Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

46 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Σ = CA ∪ FA ∪ PA es una signatura para A y
M = (U; {u1, . . . , un}; {F1, . . . , Fm}; {R1, . . . , Rk}) es una interpretación para A.
Los siguientes resultados son de gran interés para facilitar la manipulación semántica de las
fbfs.
Teorema 4.2 Sea una fbf A y sea M = (U, I) una interpretación de L1, entonces si ξ y ξ ′ son dos
valuaciones de variables tales que ξ(x) = ξ ′ (x) para toda variable x tal que x ∈ Vlibre(A), se tiene
que Iξ(A) = 1 si y solo si Iξ ′(A) = 1
Teorema 4.3 Dada una fbf cerrada A y una interpretación M = (U, I), se tiene que I(A) = 1 o
bien I(A) = 0
Teorema 4.4 Dada una fbf A
1. A es válida si y solo si ¬A es insatisfacible.
2. A(x1, . . . , xn) es satisfacible si y solo si su cierre existencial lo es.
3. A(x1, . . . , xn) es válida si y solo si su cierre universal lo es.
❡❡ El Teorema 4.4 nos permite afirmar que Toda la expresividad de la lógica de primer
orden se obtiene usando únicamente fbfs cerradas. De hecho en un lenguaje de primer
orden las fbfs cerradas son las que simbolizan los enunciados del lenguaje natural.
A partir del Teorema 4.4 podemos plantearnos redefinir la semántica limitándonos a la consideración
de las fbfs cerradas:
Definición 4.20 Si t1, . . . , tn son términos básicos y M = (U; {u1, . . . un}; {F1, . . . Fm}; {R}) es
una interpretación para P (t1 . . . , tn), entonces definimos el valor de verdad de P (t1 . . . , tn) como
sigue:
I(P (t1, . . . , tn)) = 1 si y solo si (I(t1), . . . , I(tn)) ∈ I(P ) = R
Esta definición se extiende recursivamente a todas las fbfs cerradas del siguiente modo:
Definición 4.21 Si M = (U; {u1, . . . un}; {F1, . . . Fm}; {R1, . . . Rk}) es una interpretación para el
conjunto de fbfs cerradas {A, B}, entonces, I(⊥) = 0; I(⊤) = 1 y:
1. I(¬A) = 1 si y solo si I(A) = 0
2. I(A → B) = 1 si y solo si I(A) = 0 ó I(B) = 1
3. I(A ∧ B) = 1 si y solo si I(A) = 1 y I(B) = 1
4. I(A ∨ B) = 1 si y solo si I(A) = 1 ó I(B) = 1
5. I( (∃x)B) = 1 si y solo si para algún u0 ∈ U, se tiene que
Iu0 ([x/b]B) = 1
donde b es un símbolo de constante que no ocurre en B e Iu0 es la interpretación correspondiente
a la extensión de M que asocia u0 a b.