Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

Una ocurrencia de una variable x es una ocurrencia libre si no es ligada. En definitiva, una
ocurrencia de una variable x en una fbf A es una ocurrencia libre si no es ligada en ninguna
subfórmula de A.
Una variable es libre si tiene ocurrencias libres y es ligada si tiene ocurrencias
ligadas. 1
Ejemplo 4.3
1. En la fbf ((∀x)P (x, y, a) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(Q(d, y) ∧ D(y)), las dos primeras ocurrencias
de x son ligadas y la tercera libre, mientras que la variable y es libre en la primera ocurrencia
y ligada en las tres restantes.
2. En la fbf (∀x)P (x, y) → (∃y)(P (x, y) ∧ Q(z)), las dos primeras ocurrencias de x son ligadas
mientras que la tercera es libre. La primera ocurrencia de la variable y es libre, el resto, son
ligadas. La única aparición de la variable z es libre.
La intersección de Vlibre(A) y Vligada(A) no necesariamente es el conjunto vacío. Así, para la fbf
A = ((∀x) P (x, a, z) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(C(d, y) ∧ D(y))
se tiene que Vlibre(A) = {x, z} y Vligada(A) = {x, y}.
Notación: Escribiremos A(x1, . . . , xn), para expresar que en una fbf, A, las variables x1, . . . , xn
son libres en A. Con esta notación destacamos que {x1, . . . , xn} es un subconjunto de Vlibre(A),
pero téngase en cuenta que este subconjunto puede ser propio, es decir, la notación A(x1, . . . , xn) no
exige que x1, . . . , xn sean las únicas variables con ocurrencias libres en A, son simplemente variables
que queremos destacar.
Definición 4.7 Una fbf A es cerrada o un enunciado si Vlibre(A) = ∅.
Las variables son símbolos que representan a elementos arbitrarios del universo de discurso. En el
desarrollo de algoritmos, transformaciones,. . . necesitaremos “particularizar” las fbfs a elementos
concretos o menos arbitrarios; esto lo haremos mediante la sustitución de variables:
Sustitución:
Comenzamos estableciendo qué se entiende por renombramiento de una variable ligada.
Definición 4.8 Sea A una fbf en la que intervienen cuantificadores. Un renombramiento de una
variable ligada x es la sustitución de x (la variable renombrada) en el cuantificador que la tiene
como variable y en su rango, por otra (llamada la variable de renombramiento) que no intervenga
en dicho rango.
Ejemplo 4.4 Para la fbf A = ((∀x) P (x, a, z) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(C(d, y) ∧ D(y)), el renombramiento
de x por la variable de renombramiento v, nos proporciona la fbf
A ′ = ((∀v)P (v, a, z) ∨ Q(b, f(x, c)) → (∃y)(C(d, y) ∧ D(y))
1 La noción de variable libre en una fbf es fundamental para trabajar en los lenguajes de primer orden. Intuitivamente,
las variables libres son aquellas que pueden ser sustituidas.
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