Logica Abductiva y Lógica Paraconsistente Computacional - here

4.2. MÉTODO DE C-TABLAS PARA LA LÓGICA ABDUCTIVA DE PRIMER ORDEN 57
si se aplica la regla γ. Entonces A ≡ (∀x)A0. Por lo tanto, al aplicar la regla γ se añaden a
la rama todas las subfórmulas A0[x/cj], 1 ≤ j ≤ n. Pero como por hipótesis M |= (∀x)A0
entonces, se verifica que M |= A0[x/cj] para cada constante cj , 1 ≤ j ≤ n. Por lo tanto, M
satisface la rama tras la aplicación de la regla γ.
si se aplica la regla δ. En este caso, A ≡ (∃x)A0, y por hipótesis de inducción M |= A0, es
decir, M |= (∃x)A0. Puesto que M asigna a cada constante de T ({η})C un elemento diferente
de U, se verifica que, para al menos una constante cj , 1 ≤ j ≤ n, M |= A0[x/cj]. Pero una
de las nuevas ramas que surgen tras la aplicación de la regla δ contiene A0[x/cj], por lo que
sigue habiendo una rama cuyas fórmulas son todas satisfechas por M.
Al finalizar la construcción del C0-árbol habrá, por tanto, al menos una rama tal que todas sus
fórmulas son satisfechas por M, lo cual termina la demostracción del primer item. Además, entre
las fórmulas de la rama satisfecha por M no puede haber literales complementarios. Por ello, la
C-tabla es abierta, lo que prueba la segunda parte del lema.
Teorema 4.12 Sean A ∈ L1(C, ∅, P) y TC0 ({A}) un C0-árbol de {A}. Entonces, A y TC0 ({A}) son
C0-equivalentes.
Demostración: Sea M un C0-modelo que satisface A. Entonces, se tiene que M satisface todas
las fórmulas de al menos una rama de TC0 ({A}). Por lo tanto, M satisface todos los literales de
dicha rama, entre los cuales no puede haber literales complementarios, por lo tanto son literales
de una rama abierta de TC0 ({A}). Por definición, tales literales constituyen un cubo de la forma
normal disyuntiva asociada a TC0 ({A}). En consecuencia, tenemos que M |=C0 A′ , donde A ′ es la
forma normal disyuntiva asociada a TC0 ({A}).
Ahora, sea M una C0-estructura que satisface A ′ . Por definición, M satisface todos los literales
de al menos una rama abierta de la forma normal disyuntiva asociada a T C0 ({A}) y por el lema
anterior, M |= A.
Ejemplo 4.12 Sea la teoría Θ = {(∀x)(∀y)(∀z)((P (x, y) ∧ P (y, z)) → P (x, z))} y la observación
O = (∃x)P (x, x). Un árbol para Θ ∪ {¬O} es:
(1) (∀x)(∀y)(∀z)((P (x, y) ∧ P (y, z)) → P (x, z))
↓
(2) ¬(∃x)P (x, x)
↓
(3) ((P (d1, d2) ∧ P (d2, d3)) → P (d1, d3)) (de (1))
↓
(4) ¬P (d4, d4) (de (2))
↙ ↘
(7) ¬(P (d1, d2) ∧ P (d2, d3) (de (3)) (6) P (d1, d3)
↙ ↘
(7) ¬(P (d1, d2) (8) ¬P (d2, d3)
Tenemos tres ramas abiertas:
ρ1 = {¬P (d4, d4), ¬P (d1, d2)}, ρ2 = {¬P (d4, d4), ¬P (d2, d3)}, ρ3 = {¬P (d4, d4), P (d1, d3)}