DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE UN FILTRO PASO ... - RECERCAT

Teoría de filtros
También es posible determinar el factor de calidad cargado Q, es decir, teniendo en consideración
el resonador como conjunto del circuito. En concreto, en la topología interdigital los factores de
calidad cargados de los resonadores laterales son parámetros necesarios para conocer el punto en el
cuál haremos la conexión al exterior. El factor de calidad deberá considerar las resistencias de
generador y carga, por lo que sus factores de calidad cargados Q 1 y Q n vendrán determinados por la
ecuación (2.20), extraída de [3].
g
⋅ g
0 1
Q PB
=
1
FBW
Q
PB n
g
n
⋅ g
n+1
= (2.20)
FBW
Ambas ecuaciones valdrán lo mismo tanto para el caso Butterworth como Chebyshev. En el caso
Butterworth, los coeficientes del filtro g k cumplen que g 0 = g n+1 si se considera una misma
impedancia de carga y de fuente y, además, también cumplen g 1 = g n para todo n. Por lo tanto, la
igualdad de Q PB1 con Q PB1 es directa.
Sin embargo, al tratar con un filtro Chebyshev las igualdades de coeficientes expuestas para
Butterworth sólo se cumplirán para el caso de órdenes del filtro n impares. Esto conlleva a pensar
que en el caso de una n par las dos ecuaciones mostradas en (2.20) no valdrán lo mismo. Pese a
ello, éstas siguen dando un resultado análogo aún cumpliéndose que g 0 ≠ g n+1 y que g 1 ≠ g n . Esto es
debido a que el coeficiente g 0 sigue valiendo 1 para todo valor de n y además siempre se cumple
otra relación de coeficientes la cuál muestra que g n· g n+1 = g 1. Por lo tanto, como muestra ésta última
igualdad, independientemente de la clase de filtro y de la paridad del orden, obtendremos los
mismos factores de calidad externos.
2.6.3 Atenuación a la frecuencia central debida a las pérdidas
Conocidos los factores de calidad Qu, somos capaces de encontrar la atenuación debida a las
pérdidas de los elementos del filtro. El punto más crítico en un filtro paso bajo es para ω = 0. Éste
punto nos indica la atenuación a la frecuencia central, donde idealmente habíamos supuesto una
atenuación de 0 dB. La expresión que define la atenuación a la frecuencia central de un filtro paso
bajo la encontramos en la ecuación (2.21), extraída de [10].
n
⎛ g
i
⎞
Lo = 4.343⋅ω 1' ⋅∑
⎜
⎟ dB (2.21)
i=
1 ⎝ Qui
⎠
Donde ω 1 ’ es la frecuencia de corte normalizada y por lo tanto de valor 1, y g i son los coeficientes
del filtro.
De manera análoga al caso paso bajo, mediante los factores de calidad descargados Qu somos
capaces de encontrar la atenuación a la frecuencia central de un filtro paso banda. Su expresión
matemática se muestra en la ecuación (2.22), extraída de [1].
ω
Lo = 4.343⋅
1'
FBW
⋅
n
∑
i=
1
⎛ g
⎜
⎝ Qu
i
PB i
⎞
⎟
⎠
dB (2.22)
Donde ω 1 ’ es la frecuencia de corte normalizada y por lo tanto de valor 1, g i son los coeficientes del
filtro y n es el orden del filtro.
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