Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 51
Paso 6 Usar cuantas veces sea posible las leyes (para ∧, o para ∨) de idempotencia, de complementación,
de cero y uno y de absorción, para obtener las formas normales restringidas.
Ejemplo 4.7 Sea (∃x)[R(x) → ¬(∃y)T (x, y)] ∧ ¬(∃z) [(∀u)P (u, z) → (∀v)Q(v, z)]. Hallemos una
fnpcr y una fnpdr equivalentes a ella:
(∃x)[R(x) → ¬(∃y)T (x, y)] ∧ ¬(∃z) [(∀u)P (u, z) → (∀v)Q(v, z)] ≡
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ ¬(∃y)T (x, y)] ∧ ¬(∃z)[¬(∀u)P (u, z) ∨ (∀v)Q(v, z)]
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ (∀y)¬T (x, y)] ∧ (∀z)¬[¬(∀u)P (u, z) ∨ (∀v)Q(v, z)]
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ (∀y)¬T (x, y)] ∧ (∀z)[(∀u)P (u, z) ∧ ¬(∀v)Q(v, z)]
≡ (∃x)[¬R(x) ∨ (∀y(¬T (x, y)] ∧ (∀z)[(∀u)P (u, z) ∧ (∃v)¬Q(v, z)]
≡ (∃x)(∀y)[¬R(x) ∨ ¬T (x, y)] ∧ (∀z)(∀u)(∃v)[P (u, z) ∧ ¬Q(v, z)]
≡ (∃x)(∀y)(∀z)(∀u)(∃v)[(¬R(x) ∨ ¬T (x, y)) ∧ P (u, z) ∧ ¬Q(v, z)] (fnpc)
Usando la regla de distribución de ∧ respcto de ∨ hubiésemos obtenido la fnpd
(∃x)(∀y)(∀z)(∀u)(∃v)[(¬R(x) ∧ P (u, z) ∧ ¬Q(v, z)) ∨ (¬T (x, y) ∧ P (u, z) ∧ ¬Q(v, z))]
4.1.3. Skolemización
Las formas normales prenexas permiten utilizar los cuantificadores de un modo limitado (solo
en la cabecera de la fbf) sin pérdida de potencia expresiva. Sin embargo, es posible imponer un uso
aún más restringido de la cuantificación que, si bien reduce la potencia expresiva, lo hace de forma
satisfactoria. Concretamente, es posible asociar a toda fbf, A, una fbf que es una forma normal
prenexa y en cuyo prefijo solo existen cuantificadores universales y que es equisatisfacible con A.
Definición 4.28 Una fbf A se dice que es una forma normal de Skolem si es una forma prenexa
en cuyo prefijo sólo aparecen cuantificadores universales.
Dada una fbf cerrada A, se llama forma normal de Skolem asociada a A, denotada SkA, a toda
forma normal de Skolem obtenida del modo siguiente:
1. Obtener una forma normal prenexa, A ′ , equivalente a A.
2. Obtener nuevas formas prenexas a partir de A ′ aplicando repetidamente el siguiente método
hasta que no haya cuantificadores existenciales en el prefijo:
a) Si x es una variable cuantificada existencialmente y en el prefijo de la matriz no existe
ningún cuantificador universal que preceda a (∃x), entonces
- Elegir un símbolo de constante a que no ocurra en la matriz.
- Sustituir x por a en la matriz.
- Eliminar (∃x) en el prefijo.
b) Si x es una variable cuantificada existencialmente y (∀xn1 ), . . . , (∀xnk ) son los cuantificadores
universales que preceden a (∃x) en el prefijo de la fnp, entonces
- Elegir un símbolo de función f que no ocurra en la matriz.