Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

58 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Si aplicamos la sustitución θ = {d1/d4, d1/d3}, entonces ρ3 cierra y se obtienen los dos posibles
cierres siguientes:
τ1 = {P (d1, d1), P (d1, d2)}}
τ2 = {P (d1, d1), P (d2, d1)}}
Los correspondiente cierres minimales son P (d1, d1) P (d1, d2) ∧ P (d2, d1) y, por herbrandización,
genera las explicaciones (∃x)P (x, x) (trivial) y (∃x)(∃y)(P (x, y) ∧ P (y, x). Claramente, el árbol
puede ser extendido aún más generando nuevas explicaciones.
4.3. δ-Resolución Abductiva en la lógica de primer orden
Veamos ahora la extensión del método de δ-Resolución a la lógica de primer orden.
Como en la sección anterior, consideramos un lenguaje de primer orden sin igualdad y sin
símbolos de función, L1(C, ∅, P) en el que tan solo consideraremos fbfs cerradas. Dado un literal,
ℓ, denotamos por ¯ ℓ su complementario. Como en el caso proposicional, denotamos por ♦ el cubo
vacío, el cual es una fbf válida.
Definición 4.36 Dado el problema abductivo (Θ, O), decimos que el cubo básico, E, es una solución
C0-abductiva de (Θ, O) si se satisface:
1. Θ, E |= O.
2. Θ ∪ E es C0-satisfactible.
3. E |= O
4. No existe ningún cubo básico E ′ ⊂ E tal que Θ, E ′ |= O
Mediante Abd C0 (Θ, O) denotamos el conjunto de soluciones C0-abductivas al problema abductivo
(Θ, O).
Consideramos un problema abductivo (Θ, O), con Θ = {A1, . . . , Am}.
Dados dos cubos D1 y D2, la regla de δ-resolución es la dual de la regla de resolución estudiada
en el segundo volumen que, como sabemos, requiere introducir el concepto de unificador de máxima
generalidad de dos átomos proporcionado por el algoritmo de unificación. Remitimos al lector a
nuestro estudio de la Lógica Clásica de Primer Orden para recordarlo.
Definición 4.37 Sean D1 y D2 dos cubos sin variables en común, y sean ℓ1 ∈ D1 y ¯ ℓ2 ∈ D2 tales
que ℓ1 unifica con ℓ2 con umg σ. En tal caso se dice que D1 y D2 es un par resoluble y se define
la δ-resolvente binaria de D1 y C2 respecto a ℓ1 mediante σ al cubo D definido como sigue
D = (σD1 − {σℓ1}) ∪ (σD2 − {σ ¯ ℓ2})
Es preciso destacar que en la definición de δ-resolvente, es posible que existan varios literales
a la vez con el mismo predicado. Esta característica del método para la lógica de primer orden se
conoce con el nombre de factorización. Este hecho motiva la definición siguiente.
Definición 4.38 Si dos o más literales (con el mismo signo) de un cubo D son unificables con σ
como unificador de máxima generalidad (umg), entonces σD se dice que es un factor de D.