Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

50 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Definición 4.27 Una fnpd se dice restringida, denotada fnpdr, si su matriz cumple que:
ningún cubo contiene un literal y su opuesto.
ningún cubo contiene literales repetidos.
ningún cubo contiene a otro.
Una fnpc se dice restringida, denotada fnpcr, si su matriz cumple los siguientes requisitos:
Ninguna cláusula contiene un literal y su opuesto.
Ninguna cláusula contiene literales repetidos.
Ninguna cláusula contiene a otra.
Teorema 4.9 Para toda fbf de L1 existe una forma normal prenexa disyuntiva restringida y una
forma normal prenexa conjuntiva restringida equivalentes a ella.
Demostración: La demostración de este teorema proporciona el algoritmo estándar para la
obtención de las formas normales cuya existencia asegura su enunciado.
En efecto, el teorema de equivalencia nos asegura que, dada una fbf cualquiera, A, podemos
obtener a partir de A una fndr o una fncr equivalente, realizando en cada paso una sola de las
siguientes transformaciones de equivalencia y en el siguiente orden:
Paso 1 Hacer uso del Corolario 4.8 y realizar cuantos renombramientos sean necesarios para que
en A todas las variables cuantificadas sean distintas.
Paso 2 Para eliminar los conectivos ↔ y →, usar las leyes
A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)
A → B ≡ ¬A ∨ B
Paso 3 Usar la ley de doble negación (¬¬A ≡ A), las leyes de Morgan (¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B y
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B) y las leyes
¬(∀x)A ≡ (∃x)¬A
¬(∃x)A ≡ (∀x)¬A
Con los pasos 2 y 3 obtenemos una fbf en la que no interviene → y en la que ¬ afecta
únicamente a los átomos, es decir, obtenemos una fnn.
Paso 4 Para transmitir los cuantificadores a la cabeza de la fbf, usar las leyes
(∀x)A ∨ B ≡ (∀x)(A ∨ B)
(∀x)A ∧ B ≡ (∀x)(A ∧ B)
(∃x)A ∨ B ≡ (∃x)(A ∨ B)
(∃x)A ∧ B ≡ (∃x)(A ∧ B)
Paso 5 Usar la ley distributiva de ∧ respecto a ∨ (para fnpdr) o de ∨ respecto a ∧ (para fnpcr).