Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

22 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
(p → q) 1
(t ∧ s) → p 2
✘ ❳❳
¬p q
✏ ❍ ✟ ❳ ❳
¬(t ∧ s)3 p ¬(t ∧ s)4 p
×
¬t
◦
❅
¬s
◦
¬t
◦
❅
El árbol es abierto y completo y tiene cinco ramas abiertas y completas.
¬s
◦
TΘ = {ρ1, ρ2, ρ3, ρ4, ρ5}
donde= ρ1 = {¬p, ¬t}; ρ2 = {¬p, ¬s}; ρ3 = {q, ¬t}; ρ4 = {q, ¬s} y ρ5 = {q, p}. Por lo
tanto, la teoría, Θ es consistente y cada rama abierta proporciona un modelo para ella.
Comprobamos que el árbol para Θ ∪ {¬q} tiene una rama abierta y completa, es decir, que
Θ|= q. Para ello, bastará con extender las ramas abiertas del árbol para Θ con ¬q:
(p → q) 1
(t ∧ s) → p 2
✘ ❳❳
¬p q
✏ ❍ ✟ ❳ ❳
¬(t ∧ s)3 p ¬(t ∧ s)4 p
×
❅
¬t ¬s
¬q ¬q
◦1
◦2
Hemos concluido la tarea I) y obtenemos que el árbol para TΘ ∪{¬q} tiene dos ramas abiertas
y completas:
Ext(TΘ, {¬q}) = {ρ ′ 1, ρ ′ 2}
donde ρ ′ 1 = {¬p, ¬t, ¬q} y ρ′ 2 = {¬p, ¬s, ¬q}. En consecuencia, disponemos de dos modelos
para Θ ∪ {¬q}, los cuales nos indican cómo abordar la tarea de buscar las posibles
“extensiones” de Θ a una nueva teoría Θ ′ de modo que Θ ′ |= O.
La tarea II) es la búsqueda de explicaciones abductivas, E, lo cual nos conduce analizar cómo
cerrar simultáneamente las ramas abiertas, es decir, la búsqueda de E tal que existe una
refutación para Θ ∪ {E} ∪ {¬O}.
Para que existan tales explicaciones atómicas o conjuntivas, la extensión Ext(TΘ, {¬q}) debe
ser semicerrada (tiene al menos una rama abierta y al menos una rama cerrada), como lo es
en este ejemplo. En efecto,
¬t
¬q
×
• si fuera cerrada, tendríamos que Θ |= O y, en consecuencia, (Θ, O) no sería un problema
abductivo.
• si fuera abierta, el número de ramas del árbol de la teoría, T , sería el mismo que el
de Ext(TΘ, {¬O}). Sea {ℓ1, . . . , ℓn} el conjunto de literales que cierra Ext(TΘ, {¬O}).
Tenemos dos posibilidades:
❅
¬s
¬q
×
◦
¬q ×