridad son IC = {← hombre(x), mujer(x)} y los predicados abducibles
A = {progenitor, hombre, mujer}.
Sea la observación O1 = padre(Alfredo, David). Una explicación abductiva para O1 es E1 =
progenitor(Alfredo, David) ∧ hombre(Alfredo) y se trata de la única explicación minimal. Consideremos
la observación O2 = desc − direc(Juan, Maria). Esta observación tiene dos posibles
explicaciones:
E2 = progenitor(Juan, Maria) ∧ hombre(Juan)
E ′ 2
= progenitor(Juan, Maria) ∧ mujer(Juan)
Si conocemos que hombre(Juan) es verdadera entonces E ′ 2 tiene que ser rechazada. De hecho,
ambas explicaciones son incompatibles, debido a las restricciones de integridad. Pero, puesto que
padre(Juan, Maria) pertenece a ambas explicaciones. se tiene que
padre(Juan, Maria) y quiere(Juan, Maria)
son consecuencias escépticas de este problema abductivo con observación O2.

62 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN

Capítulo 5
Aplicaciones de la Lógica Abductiva
Son muchas las aplicaciones de la lógica abductiva. Comencemos destacando algunas:
Visión de alto nivel: La visión artificial es usada en numerosas aplicaciones, tales como los
sistemas de vigilancia. La abducción es fundamental para el área conocida como Visión Artificial,
ya que las imágenes parciales que proporciona una cámara se explican abductivamente.
Las hipótesis explicativas son los objetos que producen tales imágenes.
Compresión del lenguaje natural. También para interpretar el lenguaje natural se utiliza
la abducción como herramienta para poder interpretar oraciones ambiguas. Las hipótesis
abductivas, serán las posibles interpretaciones y se determinan la más adecuadas por el contexto.
Traducción automática. Relacionada con la anterior. Sobre esta aplicación ha trabajado
extensamente Jerry Hobbs, el cual considera que la traducción automática requiere razonamientos
sobre el lenguaje a los niveles léxico, sintáctico, semántico, etc y, a la vez, se ajusta al
uso de técnicas basadas en la lógica abductiva ya que es preciso contemplar las complicadas
relaciones que existen entre tales niveles. En efecto, un mínimo cambio en una letra puede
hacer cambiar totalmente el significado de una frase. A su vez, la semántica de la oración
tendrá repercusiones sintácticas. La lógica abductiva, afirma Hobbs, permite solucionar de
forma elegante y potente una gran cantidad de problemas de este tipo. En su proyecto TACI-
TUS, Hobbs aplica el razonamiento abductivo para la búsqueda de explicaciones que hagan
que la forma lógica del texto sea válida (entendiendo por forma lógica del texto la traducción
a un lenguaje lógico de un texto en lenguaje natural). Para Hobbs, interpretar una sentencia
es comprobar su forma lógica junto con las restricciones que los predicados imponen en sus
argumentos; mezclar las redundancias cuando sea posible y “permitir suposiciones” cuando
sea necesario.
Se supone que tenemos una base de dato de conocimiento (hechos y reglas), que permiten
comprobar la forma lógica de una oración (que habrá sido hallada a partir de un análisis
sintáctico o semántico a partir de la oración origen). Esta base contendrá de todo tipo de
información: desde la puramente lingüística, hasta información sobre creencias, presupuestos,
y cualquiera que pueda potencialmente afectar a la traducción.
Ingeniería del software. En este área, la utilidad de la lógica abductiva se hace patente
para detectar inconsistencias, violaciones de las propiedades de los sistemas, ayudando al
63

64 CAPÍTULO 5. APLICACIONES DE LA LÓGICA ABDUCTIVA
depurado de los errores y en la gestión de modificación de requisitos.
Las especificaciones son la clave para el desarrollo de productos software. Existen muchas
aplicaciones del razonamiento abductivo en la ingeniería del software, entre ellas, las que
sirven como ayuda para el análisis y mantenimiento de las especificaciones de un sistema. Dada
una especificación y algunos invariantes del mismo, el mecanismo de razonamiento abductivo
puede usarse para comprobar si estos invariantes se satisfacen como dice la especificación. Para
cada invariante el razonamiento abductivo puede identificar un conjunto de contraejemplos,
si es que existen, del invariante. La información incluida en el contraejemplo depende del tipo
de especificación considerada.
Otra aplicación de la abducción en este área consiste en la modificación de especificaciones,
concretamente, detectar inconsistencias o reestablecer algunas propiedades del sistema
que hayan sido violadas tras algún cambio en las especificaciones del sistema. Esto se traduce
en una modificación de la teoría del problema (las propiedades de las que partimos). Un
problema al modificar la teoría del problema consiste en identificar los cambios que deben ser
hechos en la teoría. Por ejemplo, la incorporación de información (tales como propiedades),
que en términos lógicos quiere decir pedir que de la información deba o no deba inferirse de
una especificación dada. El uso de la abducción en este contexto es útil para interpretar los
cambios como una observación que debe ser explicada y la explicación de la observación como
cambios a realizar.
Planificación. La planificación es una de las ramas de la inteligencia artificial con más
aplicaciones industriales. El hecho observado es el objetivo que nos marcamos (al que queremos
llegar) y las hipótesis abductivas los posibles caminos para conseguirlo. La mejor explicación
será la más económica, corta,. . .
Una de las características más señaladas de la inteligencia humana es la planificación de
tareas que conduzcan a algún fin. Se conoce bien la meta y es necesario explicar o justificar
los caminos que llevarían a ella. A menudo, las acciones que se pueden escoger para obtener
esa meta perseguida no son únicas, sino alternativas. Entre las posibilidades de que se dispone,
se eligen aquellas cuya modificación comporta un cambio local, no global.
Un ámbito en el que se puede ejemplificar esta aplicación es el los bloques, popularizado
por Terry Winograd en el mundo de la IA y que recuerda a juegos que involucran piezas
geométricas, como el Tetris o el Tangran.
También en IA, el razonamiento basado en marcos incorpora ciertos aspectos de la metodología
abductiva. Esto se debe a que se comparan situaciones reales, sobre las que se deben
tomar decisiones, con patrones de diferentes situaciones prototipo que pueden estar relacionadas.
Estas decisiones no siempre forman parte una solución, es decir, no sabemos si es
correcto lo que hemos hecho, por lo tanto la experiencia es un guía del camino a seguir en la
búsqueda de la solución. Además es habitual razonar desde el objetivo hacia el estado inicial,
haciendo que se vayan consiguiendo las precondiciones necesarias para los estados anteriores
al objetivo, esto nos lleva al uso de la abducción.
Asimilación de conocimiento. Muchas de las aplicaciones de la inteligencia artificial están
relacionadas con la representación y asimilación de conocimiento. En este caso, puede emplearse
la abducción para extender la base de conocimiento, no tanto por acumulación, sino

5.1. LÓGICA EPISTÉMICA Y ABDUCCIÓN 65
más bien por asimilación de los nuevos datos. Así, al llegar un nuevo dato, se incorporan a la
base de conocimientos las hipótesis capaces de explicar dicho dato.
Razonamiento por defecto: El razonamiento por defecto permite la aplicación de ciertas
reglas generales en ausencia de contradicciones y se emplea frecuentemente para modelizar
sistemas en los que no es posible razonar según los parámetros de la lógica clásica. Como
indica Peter Flach, el razonamiento por defecto puede ser contemplado abductivamente.
Aprendizaje: La abducción se puede utilizar como mecanismo de aprendizaje. Cuando intentamos
explicar un hecho que entra en contradicción con la teoría, deberemos modificar esta
teoría, ya que ese hecho, puesto que existe y tenemos evidencia de él, tiene que ser explicado
con la teoría actual.
Vamos ahora a profundizar un poco más en otras aplicaciones. Comenzamos con una aplicación
que permite trabajar con agentes con capacidad de razonamiento abductivo y que colaboran o
compiten, desarrollada por Anna Ciampolini, Evelina Lamma, Paola Mello y Paolo Torroni de la
universidad de Bologna:
5.1. Lógica Epistémica y Abducción
Como indicamos al estudiar la lógica epistémica de n agentes, la mayoría de los problemas reales
tratan con entornos complejos que requieren sofisticadas capacidades de razonamiento y reclaman
la solución de varios aspectos simultáneamente. Un planteamiento centralizado, en el que un solo
agente (programa) aborde todos los aspectos del problema, resulta, en general, muy complicado y
muy costoso computacionalmente. La solución más aceptable consiste en contemplar varios agentes
(componentes). Estos agentes han de ser autónomos y poseer capacidades computacionales independientes
y, lo que es más importante, sería deseable que tuvieran la capacidad de interactuar,
colaborar y/o competir con otros agentes.
El problema es cómo combinar el lenguaje de comunicación y el lenguaje de conocimiento local.
Una propuesta de solución a este problema es la arquitectura denominada ALIAS (Abductive Logic
Inteligent Agent System), 1 que hace uso de la lógica para modelizar la capacidad de razonamiento
de los agentes y sus capacidades sociales y en la que el razonamiento local y la interacción global
se especifican en un paradigma basado en programación lógica. En esta arquitectura los agentes
poseen la capacidad de razonamiento abductivo, ya que se considera que la tarea contemplada no
es ajena a situaciones en las que el conocimiento es incompleto, lo cual requiere por parte de los
agentes la capacidad de razonamiento abductivo para poder introducir explicaciones aceptables.
En este ámbito de Sistemas Inteligentes, la abducción se contempla como un modo de ampliar
“dinámicamente” el conocimiento de los agentes mediante explicaciones abductivas.
Podemos considerar entre los agentes dos tipos de coordinación: colaboración y competición. Pensemos,
por ejemplo en sistemas de diagnóstico, donde cada agente (especialista) ha de “suponer”
posibles causas de algunos síntomas. Cuando se considera un solo agente, las hipótesis son asumidas
si son consistentes con el conocimiento previo del agente. Pero en la aplicación que nos ocupa, los
diversos agentes pueden realizar razonamientos abductivos, y será preciso contemplar diferentes
formas de combinación, dependiendo del papel de cada agente en el proceso y de la interacción de
los agentes entre sí.
1 De Paolo Torroni

66 CAPÍTULO 5. APLICACIONES DE LA LÓGICA ABDUCTIVA
En el caso colaborativo, los subproblemas no serán completamente independientes, ya que
las explicaciones abductivas encontradas por separado por cada agente tendrán que ser “conjuntadas”
y mantener la consistencia.
En el caso competitivo, será preciso “confrontar” las explicaciones abductivas y disponer de
un mecanismo de selección.
Para abordar estas tareas, la arquitectura ALIAS utiliza el lenguaje LAILA (Language for Abductive
Logic Agents).
El lenguaje LAILA
El alfabeto de LAILA es
donde:
a LAILA = {true, p, q, . . . , p1, p2, . . . pn, . . . , . . . , q1, q2, . . . , a0, . . . , an, not, ←, &, ; , >, ↓, , }
p, q, . . . , p1, p2, . . . pn, . . . , . . . , q1, q2, . . . son variables proposicionales (átomos básicos, abducibles
o no).
a0, . . . , an los identificadores de n + 1 agentes.
not el símbolo de negación (usado como “negación como fallo”).
← es la conectiva implicación material.
& es la conectiva de colaboración y se utiliza para realizar consultas a diferentes agentes, con
la finalidad de mezclar su respuestas en un único conjunto de hipótesis. Cada consulta puede
ser contemplada como la solución de un sub-problema del problema que se desea resolver.
; es la conectiva de competición.
> es la conectiva de comunicación (usada para la realización de preguntas de un agente a
otros agentes).
↓ es la conectiva de reflexión hacia abajo.
, es el operador de composición de objetivos (estándar de la programación lógica).
Definición 5.1
Un literal es un un átomo, pi o su negación not pi.
Una fórmula comunicación es de la forma: ai > ℓ, donde ai es un agente y ℓ un literal,
Una fórmula simple es de una de las tres siguientes formas:
• true,
• ↓ℓ (con ℓ literal),
• ai > ℓj (es decir, una fórmula de comunicación).

5.1. LÓGICA EPISTÉMICA Y ABDUCCIÓN 67
Una fórmula de LAILA es el cierre inductivo libremente generado del conjunto de fórmulas
simples por los operadores de aridad flexible & y ;.
Como hemos indicado, la interacción entre los agentes se especifica en un paradigma basado en
programación lógica y toda computación comienza con una consulta definida como sigue:
Ejemplo 5.1
Consulta =def ? Cuerpo
la pregunta competitiva formulada por un agente a0:
? ↓ O1 ; a1 > O2
se lee: “el agente a0 ha de ejecutar una derivación abductiva de una explicación para el objetivo
O1, o bien solicitar al agente a1 que explique el objetivo O2”. Podrían existir varias respuestas
disponibles; en cuyo caso, el sistema seleccionará solo una de ellas.
la pregunta colaborativa formulada por el agente a0:
?a1 > O3 & a2 > O4
se lee: “el agente a0 solicita al agente a1 que explique el objetivo O3 y al agente a2 que explique
el objetivo O4. De nuevo, podrían existir varias respuestas disponibles; en cuyo caso, el sistema
mezcla las respuestas de a1 y a2 en un único conjunto de abducibles.
En la arquitectura ALIAS, la estructura interna de cada agente consta de tres módulos:
Módulo de Razonamiento Abductivo, denotado MRA, que contiene las herramientas
de razonamiento abductivo y deductivo.
Módulo de Comportamiento del agente, denotado MCompA.
Módulo de Coordinación entre agentes, denotado MCoorA.
y cada una de ellos incluye una base de conocimiento local, KB.
La KB abductiva viene representada por un programa lógico, es decir, un conjunto de cláusulas
p ← ℓ1 . . . ℓn
donde p es un átomo (la cabeza de la cláusula) y ℓi literales (la secuencia ℓ1 . . . ℓn se denomina
cuerpo de la cláusula);
La KB de comportamiento es un conjunto de cláusulas que describe el comportamiento
del agente dentro del entorno (mediante el lenguaje LAILA). En particular, el comportamiento
social de cada agente puede ser expresado (dentro de MCompA) mediante preguntas colaborativas/competitivas.
Cada vez que el comportamiento de un agente requiere una explicación abductiva
de un objetivo O, se requiere una interacción entre MCompA y MRA para comenzar la prueba
abductiva de O.

68 CAPÍTULO 5. APLICACIONES DE LA LÓGICA ABDUCTIVA
Los distintos agentes lógicos en ALIAS, están provistos de un mecanismo para asegurar la consistencia
en las suposiciones que realizan para resolver sus problemas. Para conseguir este propósito,
contemplan un conjunto de restricciones de integridad como destacamos en el capítulo anterior.
La unión de las bases de conocimiento que tienen todos los agentes forma una base de conocimiento
global que puede ir cambiando dinámicamente en función de la actuación de los distintos agentes.
De hecho, aunque los agentes tiene una base de conocimiento local, también se pueden unir formando
“racimos” 2 , entre los que los agentes que lo forman han de estar de acuerdo sobre el conjunto
de hipótesis supuestas.
Definición 5.2 Dado un conjunto de agentes Ag. Un racimo de agentes es un subconjunto
B Ag ⊆ Ag.
Dada una fórmula A, el racimo de agentes asociado a A, denotado B(A), es el conjunto de
agentes que intervienen en los intercambios de mensajes que ocurren en A:
B(A) = {a | a es un agente en una fórmula de comunicación que ocurre en A}
Por ejemplo, dada la fórmula A = a1 > O1; a2 > O2 & a3AO3, se tiene que A(F ) = {a1, a2, a3}
Para ponerse de acuerdo, los agentes discuten entre sí sobre cómo afrontar los problemas y resolverlos.
Los agentes podrán desplazarse de un racimo a otro para recoger información y transmitirla
a su propio racimo. En definitiva, cada agente está representado por una base de conocimiento
local, como ya hemos mencionado, creada a partir del razonamiento abductivo de un programa
lógico y cada racimo está constituido por un conjunto de agentes y una base de conocimientos
global construida también dinámicamente. Sin embargo, mientras el conocimiento estático de cada
agente puede variar de uno a otro, el conocimiento global de un racimo debe ser común para todos
los agentes del mismo.
Tenemos pues un conjunto de agentes paralelos que cooperan entre sí para resolver determinados
problemas. Cada agente a ∈ Ag tiene su propia (posiblemente incompleta) base de conocimiento,
K(a), y utiliza la abducción como razonamiento para hallar nuevas hipótesis. Los agentes son
agrupados en racimos y cada ramillete está asociado con un conjunto de hipótesis abducibles,
∆. 3 Dada una cierta teoría, se califica de abducibles solo a ciertos predicados, de forma que
son tales predicados los únicos que podrían aparecen en las explicaciones; de esta forma se evitan
explicaciones absurdas (las cuales pueden aumentar continuamente). Además, los agentes de un
mismo grupo parten de un mismo conjunto de hipótesis y si uno de ellos intenta aumentar el
conjunto con una nueva, los agentes que pertenecen al mismo grupo cooperarán entre sí para
comprobar la consistencia de esta nueva hipótesis. De modo que, si todos los agentes están de
acuerdo, incorporarán dicha hipótesis; si no, la desecharán.
Ejemplo 5.2
1. Consideremos la pregunta competitiva formulada por el agente a0:
esta pregunta tiene los efectos siguientes:
? a1 > O1 ; a2 > O2
2 bunches, en la bibliografía inglesa
3 Entre las diversas técnicas para optimizar la búsqueda de explicaciones, una de ellas es el empleo de predicados
abducibles, como estudiamos en el capítulo anterior.

5.1. LÓGICA EPISTÉMICA Y ABDUCCIÓN 69
a0 pregunta al agente a1 para resolver el objetivo O1; si O1 se obtiene en a1, entonces se
pueden obtener n (n¿0) explicaciones abductivas consistentes, E1i (donde i ∈ {1, . . . , n})
consistentes en el ramillete {a0, a1}, para O1.
a0 pregunta al agente a2 para resolver el objetivo O2; si O2 se obtiene en a2, entonces
se pueden obtener m (m > 0) explicaciones abductivas consistentes, E2j (donde j ∈
{1, . . . , m}) consistentes en el ramillete {a0, a2}, para O2.
La explicación abductiva resultante es o bien E1i (para algún i ∈ {1, . . . , n}) o bien E2j
(para algún j ∈ {1, . . . , m}).
Si tanto a1 como a2 fallan, la consulta competitiva falla.
2. Consideremos la pregunta colaborativa formulada por el agente a0:
? a1 > O1 & a2 > O2
que expresa que el agente a0 consulta al agente a1 para resolver O1 y a la vez al agente a2
para resolver el objetivo O2. La pregunta terminará con éxito si y solo si ambos agentes a1 y
a2 terminan con éxito. Esta pregunta tiene los efectos siguientes:
a0 pregunta al agente a1 para resolver el objetivo O1; si O1 se obtiene en a1, entonces
se pueden obtener n (n > 0) explicaciones abductivas consistentes, E1i (donde i ∈
{1, . . . , n}) consistentes en el ramillete {a0, a1}, para O1.
a0 pregunta al agente a2 para resolver el objetivo O2; si O2 se obtiene en a2, entonces
se pueden obtener m (m > 0) explicaciones abductivas consistentes, E2j (donde j ∈
{1, . . . , m}) consistentes en el ramillete {a0, a2}, para O2.
La explicación abductiva resultante para la consulta colaborativa es por lo tanto, el
conjunto
E = {Ek | (Ek = E1i ∪ E2j y Ek es consistente en {ao, a1, a2}}
Si fallan o a1 > O1 o a2 > O2, entonces la consulta q falla.
Definición 5.3 Un programa lógico abductivo es una terna (P, A, IC), donde:
P es un programa lógico (conjunto de cláusulas de programa; la teoría Θ en nuestro desarrollo
anterior), posiblemente con átomos abducibles en los cuerpos de las cláusulas;
A es un conjunto de predicados abducibles, es decir, predicados que pueden ser usados
como explicaciones y que no están definidos en la teoría;
IC es un conjunto de restricciones de integridad que han de ser satisfechas por la teoría. 4
En esencia, las restricciones de integridad reducen el número de explicaciones para una observación.
Dado un programa abductivo (P, A, IC) y una fbf, O (observación), el propósito de la abducción
es encontrar un conjunto de explicaciones atómicas, E, posiblemente minimal, tales que:
4 Aunque los predicados abducibles no están definidos en la teoría, las restricciones de integridad nos pueden
permitir disponer alguna información sobre ellos.

70 CAPÍTULO 5. APLICACIONES DE LA LÓGICA ABDUCTIVA
E ⊆ A
P ∪ E |= O
P ∪ E satisface las restricciones de integridad IC.
A esta relación de consecuencia la denotaremos
(P, A, IC), E |=ab O
Si identificamos un agente a con su programa lógico abductivo, (P, A, IC), podemos usar la notación
a, E |=abd O
Ejemplo 5.3 [J.Pearl] Consideremos el siguiente programa:
donde
Lahierba-está-mojada ← Llovió-última-noche
Lahierba-está-mojada ← Losaspersores-estan-abiertos
Loszapatos-están-mojados ← Lahierba-está-mojada
A = {Llovió-última-noche, Aspersores-abiertos}
IC = {← Llovió-última-noche, Losaspersores-estan-abiertos}
Para satisfacer tales restricciones, los predicados Llovió-última-noche y Losaspersores-estanabiertos
no se pueden contemplar simultáneamente.
Supongamos la observación O = Loszapatos-están-mojados. Esta observación puede ser explicada
por dos conjuntos de enunciados minimales:
Abd1 = {Llovió-última-noche, ¬Losaspersores-estan-abiertos } y
Abd2 = {Losaspersores-estan-abiertos, ¬Llovió-última-noche }
Puesto que ¬ ocurre en el cuerpo de las cláusulas, podemos reemplazar los literales negados, ¬P ,
por un literal positivo ℓ = ¬P .
Ejemplo 5.4 Consideremos el agente a0 que representa un paciente y los agentes a1 y a2 que
representan especialistas médicos. Sean s1 y s2 los síntomas observados por tales especialistas.
El conocimiento del agente a1 puede ser modelizado por las siguientes cláusulas:
donde d1 representa una enfermedad.
s1 ← d1
MCompA : s1 ←↓ s1; MRA :
← d1, s2
El conocimiento del agente a2 puede ser modelizado por las siguientes cláusulas:
s1 ←↓ s1
MCompA :
donde d2 y d3 representan enfermedades.
s2 ←↓ s2
s1 ← d3
MRA :
s2 ← d2

5.1. LÓGICA EPISTÉMICA Y ABDUCCIÓN 71
Ambos agentes tienen que buscar explicaciones para el síntoma s1. Por su parte, solo el agente a2
puede formular una hipótesis para el síntoma s2. Por lo tanto, el paciente, a0, formula la pregunta
siguiente:
?(a1 > s1; a2 > s1) & a2 > s2
El MCompA de a0, interpreta la pregunta y envía tres mensajes diferentes para recabar explicaciones
a los otros agentes:
(1) a0 pregunta por s1 al agente a1 en el ramo B1 = {a0, a1}, lo cual significa que a1 ha de demostrar
s1 en B1. El agente a1 “reflexiona hacia abajo” s1 en MCompA y esta computación
termina produciendo la explicación abductiva E1 = {d1, not s2}.
(2) a0 pregunta por s1 al agente a2 en el ramo B2 = {a0, a2}, lo cual significa que a1 ha de
demostrar s1 en B2. El agente a1 “reflexiona hacia abajo” s1 en el módulo local MRA. Esta
computación termina produciendo la explicación abductiva E2 = {d3}
(3) a0 pregunta por s2 al agente a2 en el ramo B2 = {a0, a2},lo cual significa que a1 ha de demostrar
s2 en B2. El agente a2 aplica s2 a la pregunta abductiva en el módulo local MCompA.
Esta computación termina produciendo la explicación abductiva E3 = {d2}.
Las tres computaciones comienzan en paralelo y tienen que ser coordinadas de acuerdo con los
operadores colaborativos/competitivos que ocurren en la pregunta planteada por el agente a0. En
particular, después de que una o ambas de las computaciones competitivas (la 1 y la 2) finalizan,
el agente selecciona una de las dos explicaciones producidas. Tenemos dos casos posibles:
(a) E1 = {d1, not s2} es seleccionada. La composición colaborativa con a2 sigue, en orden a
analizar su consistencia y producir hipótesis unión de las dos soluciones: E = E1 ∪ E3 =
{d1, not s2, d2}. Si fuese inconsistente. ABM daría lugar a un mecanismo de retroceso para
encontrar otra solución mediante la consulta a1 > s1; a2 > s1. Por lo tanto, a0 cuestiona la
creación de un último ramo B3 = {a0, a1, a2}, al que a0 hará la pregunta {d1, not s2, d2}, para
analizar su consistencia, y generar una solución a la pregunta completa, es decir, la final.
Desafortunadamente, este E falla, debido a la regla de a2: s2 ← d2, por lo tanto, es necesario
de nuevo un retroceso, que en este caso conduce al caso b) siguiente
(b) Se selecciona la expliacación E3 = {d3}. La composición colaborativa con E2 sigue, produciendo
E ′ = E3 ∪ E2 = {d3, d2} que es inconsistente. a0 procede a la creación del ramo
B2 = {a0, a2}, al que a0 le hará la pregunta δ = {d3, d2} que termina con éxito.
Por lo tanto, la única solución posible para la pregunta inicial es la solución abductiva {d3, d2}.

72 CAPÍTULO 5. APLICACIONES DE LA LÓGICA ABDUCTIVA

Capítulo 6
Lógica Paraconsistente
6.1. Motivación
En lógica clásica y en sus extensiones (tales como en las lógicas modales), a partir de una
contradicción se puede inferir cualquier fórmula, es decir: para cualesquiera fórmulas A y B, se
tiene:
A, ¬A |= B
o, equivalentemente, |= A → (¬A → B); o bien |= (A ∧ ¬A) → B
Esta propiedad se conoce como el principio de explosión o ex contradictione sequitur
quodlibet y también se le conoce como “paradoja de la implicación material”, debido a que nos
muestra fórmulas válidas, pero a las que rechaza nuestra intuición. No es la única; podemos considerar
también
|= A → (B → A) o equivalentemente |= A → (B ∨ ¬B)
principio conocido como verum ex quodlibet sequitur.
El principio de explosión tiene como consecuencia que, dada una teoría o base de conocimiento,
Ω, si se tiene que Ω es inconsistente, entonces cualquier fórmula del lenguaje es consecuencia de Ω
y por lo tanto Ω carece de interés.
Las lógicas cuya relación de consecuencia semántica ( |= ) o sintáctica ( ⊢ ) satisfacen el principio
de explosión, se dicen lógicas explosivas.
Nadie duda que en el mundo real están presentes las contradicciones. De aquí el interés de
intentar analizarlas, de intentar proporcionar mecanismos mediante los cuales la existencia de contradicciones
no colapse la tarea de razonar.
Por otra parte, ¿qué hacer con los enunciados del lenguaje natural que son simultáneamente
verdaderos y falsos? Pensemos en las múltiples versiones de la “paradoja del mentiroso”: Si consideramos
la frase “esta frase no es verdadera”, esta frase es simultáneamente verdadera y falsa.
También su existencia reclama un análisis de las fórmulas A ∧ ¬A.
Desde el punto de vista computacional, podemos poner muchos ejemplos que nos reclaman la
necesidad de lidiar con contradicciones. Pensemos por ejemplo en las bases de conocimiento. El
constante control de seguimiento que requiere el comprobar la coherencia interna del conocimiento
hace imposible la eficiencia, ya que cada nuevo conocimiento debe ser coherente con el conocimiento
73

74 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
previo y este problema se ve incrementado cada vez que se incremente el tamaño de la base. 1
Solucionar el problema de datos inconsistentes o contradictorios conduce a la revisión en las bases
de conocimiento, que elimina datos hasta conseguir la consistencia. Pero existe otro modo, en el
que estamos interesados, el del uso de la lógica paraconsistente, que no elimina las inconsistencias,
sino que tiene como objetivo evitar las derivaciones triviales a las que llevan consigo.
Ejemplo 6.1 En la lógica clásica proposicional, desde una base de datos {A, ¬A, A → B, C}, podemos
obtener como consecuencias “aceptables o no triviales”: A, ¬A, A → B (usando la propiedad
de reflexividad de |=), B (usando A, A → B y Modus Ponens), A ∧ B (usando A, B y la introducción
de ∧), etc. pero también podemos obtener como consecuencias “triviales”: ¬B, C ∧ ¬C,
cualquier fbf D, etc (por el principio de explosión).
En este texto vamos a acercarnos a la lógica paraconsistente, cuya característica distintiva
acabamos de señalar: rechazar el principio de explosión. Como precursores de la lógica paraconsistente
podemos destacar a Jean ̷Lukasiewicz, Nicolai Vasili’ev, S. Jaskowski, A. Arruda, N. da
Costa y Francisco Miró Quesada (en el siglo XX). Más adelante le prestaremos especial atención a
N. da Costa.
Respecto a los pioneros, sepamos, por ejemplo, que la lógica discursiva de Jaskowski fue pensada
para analizar las posibles conclusiones en un debate entre n agentes que tienen diferentes opiniones
sobre algún tema, algunas de ellas, contradictorias entre sí. Su lógica es una lógica modal en el que
cada mundo posible representa a un agente y en tal mundo se satisface lo que el agente considera
verdadero. Como afirma Jaskowski, “Si dos personas se contradicen en un debate, esto no significa
que los demás crean cualquier cosa, ni que crean su conjunción”, es decir, no se admite el Principio
de Explosión. Lo importante es poder conocer las contradicciones que tienen lugar durante el
debate y las conclusiones que se pueden derivar desde ellas, para obviarlas y poder realizar un
análisis adecuado.
6.2. Inconsistencia y trivialidad
El rechazo del principio de explosión nos indica que la lógica paraconsistente no es una extensión
de la lógica clásica, sino una lógica rival de la lógica clásica que intenta poder tratar con
contradicciones, sin que para ello haya que destruir toda la estructura del aparato deductivo y,
por lo tanto, es de interés en el estudio y desarrollo de los sistemas computacionales tolerantes
con la inconsistencia. Más adelante detallaremos algunas de sus aplicaciones computacionales más
destacadas.
Consideremos la lógica clásica proposicional. Para poder trabajar con contradicciones rechazando
el principio de explosión, es necesario rechazar también por lo menos alguna de los siguientes
principios de la lógica clásica proposicional: Dadas A, B ∈ Lprop y Ω ⊆ Lprop,
1. A |= A ∨ B Introducción de la disyunción
2. A ∨ B, ¬A |= B Silogismo disyuntivo
3. Si Ω |= A y A |= B, entonces Ω |= B Transitividad o Corte
1 Pensemos, por ejemplo en la Web Semántica. Es claro que se trata de una base de conocimiento inconsistente
sujeta a una semántica definida mediante ontologías. Por lo tanto, se requiere razonar con inconsistencias.

6.2. INCONSISTENCIA Y TRIVIALIDAD 75
4. ¬¬A |= A Eliminación de la doble negación
La razón para la necesidad de esta eliminación es que, a partir de estos principios, se puede demostrar
el principio de explosión. En efecto, usemos deducción natural para obtener A, ¬A ⊢DN B
haciendo uso de estos principios:
(1) A Hipótesis.
(2) ¬A Hipótesis.
(3) A ∨ B (1) e Introducción de la disyunción
(4) B (2), (3) y Silogismo Disyuntivo
Por esta razón, existen distintas lógicas paraconsistentes, según qué principio eliminemos (para
asegurar que el principio de explosión no está presente):
La introducción de la disyunción, (∨, i), no parece ser el mejor candidato. Es difícil pensar en
la semántica de ∨ sin que dispongamos de este principio. 2
El principio que más frecuentemente es rechazado es el silogismo disyuntivo (A∨B, ¬A |= B).
¿Pero a qué precio? Si eliminamos este principio no podemos mantener la semántica habitual
de →. En efecto, si consideramos que A → B ≡ ¬A ∨ B ¡tendríamos que eliminar Modus
Ponens!, ya que
A → B, A ⊢ B equivale a ¬A ∨ B, ¬¬A ⊢ B
es decir, o disponemos de una implicación que no esté definida por A → B ≡ ¬A∨B o Modus
Ponens tiene que ser eliminada, lo cual tampoco parece aceptable. Que existan excepciones a
Modus Ponens no significa que sea rechazado, pero tal opción requiere establecer una fuerte
distinción entre violaciones graves de Modus Ponens y una regla Modus Ponens que permita
únicamente algunas excepciones. Además, será necesario poder explicar por qué y dónde
puede fallar Modus Ponens.
¿Qué decir del Principio de la eliminación de la doble negación? Informalmente, podemos
contemplar la paraconsistencia como la aceptación de que un enunciado puede ser tal que él
y su negación son verdaderos, pero esto nos lleva a plantarnos que requerimos una “negación
no clásica”, ya que ésta nos lleva al principio de explosión. Profundicemos en el concepto de
negación. Podemos considerar como definición de la negación clásica la siguiente:
Ω, ¬A |= B para toda fbf B si y solo si Ω |= A
Esta definición es pura, en el sentido de que no involucra a ninguna otra conectiva. Así que
tendremos que discutir qué negación consideramos y, puesto que las dos condiciones mínimas
para la negación en términos semánticos son:
N-(i) : Si A es falsa, entonces su negación es verdadera.
N-(ii) : Si A es verdadera, entonces su negación es falsa.
tendremos que realizar un análisis que nos lleve a decidir qué definición de negación adoptar.
2 Aunque así lo hace la lógica ANA (a la que nos referiremos posteriormente), consecuentemente, ANA trabaja
con una semántica diferente de ∨.

76 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
En definitiva, como es habitual, será la aplicación en la que deseemos hacer uso de una lógica
paraconsistente la que nos indiqué cuales han de ser los principios que debamos eliminar. Así, por
ejemplo, en el estudio de Sistemas Software complejos se suele eliminar la regla de la introducción
de la disyunción (A |= A∨B). Tendremos ocasión de conocer ejemplos de algunas de las aplicaciones
y debatir sobre qué principios eliminar. Pero no cabe duda de que, sea cual sea la elección de los
principios a eliminar, deberíamos justificar su elección en razón de:
su efectividad para bloquear explosiones,
su potencia para bloquear otros principios que sean contra-intuitivos (como lo es, claramente,
el pricipio de explosión),
que el número de principios de la lógica proposicional eliminados sea minimal en algún sentido.
Ya hemos establecido el objetivo de la lógica paraconsistente: Deseamos poder trabajar con
teorías inconsistentes, de modo que podamos establecer derivaciones no triviales. 3 ¿Pero cómo lo
haremos? Antes de dar la respuesta a esta pregunta, profundicemos en el concepto de “consistencia”.
Este concepto es clave en la lógica clásica, incluso el concepto de consecuencia lógica puede ser
expresado en términos del concepto de consistencia:
“C se deriva de Ω si y solo si Ω ∪ {¬C} es inconsistente”
¡Tal parece que vamos a adentrarnos en arenas movedizas! Conviene pues aferrarnos a una definición
de consecuencia lógica, que no haga uso del concepto de consistencia:
“C se deriva de Ω si todo modelo de Ω es un modelo de C”
Ahora nuestra tarea será establecer una clara diferencia entre inconsistencia y trivialidad.
Comencemos estableciendo ambos conceptos:
Definición 6.1 Sea Ω ⊆ Lprop y sea Saxiom un sistema axiomático para Lprop. Denotemos por
Con |= (Ω) el conjunto de fbfs que son consecuencia lógica (semántica) de Ω, es decir,
Con |= (Ω) = {A ∈ Lprop | Ω |= A} 4
Denotemos por Con SAxiom (Ω) el conjunto de fbfs que son consecuencia lógica (sintáctica) de Ω en
⊢
S:
{A ∈ Lprop | Ω ⊢SAxiom A} 5
Se dice que:
Ω es inconsistente si existe A ∈ Lprop tal que A, ¬A ∈ Ω.
Ω es explícitamente inconsistente si existe A ∈ Lprop tal que A ∧ ¬A ∈ Ω.
3 Consideremos, por ejemplo, Ω = {A, ¬A, A → B, C} ⊆ Lprop, si Con(Ω) denota el conjunto de consecuencias
lógicas de Ω, se tiene que, por ejemplo, B, B ∧ C ∈ Con(Ω), pero también se tiene que cualquier D ∈ Lprop es tal que
D ∈ Con(Ω)
4 Reiteremos: Ω |= A si todo modelo de Ω es un modelo de A.
5 Recordemos: Ω ⊢ A si existe una secuencia de fbfs en Lprop, A1, . . . , An tal que An = A y toda Ai con 1 ≤ i ≤ n−1
es un axioma de S, o bien pertenece a Ω, o bien se obtiene de dos fbfs anteriores en la secuencia, mediante las reglas
de inferencia de S.

6.3. ALGUNAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 77
Ω es trivial si para toda fbf, A ∈ Lprop, se tiene que A ∈ Ω, es decir, Ω = Lprop.
Ω es semánticamente deductivamente trivial si Con |= (Ω) es trivial, es decir, para toda
fbf, A, se tiene que Ω |= A.
Ω es sintácticamente deductivamente trivial si Con ⊢ (Ω) es trivial, es decir, para toda
fbf, A, se tiene que Ω ⊢ SAxiom A.
❡❡ Advirtamos que un conjunto de fbfs, Ω, puede ser inconsistente y no ser explícitamente inconsistente
y, recíprocamente, ser explícitamente inconsistente y no ser inconsistente.
Ahora, parece que hemos delimitado todos los aspectos a considerar antes de definir qué entendemos
por un sistema lógico paraconsistente:
Definición 6.2 Sea SAxiom un sistema axiomático sobre Lprop. Decimos que (Lprop, |=, ⊢ SAxiom ) es
paraconsitente si existe Ω ⊆ Lprop tal que es inconsistente o bien explícitamente inconsistente,
sin ser ni semánticamente deductivamente trivial, ni sintácticamente deductivamente trivial.
❡❡ Se tiene pues que la propiedad fundamental que ha de satisfacer la terna (Lprop, |=, ⊢ ) es
SAxiom
que exista Ω ⊆ Lprop tal que:
Existe A ∈ Lprop tal que A, ¬A ∈ Ω o bien A ∧ ¬A ∈ Ω.
Existe B ∈ Lprop tal que Ω |= B o bien Ω ⊢ B
SAxiom
❡❡ Una definición alternativa es la siguiente: Una lógica (Lprop, ⊢ ) se dice paraconsistente
SAxiom
si el conjunto de SAxiom-teoremas es inconsistente, pero no trivial.
En la lógica clásica proposicional, un sistema es inconsistente si y solo si es trivial. En general,
las lógicas explosivas no pueden distinguir entre inconsistencia y trivialidad.. Por lo tanto, las
lógicas paraconsistentes son no-explosivas.
6.3. Algunas lógicas paraconsistentes
6.3.1. La Lógica de la Paradoja LP
Esta lógica fue introducida por Graham Priest, uno de los más activos defensores de la lógica
paraconsistente. El lenguaje es el de la lógica clásica proposicional.
La semántica es S = ({0, 1, {0, 1}}, {1, {0, 1}}, I), con I ⊂ {I : LP −→ {0, 1, {0, 1}}}.
Si I ∈ I y A ∈ LP se dice que:
A es simplemente verdadera en I si I(A) = 1.
A es simplemente falsa en I si I(A) = 0.
A es contradictoria en I si I(A) = {0, 1}.
Así pues, las contradicciones en LP son los enunciados que son (simultáneamente) falsos y verdaderos.
La semántica de las conectivas viene definida por las siguientes tablas:

78 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
¬
0 1
1 0
{0, 1} {0, 1}
❡❡
Advirtamos que en LP :
Definición 6.3
∧ 0 1 {0, 1}
0 0 0 0
1 0 1 {0, 1}
{0, 1} 0 {0, 1} {0, 1}
→ 0 1 {0, 1}
0 1 1 1
1 1 1 {0,1}
{0, 1} {0, 1} 1 {0, 1}
∨ 0 1 {0, 1}
0 0 1 {0, 1}
1 1 1 1
{0, 1} {0, 1} 1 {0, 1}
↔ 0 1 {0, 1}
0 1 0 {0, 1}
1 0 1 {0,1}
{0, 1} {0, 1} {0, 1} {0, 1}
la negación es una extensión de la negación clásica: “¬A es simplemente verdadera si y
solo si A es simplemente falsa”,
la negación de una contradicción es una contradicción,
1 ∈ I(A ∧ B) si y solo si 1 ∈ I(A) y 1 ∈ I(B),
0 ∈ I(A ∨ B) si y solo si 0 ∈ I(A) ó 0 ∈ I(B),
1. A ∈ LP se dice válida si, para toda interpretación I ∈ I se tiene que 1 ∈ I(A).
2. Sea Ω ⊂ LP (conjunto de fbfs) y C ∈ LP (una fbf). Se dice que C se deduce de Ω,
denotado Ω |=LP C si, para toda interpretación I ∈ I se tiene que si 1 ∈ I(Ai), para toda
Ai ∈ Ω, entonces 1 ∈ I(C), es decir:
Ω |=LP C si y solo si, para toda I ∈ I se tiene que o 1 ∈ I(C) o existe Ai ∈ Ω tal
que 1 ∈ I(Ai)
En consecuencia,
En LP se satisface la ley del tercero excluido, es decir, |=LP A ∨ ¬A,
LP es una extensión de Lprop, ya que las fbfs válidas en Lprop, son válidas en LP ,
NO se satisface que A |=LP B si y solo si {A, ¬B} es insatisfacible,
Para toda fbf, A, se tiene que Ω = {A, ¬A} es satisfacible y |=LP A → A.
puesto que podemos considerar una interpretación, I, tal que I(p) = {0, 1} para toda p ∈
Vprop, tenemos que en LP existen conjuntos de fbfs que no son insatisfacibles
Ejemplo 6.2 Construyendo la tabla de verdad, podemos comprobar que en LP se tiene que
¬A ∨ B ≡ A → B

6.3. ALGUNAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 79
6.3.1.1. Conectivas definidas en LP
En LP definimos las conectivas descritas en la siguiente tabla, que no son más que afirmaciones
de valores de verdad:
- TA expresa que A es verdadera.
- FA expresa que A es falsa.
A TA FA ∆A ∇A ◦A •A
1 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0
{0, 1} 1 1 0 0 0 1
- ∆A expresa que A es simplemente verdadera.
- ∇A expresa que A es simplemente falsa.
- ◦ A expresa que A no es contradictoria.
- •A expresa que A es contradictoria.
El siguiente resultado es de comprobación inmediata.
Lema 6.1 Para toda fbf, A, se tiene que:
1. ∇A ≡ ∆¬A.
2. ◦ A ≡ ∆A ∨ ∇A.
3. • A ≡ ¬ ◦ A.
❡❡ Advirtamos que:
∆A y ∇A no son contradictorias, pero son incompatibles.
T A y ∇A son contradictorias
F A y ∆A son contradictorias
El siguiente resultado (cuya demostración, inmediata a partir de las definiciones, se deja al
lector) nos detalla qué:
Proposición 6.1 Dadas A, B ∈ LP , se tiene que:
1. |=LP (A ∧ (A → B)) → B
2. |=LP (A ∧ (A → B)) → (A → B)
3. |=LP (A ∧ ¬A) → B
El item 3 parece preocupante, ya que parece que nos impide el objetivo de anti-trivialidad. Sin
embargo, debemos volver a la definición 6.3: ¡no debemos confundir las nociones de validez de las
fbfs y validez de la relación de consecuencia!. El siguiente resultado nos detalla qué principios de la
relación de consecuencia de la lógica clásica se mantienen en LP y cuáles no, asegurando que LP
es una lógica paraconsistente:

80 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
Proposición 6.2 Dadas A, B ∈ LP , se tiene que:
1. A |=LP A ∨ B Se satisface la Introducción de la Disyunción
2. A, B |=LP A ∧ B Se satisface la Introducción de la Conjunción
3. A ∧ B |=LP A Se satisface la Ley de Eliminación de la conjunción
4. A → B |=LP ¬B → ¬A Se satisface la Ley de Contraposición
5. ¬¬A |=LP A Se satisface la Ley de Eliminación de la doble negación
6. (A → (C → B)) |=LP (C → (A → B)) Se satisface la Ley de Permutación
7. A, ¬A |=LP B No se satisface el Principio de Explosión
8. ¬A, A ∨ B |=LP B No se satisface el Silogismo Disyuntivo
9. A → B, B → C |=LP A → C No se satisface el Silogismo Hipotético
10. A, A → B |= B No se satisface Modus Ponens
11. A → B, ¬B |=LP ¬A No se satisface Modus Tollens
12. A → B, ¬B |= ¬A No se satisface la Introducción de la negación
Un simple uso de las tablas de verdad, nos permiten asegurar el siguiente resultado, de gran
importancia para abordar la tarea de búsqueda de razonadores automáticos para LP :
Teorema 6.1 Dadas las fbfs A1, . . . , An, C ∈ LP se tiene que
Si A1, . . . , An |=LP C entonces A1, . . . , An−1 |=LP An → C
6.3.1.2. Método de las Tablas Semánticas en LP
Como sistema de refutación, en la adaptación de este método a LP , para verificar la validez de
una inferencia H1, . . . , Hn |=LP C (o una fbf, |=LP ), se organizan las fbfs de Ω = {H1, . . . , Hn, ∇C}
(respectivamente, ∇A) en un árbol de una sola rama como sigue:
T H1
T H2
.
T Hn
∇C
Llamaremos a este árbol el árbol inicial asociado a Ω. Como en el caso clásico, este árbol se
irá ampliando sucesivamente mediante reglas de extensión, basadas únicamente en la estructura
sintáctica de las fórmulas. Cada árbol obtenido se denomina árbol asociado a Ω.
Para la descripción del método se agrupan las fórmulas por tipos, que en el caso de LP son los
siguientes:

6.3. ALGUNAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 81
Definición 6.4 Las fbfs se clasifican en: literales, de tipo α (o de comportamiento conjuntivo)
y de tipo β (o de comportamiento disyuntivo). Cada fórmula de tipo α o de tipo β tiene asociada
dos componentes, denotadas α1, α2 y β1, β2 respectivamente. Las siguientes tablas muestran las
fórmulas de tipo α y de tipo β junto con sus componentes.
α α1 α2
T (A ∧ B) T A T B
∆(A ∧ B) ∆A ∆B
F (A ∨ B) F A F B
∇(A ∨ B) ∇A ∇B
F (A → B) T A F B
∇(A → B) ∆A ∇B
6.3.1.3. Reglas de Extensión
T ¬A F A F A
F ¬A T A T A
∇¬A ∆A ∆A
∆¬A ∇A ∇A
β β1 β2
T (A ∨ B) T A T B
∆(A ∨ B) ∆A ∆B
F (A ∧ B) F A F B
∇(A ∧ B) ∇A ∇B
T (A → B) F A T B
∆(A → B) ∇A ∆B
T (A ↔ B) T A F A
T B F B
F (A ↔ B) T A F A
F B T B
∆(A ↔ B) ∆A ∇A
∆B ∇B
∇(A ↔ B) ∇A ∇B
∆B ∆A
El árbol inicial asociado a un conjunto de fbfs Ω, denotado TΩ, es extendido sucesivamente,
para obtener árboles asociados a Ω, mediante las siguientes reglas:
(α) Si ρA denota la rama determinada por el nodo hoja A y una α-fórmula ocurre en ρA, extendemos
dicha rama añadiendo:
Dos nodos etiquetados con sus componentes α1, α2 si α1 = α2.
Un nodo etiquetado con la componente común si α1 = α2.
.
α
.
A
−→
(β) Si ρA denota la rama determinada por el nodo hoja A y una β-fórmula ocurre en ρA, extendemos
dicha rama añadiendo:
Dos nodos si β1 = β2: uno como descendiente izquierdo y otro como descendiente derecho
etiquetados con sus componentes β1 y β2 respectivamente.
.
α
.
A
α1
α2
Un nodo etiquetado con la componente común, si β1 = β2.

82 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
.
β
.
A
−→
.
β
.
A
β2
❅ β1
Definición 6.5 Sea Ω = {T H1, . . . , Tn, ∇C} un conjunto de fbfs. Un árbol T se dice que es un
árbol para Ω, si existe una secuencia de árboles T1, . . . , Tk tal que:
T1 es el árbol inicial asociado a Ω, es decir, el árbol de una sola rama:
T H1
T H2
.
T Hn
∇C
Cada árbol Ti (2 ≤ i ≤ k) es un árbol asociado a Ω que es extensión inmediata de Ti−1,
es decir, Ti se obtiene de Ti−1 por aplicación de una regla de extensión a uno de sus nodos.
Tk = T .
Definición 6.6 Sea T un árbol para Ω. Una rama de T se dice cerrada, si en ella ocurren una
fórmula A y una fórmula A ′ tales que ambas son incompatibles, es decir, en ella ocurre un par de
fórmulas del tipo:
(∇B, ∆B); (T B, ∇B); (F B, ∆B); (A, ∇A)
En caso contrario, se dice que la rama es abierta. El árbol T se dice cerrado si todas sus ramas
son cerradas.
Una rama ρ de un árbol T para Ω se dice completa si satisface las siguientes condiciones:
1. Si la fórmula α ocurre en ρ, también sus componentes α1 y α2 ocurren en ρ.
2. Si la fórmula β ocurre en ρ, o la componente β1 o la componente β2 ocurre en ρ.
Definición 6.7 Un árbol T para Ω se dice terminado si toda rama es cerrada o completa.
Teorema 6.2 Para todo conjunto finito Ω de fbfs, mediante un número finito de extensiones inmediatas
se obtiene un árbol terminado para Ω.
Demostración: Basta advertir que para toda α-fórmula y para toda β-fórmula, el grado de
sus componentes (α1 y α2, y β1 y β2 respectivamente), en los casos en que son diferentes, es
estrictamente menor que el grado de α o β respectivamente.
Definición 6.8 Llamamos refutación para un conjunto Ω de fbfs a todo árbol cerrado para Ω.
Una fbf C se dice que se deriva del conjunto de fbfs {H1, . . . , Hn}, si existe una refutación para
{H1, . . . , Hn, ∇C}. En particular, una fbf A se dice demostrable si existe una refutación para
{∇A}.

6.3. ALGUNAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 83
Teorema 6.3 (Corrección y completitud) El método de las tablas semánticas es:
1. Correcto: Si {H1, . . . , Hn, ∇C} puede ser refutado entonces H1, . . . , Hn |=LP C.
2. Completo: Si H1, . . . , Hn |=LP C, entonces existe una refutación para {H1, . . . , Hn, ∇C}.
6.3.1.4. Descripción del método
En la construcción de un árbol para refutar un conjunto de fórmulas, se tienen en cuenta las
siguientes consideraciones:
Para evitar ramificaciones innecesarias, se da prioridad a la regla (α).
La regla (α) y la regla (β) se aplican sobre cada nodo una sola vez. Para indicar que la αfórmula
o β-fórmula correspondiente no será usada más, tras su aplicación, se marca el nodo
con .
No se realiza ninguna extensión sobre las ramas cerradas. Para indicar que una rama es
cerrada se marca con ×.
En los siguientes ejemplos hacemos uso del método.
Ejemplo 6.3 Demostramos que Modus Ponens, p, p → q |=LP q, no es válida en LP :
T p
T (p → q) 1
∇ q ❍❍
✟
✟
F p
◦
T q
⊗
La rama izquierda es abierta, ya que T p y F p son compatibles. La rama derecha es cerrada,
ya que ∇ q y T q son incompatibles.
Ejemplo 6.4 Demostramos que la Ley de Absorción |=LP (p → (p → q)) → (p → q), es válida en
LP :
∇[(p → (p → q)) → (p → q)] 1
∆(p → (p → q)) 2
6.3.2. Las C-lógicas de da Costa
∇(p → q)3
✟✟
❍❍ ∇p ∆(p → q) 4
∆p ∆p
∇q ∇q
⊗
✟✟
❍❍ ∇p ∆q
⊗ ⊗
El profesor da Costa introdujo una jerarquía de lógicas denominadas C-sistemas, que son tolerantes
a la inconsistencia y que pueden admitir explosión respecto a algunos enunciados. Estos
C-sistemas son extensiones de la parte positiva (sin negación) de lógicas consistentes, como la lógica

84 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
clásica y el comportamiento de la negación caracteriza a cada uno de los sistemas de la jerarquía.
La jerarquía se denota C1, C2, . . . , Cn, . . .. Podemos decir que, las lógicas desarrolladas por Newton
da Costa, persiguen tres objetivos:
El principio de no contradicción, ¬(A ∧ ¬A), no debe ser válido.
De dos fórmulas A y ¬A, en general, no debe existir la posibilidad de deducir una fbf arbitraria.
Mantener los esquemas de axiomas y reglas de inferencia de la lógica clásica que no den lugar
a conficto con las dos exigencias anteriores.
Comencemos prestando atención a la lógica C1, limitándonos al caso proposicional.
6.3.2.1. La lógica C1
Comenzamos describiendo el cálculo C1. El lenguaje de C1 es el mismo que el de la lógica clásica
proposicional y se introduce en el modo habitual la conectiva definida ↔:
A ↔ B =def (A → B) ∧ (B → A)
La idea de da Costa al definir su lógica C1, fue disponer de una lógica paraconsistente, pero
lo más cercana posible a la lógica clásica proposicional. En ella, la negación, ¬, es una negación
paraconsistente, es decir, existe al menos una teoría, T , tal que:
existen fbfs, A tales que T |=P A y T |=P ¬A (T es inconsistente),
existen fbfs, B, tales que o T |=P B o bien T |=P ¬B (T no es trivial).
donde el subíndice P denota que se trata de una derivación “paraconsistente”.
6.3.2.2. Un sistema axiomático para C1
Definimos un sistema axiomático para C1 en el que, en principio, disponemos de:
Axiomas:
1. Axiom→1 : A → (B → A)
2. Axiom→2 : (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C))
3. Axiom∧1 : (A ∧ B) → A
4. Axiom∧2 : (A ∧ B) → B
5. Axiom∧3 : A → (B → (A ∧ B))
6. Axiom∨1 : A → (A ∨ B)
7. Axiom∨2
B → (A ∨ B)
8. Axiom∨3 (A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C))

6.3. ALGUNAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 85
Regla de Inferencia:
A, A → B
Modus Ponens:
B
¿Y como tratar la negación? Podríamos optar por añadir como axioma el esquema
(A → B) → ((A → ¬B) → ¬A) († 1)
Sin embargo esta opción no es aceptable, ya que de († 1) se deriva ¬(A ∧ ¬A) y se tiene que
A, ¬A, B ⊢ A y A, ¬A, B ⊢ ¬A y, por lo tanto, A, ¬A ⊢ ¬B. Por todo ello, optamos por el siguiente
esquema de axioma:
¬(B ∧ ¬B) → ((A → B) → ((A → ¬B) → ¬A)) (♯)
❡❡ ¬(A ∧ ¬A) significa que A satisface el principio de no-contradicción, es decir, A is “aceptable”.
Por otra parte, si A ∧ ¬A es verdadera, entonces A es “inaceptable”. Podemos pues introducir
la definición siguiente:
Definición 6.9 Para toda fbf A definimos A o =def ¬(A ∧ ¬A).
A o expresa que A es consistente, es decir, no se tiene A y ¬A. Así, la inconsistencia se considera
una noción primitiva, expresada por A o .
Ahora podemos formular el esquema (♯) como sigue:
9. Axiom¬1 : Bo → ((A → B) → ((A → ¬B) → ¬A))
Necesitamos también introducir un esquema de axioma que asegure que las fbfs construidas a partir
de fbfs aceptables son así mismo aceptables:
10. Axiom¬2 : (Ao ∧ B o ) → ((A ∧ B) o ∧ (A ∨ B) o ∧ (A → B) o
con lo cual podremos deducir que (A o ∧ B o ) → (A ↔ B) o
❡❡ o o Advirtamos que no es preciso suponer que A → (¬A) ya que se trata de una forma derivable
en nuestro sistema.
También parece conveniente incluir el siguiente esquema de axioma:
11. Axiom¬3 : A ∨ ¬A
Finalmente, ¿Qué podemos decir del esquema ¬¬A → A († 2)? Podemos razonar que, si A es
aceptable, se comporta de forma clasica y † 2 es válida. Por otra parte, si A es inaceptable, tanto
A como ¬A son verdaderas y por el comportamiento de →, y tenemos que ¬¬A → A († 2) es
verdadera. Así pues, consideramos el esquema
12. Axiom¬4 : ¬¬A → A († 2)
Tenemos pues definido un sistema axiomático para C1 que consta de 12 axiomas y la regla de
inferencia Modus Ponens. El concepto de deducción de una fbf desde un conjunto de fbfs es el
habitual.
Estudiamos las propiedades básicas de C1. En primer lugar, directamente de las definiciones, se
tiene el siguiente resultado:

86 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
Proposición 6.3
1. {A} ⊢C1 A Reflexividad
2. Si Ω ⊢C1 C, entonces si Ω′ ⊇ Ω, se tiene que Ω ′ |=C1
C Monotonía
3. Si para toda A ∈ Γ se tiene que Ω ⊢C1 A y Γ ⊢C1 B, entonces Ω ⊢C1 B Corte
Teorema 6.4 En C1 se satisface que, para todo conjunto de fbfs, Ω y cualesquiera fbfs, A, B, C:
1. Si Ω, A ⊢ B entonces Ω ⊢ A → B teorema de la Deducción
2. A, A → B ⊢ B Modus Ponens
3. A, B ⊢ A ∧ B; A, B ⊢ A y A, B ⊢ A
4. A ⊢ A ∨ B; B ⊢ A ∨ B
5. Si Ω, A ⊢ C y Ω, B ⊢ C, entonces Ω, A ∨ B ⊢ C demostración por casos
6. ¬¬A ⊢ A
Demostración: la demostración es la misma que para la lógica clásica.
Teorema 6.5 En C1 no son esquemas de teoremas los siguientes:
1. ¬A → (A → B)
2. ¬A → (A → ¬B)
3. A → (¬A → B)
4. A → (¬A → ¬B)
5. (A ∧ ¬A) → B
6. (A ∧ ¬A) → ¬B
7. (A → B) → ((A → B) → ¬A)
8. A → ¬¬A
9. (A ↔ ¬A) → B
10. (A ↔ ¬A) → ¬B
11. ¬(A ∧ ¬A)
12. (A ∧ ¬A) → ¬(A ∧ ¬A)
Demostración: El resultado puede ser probado usando las tablas siguientes con 1 y 2 como
valores destacados

6.3. ALGUNAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 87
A ¬A
1 3
2 1
3 1
A B A → B A ∧ B A ∨ B
1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 3 1
1 2 1 1 1
2 2 1 1 1
3 2 1 3 1
1 3 3 3 1
2 3 3 3 1
3 3 1 3 3
Por lo tanto, en C1 no son válidos los siguientes principios, que pueden conducir a trivialización
¬A → (A → B); ¬A → (A → ¬B); (A ∧ ¬A) → B; (A ∧ ¬A) → ¬B
El siguiente resultado nos sitúa a C1 como lógica rival de la lógica clásica proposicional.
Teorema 6.6 Si añadimos a los axiomas de C1 el principio de contradicción, ⊢ ¬(A ∧ ¬A), obtenemos
la lógica clásica proposicional.
Ahora definimos la negación fuerte en C1, que nos establecerá la cercanía de C1 a la lógica clasica
proposicional.
Definición 6.10 Llamamos negación fuerte a la conectiva definida
¬ ∗ A =def ¬A ∧ A o
Los resultados siguientes reflejan el buen comportamiento anunciado de la nueva conectiva.
Teorema 6.7 En C1 son teoremas los siguientes esquemas
1. (A → B) → ((A → ¬ ∗ B) → ¬ ∗ A)
2. A → (¬ ∗ A → B)
3. A ∨ ¬ ∗ A
En definitiva,
Teorema 6.8 En C1, Las conectivas {¬ ∗ , ∧, ∨, →} satisfacen todos los esquemas y reglas de inferencia
de la lógica clásica proposicional.
Teorema 6.9 Si se añade a C1 como axioma cualquier fbf de la forma A ∧ ¬ ∗ A se trivializa C1,
es decir, todas las fbfs son teoremas.

88 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
6.3.2.3. La jerarquia Cn, 0 ≤ n ≤ ω
C1 no es la única lógica en la que no son válidos el principio de no contradicción y el principio de
explosión. da Costa propone una jerarquía de lógicas que gozan de estas propiedades (exceptuando
la primera de ellas, denotada C0 y que representa la lógica clásica proposicional). La jerarquía es
la siguiente
C0, C1, C2, . . . , Cn, . . . , Cω
Como hemos indicado, C0 representa la lógica clásica proposicional. Definimos las restantes. Para
ello, comenzamos con la definición siguiente:
Definición 6.11 Para toda fbf, A, se definen:
A (1) =def A o
A (n) =def A n−1 ∧ (A (n−1) ) o , 2 ≤ n < ω
La lógica Cω se describe mediante el siguiente sistema axiomático:

6.4. APLICACIONES DE LA LÓGICA PARACONSISTENTE 89
Axiomas:
1. Axiom→1 : A → (B → A)
2. Axiom→2 : (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C))
3. Axiom∧1 : (A ∧ B) → A
4. Axiom∧2 : (A ∧ B) → B
5. Axiom∧3 : A → (B → (A ∧ B))
6. Axiom∨1 : A → (A ∨ B)
7. Axiom∨2
8. Axiom∨3
9. A ∨ ¬A
10. ¬¬A → A
B → (A ∨ B)
Regla de Inferencia:
Modus Ponens:
(A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C))
A A → B
B
Las lógicas Cn, 1 ≤ n < ω, se obtienen añadiendo en el sistema axiomático descrito para Cω los
siguientes axiomas:
C 1 n) : B (n) → ((A → B) → ((A → ¬B) → ¬A)
C 2 n) : (A (n) ∧ B (n) ) → ((A → B) (n) ∧ (A ∧ B) (n) ∧ (A ∨ B) (n) )
Terminamos esta breve visión de las jerarquía de lógicas paraconsistente de da Costa con el siguiente
resultado.
Teorema 6.10 Cada una de las lógicas de la jerarquía de Da Costa es más fuerte que las que le
preceden.
6.4. Aplicaciones de la lógica paraconsistente
Las lógicas paraconsistentes tienen numerosos campos de aplicación, tanto en la tecnología como
en la informática. En esta sección destacamos alguno de ellos.
1. Bases de Datos. En la actualidad, existen gran variedad de Bases de Conocimiento de gran
tamaño, que son utilizadas por numerosos usuarios y generadas a partir de diversas fuentes
(quizás el ejemplo más significativo es el la Web). Con estas circunstancias es difícil asegurar
que no existen informaciones contradictorias. El coste de comprobar que la información que
se introduce no es contradictoria con la información ya existente es muy alto. Por eso es
conveniente tener mecanismos que nos permitan razonar sobre bases de conocimiento con
inconsistencias.

90 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
2. Sistemas Expertos: El desarrollo de un Sistema Experto requiere, habitualmente, conjuntar
el conocimiento de diversos expertos y, si el número de ellos es alto, no es extraño que existan
algunos expertos con opiniones contradictorias.
3. Percepción en Robótica: Habitualmente, un robot es equipado con múltiples sensores para
obtener información sobre un mismo aspecto, tales como sensores visuales, auditivos, táctiles
etc. Es posible que estos sensores proporciones información contradictoria. Por ejemplo, si
un robot avanza y se encuentra con un cristal, un sensor visual puede indicar que no hay
obstáculo (por lo tanto, que el robot puede avanzar), mientras que un sensor de tipo auditivo
(radar/sonar) detecta el obstáculo (por lo que indica que el robot no puede avanzar). Ante
esta situación, es preciso dotar al robot de la capacidad de tomar una decisión adecuada y,
para ello, la lógica paraconsistente es una útil herramienta.
4. Planificación: En un sistema multiagente, un agente puede encontrar información contradictoria
debido a la interacción con otros agentes. Así, por ejemplo, después de haber planificado
una serie de acciones, el agente se dispone a coger un bloque que espera que esté en una
determinada posición, pero puede que otro agente lo haya movido a otra y, en consecuencia,
se encontrará con información contradictoria con sus hipótesis de partida.
5. Control de tráfico: Se han desarrollado sistemas software de control y seguridad de tráfico
aéreo, de ferrocarril y de automóviles. Este se ha llevado a cabo utilizando un programa
llamado EVALPSN (y versiones posteriores).
6. Epistemología: En el estudio del conocimiento, al analizar las circunstancias que llevan a
su obtención y los criterios de validación, es necesario tener en cuenta la posibilidad de que
exista información inconsistente.
7. Ingeniería del software: Para tratar las inconsistencias entre la documentación, casos de
uso y el código en sistemas software complejos.