Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

56 CAPÍTULO 4. LOGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN
1. A es una α-fórmula. Entonces, sus dos componentes α1 y α2 se encuentran en la rama,
y por ser ambas de grado menor o igual que k, ambas deben ser satisfechas por M y,
por lo tanto, M |= A.
2. A es una β-fórmula. Entonces, una de sus dos componentes β1 o β2 se encuentran en la
rama, y por ser ésta de grado menor o igual que k debe ser satisfecha por M y, por lo
tanto, M |= A.
3. A es una γ-fórmula. Supongamos A = (∀x)B (el caso en que A = ¬(∃x)B la demostración
es similar). Entonces, como se ha aplicado la regla γ durante la construcción de la C0tabla,
todas las subfórmulas tipo B[x/cj], 1 ≤ j ≤ n, deben estar en la rama, y por ser
todas de grado menor o igual que k son satisfechas por M. Además, como I asigna a las
constantes cj un elemento de U, recorriendo todo U, tenemos que M |= (∀x)B.
4. A es una δ-fórmula. Supongamos A = (∃x)B (el caso en que A = ¬(∀x)B la demostración
es similar). Entonces, por definición de la regla δ, la rama debe contener cierta subfórmula
B[x/cj] con 1 ≤ j ≤ n, que por hipótesis de inducción es satisfecha por M. Por lo tanto,
M |= A.
Por lo tanto, M satisface todas las fórmulas de la rama, y por ello también M |= Ai, para cada
1 ≤ y ≤ m y, en consecuencia, M |= A1 ∧ . . . ∧ Am.
Lema 4.4 Si Θ ⊂ L1(C, ∅, P) es finito y C0-satisfacible, se tiene que:
1. Cualquier C0-modelo que satisfaga Θ satisface todas las fórmulas de al menos una de las ramas
de TC0 (Θ).
2. T C0 (Θ) es abierto.
Demostración: Sea Θ un conjunto finito de fórmulas C0-satisfactible, para cierto y sea M = (U, I)
un C0-modelo que satisface Θ. Demostraremos que M satisface todas las fórmulas de al menos una
rama de TC(Θ) por inducción sobre el número de veces que se ha aplicado alguna regla de extensión.
En el caso base, con 0 aplicaciones, la única rama de la C0-tabla tiene solo las fórmulas de Θ,
que son satisfechas por M. Ahora supongamos que M satisface todas las fórmulas de cierta rama
hasta la i-ésima aplicación de las reglas. Consideremos la (i + 1)-ésima apliación de las reglas que
se aplica a una fórmula A. Si dicha regla no afecta a la rama que estamos considerando, es trivial
que la rama sigue siendo satisfecha por M tras su aplicación. En otro caso, tendremos las siguientes
posibilidades, según la regla aplicada:
Se aplica la regla α. Entonces A ≡ α1 ∧ α2, y se añaden a la rama las α1 y α2. Puesto que por
por hipótesis M satisface A, se tiene que M satisface α1 y α2, por lo que M sigue satisfaciendo
todas las fórmulas de la rama tras (i + 1)-ésima aplicación de las reglas.
si se aplica la regla β. Entonces A ≡ β1 ∨ β2 y se ramfica la rama en dos y a cada una se
añade, respectivamente, β1 o β2. Como por hipótesis M |= A, se tiene que M satisface al
menos una de las dos nuevas fórmulas, por lo que M satisface al menos una de las dos nuevas
ramas tras (i + 1)-ésima aplicación de las reglas.