Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

3.2. δ-RESOLUCIÓN 31
nos permite (por ser ˆ Ω válida) obtener un árbol semántico cerrado T para Ω. Si T es un árbol
de un solo nodo, entonces ♦ ∈ Ω pues, en otro caso, se requiere al menos el primer nivel del
árbol semántico para acceder a un nodo éxito. Por lo tanto, si ♦ ∈ Ω, la secuencia de un solo
elemento ♦ es una validación por δ-resolución de Ω. En cambio, si T no es un árbol de un solo
nodo, existe entonces al menos un δ-nodo inferencia, o de lo contrario todo nodo del árbol tendría
un descendiente no éxito, lo cual es imposible por tratarse T de un árbol cerrado.
Sea, pues, N un nodo tal, y N1 y N2 sus descendientes inmediatos; entonces ambos son nodos
éxito. Por tanto, existen cubos Dj1 , Dj2 en [D1, . . . , Dk] (una ordenación de los elementos de Ω)
tales que IN1 (Dj1 ) = IN2 (Dj2 ) = 1. Sea l el literal del arco que va de N a N1 y l el literal opuesto
que etiqueta el arco que va de N a N2, entonces por el lema previo a este teorema resulta que
IN(Rδ (Dj1 , Dj2 )) = 1.
Consideremos ahora el camino que va desde la raíz del árbol hasta N y eliminemos los arcos y
nodos debajo del primer nodo de dicho camino que cumpla que el cubo Rδ (Dj1 , Dj2 ) es verdadero
en la interpretación parcial asociada a dicho nodo. Obtenemos así un árbol semántico cerrado T ′
para [D1, . . . , Dk] ∪ {Rδ (Dj1 , Dj2 )} que es un subárbol estricto de T . Ahora, aplicamos este mismo
proceso en T ′ obteniendo como resultado un subárbol estricto de T ′ y una extensión del conjunto
de cubos anterior de manera similar. Procedemos así sucesivamente de modo que, en un número
finito de etapas, obtendremos una secuencia cuyo árbol semántico cerrado es un árbol de un solo
nodo y cuyo último elemento es ♦, es decir, obtenemos una validación por δ-resolución de Ω.
El modo habitual de representar las derivaciones por δ-resolución a partir de un conjunto Ω de
cubos es mediante un árbol binario, llamado árbol de δ-resolución:
Definición 3.15 Un árbol de δ-resolución para un conjunto finito de cubos Ω es un árbol
caracterizado como sigue:
1. Cada nodo no hoja tiene dos descendientes inmediatos.
2. Cada nodo hoja está etiquetado por un cubo de Ω.
3. Cada nodo no hoja está etiquetado por una δ-resolvente de las etiquetas de sus descendientes
inmediatos.
Por definición, resulta obvio el siguiente teorema:
Teorema 3.7 Si D es la etiqueta de la raíz de un árbol de δ-resolución para Ω, entonces Ω ⊢δ D.
Si D es ♦, el árbol se dice que es un árbol de validación para Ω.
Ejemplo 3.8 A continuación se presenta un árbol de validación para el conjunto de cubos
Ω = {p ∧ q, ¬q ∧ r, ¬p ∧ r, ¬r}