Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

18 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
es decir, cada literal de Cl(T ) cierra T .
Definición 3.7 [Cierres parciales de una rama] Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado.
El conjunto de cierres parciales de una rama ρi = {ℓi1, . . . , ℓini }, denotado Clpar(ρi) es el
conjunto de literales, denotado Clpar(ρi), tal que cada literal de Clpar(ρi) cierra ρi (y, posiblemente,
otras ramas), pero no cierra T . Así pues,
Clpar(ρi) = Cl(ρi) - Cl(T )
En definitiva, el conjunto de literales que cierra la rama, pero no el árbol.
Definición 3.8 [Cierres parciales de un árbol] Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado. El
conjunto de cierres parciales de T , denotado Clpar(T ) es la unión de los conjuntos de cierres
parciales de cada una de las ramas:
Clpar(T ) =
n
1
Clpar(ρi)
es decir, cada literal de Clpar(T ) cierra al menos una de las ramas de T , pero no cierra T .
Definición 3.9 [Extensión de un árbol]Sea T = {ρ1, . . . , ρn} un árbol no terminado y Λ =
{ℓ1, . . . , ℓm} un conjunto de literales. La extensión de T con Λ, denotada Ext(T, Λ), es el árbol
Ext(T, Λ) = {ρi ∪ Λ | ρi ∩ {ℓ1, . . . , ℓm} = ∅, 1 ≤ i ≤ n} 2
Denotemos por |T | el número de ramas abiertas de un árbol T . Entonces,
Si |Ext(T, Λ)| = |T |, decimos que la extensión es abierta.
Si |Ext(T, Λ)| = 0, decimos que la extensión es cerrada.
Si |Ext(T, Λ)| < |T |, decimos que la extensión es semicerrada 3 .
Una extensión abierta o semicerrada se denomina extensión consistente.
Ejemplo 3.1 Sea T = {ρ1, ρ2} = { {¬p ∨ q, r, ¬p}, {¬p ∨ q, r, q} }:
Ext(T, {s}) = { {¬p ∨ q, r, ¬p, s}, {¬p ∨ q, r, q, s} } es una extensión abierta de T , ya que, por
ejemplo, {s} no cierra ni ρ1, ni ρ2.
Ext(T, {p}) = {¬p ∨ q, r, q, p} es una extensión semicerrada de T , ya que {p} cierra ρ1, pero
no cierra ρ2.
Ext(T, {¬r}) = ∅ es una extensión cerrada de T , ya que {¬r} cierra ρ1 y cierra ρ2.
El siguiente resultado recoge la “bondad” del método:
Teorema 3.1 Para todo conjunto finito Ω de fbfs, mediante un número finito de extensiones se
obtiene un árbol terminado para Ω.
2 donde, por abuso de notación, usamos el mismo símbolo para identificar una rama y el conjunto de sus fórmulas
3 En definitiva, la extensión es semicerrada si tiene al menos una rama abierta y una rama cerrada.