Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

3.1. TABLAS SEMÁNTICAS PARA LA LÓGICA ABDUCTIVA 23
◦ O ∈ {ℓ1, . . . , ℓn} 4 . En este caso, tendríamos que la explicación E es tal que E |= O,
en contra de la definición de solución explicativa.
◦ O ∈ {ℓ1, . . . , ℓn}. En este caso, tendríamos que {ℓ1, . . . , ℓn} cierra también al árbol
de la teoría, Θ, y en consecuencia, Θ ∪ {E} no sería consistente, en contra de la
definición de solución explicativa (que exige que sea consistente).
Podemos ya buscar las soluciones explicativas, E, tanto atómicas, como conjuntivas. Ello nos
conduce analizar cómo cerrar simultáneamente las ramas abiertas, es decir, la búsqueda de
E tal que existe una refutación para Θ ∪ {E} ∪ {¬O}:
• La rama ρ ′ 1
• La rama ρ ′ 2
cierra con cualquier subconjunto de {p, t, q}
cierra con cualquier subconjunto de de {p, s, q}
Puesto que toda explicación E debe satisfacer que E |= O, el cierre simultáneo de ambas
ramas nos lleva a considerar los subconjuntos de {p, t, q} - {q} = {p, t} y los subconjuntos de
{p, s, q} - {q} = {p, s}, es decir, las posibles explicaciones candidatas son:
E1 = p; E2 = p ∧ t; E3 = p ∧ s; E4 = p ∧ t ∧ s y E5 = s ∧ t
Abordamos por último la tarea III), es decir, analizar cuáles de estas Ei es consistente con
Θ. En definitiva, comprobar cuáles de estas Ei satisfacen que Θ ∪ {Ei} tiene ramas abiertas.
Puesto que las ramas abiertas de Θ son
ρ1 = {¬p, ¬t}; ρ2 = {¬p, ¬s}; ρ3 = {q, ¬t}; ρ4 = {q, ¬s} y ρ5 = {q, p}
las cinco Ei anteriores son consistentes con la teoría.
Ahora procedemos como sigue:
III.1) Si buscamos explicaciones atómicas, buscamos literales ℓ = Ei tales que:
- Ext( Ext(TΘ, {¬O}), {ℓ} ) = ∅, es decir, ℓ ∈ Cl(Ext(TΘ, {¬O})),
- ℓ ha de ser tal que no cierre TΘ
- ℓ = O.
En consecuencia, toda explicación atómica ℓ = Ei ha de satisfacer
Ei ∈ [Cl(Ext(TΘ, {¬O})) ∩ Clpar(TΘ)] -{O} = [{p} ∩ {p, t, s, ¬p, ¬q}] -{q} = {p}
Existe pues una única explicación atómica E1 = p.
III.2) Si buscamos explicaciones conjuntivas, Ei = ℓ1 ∧ . . . ∧ ℓn, n > 1, cada rama de
Ext(TΘ, {¬O}) debe cerrarse con al menos uno de los ℓi y ninguno de los ℓi debe cerrar
completamente el árbol, por lo tanto, toda rama ρ ∈ Ext(TΘ, {¬O}) ha de satisfacer
que
Clpar(ρ) ∩ {ℓ1 ∧ . . . ∧ ℓn} = ∅
Para conseguir esto, podemos elegir todos los conjuntos de literales ∆ que contienen un
literal de los cierre parciales de cada una de las ramas y eliminar los ∆ no minimales (es
decir, que esté contenido en otro).
4 Recordemos que O es atómica