Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

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8 CAPÍTULO 2. LÓGICA ABDUCTIVA PROPOSICIONAL ¿Cuál es pues la diferencia entre la lógica clásica proposicional y la lógica abductiva proposicional? La diferencia está, como habrá intuido el lector, en la noción de consecuencia lógica y a su análisis dedicaremos especial atención. Comenzamos estableciendo la siguiente definición: Definición 2.1 Un problema abductivo es un par (Θ, O) donde 1. Θ ⊆ Lprop es un conjunto satisfacible de fórmulas, denominado teoría, que podemos entender como el conocimiento que tenemos como punto de partida. 2. O ∈ Lprop es una fbf que es contingente (es decir, ni válida ni insatisfacible 1 ), denominada observación y que es consistente con la teoría, pero no implicada por ella, es decir, ni ella ni su negación, se infieren de la teoría. En definitiva, O satisface las condiciones siguientes: 2.1 Θ |≈ O. Ya que si Θ |≈ O, no se requiere “explicar” O, 2.1 Θ |≈ ¬O. Ya que si Θ |≈ ¬O, ya sabemos que O no es “explicable” en la teoría Θ. La componente |≈ puede ser la relación de consecuencia de la lógica clásica, o bien algún tipo de relación de consecuencia no clásica. Nosotros consideraremos la relación de consecuencia de la lógica clásica denotada por |=, es decir: La fbf, C ∈ Lprop, es consecuencia semántica de Ω ⊆ Lprop si Mod(Ω) ⊆ Mod(C), es decir, para toda interpretación I ∈ I, si I(Ai) = 1 para toda Ai ∈ Ω, entonces I(C) = 1 Recordemos (de nuestro estudio de la lógica clásica ) que Ω ⊆ Lprop es satisfacible si y solo si Ω |= ⊥ Antes de avanzar en nuestro estudio, recordemos la siguiente definición: Definición 2.2 Sean A, B ∈ Lprop, decimos que B es implicada por A si |= A → B. Denotaremos por Iα(A) el conjunto de fbfs implicadas por A. B es un implicante de A si |= B → A. Denotaremos por Iβ(A) el conjunto de implicantes de A. Si, como hemos indicado, consideramos la relación de consecuencia clásica, |=, no es necesario exigir en la definición de problema abductivo que la teoría Θ sea satisfacible ni que la observación O sea contingente. En efecto: Proposición 2.1 Si Θ ⊆ Lprop y O ∈ Lprop son tales que Θ|= ¬O y Θ|= O Entonces se tiene que Θ es un conjunto satisfacible de fbfs y O es una fbf contingente. 1 ¡Poco nos puede interesar buscar explicaciones de observaciones válidas o insatisfacibles!
Demostración: 1. Si Θ fuera insatisfacible, tendríamos que Θ |= ¬O y Θ |= O, en contra de la hipótesis. 2. Supongamos que O no es contingente. Tenemos dos posibilidades: - O es válida, en cuyo caso Θ |= O, en contra de la hipótesis. - O es insatisfacible, en cuyo caso, ¬O es válida y Θ |= ¬O, en contra de la hipótesis. En un problema abductivo (Θ, O), la componente O funciona como una “observación inesperada”, una observación que no puede ni afirmarse ni negarse a partir de Θ. Necesitamos extender la teoría Θ para pronunciarnos sobre O. Necesitamos una “explicación”. Vamos pues a hablar de las “explicaciones” en el contexto de la abducción. Definición 2.3 Un esquema abductivo es una terna (Θ, O, E), representada mediante la relación Θ, E |=ab O tal que: 1. (Θ, O) es un problema abductivo, 2. E ∈ Lprop se denomina explicación o solución abductiva y satisface las dos condiciones siguientes: Θ, E |= O, es decir, E “explica” la observación O, Θ, E |= ⊥, es decir, E es consistente con la teoría Θ. Así, una fórmula E es una explicación de O, con respecto a una teoría Θ, si es consistente con Θ y a partir de ella se infiere O como consecuencia lógica. El subíndice ab en |=ab advierte de las exigencias que establece la definición, es decir, consideramos una restricción de la noción de consecuencia lógica clásica. ❡❡ En un esquema abductivo, a la observación O se le suele denominar también detonador abductivo (“explicar” O es lo que provoca el proceso abductivo). Como detalla la definición, ni la observación O a explicar, ni su negación, deben inferirse de la teoría, Θ, pero deseamos explicar O dentro de ella. El siguiente resultado nos proporciona una definición equivalente de esquema abductivo. Proposición 2.2 Una terna (Θ, E, O) es un esquema lógico abductivo con observación O y solución E si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones: 1. Θ|= O, 2. Θ, E |= O, 3. Θ, E |= ⊥. Demostración: Por la definición de esquema abductivo, tan solo tenemos que probar que, si se satisfacen las tres condiciones se tiene que (Θ, O) es un problema abductivo, es decir, que se satisface que Θ |= ¬ O. Lo demostramos por reducción al absurdo. Supongamos que Θ |= ¬ O. Entonces, por la propiedad de monotonía de |=, se tiene que Θ ∪ {E} |= ¬ O y junto con la segunda hipótesis, Θ ∪ {E} |= O, tendríamos Θ ∪ {E} |= ⊥, lo cual contradice la hipótesis 3, que exige que E sea consistente con la teoría Θ. 9
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