Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

52 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
- Sustituir x por f(xn1 , . . . , xnk ) en la matriz.
- Eliminar (∃x) en el prefijo.
El proceso descrito para eliminar los cuantificadores existenciales se denomina skolemización.
Cada aplicación de 2.a o 2.b se denomina etapa de skolemización y los símbolos de constante y
de función introducidos constantes de Skolem y funciones de Skolem, respectivamente.
Ejemplo 4.8 Consideremos la fbf
A = (∃y)(∀x)(∀z)(∀u)(∃t) (P (x, y) → Q(a, z, u)) ∧ (P (x, u) → R(t, z))
Una forma normal de Skolem para A es
(∀x)(∀z)(∀u) (P (x, b) → Q(a, z, u)) ∧ (P (x, u) → R(f(x, z, u), z))
Ejemplo 4.9 Considérese la fbf (∀x) P (x) → Q(x) → (∀y)P (y) → (∀z)Q(z) . Eliminando los
conectivos →, obtenemos la fbf ¬(∀x) ¬P (x) ∨ Q(x) ∨ ¬(∀y)P (y) ∨ (∀z)Q(z)
Restringiendo el ámbito de ¬ sólo a los átomos, obtenemos la fbf
(∃x) P (x) ∧ ¬Q(x) ∨ (∃y)¬P (y) ∨ (∀z)Q(z)
y extrayendo los cuantificadores obtenemos la fbf
(∃x)(∃y)(∀z) (P (x) ∧ ¬Q(x)) ∨ ¬P (y) ∨ Q(z)
finalmente, la eliminación de (∃y) y de (∃x) mediante dos etapas de skolemización nos hace incluir
dos símbolos de constante a y b resultando la fbf
(∀z) (P (a) ∧ ¬Q(a)) ∨ ¬P (b) ∨ Q(z)
Teorema 4.10 Si A es una fbf de L1 y SkA una forma de Skolem asociada a A, entonces
A es satisfacible si y solo si SkA es satisfacible.
Definición 4.29 Una fbf A se dice que está en forma clausal si es una forma normal de Skolem
y su matriz es una forma normal conjuntiva.
Como en el caso proposicional, usaremos una notación más concisa escribiendo la matriz como
conjunto de cláusulas y omitiendo los cuantificadores (ya que sabemos que todos son universales)
Ejemplo 4.10 La forma clausal (∀x)(∀y)(∀z) P (x) ∧ (Q(f(x, y) ∨ P (g(z))) ∧ (¬Q(x, z) ∨ ¬P (a)) ,
se representa por el conjunto de cláusulas
{P (x), Q(f(x, y) ∨ P (g(z)), ¬Q(x, z) ∨ ¬P (a)}