Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

76 CAPÍTULO 6. LÓGICA PARACONSISTENTE
En definitiva, como es habitual, será la aplicación en la que deseemos hacer uso de una lógica
paraconsistente la que nos indiqué cuales han de ser los principios que debamos eliminar. Así, por
ejemplo, en el estudio de Sistemas Software complejos se suele eliminar la regla de la introducción
de la disyunción (A |= A∨B). Tendremos ocasión de conocer ejemplos de algunas de las aplicaciones
y debatir sobre qué principios eliminar. Pero no cabe duda de que, sea cual sea la elección de los
principios a eliminar, deberíamos justificar su elección en razón de:
su efectividad para bloquear explosiones,
su potencia para bloquear otros principios que sean contra-intuitivos (como lo es, claramente,
el pricipio de explosión),
que el número de principios de la lógica proposicional eliminados sea minimal en algún sentido.
Ya hemos establecido el objetivo de la lógica paraconsistente: Deseamos poder trabajar con
teorías inconsistentes, de modo que podamos establecer derivaciones no triviales. 3 ¿Pero cómo lo
haremos? Antes de dar la respuesta a esta pregunta, profundicemos en el concepto de “consistencia”.
Este concepto es clave en la lógica clásica, incluso el concepto de consecuencia lógica puede ser
expresado en términos del concepto de consistencia:
“C se deriva de Ω si y solo si Ω ∪ {¬C} es inconsistente”
¡Tal parece que vamos a adentrarnos en arenas movedizas! Conviene pues aferrarnos a una definición
de consecuencia lógica, que no haga uso del concepto de consistencia:
“C se deriva de Ω si todo modelo de Ω es un modelo de C”
Ahora nuestra tarea será establecer una clara diferencia entre inconsistencia y trivialidad.
Comencemos estableciendo ambos conceptos:
Definición 6.1 Sea Ω ⊆ Lprop y sea Saxiom un sistema axiomático para Lprop. Denotemos por
Con |= (Ω) el conjunto de fbfs que son consecuencia lógica (semántica) de Ω, es decir,
Con |= (Ω) = {A ∈ Lprop | Ω |= A} 4
Denotemos por Con SAxiom (Ω) el conjunto de fbfs que son consecuencia lógica (sintáctica) de Ω en
⊢
S:
{A ∈ Lprop | Ω ⊢SAxiom A} 5
Se dice que:
Ω es inconsistente si existe A ∈ Lprop tal que A, ¬A ∈ Ω.
Ω es explícitamente inconsistente si existe A ∈ Lprop tal que A ∧ ¬A ∈ Ω.
3 Consideremos, por ejemplo, Ω = {A, ¬A, A → B, C} ⊆ Lprop, si Con(Ω) denota el conjunto de consecuencias
lógicas de Ω, se tiene que, por ejemplo, B, B ∧ C ∈ Con(Ω), pero también se tiene que cualquier D ∈ Lprop es tal que
D ∈ Con(Ω)
4 Reiteremos: Ω |= A si todo modelo de Ω es un modelo de A.
5 Recordemos: Ω ⊢ A si existe una secuencia de fbfs en Lprop, A1, . . . , An tal que An = A y toda Ai con 1 ≤ i ≤ n−1
es un axioma de S, o bien pertenece a Ω, o bien se obtiene de dos fbfs anteriores en la secuencia, mediante las reglas
de inferencia de S.