Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

82 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
.
β
.
A
−→
.
β
.
A
β2
❅ β1
Definición 6.5 Sea Ω = {T H1, . . . , Tn, ∇C} un conjunto de fbfs. Un árbol T se dice que es un
árbol para Ω, si existe una secuencia de árboles T1, . . . , Tk tal que:
T1 es el árbol inicial asociado a Ω, es decir, el árbol de una sola rama:
T H1
T H2
.
T Hn
∇C
Cada árbol Ti (2 ≤ i ≤ k) es un árbol asociado a Ω que es extensión inmediata de Ti−1,
es decir, Ti se obtiene de Ti−1 por aplicación de una regla de extensión a uno de sus nodos.
Tk = T .
Definición 6.6 Sea T un árbol para Ω. Una rama de T se dice cerrada, si en ella ocurren una
fórmula A y una fórmula A ′ tales que ambas son incompatibles, es decir, en ella ocurre un par de
fórmulas del tipo:
(∇B, ∆B); (T B, ∇B); (F B, ∆B); (A, ∇A)
En caso contrario, se dice que la rama es abierta. El árbol T se dice cerrado si todas sus ramas
son cerradas.
Una rama ρ de un árbol T para Ω se dice completa si satisface las siguientes condiciones:
1. Si la fórmula α ocurre en ρ, también sus componentes α1 y α2 ocurren en ρ.
2. Si la fórmula β ocurre en ρ, o la componente β1 o la componente β2 ocurre en ρ.
Definición 6.7 Un árbol T para Ω se dice terminado si toda rama es cerrada o completa.
Teorema 6.2 Para todo conjunto finito Ω de fbfs, mediante un número finito de extensiones inmediatas
se obtiene un árbol terminado para Ω.
Demostración: Basta advertir que para toda α-fórmula y para toda β-fórmula, el grado de
sus componentes (α1 y α2, y β1 y β2 respectivamente), en los casos en que son diferentes, es
estrictamente menor que el grado de α o β respectivamente.
Definición 6.8 Llamamos refutación para un conjunto Ω de fbfs a todo árbol cerrado para Ω.
Una fbf C se dice que se deriva del conjunto de fbfs {H1, . . . , Hn}, si existe una refutación para
{H1, . . . , Hn, ∇C}. En particular, una fbf A se dice demostrable si existe una refutación para
{∇A}.