Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

54 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
Definición 4.31 Sea L1(C, ∅, P) un lenguaje de primer orden y sea C0 = {c1, ..., cn} ⊆ C. Definimos
un C0-modelo como un modelo M = (U, I) tales que:
|U| = n, (el universo del discurso tiene el mismo número de elementos que C0),
Si ci, cj ∈ C0, i = j, 1 ≤ i, j ≤ n, entonces I(ci) = I(cj) (dos constantes diferentes en C0
tienen interpretaciones diferentes).
el resto de las constantes en C \ C0 se interpreta sin restricciones.
Definición 4.32 Sean L1(C, ∅, P) un lenguaje de primer orden, C0 = {c1, ..., cn} ⊆ C y A, B ∈
L1(C, ∅, P), decimos que:
A es C0-satisfactible si y solo si existe un C0-modelo, M, tal que M |= A.
A es C0-válida, denotado |=C0 A si y solo si para cualquier C0-modelo, M, se tiene que M |= A.
B es C0-consecuencia lógica de A, denotado A |=C0 B si y solo si para cualquier C0-modelo,
M, se tiene que si M |= A entonces M |= B.
A y B son C0-equivalentes si y solo si A |=C0 B y B |=C0 A.
Como en el caso proposicional, definimos:
Definición 4.33 Dado un conjunto Θ ⊂ L1(C, ∅, P) y O ∈ L1(C, ∅, P), decimos que el par (Θ, O)
es un problema abductivo si Θ |= O y Θ |= ¬O.
Definición 4.34 Sea Θ ⊂ L1(C, ∅, P) finito y C0 = {c1, . . . , cn} ⊆ C tal que C0 contiene al conjunto
de constantes que ocurren en Θ.
Un C0-árbol de Θ, denotado T C0 (Θ), es un árbol cuya construcción difiere de los ya conocidos
(en nuestra exposición del método de las tablas semánticas para la lógica clásica de primer orden)
únicamente en que las reglas de extensión γ y δ solo consideran las constantes en C0:
(∀x)A
A[x/c1]
.
A[x/cn]
¬(∃x)A
¬A[x/c1]
.
¬A[x/cn]
(∃x)A
A[x/c1] | . . . | A[x/cn]
¬(∀x)A
¬A[x/c1] | . . . | ¬A[x/cn]
es decir, si encontramos una fbf de tipo γ, como (∀x)A, entonces añadimos a la rama todas las
instancias de A[x/c] con c ∈ C0 y en el caso de la fórmulas de tipo δ, como (∃x)A, se ramifica la
rama en la que ocurra dicha fórmula en n nuevas ramas (donde n = |C0|) y a cada una de ellas se
añade una instancia A[x/c] con una constante c ∈ C0, diferente en cada caso.
Ejemplo 4.11 El {a, b}-árbol de (∀x)(∃y)(P (x, y) ∧ ¬P (x, x)), es decir,
T {a,b} {(∀x)(∃y)(P (x, y) ∧ ¬P (x, x))})