Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

3.2. δ-RESOLUCIÓN 29
Notación
Dado un conjunto de cubos Ω = {D1, . . . , Dk}, denotamos
ˆΩ = D1 ∨ . . . ∨ Dk
Por definición de problema abductivo, Θ |= O, es decir, que (A1 ∧ . . . An) → O no es una fbf válida.
Por lo tanto, si Ω = {D1, . . . , Dk} es una fndr equivalente a (A1 ∧ . . . An) → O, conocemos que
ˆΩ = D1 ∨ . . . ∨ Dk no es válida. El siguiente resultado nos proporciona un criterio de no validez:
Teorema 3.5 Dado un conjunto finito de cubos Ω = {D1, . . . , Dk}, si Di, Dj ∈ Ω son δ-resolubles
entonces
Y, en consecuencia:
ˆΩ no es válida si y solo si ˆ Ω ∨ R δ (Di, Dj) no es válida.
Ω ⊢δ ♦ si y solo si Ω ∪ {R δ (Di, Dj) | Di, Dj ∈ Ω} ⊢δ ♦.
3.2.0.2. Árboles semánticos para un conjunto de cubos
Recordemos el concepto de árbol semántico:
Dada una secuencia de símbolos de proposición ∆ = [p1, p2, . . . , pn, . . .] un árbol semántico
respecto de ∆ es un árbol binario que satisface las condiciones siguientes:
1. Cada arco está etiquetado con un literal pi o ¬pi donde pi ∈ ∆.
2. Los literales que etiquetan dos arcos que nacen del mismo nodo son opuestos.
3. Ninguna rama contiene más de una ocurrencia de cada pi ∈ ∆.
En lo que sigue, Ω = {D1, . . . , Dk} es un conjunto finito de cubos y [p1, . . . , pn] una ordenación
del conjunto de los símbolos proposicionales que intervienen en Ω.
Definición 3.14 Un nodo N de un árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] para un conjunto
finito de cubos, Ω = {D1, . . . , Dk}, se denomina nodo éxito si su interpretación IN asociada es
tal que IN(Di) = 1 para algún cubo Di ∈ Ω pero ninguna de las interpretaciones asociadas a sus
ascendientes posee esta propiedad.
Un nodo éxito, N, nos proporciona una interpretación (parcial) IN que satisface a ˆ Ω. Por lo
tanto, no es preciso considerar las extensiones de IN.
Un árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] se dice cerrado si todas sus hojas son nodos éxito.
Un nodo N de un árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] se denomina un δ-nodo inferencia
si sus dos descendientes inmediatos son nodos éxito.
Ejemplo 3.7 Dado Ω = {p, q ∧ r, ¬p ∧ ¬q, ¬p ∧ ¬r}, la figura muestra un árbol semántico cerrado
para Ω respecto de [p, q, r]