DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN FILTRO PASO ... - RECERCAT

Teoría de filtros
Un ejemplo claro de la necesidad de la relación presentada es en el caso del cálculo del ancho de
banda fraccional. Por definición, éste parámetro es el ancho de banda normalizado por la frecuencia
central. Sin embargo, a priori no parece definido con claridad el tipo de ancho de banda que
debemos utilizar. Éste vendrá definido para cada caso a analizar.
Por ejemplo, en el caso del cálculo del factor de calidad Q de un resonador, el ancho de banda
fraccional necesario será aquel para el cual caen 3 dB. Por contra, el ancho de banda fraccional
necesario para la transformación de un filtro paso bajo a pasa banda será el ancho de banda del
rizado.
2.4 Cálculo de los coeficientes del filtro prototipo
El cálculo de los coeficientes g k del filtro prototipo irá en función de la clase de filtro que
utilicemos. En el caso Butterworth, generalizando para el caso de L Ar = 3 dB, con R 0 o G 0 igual a 1
y frecuencia de corte igual a 1, el cálculo de los coeficientes se muestra en las ecuaciones (2.11).
g = 1
⎡(2
⋅ k −1)
⋅ n⎤
0 g k
= 2 ⋅ sin
k = 1, 2..., n g 1
⎢
⎣ 2 ⋅ n ⎥ = n+1 (2.11)
⎦
Para el caso Chebyshev, debemos definir unos parámetros previos β, γ, a k , b k para poder calcular
los coeficientes del filtro. El cálculo de los coeficientes del filtro Chebyshev para el caso R 0 o G 0
igual a 1 y frecuencia de corte igual a 1 se muestra en las ecuaciones (2.12).
⎡ ⎛ L ⎞⎤
= ln⎢coth⎜
Ar
⎛ β ⎞
β ⎟⎥
γ = sinh⎜
⎟
⎣ ⎝17.37
⎠⎦
⎝ 2 ⋅ n ⎠
⎡(2
⋅ k −1)
⋅ n⎤
2 2
a k
= sin
⎢
⎣ 2 ⋅ n ⎥
k = 1, 2..., n
⎛ k ⋅π
⎞
b k
= γ + sin ⎜ ⎟ k = 1, 2..., n
⎦
⎝ n ⎠
g = 1
2 ⋅ a
0
g1
=
γ
1
4 ⋅ a
⋅ a
k −1
k
g
k
=
k = 2, 3..., n
bk
−1
⋅ g
k −1
(2.12)
g
n+1
= 1 para n pares
⎛ β ⎞
g
+
= coth 2
⎜ ⎟ para n pares
n 1
⎝ 4 ⎠
Se puede apreciar en las ecuaciones (2.11) y (2.12) que obtener los coeficientes del filtro conlleva
realizar cálculos muy repetitivos y extensos. Por ello existen tablas que proporcionan los
coeficientes que satisfacen éstas ecuaciones para los diferentes órdenes que nuestro filtro pueda
necesitar. En el anexo se encuentra un script de Matlab ® (“ordenYcoefiecientes.m”) que genera los
coeficientes para cualquier orden dado por el usuario. Éste script es el que luego utilizaremos en el
simulador para calcular los coeficientes necesarios.
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