Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

42 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Notación:
1. Sea x una variable y sea t1, t2 términos. Denotaremos mediante [x/t2]t1 el término resultante
de sustituir en t1 las apariciones de la variable x por el término t2.
2. Sea x ∈ Vlibres(A). La fbf que se obtiene a partir de la fbf A por sustitución de todas las
ocurrencias libres de x por t, la denotaremos por [x/t]A. Si representamos la fbf A por A(x)
para destacar que x tiene ocurrencias libres en A, denotaremos [x/t]A por A(t).
Definición 4.9 Dada la fbf A(x) y el término básico t, la fbf [x/t]A(x) se denomina una instancia
básica de A(x). El mecanismo de sustituir una variable ligada por un término básico se denomina
“instanciación”.
En la práctica, desearemos obtener una fbf, B, a partir de otra fbf, A, mediante la sustitución
en A de variables por términos y de modo que no se altere el significado. Aún antes de estudiar
formalmente la semántica de un lenguaje de primer orden, no dudamos en afirmar que si sustituimos
en la fbf
A = (∀x)(P (x) → Q(y))
la variable y por la variable x, la fbf obtenida
B = (∀x)(P (x) → Q(x))
tiene un significado diferente al de A. más en general, si sustituimos la variable y, por ejemplo, por
el término f(x, z), obtenemos la fbf
B = (∀x)(P (x) → Q(f(x, z)))
en la que existe una interacción entre el cuantificador (∀x) y su rango, que no existía en A. Por lo
tanto, el mecanismo general para sustituir una variable por un término, requiere ciertas precauciones
para asegurar que sustituimos ocurrencias libres en A por “términos libres” en A. En definitiva,
para evitar este hecho conocido en la bibliografía como conflicto de variables 2 , requerimos la
siguiente definición:
Definición 4.10 Sea A una fbf, x ∈ Vlibre(A) y t un término en el que intervienen las variables
V(t) = {x1, . . . , xn}. Se dice que el término t es libre para x en A(x) (o bien que x es sustituible
por t en A(x)) si, para toda variable xi ∈ V(t), se tiene que ninguna ocurrencia libre de
x en A está en el rango de una ocurrencia en A de (♯xi). Es decir, las ocurrencias de xi surgidas
como consecuencia de la sustitución de x por t, son ocurrencias libres en A(t).
Ejemplo 4.5
1. y es libre para x en P (x, a).
2. y no es libre para x en (∀y)P (x, y).
3. En la fbf (∀y)P (x, y) → (∃x)Q(x, z, a), el término f(a, y) no es libre para x, pero sí es libre
para z.
La siguiente definición, establece cómo obtener [x/t]A diferenciando los casos en que el término t
es o no libre para la variable x en A(x).
Definición 4.11 Si t es libre para x en A(x), la sustitución en A de x por t consiste en sustituir
en A las ocurrencias libres de x por t.
Si t no es libre para x en A(x) y V(t) = {x1, . . . , xn}, la sustitución en A de x por t consiste en
2 Variable clash en la bibliografía inglesa.