Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

4.1. SEMÁNTICA PARA LOS LENGUAJES DE PRIMER ORDEN 43
1. Renombrar en A las variables xi tales que x ocurre en el rango de (♯xi) por una variable de
renombramiento que no ocurra en t.
2. Sustituir en A las ocurrencias libres de x por t.
Ejemplo 4.6 Dada la fbf (∀z) P (x) → (∃x)Q(x, z) ∨ (∃y)D(x, y), el término f(a, y, z) no es libre
para x. Para realizar la sustitución de x por el término f(a, y, z) podemos proceder como sigue:
1. Como x ocurre libre en el rango de (∀z) y (∃y), renombramos la variable y y la variable z,
por ejemplo, por v y u respectivamente (que no ocurren en f(a, y, z)), obteniendo
(∀u)(P (x) → (∃x)Q(x, u)) ∨ (∃v)D(x, v)
2. En segundo lugar, sustituimos las ocurrencias libres de x en A por f(a, y, z). Obtenemos así:
(∀u)(P (f(a, y, z)) → (∃x)Q(x, u)) ∨ (∃v)D(f(a, y, z), v)
4.1. Semántica para los Lenguajes de Primer Orden
Dar significado a las fbfs de un lenguaje de primer orden, conlleva una mayor dificultad que la
requerida en el caso proposicional. En la lógica clásica proposicional, una interpretación queda
determinada sin más que asignar uno de los valores de verdad 0, 1 a cada símbolo proposicional.
Como ya sabemos, definir la semántica requiere definir una terna (S, D, I), donde S es el conjunto
de valores semánticos, D ⊆ S es el conjunto de valores semánticos destacados e I el conjunto de
interpretaciones.
La lógica clásica de primer orden, como la lógica clásica proposicional, es bivaluada, es decir
S = {0, 1} y el conjunto de valores semánticas es D = {1}, la mayor dificultad se encuentra en
el conjunto de interpretaciones, I, es decir, en la definición de interpretación, en cómo establecer
cuándo una fbf es verdadera o falsa. Puesto que el lenguaje nos permite detallar de qué o quién afirmamos,
qué afirmamos y si afirmamos sobre todos los entes/individuos o de alguno, necesitamos en
primer lugar fijar un dominio o universo del discurso, U. que determine sobre qué entes/individuos
afirmamos y, elegido éste,
1. asignar elementos específicos de U a los símbolos de constantes,
2. asignar funciones n-arias sobre U a los símbolos de función n-arios y
3. asignar relaciones n-arias sobre U a los símbolos de predicados n-arios.
Por otra parte, si la fbf contiene variables libres, debemos especificar qué valores del dominio
representan. Así, dada la fbf (∀x)P (x), si consideramos U = N y asignamos a P el significado “es
par”, podemos asegurar que la fbf es falsa en esta interpretación. Pero nada podemos afirmar sobre
la fbf P (x) si no nos pronunciamos sobre el número natural representado por x.
Deseamos, pues, disponer de un concepto de interpretación que nos permita:
asignar a toda fbf cerrada el valor de verdad 0 ó 1,
contemplar una fbf con variables libres como una afirmación sobre el dominio, que es verdadera
o falsa dependiendo de la asignación realizada a las variables libres.