Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

3.2. δ-RESOLUCIÓN 33
todo n ∈ N, definimos R δ n(Ω) como sigue:
R δ 0(Ω) = Ω
Por definición, es claro que R δ n(Ω) ⊆ R δ n+1 (Ω).
R δ n+1(Ω) = R δ (R δ n(Ω))
El algoritmo de δ-resolución construye sucesivamente Rδ 1 (Ω), Rδ 2 (Ω) . . .. Si existe un k ∈ N tal
que ♦ ∈ Rδ k (Ω) entonces, la disyunción de los cubos en Ω es válida. En caso contrario, no lo es.
Como en el caso del método de resolución, el algoritmo propuesto finaliza al cabo de un número
finito de etapas, es decir:
Teorema 3.8 Dado un conjunto de cubos, Ω, existe m ∈ N tal que
R δ n(Ω) = R δ m(Ω) para todo n ≥ m
Puesto que el objetivo es comprobar la validez de la disyunción de un conjunto Ω de cubos, cuando
obtengamos ♦, paramos la construcción de la secuencia
R δ 1(Ω), R δ 2(Ω), . . . , R δ m(Ω)
Si la disyunción de los cubos de Ω no es válida, será necesario construir conjuntos R δ n(Ω) hasta
que, en alguno de los pasos no se generen nuevos cubos, lo cual indicará que el cubo vacío ♦
no se puede deducir por δ-resolución a partir de Ω. Si eliminamos en él los cubos insatisfacibles
(ya que D ∨ ⊥ ≡ D) y los cubos, D ′ , que subsumen (incluyen) a otro, D (ya que, en tal caso,
D ∨ D ′ ≡ D), obtenemos el método llamado δ-resolución por saturación. Al conjunto final
de cubos obtenidos a partir de un conjunto Ω de cubos tras aplicar el método de δ-resolución por
saturación, lo denotaremos por Ω δ .
El método de δ-resolución por saturación nos asegura que los cubos obtenidos son minimales
en el sentido de la siguiente definición:
Definición 3.16 [δ-resolvente minimal] Decimos que un cubo, D, es una δ-resolvente minimal
de un conjunto de cubos, Ω = {D1, . . . , Dk}, si y solo si se satisfacen las tres condiciones
siguientes:
1. D es satisfacible, es decir, no contiene literales complementarios.
2. Ω ⊢δ D,
3. No existe ningún cubo D ′ tal que D ′ ⊂ D 6 y Ω ⊢δ D ′ .
El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el método de de δ-resolución por saturación.
Ejemplo 3.9 Dado Ω = {p ∧ q, p ∧ r, ¬q ∧ ¬r, ¬p}, mostramos una validación de que Ω usando
el método de δ-resolución descrito, denominado δ-resolución por saturación: Generamos
sistemáticamente todas las posibles δ-resolventes, comprobando si cada cubo es δ-resoluble con
“todos” los demás y comprobando si cada nueva δ-resolvente es a su vez resoluble con todos los
demás.
6 Donde consideramos cada cubo como un conjunto de literales