Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 47
6. I( (∀x)B ) = 1 si y solo si para todo u0 ∈ U, se tiene que
Iu0 ([x/b]B) = 1
donde b es un símbolo de constante que no ocurre en B e Iu0 se define como en el punto
anterior.
Debido a que la semántica de las conectivas booleanas es la misma que para la lógica proposicional,
la noción de tautología es extensible a la lógica de primer orden:
Si en un esquema de tautología de la lógica proposicional sustituimos cada metasímbolo
por una fbf del lenguaje de primer orden L1, obtendremos también una fbf válida (que
llamaremos asimismo tautología).
Tenemos, por lo tanto, el siguiente resultado:
Teorema 4.5 Todo esquema de tautología de la lógica proposicional proporciona un esquema de
tautología en la lógica de primer orden.
Definición 4.22 Sea M = (U, I) una interpretación en L1. Dos fbfs A y B se dicen M-equivalentes,
denotado A ≡M B si I(A) = I(B), es decir, si para toda valuación de variables ξ se tiene que
Iξ(A) = Iξ(B).
Definición 4.23 Dos fbfs A y B se dice que son lógicamente equivalentes, denotado A ≡ B,
si A ≡M B para toda interpretación M en L1. Obviamente,
A ≡M B si y solo si A ↔ B es verdadera en M
A ≡ B si y solo si A ↔ B es válida
En particular, dos fbfs cerradas A y B son lógicamente equivalentes si Mod(A) = Mod(B).
Los siguientes ejemplos de equivalencias muestran cómo, semánticamente, podemos expresar un
cuantificador en términos del otro:
(∀x)A ≡ ¬(∃x)¬A
(∃x)A ≡ ¬(∀x)¬A
El siguiente resultado es una particularización del Teorema 4.5:
Teorema 4.6 Todo esquema de equivalencia en la lógica proposicional es un esquema de equivalencia
en la lógica de primer orden.
Por lo tanto, en L1 disponemos de todas las equivalencias básicas de la lógica proposicional: leyes
de Morgan, ley de la doble negación, leyes de absorción, leyes de cero y uno, etc. Nos queda
pues conocer las leyes en L1 que nos muestran la interacción de las conectivas booleanas con los
cuantificadores y de los cuantificadores entre sí y que son las siguientes:
1. (∃x)(∃y)A(x, y) ≡ (∃y)(∃x)A(x, y)
2. (∀x)(∀y)A(x, y) ≡ (∀y)(∀x)A(x, y)