Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

30 CAPÍTULO 3. DEMOSTRACIÓN AUTOMÁTICA EN LÓGICA ABDUCTIVA
•❛
¬p ❛❛❛❛❛❛❛ p
✦✦✦✦✦✦✦✦ •❍
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I6(p) = 1
✟ ✟✟✟✟✟✟
•
¬q q
• • (∗)
I2(¬p ∧ ¬q) = 1
❅
❅
❅❅
¬r r
•
•
I4(¬p ∧ ¬r)=1 I5(q ∧ r) = 1
En este árbol solo el nodo marcado con (∗) es un δ-nodo inferencia.
Lema 3.1 Sea N un δ-nodo inferencia de un árbol semántico de Ω = {D1, . . . , Dk} respecto
[p1, . . . , pn], y sean Di, Dj ∈ Ω cubos a las que asignan el valor de verdad 1 las interpretaciones
asociadas al descendiente derecho de N, Nd y al descendiente izquierdo de N, Ni, respectivamente.
Si l y l son los literales que etiquetan los arcos que parten de N, entonces IN(R δ (Di, Dj)) = 1. En
particular, N es un nodo éxito del árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn] para Ω ∪ {R δ (Di, Dj)}.
Demostración: Supongamos que N no es un nodo éxito del árbol semántico respecto de [p1, . . . , pn]
para Ω ∪ {R δ (Di, Dj)}. Entonces, la interpretación I asociada a N es tal que IN(R δ (Di, Dj)) = 0
y por lo tanto, se tiene una de las situaciones siguientes:
1. La interpretación INi asociada al descendiente izquierdo de N es una extensión de IN tal que
INi (Di) = 0.
2. La interpretación INd asociada al descendiente derecho de N es una extensión de IN tal que
INd (Dj) = 0
Por lo tanto, alguno de los dos descendientes inmediatos de N no será nodo éxito, en contra de la
hipótesis de que N es un δ-nodo inferencia.
Teorema 3.6 El método de δ-resolución es:
Correcto: dado un conjunto finito de cubos Ω = {D1, . . . , Dk}, si existe una validación por
δ-resolución de Ω, entonces ˆ Ω = D1 ∨ . . . ∨ Dk es válida.
Completo: si un conjunto finito de cubos Ω = {D1, . . . , Dk} es tal que ˆ Ω = D1 ∨ . . . ∨ Dk es
válida, entonces existe una validación por δ-resolución de Ω.
Demostración: Supongamos que D ′ 1 , D′ 2 , . . . , D′ l , ♦ es una validación por δ-resolución de ♦ a
partir de Ω. Si ˆ Ω = D1 ∨ . . . ∨ Dk no fuera válida, existiría un interpretación I tal que I(D1 ∨ . . . ∨
Dk) = 0, es decir, I(Di) = 0 para todo cubo Di ∈ Ω. Puesto que Dj1 , Dj2 |=δ Rδ (Dj1 , Dj2 ), se
tendría I(D ′ i ) = 0 para todo cubo D′ i de la secuencia D′ 1 , D′ 2 , . . . , D′ l , ♦, y, en particular, I(♦) = 0
lo cual es imposible.
Recíprocamente, si ˆ Ω = D1∨. . .∨Dk es válida y [p1, . . . , pn] es una ordenación del conjunto de los
símbolos proposicionales que intervienen en Ω, el árbol semántico completo respecto a [p1, . . . , pn]